km-modellek középiskolás fokon · tartalom 1 bevezetés 2 fibonacci–demográﬁa 3...

KM-modellek középiskolás fokon

Simonovits András

MTA KRTK KTI, BME MI

2018. szeptember 30.

Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 1 / 34

Tartalom

1 Bevezetés

2 Fibonacci–demográfia

3 Közepek–optimalizálás

4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása

5 Jelzáloghitelek

6 Regresszió és PPP

7 Következtetések

Bevezetés

Motiváció

A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,

s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban

Bevezetés

Motiváció

A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizika

A közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban

Bevezetés

Motiváció

A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesek

ezt próbálom megmutatni az eloadásban

Bevezetés

Motiváció

A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban

Bevezetés

Mire jók a közgazdasági modellek?

Segítenek az eligazodásban (térkép)

Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról

Bevezetés

Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modell

A közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról

Bevezetés

Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modell

Önérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról

Bevezetés

Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)

Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról

Bevezetés

Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról

Bevezetés

Mitol jó egy modell/2?

Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzés

Öttalálatos lottó: 2× 2 = 5?

Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt

Bevezetés

Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?

Bevezetés

Koopmans (1957): segít a megértésben

Olyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt

Bevezetés

Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita

1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt

Bevezetés

Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 perc

Kertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt

Bevezetés

Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késés

Másra használtam mint amire alkalmas volt

Bevezetés

Londoni metróséma részlete

Fibonacci–demográfia

Fibonacci számoktól a demográfiáig

Fibonacci-sorozat/1

Nyulak szaporodása, 1202

Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .

Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd

Fibonacci-sorozat/1

Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .

Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1

Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd

Fibonacci-sorozat/1

Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .

Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stb

zárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd

Fibonacci-sorozat/1

Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .

Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd

Fibonacci-sorozat/2

Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0

Behelyettesítve a rekurzióba:

ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .

Rendezve

λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√

Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ

n1 + ϕ2λ

n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:

Kezdoértékek:

F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1

Fibonacci-sorozat/2

Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:

ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .

Rendezve

λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√

n1 + ϕ2λ

Kezdoértékek:

F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1

Fibonacci-sorozat/2

ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .

Rendezve

λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√

n1 + ϕ2λ

Kezdoértékek:

F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1

Fibonacci-sorozat/2

ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .

Rendezve

λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√

n1 + ϕ2λ

Kezdoértékek:

F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1

Fibonacci-sorozat/2

ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .

Rendezve

λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√

n1 + ϕ2λ

Kezdoértékek:

F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1

3-nemzedékes demográfia

Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .

Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0

Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ

ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:

Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)

Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0

Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0

ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0

Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:

ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .

feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:

ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2

Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:

Közepek–optimalizálás

Közepektol a hasznosságmaximalizálásig

Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép

Két pozitív valós szám: x , y

G(x , y) =√

xy , A(x , y) =x + y

Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)

és egyenloség pontosan akkor, ha x = y

G(x , y) =√

xy , A(x , y) =x + y

G(x , y) =√

xy , A(x , y) =x + y

G(x , y) =√

xy , A(x , y) =x + y

Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél

Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak

(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?

G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2

tehát a max: x∗ = y∗ = m/2

Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0

G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?

G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2

Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?

G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2

Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?

G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2

Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árak

Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)

(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:

x∗ =αmp, y∗ =

(1− α)mq

Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)

x∗ =αmp, y∗ =

(1− α)mq

x∗ =αmp, y∗ =

(1− α)mq

(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0

U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:

x∗ =αmp, y∗ =

(1− α)mq

(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?

Trükközve:x∗ =

αmp, y∗ =

(1− α)mq

x∗ =αmp, y∗ =

(1− α)mq

Idobeli általánosítás-1

U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0

x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem

U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,

leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem

U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1

Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem

U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem

Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása

Árindexálás: növekedési ütem, 2010–2018, HU

Év GDPnöv. ütem

Nettóbérnöv. ütem

Nyugdíjnöv. ütem

Helyette-sítés

t 100(gyt −1) 100(gv

t −1) 100(gbt − 1) bt/vt

2010 0,7 1,8 –0,9 0,6512011 1,8 2,4 1,2 0,6472012 –1,7 –3,4 0,1 0,6702013 1,9 3,1 4,5 0,6782014 3,7 3,2 3,2 0,6752015 2,9 4,3 3,5 0,6682016 2,1 7,4 1,4 0,6312017 4,1 10,2 3,0 0,5832018* 4,0 8,0 2,0 0,55

Árindexálás évjárati makromodellje

Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1

Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:

bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1

Átlagos nyugdíj (T éves állomány):

bt =bt + · · ·+ bt−T+1

vt−1 + · · ·+ vt−T

Helyettesítési arány:

γ =bt

vt= β

g−1 + · · ·+ g−T

1− g−T

T (g − 1)

Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8

k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:

bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1

bt =bt + · · ·+ bt−T+1

vt−1 + · · ·+ vt−T

γ =bt

vt= β

g−1 + · · ·+ g−T

1− g−T

T (g − 1)

Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:

bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1

bt =bt + · · ·+ bt−T+1

vt−1 + · · ·+ vt−T

γ =bt

vt= β

g−1 + · · ·+ g−T

1− g−T

T (g − 1)

bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1

bt =bt + · · ·+ bt−T+1

vt−1 + · · ·+ vt−T

γ =bt

vt= β

g−1 + · · ·+ g−T

1− g−T

T (g − 1)

bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1

bt =bt + · · ·+ bt−T+1

vt−1 + · · ·+ vt−T

γ =bt

vt= β

g−1 + · · ·+ g−T

1− g−T

T (g − 1)

Helyettesítési arány – Bérnövekedési ütem

T = 20 év, β =0,8, állandó reálbér-növekedési ütem

Bérnövekedésiütem 100(g−1)

0 1 2 3 4 5

Helyettesítésiarány γ = b/v

0,800 0,722 0,654 0,595 0,544 0,498

Reálbér-ugrás

Arányosan zuhan, majd kúszik fölfelé az egyensúlyi járulékkulcsHU: 2016: 10+22= 32%, 2017: 10+17=27%, 2018:10+14,5=24,5% stb. ?

1. tétel. Elsorendu differenciaegyenlet a helyettesítési arányra (deT -edrendu paraméterkésleltetés)

γt =γt−1

gt+ β

1−G−1t−1

aholGt =

vt−T=

bt−T+1

halmozott bérszorzó = legfrissebb/legrégebbi nyugdíjarány

Reálbér-ugrás

Arányosan zuhan, majd kúszik fölfelé az egyensúlyi járulékkulcsHU: 2016: 10+22= 32%, 2017: 10+17=27%, 2018:10+14,5=24,5% stb. ?1. tétel. Elsorendu differenciaegyenlet a helyettesítési arányra (deT -edrendu paraméterkésleltetés)

γt =γt−1

gt+ β

1−G−1t−1

aholGt =

vt−T=

bt−T+1

halmozott bérszorzó = legfrissebb/legrégebbi nyugdíjarány

Dinamikus helyettesítési arányok

Keresetnövekedési ütem: vt = gtvt−1, [t0 − 1, t0 + 1]-ben 8%,egyébként 2%.

Év Helyettesítés Év Helyettesítés0 0,654 . . . . . .1 0,618 10 0,5972 0,585 15 0,6223 0,557 18 0,6364 0,563 . . . . . .

Jelzáloghitelek

Forint- és deviza alapú jelzáloghitelek

Jelzáloghitelek

Forintalapú jelzáloghitel

D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovel

Jelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T

Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:

D0 = BR−1 1− R−T

1− R−1

azazB(T ,R) =

D0(R − 1)

1− R−T

B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol

Jelzáloghitelek

D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T

D0 = BR−1 1− R−T

1− R−1

azazB(T ,R) =

D0(R − 1)

1− R−T

Jelzáloghitelek

Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,

Mértani sorozat összegképlete:

D0 = BR−1 1− R−T

1− R−1

azazB(T ,R) =

D0(R − 1)

1− R−T

Jelzáloghitelek

D0 = BR−1 1− R−T

1− R−1

azazB(T ,R) =

D0(R − 1)

1− R−T

Jelzáloghitelek

D0 = BR−1 1− R−T

1− R−1

azazB(T ,R) =

D0(R − 1)

1− R−T

Jelzáloghitelek

D0 = BR−1 1− R−T

1− R−1

azazB(T ,R) =

D0(R − 1)

1− R−T

B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-re

R-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol

Jelzáloghitelek

D0 = BR−1 1− R−T

1− R−1

azazB(T ,R) =

D0(R − 1)

1− R−T

Jelzáloghitelek

Devizaalapú jelzálog

Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗

Frank-törlesztés

B∗(T ,R∗) =D∗

0(R∗ − 1)

1− R−∗T

Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et

B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0

Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗

t Pt/P∗t

Jelzáloghitelek

Frank-törlesztés

B∗(T ,R∗) =D∗

0(R∗ − 1)

1− R−∗T

B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0

t Pt/P∗t

Jelzáloghitelek

Frank-törlesztés

B∗(T ,R∗) =D∗

0(R∗ − 1)

1− R−∗T

B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0

t Pt/P∗t

Jelzáloghitelek

Frank-törlesztés

B∗(T ,R∗) =D∗

0(R∗ − 1)

1− R−∗T

B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0

Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = R

Valóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗

t Pt/P∗t

Jelzáloghitelek

Frank-törlesztés

B∗(T ,R∗) =D∗

0(R∗ − 1)

1− R−∗T

B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0

Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítva

Reálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗t Pt/P∗

Jelzáloghitelek

Frank-törlesztés

B∗(T ,R∗) =D∗

0(R∗ − 1)

1− R−∗T

B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0

t Pt/P∗t

Jelzáloghitelek

13.1. táblázat. Magyar és svájci idosorok

Év Reálárfolyam Év Reálárfolyam2004 150,4 2009 140,72005 149,6 2010 164,82006 140,7 2011 182,72007 127,4 2012 161,72008 143,5 2013 159,3

Jelzáloghitelek

13.4. táblázat. A svájci hitelek tündöklése és bukása(a GDP százalékában)

Év Összeshitel

Svájcihitel

Év Összeshitel

Svájcihitel

2003 10,7 0,5 2009 28,9 20,12004 12,6 1,8 2010 30,7 21,52005 15,3 5,0 2011 29,2 19,72006 18,5 9,0 2012 24,2 14,32007 21,8 12,9 2013 22,2 12,62008 27,4 19,2

Regresszió és PPP

Regresszió és vásárlóero

Regresszió és PPP

Regressziós egyenes

Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100

Tudományosan: (xi)ni=1 és (yi)

ni=1 két idosor

Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre

n∑i=1

(yi − α− βxi)2 → min .

xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:

β∗ =

∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2

i, α∗ = EY − β∗EX .

Regresszió és PPP

Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)

ni=1 és (yi)

ni=1 két idosor

n∑i=1

β∗ =

i, α∗ = EY − β∗EX .

Regresszió és PPP

ni=1 és (yi)

ni=1 két idosor

Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?

Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre

n∑i=1

β∗ =

i, α∗ = EY − β∗EX .

Regresszió és PPP

ni=1 és (yi)

ni=1 két idosor

n∑i=1

β∗ =

i, α∗ = EY − β∗EX .

Regresszió és PPP

ni=1 és (yi)

ni=1 két idosor

n∑i=1

β∗ =

i, α∗ = EY − β∗EX .

Regresszió és PPP

Mitol függ egy pénz vásárlóereje?

Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:

külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e

Regresszió és PPP

Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)

piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e

Regresszió és PPP

Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFt

de a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e

Regresszió és PPP

Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 Ft

Sejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e

Regresszió és PPP

Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e

Regresszió és PPP

Árszint–fejlettség

Következtetések

A közgazdasági modellezés érdekes és fontos

Öt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre

Következtetések

A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettség

Sok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre

Következtetések

A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezni

és fölkészülünk a további modellezésre

Következtetések

A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre

Következtetések

Kimaradt témák

játékelmélet

ciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás

Következtetések

Kimaradt témák

játékelméletciklusok

profitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás

Következtetések

Kimaradt témák

játékelméletciklusokprofitmaximalizálás

káoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás

Következtetések

Kimaradt témák

játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáosz

általános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás

Következtetések

Kimaradt témák

játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelmélet

együtt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás

Következtetések

Kimaradt témák

játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modellje

valószínuség-számítás és biztosítás

Következtetések

Kimaradt témák

játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás

km-modellek középiskolás fokon · tartalom 1 bevezetés 2 fibonacci–demográﬁa 3...

Documents

tisztelt Ügyfeleink, kedves barÁtaink! · drágább lesz...

sulyok blanka - magyartanárok egyesülete web viewsulyok...

szkdolg-2008-gonda lászló-elektronikai hulladé · pdf...

cirkuszkocsival a sarkvidéken...

a mester- és kutatópedagógus · 2020-02-03 · a mester-...

new felmérés a hitelezési vezetők körében a bankok...

budapest bank jelzáloghitelek Ügyfél- és...

Ökológiai gazdálkodás melléklet gazdálkodók lapja...

cegléd, 2018. április 11. kÖnyvtÁri hÍrmondÓ · e...

nyugdíjasok, nyugdíjak, 2009 · a korbetöltött...

nyugdÍjasok, nyugdÍjak, 2008 · nyugdíjasok 63%-a nő....

nyugdíjak és egyéb ellátások, 2019 · yugdíjak és...

a hermeneutikai kolosszus és a mediális...

rpt alkalmazÁsok fröccsöntés felső fokon

első fokon elbukott a rendőrkutyák a szolidaritási...

a lakossági deviza-jelzáloghitelek kivezetése:...

a nemzetközi történetéből · a 2008-as gazdasági...

matematikai közgazdaságtani modellek középiskolás...

phd2.univet.huphd2.univet.hu/tantargyak/pf-2011/pf-2011-7-11.doc ·...

a klebelsberg intezmenyfenntarto kozpont papal tankeriilete...