knowledge representation and propositional logic

KNOWLEDGE REPRESENTATIONAND

PROPOSITIONAL LOGIC030523111 – Introduction to Artificial Intelligence

Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka

Intelligent Agent

Intelligent Agent ควรมี�ความีสามีารถดังต่ อไปนี้�� Perceiving

สามีารถรบข้�อมี�ลจากส��งแวดัล�อมีไดั� Knowledge Representation

สามีารถนี้�าข้�อมี�ลที่��ไดั�มีาแที่นี้เป นี้ความีร� � Reasoning

ถ�าร� �และให้�เห้ต่$ผลไดั� Acting

เล'อกส��งที่��ควรจะที่�า

องค์�ค์วามรู้ (Knowledge)

องค์�ค์วามรู้ เก�ดัจากการรวบรวมีข้�อมี�ลเพื่'�อนี้�ามีาแปลงสภาพื่ก อนี้นี้�าไปใช้�ประโยช้นี้-

องค-ความีร� �สามีารถนี้�ามีาใช้�ในี้ AI เพื่'�อช้ วยในี้การแก�ป.ญห้าไดั�

จ�าเป นี้ต่�องใช้�เคร'�องมี'อห้ร'อว�ธี�การบางอย างเพื่'�อจะนี้�าองค-ความีร� �ที่��มี�อย� ห้ลายร�ปแบบมีาเก1บในี้ ฐานองค์�ค์วามรู้ (Knowledge based (KB))

กระบวนี้การที่��ที่�าให้� AI สามีารถเข้�าใจถ2งองค-ความีร� �ไดั� เร�ยกว า การู้แทนองค์�ค์วามรู้ (Knowledge representation)

ศาสต่ร-ส�าคญที่��ใช้�ในี้การแที่นี้องค-ความีร� �ค'อ ตรู้รู้กศาสตรู้� (Logic)

องค์�ค์วามรู้ (2)

องค-ความีร� �เป นี้ส วนี้ส�าคญในี้ AI สามีารถนี้�าไปใช้�เป นี้ข้�อมี�ลเพื่'�อค�ดัห้ร'อต่ดัส�นี้ใจ ซึ่2�งมี�ค�าส�าคญดังนี้�� ข้อมล (Data) ค'อ ข้�อเที่1จจร�งเก��ยวกบส��งต่ างๆ ที่��ยงไมี ถ�ก

ประมีวลผลซึ่2�งอาจเก1บอย� ในี้ร�ปข้องต่วเลข้ ข้�อความี ห้ร'อส'�ออ'�นี้ๆ ข้�อมี�ลที่��ดั�ควรจะถ�กต่�อง สมีบ�รณ์- และนี้ าเช้'�อถ'อ

สารู้สนเทศ (Information) ค'อ ข้�อมี�ลที่��ผ านี้การประมีวลผลและถ�กจดัการให้�มี�ความีถ�กต่�องและที่นี้สมีย ข้�อมี�ลเห้ล านี้��จะอย� เก1บให้�เห้มีาะสมีกบงานี้

องค์�ค์วามรู้ (Knowledge) ค'อ สารสนี้เที่ศที่��ผ านี้การคดัเล'อก เพื่'�อนี้�ามีาใช้�ในี้การแก�ป.ญห้าในี้สถานี้การณ์-ต่ างๆ ต่ามีความีต่�องการไดั�อย างมี�ประส�ที่ธี�ภาพื่

ข้อมลการู้

ปรู้ะมวลผลสารู้สนเท

ศ

กรู้ะบวนการู้ค์�ดเล�อก

องค์�ค์วามรู้

น�าไปใช้แกป"ญหาต%างๆ

การู้แทนองค์�ค์วามรู้ การแที่นี้องค-ความีร� � ห้มีายถ2ง

กระบวนี้การจดัร�ปแบบองค-ความีร� �ดั�วยว�ธี�การเข้�ยนี้โปรแกรมีและจดัเก1บลงในี้ห้นี้ วยความีจ�าข้องคอมีพื่�วเต่อร-

จากนี้�นี้ นี้�าไปสร$ปความีแล�วจดัเก1บไว�ในี้ฐานี้องค-ความีร� �เพื่'�อใช้�ในี้การแก�ป.ญห้าต่ อไป

ว�ธี�การแที่นี้องค-ความีร� �แบ งไดั� 5 ประเภที่ การู้แทนองค์�ค์วามรู้เช้'งตรู้รู้กะ (Logical Knowledge

Representation) การแที่นี้องค-ความีร� �เช้�งระเบ�ยบว�ธี� (Procedural Knowledge

Representation) การแที่นี้องค-ความีร� �เช้�งเคร'อข้ าย (Network Knowledge

Representation) การแที่นี้องค-ความีร� �เช้�งโครงสร�าง (Structured Knowledge

Representation) การแที่นี้องค-ความีร� �เช้�งผสมีผสานี้ (Multiple Knowledge

Representation)

ค์วามรู้ท�(วไปเก)(ยวก�บตรู้รู้กศาสตรู้� ตรู้รู้กะ (Logic) ค'อ ศาสต่ร-ที่��ว าดั�วยการห้าเห้ต่$และผล

ดั�วยว�ธี�การต่ างๆ อย างมี�ร�ปแบบและระบบที่��ช้ดัเจนี้ โดัยการพื่�ส�จนี้-จากข้�อเที่1จจร�งที่��ก�าห้นี้ดั

ต่รรกศาสต่ร-แบ งออกเป นี้ 2 ประเภที่ ตรู้รู้กศาสตรู้�แบบด�+งเด'ม เป นี้ต่รรกศาสต่ร-แรกเร��มีที่��

พื่ฒนี้ามีาจากห้ลกการและกระบวนี้การที่างเห้ต่$ผลข้องอร�สโต่เต่�ล ตรู้รู้กน'รู้น�ย (Deductive Logic) เป นี้การห้าความีจร�งจาก

ส วนี้มีากไปห้าส วนี้นี้�อย ตรู้รู้กอ,ปน�ย (Inductive Logic) เป นี้การห้าความีจร�งจาก

ส วนี้นี้�อยไปห้าส วนี้มีาก ตรู้รู้กส�ญล�กษณ์� (Symbolic Logic) เป นี้

ต่รรกศาสต่ร-ที่��ใช้�ว�ธี�การที่างคณ์�ต่ศาสต่ร-เข้�ามีาพื่�ส�จนี้-ข้�อเที่1จจร�ง มี�การใช้�สญลกษณ์-แที่นี้การใช้�เวลาที่��มี�ความีก�ากวมี

ภาษาตรู้รู้กศาสตรู้� (Syntax และ Semantics) Syntax (ไวยกรณ์-) ค'อการก�าห้นี้ดัร�ปแบบข้องภาษา

ต่วอย าง syntax ข้องคณ์�ต่ศาสต่ร- X + Y = 4 √ X2y+ = X

Semantics ความีห้มีายข้องประโยคนี้�นี้ๆ ในี้ที่างต่รรกศาสต่ร- Semantics จะบอกถ2งความีเป นี้จร�ง

ข้องประโยค ปกต่� semantics จะมี�ค าแค true ห้ร'อ false

X + Y = 4 เป นี้จร�งเมี'�อ X = 2 และ Y = 2เป นี้เที่1จเมี'�อ X = 1 และ Y = 1

ตรู้รู้กส�ญล�กษณ์� ต่รรกสญลกษณ์- (Symbolic logic) แบ งไดั� 2

ประเภที่ ตรู้รู้กะท)(ว%าดวยปรู้ะพจน� (Propositional Logic)

เป นี้ต่รรกศาสต่ร-ที่��ว าดั�วยการที่ดัสอบประโยคห้ร'อเนี้'�อห้า ที่��เร�ยกว า ปรู้ะพจน� เพื่'�อห้าข้�อเที่1จจร�งห้ร'อความีสมีเห้ต่$สมีผลข้องประพื่จนี้-ลกษณ์ะต่ างๆ ที่�งที่��เป นี้ประพื่จนี้-เช้�งเดั��ยว และ ประพื่จนี้-เช้�งซึ่�อนี้

ตรู้รู้กะท)(ว%าดวยภาค์ข้ยาย (Predicate Logic) เป นี้ต่รรกศาสต่ร-ที่��ที่ดัสอบประโยคกล าวอ�างที่��เก��ยวข้�องกบประโยคที่�วไป และ ประพื่จนี้-เช้�งเดั��ยว เพื่'�อห้าความีสมีเห้ต่$สมีผลข้องประโยคกล าวอ�าง

ปรู้ะพจน� ประพื่จนี้- (Proposition) เป นี้ส วนี้ที่��ใช้�พื่�ส�จนี้- เพื่'�อบ งช้��

ความีจร�งต่ามีห้ลกเห้ต่$ผล มี� 2 ช้นี้�ดั ค'อ ประพื่จนี้-เช้�งเดั��ยว (Single Proposition) ประพื่จนี้-เช้�งซึ่�อนี้ (Compound Proposition)

ปรู้ะพจน�เช้'งเด)(ยว ประโยคห้ร'อเนี้'�อห้าที่างต่รรกะที่��มี�เพื่�ยงใจความีเดั�ยว มี�ประธีานี้และภาคแสดังเพื่�ยงต่วเดั�ยว และไมี สามีารถแบ งย อย

เนี้'�อห้าไดั�อ�ก ปรู้ะพจน�เช้'งเด)(ยวแบบย�นย�น แสดังถ2งข้�อความีที่�งห้มีดัที่��สามีารถ

ย'นี้ยนี้ไดั� ไมี มี�ข้�อความีแสดังการปฏิ�เสธี นี้กเร�ยนี้ท,กๆค์น อยากเร�ยนี้จบ

ปรู้ะพจน�เช้'งเด)(ยวแบบปฏิ'เสธ แสดังถ2งข้�อความีที่��มี�ค�าคดัค�านี้ห้ร'อปฎิ�เสธี ไม%ม)นี้กเร�ยนี้คนี้ไห้นี้อยากสอบต่ก

ปรู้ะพจน�เช้'งเด)(ยวแบบย�นย�นบางส%วน แสดังข้�อความีย'นี้ยนี้บางส วนี้ นี้กเร�ยนี้ส%วนใหญ%เร�ยนี้ 4 ป<ก1จบการศ2กษา

ปรู้ะพจน�เช้'งเด)(ยวแบบปฎิ'เสธบางส%วน แสดังข้�อความีปฎิ�เสธีบางส วนี้ คนี้ไที่ยส%วนใหญ%ไม%ยากจนี้

ปรู้ะพจน�เช้'งซ้อน ค'อการนี้�าเอาประพื่จนี้-เช้�งเดั��ยวห้ลายประโยคมีารวมีกนี้ดั�วยค�า

เช้'�อมีประโยค ปรู้ะโยค์ค์วามรู้วม เป นี้ประโยคต่รรกะที่��เก�ดัจากค�าเช้'�อมี และ“ ”,

“แต่ ”, “แมี�”, “เมี'�อ ในี้ต่รรกะศาสต่ร-จะใช้�ต่ว ” AND () ฉันี้ช้อบก�นี้ข้�าวสวยแต%เธีอช้อบก�นี้ข้�าวเห้นี้�ยว

ปรู้ะโยค์ค์วามเล�อก ค'อ ประโยคต่รรกะที่��เก�ดัจากค�าเช้'�อมี ห้ร'อ “ ”() พื่ร$ งนี้��เป นี้วนี้พื่$ธีหรู้�อวนี้พื่ฤห้สบดั�

ปรู้ะโยค์ม)เง�(อนไข้ เป นี้ประโยคต่รรกะที่��เก�ดัจากค�าเช้'�อมี ถ�า“ ...แล�ว โดัยประพื่จนี้-ห้นี้2�งจะเป นี้เง'�อนี้ไข้ อ�กต่วจะเป นี้ผลสร$ป ”() ถ้านี้กศ2กษาที่�าข้�อสอบไดั�คะแนี้นี้เต่1มีแลวจะไดั�เกรดั A

ปรู้ะโยค์สมภาค์ ค'อ ประโยคต่รรกะที่��เก�ดัจากค�าเช้'�อมี “..ก1ต่ อเมี'�อ..” () สมีช้ายเป นี้คนี้ดั�ก8ต%อเม�(อสมีช้ายไมี ที่�าช้�ว

Propositional Logic

ประพื่จนี้- ค'อ ประโยคที่��มี�เห้ต่$ผลและพื่�จารณ์าไดั�ว าเป นี้จร�งห้ร'อเที่1จ

มี�กฎิ 3 ข้�อ ประพื่จนี้-ต่�องเป นี้จร�งห้ร'อเที่1จเที่ านี้�นี้

กร$งเที่พื่เป นี้เมี'องห้ลวงข้องประเที่ศไที่ย (ประพื่จนี้-เป นี้จร�ง) ประพื่จนี้-จะเป นี้จร�งห้ร'อเที่1จพื่ร�อมีกนี้ไมี ไดั�

กร$งเที่พื่เป นี้เมี'องห้ลวงข้องประเที่ศไที่ยต่�งอย� ที่��ภาคเห้นี้'อ ประพื่จนี้-เช้�งซึ่�อนี้ จะห้าค าความีจร�งโดัยรวมี

ประเที่ศไที่ยอย� ในี้ที่ว�ปเอเซึ่�ยมี�กร$งเที่พื่เป นี้เมี'องห้ลวง

Propositional Logic : Syntax Syntax

Atomic sentences : ประกอบไปดั�วย 1 proposition symbol แต่ ละ proposition symbol จะให้�ค า จรู้'ง ห้ร'อ เท8จ Symbol จะใช้�ภาษาองกฤษต่วพื่�มีพื่-ให้ญ เช้ นี้ P, Q, R, etc.. แล�วแต่ จะ

ต่�ง มี� 2 symbol ที่��สงวนี้ค าความีเป นี้จร�งไว� ค'อ

True จะเป นี้จร�งเสมีอ False จะเป นี้เที่1จเสมีอ

Complex sentences : เก�ดัจากการนี้�า sentences มีาเช้'�อมีต่ อกนี้ซึ่2�งมี�ต่วเช้'�อมีอย� 5 ต่ว Not And Or Implies If and only if

Propositional Logic BNF

BNF (Backus-Naur Form) เป นี้ร�ปแบบการเข้�ยนี้โครงสร�าง ไวยกรณ์-ข้องภาษา

ต�วอย%าง

Q)(P

)( SentenceSentence )( enceAtomicSentenceAmoticSent

)( SymbolSymbol

tenceComplexSenSentence

) Q)P(( ไม%เป9น Sentence

Propositional Logic : Semantics Semantics ข้อง Propositional Logic มี�เพื่'�อใช้�

ก�าห้นี้ดัค าความีเป นี้จร�งให้�กบ sentence ส�าห้รบ Atomic Sentence

True ค'อจร�งเสมีอ False ค'อเที่1จเสมีอ Symbol ข้2�นี้อย� กบค าความีจร�งที่��ก�าห้นี้ดั

ส�าห้รบ Complex Sentence ให้�ถ'อต่ามีต่ารางความีจร�ง (Truth table)P Q P P Q P Q P Q P Q

True True False True True True True

True False False False True False False

False True True False True True False

False False True False False True True

การู้ใช้งาน Propositional Logic ถ�าฝนี้ต่กแล�วจะอย� บ�านี้ ก�าห้นี้ดั

P แที่นี้ ฝนี้ต่ก Q แที่นี้ อย� บ�านี้ ร�ปประโยคจะเป นี้ P Q

ถ�า P เป นี้จร�ง ค'อฝนี้ต่ก ประโยคจะให้�ค าเป นี้จร�ง เมี'�อ Q เป นี้จร�ง ก1ค'อ อย� บ�านี้

แบบฝึ;กห�ด: จงเปล��ยนี้ประโยคต่ อไปนี้��ให้�อย� ในี้ร�ปข้อง Propositional Logic ถ�าก�นี้มีากแล�วจะอ�วนี้ นี้กศ2กษาจะสอบผ านี้ก1ต่ อเมี'�อต่�งใจเร�ยนี้ กาแฟและนี้��าอดัลมีมี�คาเฟอ�นี้

ค์�าน'ยามเก)(ยวก�บค์%าค์วามเป9นจรู้'ง (1) Tautology : เป นี้ประโยคที่��ให้�ความีเป นี้จรู้'งในี้ที่$ก

กรณ์�R ((P Q) (R Q))P Q R P Q R Q (R Q) (P Q) (R Q) R ((P Q) (R Q))

T T T T T F T T

T T F T T F T T

T F T F F T T T

T F F F T F F T

F T T T T F T T

F T F T T F T T

F F T T F T T T

F F F T T F T T

ค์�าน'ยามเก)(ยวก�บค์%าค์วามเป9นจรู้'ง (2) Self-contradiction : เป นี้ประโยคที่��ให้�ความีเป นี้

เท8จในี้ที่$กกรณ์�(P Q) (Q P)

Contingent : เป นี้ประโยคที่��สามีารถมี�ที่�งค าจร�งและเที่1จ

P Q P Q (P Q) Q P (Q P) (P Q) (Q P)

T T T F T F F

T F F T T F F

F T T F F T F

F F T F T F F

ค์�าน'ยามเก)(ยวก�บค์%าค์วามเป9นจรู้'ง (3) เมี'�อมี�ปรู้ะโยค์มากกว%า 1 ปรู้ะโยค์ จะเร�ยกว าประโยคเห้ล านี้�นี้

Consistent กนี้ก1ต่ อเมี'�อประโยคเห้ล านี้�นี้มี�โอกาศที่��จะเป นี้จร�งในี้กรณ์�เดั�ยวกนี้ ไมี เช้ นี้นี้�นี้จะเร�ยกว าประโยคเห้ล านี้�นี้ Inconsistent

ต�วอย%าง 1 : ประโยค 2 ประโยคค'อ (P Q) และ (P Q)

ต�วอย%าง 2 : ประโยค 2 ประโยค ค'อ (P Q) P และ (Q P)

P Q P Q Q P Q (P Q)

T T T F F T

T F T T T F

F T T F T F

F F F T F T

consistent

P Q P Q (P Q) P P Q P (Q P)

T T T T F T F

T F F F F F T

F T T F T T F

F F T F T T F

ค์�าน'ยามเก)(ยวก�บค์%าค์วามเป9นจรู้'ง (4) 2 ประโยคจะถ'อว า Logically equivalent ก1ต่ อ

เมี'�อค์%าค์วามเป9นจรู้'งข้องท�+ง 2 ปรู้ะโยค์เหม�อนก�นในท,กกรู้ณ์)

P Q และ (Q P)P Q P Q P Q Q P (Q P)

T T F F T F T

T F F T T F T

F T T F F T F

F F T T T F T

Rules of Replacement

ช้�(อกฎิ Logically equivalent

Double negation (DN) P P

Commutativity (Com) P Q Q PP Q Q P

Associativity (Assoc) (P Q) R P (Q R)(P Q) R P (Q R)

Tautology (Taut) P P P, P P P

Demorgan’s Law (DM) (P Q) P Q(P Q) P Q

Transposition (Trans) P Q Q P

Material Implication (Impl)

P Q P Q

Exportation (Exp) P (Q R) ( P Q ) R

Distribution (Dist) P (Q R) (P Q) (P R)P (Q R) (P Q) (P R)

Material Equivalent (Equiv)

P Q (P Q) (Q P) (P Q) (P Q)

ประโยคในี้propositional logic สามีารถ

แที่นี้ที่��กนี้ไดั� ถ�า ประโยคที่�ง 2 นี้�นี้

logically equivalent

ต�วอย%างการู้พ'สจน�ดวยตารู้างค์วามเป9นจรู้'งจงพื่�ส�จนี้-การเที่ ากนี้ข้องสมีการต่ อไปนี้�� (P (Q R)) [(P Q)

( P R)]P Q R (Q R) P (Q R) (P (Q R)) (P Q) (P R) (P Q) ( P R) [(P Q) ( P R)]

T T T T T F T T T F

T T F F F T T F F T

T F T F F T F T F T

T F F F F T F F F T

F T T T T F T T T F

F T F F T F T T T F

F F T F T F T T T F

F F F F T F T T T F

ต�วอย%างการู้พ'สจน�ดวยกฎิ

จงพื่�ส�จนี้-การเที่ ากนี้ข้องสมีการต่ อไปนี้�� (P (Q R)) [(P Q) ( P R)]

(P (Q R)) (P (Q R)) Impl

P (Q R) DM

P (Q R) DM

(P Q) (P R) Dist

( ( P) Q) ( ( P) R) DN

( P Q) ( P R) DM

( P Q) ( P R) DM

[( P Q) ( P R)] DM

[(P Q) (P R)] Impl

แบบฝึ;กห�ดดวยการู้ใช้ตารู้างค์วามเป9นจรู้'งและดวยการู้ใช้กฎิ (((A B) B) B) A B [(P Q) R] (P Q) R

ค์�าน'ยามเก)(ยวก�บค์%าค์วามเป9นจรู้'ง (5) Logically consequence : B จะถ�กเร�ยกว า logically

consequence ข้อง A1,A2,..,An ก1ต่ อเมี'�อ ไมี มี�ค าความีเป นี้จร�งใดัที่��ที่�าให้� A1,A2,.., An เป นี้จร�ง แต่ ไมี ที่�าให้� B เป นี้จร�ง

ข้�อโต่�แย�งจะ Logically valid ก1ต่ อเมี'�อข้�อสร$ปนี้�นี้ logically consequence กบสมีมี$ต่�ฐานี้ ถ�าสมีมี$ต่�ฐานี้มี�ข้�อเดั�ยว(A) จะเร�ยกไดั�ว า A logically imply B

ต�วอย%าง : ข้�อโต่�แย�งมี�สมีมี$ต่�ฐานี้ 2 ประโยค P Q และ Q P และข้�อสร$ปค'อ QP Q P Q Q Q P

T T T F T

T F F T T

F T T F T

F F T T F

Deduction: Rules of Inference and Replacement

การแก�ไข้ป.ญห้าข้อง Propositional Logic โดัยใช้�ต่ารางความีเป นี้จร�ง (truth table) ต่ามีที่ฤษฎิ�สามีารถแก�ไข้ไดั�ที่$กป.ญห้า

แต่ ข้นี้าดัข้องต่ารางความีเป นี้จร�งจะให้ญ ข้2�นี้มีาก ต่ามีจ�านี้วนี้ข้องต่วแปรข้องประโยคนี้�นี้ๆ

ต�วอย%าง ถ�ามี�ประโยค Propositional Logic มี�ต่วแปร 10 ต่ว ต่ารางความีเป นี้จร�งจะต่�องมี�ที่�งห้มีดั 210 = 1024 แถว

ดังนี้�นี้จ2งมี�ว�ธี�แก�ป.ญห้าโดัยเอาที่ฤษฎิ�ต่ างๆ แที่นี้การใช้�ต่ารางความีเป นี้จร�ง Natural Deduction Direct Deduction Indirect Deduction

Natural Deduction (การนี้�รนี้ย)

ว�ธี� natural deduction พื่ยายามีที่��จะลดัการค�ดัค าความีเป นี้จร�งข้องแต่ กรณ์� โดัยห้าค าความีเป นี้จร�งที่�าต่ามีข้�นี้ต่อนี้ที่�ละข้�นี้ต่อนี้ไปเร'�อยๆ ต่ามีความีร� �ที่��มี�

ต�วอย%าง : ข้�อกล าวอ�างที่�วไปในี้สถานี้ที่��เก�ดัเห้ต่$มี�ข้นี้แมีวห้ร'อข้นี้ส$นี้ข้ต่กอย� ถ�ามี�ข้นี้ส$นี้ข้ต่กอย� ในี้ที่��เก�ดัเห้ต่$เจ�าห้นี้�าที่��สมีช้ายจะเป นี้โรคภ�มี�แพื่� ถ�าเป นี้ข้นี้แมีวที่��ต่กอย� ในี้ที่��เก�ดัเห้ต่$ แล�วสมีปองเป นี้ฆาต่กร แต่ เนี้'�องดั�วยเจ�าห้นี้�าที่��สมีช้ายไมี ไดั�เป นี้โรคภ�มี�แพื่�ดังนี้�นี้สมีปองค'อฆาต่กร

1 . มี�ข้นี้แมีวต่กอย� ในี้ที่��เก�ดัเห้ต่$ ห้ร'อ มี�ข้นี้ส$นี้ข้ต่กอย� ในี้ที่��เก�ดัเห้ต่$ (สมีมี$ต่�ฐานี้)

2. ถ�ามี�ข้นี้ส$นี้ข้ต่กในี้ที่��เก�ดัเห้ต่$ แล�ว เจ�าห้นี้�าที่��สมีข้ายจะเป นี้โรคภ�มี�แพื่� (สมีมี$ต่�ฐานี้)

3. ถ�ามี�ข้นี้แมีวต่กอย� ในี้ที่��เก�ดัห้ต่$ แล�ว สมีปองเป นี้ฆาต่กร (สมีมี$ต่�ฐานี้)

4. เจ�าห้นี้�าที่��สมีช้าย ไมี ไดั�เป นี้โรคภ�มี�แพื่� (สมีมี$ต่�ฐานี้)

5. ไมี มี�ข้นี้ส$นี้ข้ต่กอย� ในี้ที่��เก�ดัเห้ต่$ (จากข้�อ 2 และ ข้�อ 4)

6. มี�ข้นี้แมีวต่กอย� ในี้ที่��เก�ดัเห้ต่$ (จากข้�อ 1 และ ข้�อ 5)

7. สมีปองค'อฆาต่กร (จากข้�อ 3 และข้�อ 6)

Rules of Inference (กฎิข้องการอนี้$มีานี้) การอนี้$มีานี้ดั�วยว�ธี�การให้�เห้ต่$ผลจะต่�องมี�การต่รวจสอบ

ความีสมีเห้ต่$สมีผล กฎิข้องการอนี้$มีานี้เช้�งต่รรกศาสต่ร- ไดั�แก Modus Ponens (MP) Modus Tollens (MT) Disjunctive Syllogism (DS) Addition (Add) Simplification (Simp) Conjunction (Conj) Hypothetical Syllogism (HS) Constructive dilemma (CD) Absorption (Abs)

Modus Ponens (MP)

Modus Ponens (-elimination)

P Q P Q

P Q P Q

T T T

T F F

F T T

F F T

Modus Tollens (MT)

Modus Tollens (-elimination)

P Q Q P

P Q P Q Q P

T T T F F

T F F T F

F T T F T

F F T T T

Disjunctive syllogism (DS) Disjunctive Syllogism (-elimination)

ห้ร'อ P Q P Q

P Q P Q P

T T T F

T F T F

F T T T

F F F T

P Q Q P

P Q P Q Q

T T T F

T F T T

F T T F

F F F T

Addition (Add)

Addition (-introduction)

ห้ร'อ P P Q

P Q P Q

T T T

T F T

F T T

F F F

P Q P Q

T T T

T F T

F T T

F F F

Q P Q

Simplification (Simp)

Simplification (-elimination)

ห้ร'อP Q P

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

P Q Q

Conjunction (Conj)

Conjunction (-introduction)

PQ

P Q

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

Hypothetical syllogism (HS) Hypothetical syllogism (chain reasoning, chain

deduction)

P Q R P Q Q R P R

T T T T T T

T T F T F F

T F T F T T

T F F F T F

F T T T T T

F T F T F T

F F T T T T

F F F T T T

P QQ RP R

Constructive Dilemma (CD) Constructive Dilemma

P Q R S P Q R S (P Q) (R S) P R Q S

T T T T T T T T T

T T T F T F F T T

T T F T T T T T T

T T F F T T T T T

T F T T F T F T T

T F T F F F F T F

T F F T F T F T T

T F F F F T F T F

F T T T T T T T T

F T T F T F F T T

F T F T T T T F T

F T F F T T T F T

F F T T T T T T T

F F T F T F F T F

F F F T T T T F T

F F F F T T T F F

(P Q) (R S) P R Q S

Absorption (Abs)

Absorption

P Q P Q P Q P (P Q)

T T T T T

T F F F F

F T T F T

F F T F T

(P Q)

P (P Q)

Direct Deduction

Direct deduction ข้องข้�อสร$ปจากเซึ่1ต่ข้องสมีมี$ต่�ฐานี้ประกอบไปดั�วยล�าดับข้องประโยค สมีมี$ต่�ฐานี้ (premise) ประโยคที่��มีาจากกฎิข้องการอนี้$มีานี้ (rules of inference) ประโยคที่��มีาจากกฎิข้องการแที่นี้ที่�� (rules of replacement)

ต่วอย างมี� สมีมี$ต่�ฐานี้ค'อ C D, C O, D M, และ O มี�ข้�อสร$ป M จะพื่�ส�จนี้-ว าถ�กต่�อง1.C D premise

2.C O premise3.D M premise4. O

premise5. C 2,4

MT6.D 1,5

DS7.M 3,6

MP

1.C D premise2.C O premise3.D M premise4. O

premise5.(C O) (D M) 2,3

Conj6.O M 1,5 CD7.M 4,6

DS

ต�วอย%าง Direct Deduction

พื่�ส�จนี้- T U จากสมีมี$ต่�ฐานี้ P Q , (S T) Q, และ P (T R)

1. P Q premise2. (S T) Q premise3. P (T R) premise4. (P Q) (Q P) 1 Equiv5. (Q P) 4 Simp6. (S T) P 2,4 HS7. P (T R) 3 Impl8. (S T) (T R) 6,7 HS9. (S T) (T R) 8 Impl10. (S T) (T R) 9 DM11. [(S T) T] [(S T) R) 10 Dist

12. (S T) T 11 Simp13. (S T) (T T) 12 Dist14. T T 13 Simp15. T 14

Taut16. T U 15 Add17. T U 16 Impl

Indirect Deduction

Indirect deduction มี� 2 ว�ธี� Conditional proof : สมีมี$ต่�ค าความีเป นี้จร�งให้� 1 ต่วแปรเพื่'�อแก�ป.ญห้า Indirect proof : ก�าห้นี้ดัข้�อสร$ปเป นี้เที่1จ แล�วถ�ามี�พื่�ส�จนี้-ห้กล�างไดั� จะที่�าให้�

ข้�อสร$ปนี้�นี้เป นี้จร�ง ต�วอย%าง : มี�สมีมี$ต่�ฐานี้ค'อ P Q และ P (Q P) มี�ข้�อสร$ปค'อ

P จงพื่�ส�จนี้-ว าเป นี้จร�งห้ร'อไมี (ใช้�ว�ธี� Indirect proof)1. P Q premise2. P (Q P) premise3. P assumption4. Q 1,3 MP5. (Q P) 2,3 MP6. P 5,4 MP7. P P 3,6 Conj8. False 7 IP

ข้ดักบ assumption

เพื่ราะฉัะนี้�นี้ P เป นี้จร�ง

ต�วอย%าง (1)

จงพื่�ส�จนี้-ว าค�ากล าวต่ อไปนี้��ถ�กต่�องถ�าอ$ณ์ห้ภ�มี�และความีดันี้คงที่��ฝนี้จะไมี ต่ก ข้ณ์ะนี้��อ$ณ์ห้ภ�มี�คงที่�� ดังนี้�นี้ถ�าฝนี้ต่กแล�วห้มีายความีว าความีดันี้ไมี คงที่��

ว'ธ)พ'สจน� ก�าห้นี้ดั A แที่นี้ อ$ณ์ห้ภ�มี�คงที่�� B แที่นี้ ความีดันี้คงที่�� C แที่นี้ ฝนี้ต่ก แที่นี้ประโยคดั�วย propositional logic

Premise : ถ�าอ$ณ์ห้ภ�มี�และความีดันี้คงที่��ฝนี้จะไมี ต่ก (A B) C Premise : ข้ณ์ะนี้��อ$ณ์ห้ภ�มี�คงที่�� A Conclusion : ถ�าฝนี้ต่กแล�วห้มีายความีว าความีดันี้ไมี คงที่�� C B

ต�วอย%าง (2)

ข้�อสร$ปค'อ C B1. (A B) C Premise

2. A Premise

3. (C B) Assumption

4. (A B) C 1 Impl

5. A B C 4 DM

6. B C 2,5 DS

7. C B 6 Comm

8. C B 7 Impl

9. (C B) C B 3,8 Conj

10. False 9 IP

แบบฝึ;กห�ด (ท�าส%ง)

จงพื่�ส�จนี้- logically equivalent ข้อง (A C) (B C) (C A) และ (B C) (A C)

จากประโยคร�ปภาพื่มี�อย� 2 ประเภที่ค'อแบบกลมีและแบบส��เห้ล��ยมี ร�ปภาพื่จะเป นี้ภาพื่ส�ห้ร'อภาพื่ข้าวดั�า สมีช้ายเจอร�ปภาพื่เมี'�อวานี้นี้�� ถ�าร�ปภาพื่เป นี้แบบส��เห้ล��ยมีแล�วจะเป นี้ภาพื่ข้าวดั�า ถ�าร�ปภาพื่เป นี้แบบกลมีจะเป นี้ภาพื่ดั�จ�ต่อลแบบมี�ส� ถ�าร�ปภาพื่เป นี้ดั�จ�ต่อลห้ร'อแบบข้าวดั�าแล�วมีนี้ค'อร�ปคนี้ ถ�าเป นี้ร�ปภาพื่คนี้แล�วมีนี้ค'อภาพื่ข้องเพื่'�อนี้

ก�าหนดSymbol

ค์วามหมาย Symbol

ค์วามหมาย Symbol

ค์วามหมาย

A ร�ปภาพื่เป นี้ภาพื่ส�

B ร�ปภาพื่เป นี้ภาพื่ข้าวดั�า

C ร�ปภาพื่แบบส��เห้ล�ยมี

D ร�ปภาพื่แบบกลมี

E ร�ปภาพื่ดั�จ�ต่อล F ร�ปภาพื่คนี้

G ร�ปภาพื่เพื่'�อนี้

แบบฝึ;กห�ด (ท�าส%ง)

จงเปล��ยนี้ประโยคต่ อไปนี้��ให้�อย� ในี้ร�ปข้อง Propositional Logic ร�ปภาพื่มี�อย� 2 ประเภที่ค'อแบบกลมีและแบบส��เห้ล��ยมี ร�ปภาพื่จะเป นี้ภาพื่ส�ห้ร'อภาพื่ข้าวดั�า ถ�าร�ปภาพื่เป นี้แบบส��เห้ล��ยมีแล�วจะเป นี้ภาพื่ข้าวดั�า ถ�าร�ปภาพื่เป นี้แบบกลมีจะเป นี้ภาพื่ดั�จ�ต่อลแบบมี�ส� ถ�าร�ปภาพื่เป นี้ดั�จ�ต่อลห้ร'อแบบข้าวดั�าแล�วมีนี้ค'อร�ปคนี้ ถ�าเป นี้ร�ปภาพื่คนี้แล�วมีนี้ค'อภาพื่ข้องเพื่'�อนี้

จงพื่�ส�จนี้-ว า ภาพื่ที่��สมีช้ายเจอเมี'�อวานี้ค'อภาพื่ข้องเพื่'�อนี้ดั�วยว�ธี� Indirect Proof