Knowledge Representation and PROPOSITIONAL LOGIC Intelligent Agent

� Intelligent Agent ควรมความสามารถดงตอไปน�� Perceiving

� สามารถรบขอมลจากส�งแวดลอมได

� Knowledge Representation � สามารถนาขอมลท�ไดมาแทนเปนความร

� Reasoning � ถารและใหเหตผลได

� Acting� เลอกส�งท�ควรจะทา

1

องคความร (Knowledge)� องคความร เกดจากการรวบรวมขอมลเพ�อนามาแปลงสภาพกอนนาไปใชประโยชน

� องคความรสามารถนามาใชใน AI เพ�อชวยในการแกปญหาได � จาเปนตองใชเคร�องมอหรอวธการบางอยางเพ�อจะนาองคความรท�มอยหลายรปแบบมา

เกบใน ฐานองคความร (Knowledge based (KB))

� กระบวนการท�ทาให AI สามารถเขาใจถงองคความรได เรยกวา การแทนองคความร (Knowledge representation)

� ศาสตรสาคญท�ใชในการแทนองคความรคอ ตรรกศาสตร (Logic)

2

องคความร (2)� องคความรเปนสวนสาคญใน AI สามารถนาไปใชเปนขอมลเพ�อคดหรอ

ตดสนใจ ซ�งมคาสาคญดงน�� ขอมล (Data) คอ ขอเทจจรงเก�ยวกบส�งตางๆ ท�ยงไมถกประมวลผลซ�งอาจเกบอย

ในรปของตวเลข ขอความ หรอส�ออ�นๆ ขอมลท�ดควรจะถกตอง สมบรณ และนาเช�อถอ

� สารสนเทศ (Information) คอ ขอมลท�ผานการประมวลผลและถกจดการให มความถกตองและทนสมย ขอมลเหลาน�จะอยเกบใหเหมาะสมกบงาน

� องคความร (Knowledge) คอ สารสนเทศท�ผานการคดเลอก เพ�อนามาใชในการแกปญหาในสถานการณตางๆ ตามความตองการไดอยางมประสทธภาพ

ขอมล การประมวลผล สารสนเทศ

กระบวนการคดเลอกองคความร

นาไปใชแกปญหาตางๆ

3

การแทนองคความร �การแทนองคความร หมายถง

� กระบวนการจดรปแบบองคความรดวยวธการเขยนโปรแกรมและจดเกบลงในหนวยความจาของคอมพวเตอร

� จากน�น นาไปสรปความแลวจดเกบไวในฐานองคความรเพ�อใชในการแกปญหาตอไป

� วธการแทนองคความรแบงได 5 ประเภท� การแทนองคความรเชงตรรกะ (Logical Knowledge Representation)

� การแทนองคความรเชงระเบยบวธ (Procedural Knowledge Representation)

� การแทนองคความรเชงเครอขาย (Network Knowledge Representation)

� การแทนองคความรเชงโครงสราง (Structured Knowledge Representation)

� การแทนองคความรเชงผสมผสาน (Multiple Knowledge Representation)

4

ความรท 'วไปเก'ยวกบตรรกศาสตร � ตรรกะ (Logic) คอ ศาสตรท�วาดวยการหาเหตและผลดวยวธการตางๆ อยางมรปแบบและระบบท�

ชดเจน โดยการพสจนจากขอเทจจรงท�กาหนด

� ตรรกศาสตรแบงออกเปน 2 ประเภท� ตรรกศาสตรแบบด*งเดม เปนตรรกศาสตรแรกเร�มท�พฒนามาจากหลกการและกระบวนการทางเหตผลของ

อรสโตเตล� ตรรกนรนย (Deductive Logic) เปนการหาความจรงจากสวนมากไปหาสวนนอย

� ตรรกอปนย (Inductive Logic) เปนการหาความจรงจากสวนนอยไปหาสวนมาก

� ตรรกสญลกษณ (Symbolic Logic) เปนตรรกศาสตรท�ใชวธการทางคณตศาสตรเขามาพสจนขอเทจจรง มการใชสญลกษณแทนการใชเวลาท�มความกากวม

5

ภาษาตรรกศาสตร (Syntax และ Semantics)� Syntax (ไวยกรณ) คอการกาหนดรปแบบของภาษา

� ตวอยาง syntax ของคณตศาสตร � X + Y = 4 √� X2y+ = X

� Semantics ความหมายของประโยคน�นๆ� ในทางตรรกศาสตร Semantics จะบอกถงความเปนจรงของประโยค� ปกต semantics จะมคาแค true หรอ false

� X + Y = 4 เปนจรงเม�อ X = 2 และ Y = 2

เปนเทจเม�อ X = 1 และ Y = 1

6

ตรรกสญลกษณ� ตรรกสญลกษณ (Symbolic logic) แบงได 2 ประเภท

� ตรรกะท'วาดวยประพจน (Propositional Logic) เปนตรรกศาสตรท�วาดวยการทดสอบประโยคหรอเน�อหา ท�เรยกวา ประพจน เพ�อหาขอเทจจรงหรอความสมเหตสมผลของประพจนลกษณะตางๆ ท �งท�เปนประพจนเชงเด�ยว และ ประพจนเชงซอน

� ตรรกะท'วาดวยภาคขยาย (Predicate Logic) เปนตรรกศาสตรท�ทดสอบประโยคกลาวอางท�เก�ยวของกบประโยคท �วไป และ ประพจนเชงเด�ยว เพ�อหาความสมเหตสมผลของประโยคกลาวอาง

7

ประพจน� ประพจน (Proposition) เปนสวนท�ใชพสจน เพ�อบงช�ความจรงตามหลก

เหตผล ม 2 ชนด คอ� ประพจนเชงเด�ยว (Single Proposition)

� ประพจนเชงซอน (Compound Proposition)

8

ประพจนเชงเด'ยว �ประโยคหรอเน�อหาทางตรรกะท�มเพยงใจความเดยว

�มประธานและภาคแสดงเพยงตวเดยว และไมสามารถแบงยอยเน�อหาไดอก

�ประพจนเชงเด'ยวแบบยนยน แสดงถงขอความท �งหมดท�สามารถยนยนได ไมมขอความแสดงการปฏเสธ� นกเรยนทกๆคน อยากเรยนจบ

�ประพจนเชงเด'ยวแบบปฏเสธ แสดงถงขอความท�มคาคดคานหรอปฎเสธ� ไมมนกเรยนคนไหนอยากสอบตก

�ประพจนเชงเด'ยวแบบยนยนบางสวน แสดงขอความยนยนบางสวน� นกเรยนสวนใหญเรยน 4 ปกจบการศกษา

�ประพจนเชงเด'ยวแบบปฎเสธบางสวน แสดงขอความปฎเสธบางสวน� คนไทยสวนใหญไมยากจน

9

ประพจนเชงซอน

�คอการนาเอาประพจนเชงเด�ยวหลายประโยคมารวมกนดวยคาเช�อมประโยค

�ประโยคความรวม เปนประโยคตรรกะท�เกดจากคาเช�อม “และ”, “แต”, “แม”, “เม�อ” ในตรรกะศาสตรจะใชตว AND (∧)

� ฉนชอบกนขาวสวยแตเธอชอบกนขาวเหนยว

�ประโยคความเลอก คอ ประโยคตรรกะท�เกดจากคาเช�อม “หรอ” (∨)

� พรงน� เปนวนพธหรอวนพฤหสบด

�ประโยคมเง'อนไข เปนประโยคตรรกะท�เกดจากคาเช�อม “ถา...แลว” โดยประพจนหน�งจะเปนเง�อนไข อกตวจะเปนผลสรป (⇒)

� ถานกศกษาทาขอสอบไดคะแนนเตมแลวจะไดเกรด A

�ประโยคสมภาค คอ ประโยคตรรกะท�เกดจากคาเช�อม “..กตอเม�อ..” (⇔)

� สมชายเปนคนดกตอเม'อสมชายไมทาช �ว

10

Propositional Logic�ประพจน คอ ประโยคท�มเหตผลและพจารณาไดวาเปนจรงหรอเทจ

�มกฎ 3 ขอ�ประพจนตองเปนจรงหรอเทจเทาน�น

�กรงเทพเปนเมองหลวงของประเทศไทย (ประพจนเปนจรง)�ประพจนจะเปนจรงหรอเทจพรอมกนไมได

�กรงเทพเปนเมองหลวงของประเทศไทยต�งอยท�ภาคเหนอ

�ประพจนเชงซอน จะหาคาความจรงโดยรวม

�ประเทศไทยอยในทวปเอเซยมกรงเทพเปนเมองหลวง

11

Propositional Logic : Syntax� Syntax

� Atomic sentences : ประกอบไปดวย 1 proposition symbol

� แตละ proposition symbol จะใหคา จรง หรอ เทจ

� Symbol จะใชภาษาองกฤษตวพมพใหญ เชน P, Q, R, etc.. แลวแตจะต �ง

� ม 2 symbol ท�สงวนคาความเปนจรงไว คอ� True จะเปนจรงเสมอ

� False จะเปนเทจเสมอ

� Complex sentences : เกดจากการนา sentences มาเช�อมตอกนซ�งมตวเช�อมอย 5 ตว

� Not

� And

� Or

� Implies

� If and only if

¬

∧

∨

⇒

⇔

12

Propositional Logic BNF� BNF (Backus-Naur Form) เปนรปแบบการเขยนโครงสราง

ไวยกรณของภาษา

13

ตวอยาง

Q)(P ∧

)( SentenceSentence ∧

)( enceAtomicSentenceAmoticSent ∧

)( SymbolSymbol ∧

tenceComplexSenSentence

) Q)P(( ∨∧¬ ไมเปน Sentence

14

Propositional Logic : Semantics

� Semantics ของ Propositional Logic มเพ�อใชกาหนดคาความเปนจรงใหกบ sentence

� สาหรบ Atomic Sentence

� True คอจรงเสมอ

� False คอเทจเสมอ

� Symbol ข�นอยกบคาความจรงท�กาหนด

� สาหรบ Complex Sentence ใหถอตามตารางความจรง (Truth table)

P Q ¬¬¬¬P P ∧∧∧∧ Q P ∨∨∨∨ Q P ⇒⇒⇒⇒ Q P ⇔⇔⇔⇔ Q

True True False True True True True

True False False False True False False

False True True False True True False

False False True False False True True

15

การใชงาน Propositional Logic �ถาฝนตกแลวจะอยบาน กาหนด

� P แทน ฝนตก

� Q แทน อยบาน

� รปประโยคจะเปน P ⇒ Q

�ถา P เปนจรง คอฝนตก ประโยคจะใหคาเปนจรง เม�อ Q เปนจรง กคอ อยบาน

�แบบฝกหด: จงเปล�ยนประโยคตอไปน�ใหอยในรปของ Propositional

Logic

� ถากนมากแลวจะอวน

� นกศกษาจะสอบผานกตอเม�อต �งใจเรยน

� กาแฟและน�าอดลมมคาเฟอน

16

คานยามเก'ยวกบคาความเปนจรง (1)� Tautology : เปนประโยคท�ใหความเปนจรงในทกกรณ

R ⇒ ((P ⇒ Q) ∨ ¬(R ⇒ Q))P Q R P ⇒⇒⇒⇒ Q R ⇒⇒⇒⇒ Q ¬¬¬¬(R ⇒⇒⇒⇒ Q) (P ⇒⇒⇒⇒ Q) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬(R ⇒⇒⇒⇒ Q) R ⇒⇒⇒⇒ ((P ⇒⇒⇒⇒ Q) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬(R ⇒⇒⇒⇒ Q))

T T T T T F T T

T T F T T F T T

T F T F F T T T

T F F F T F F T

F T T T T F T T

F T F T T F T T

F F T T F T T T

F F F T T F T T

17

คานยามเก'ยวกบคาความเปนจรง (2)�Self-contradiction : เปนประโยคท�ใหความเปนเทจในทกกรณ

¬(P ⇒ Q) ∧ ¬(Q ⇒ P)

� Contingent : เปนประโยคท�สามารถมท �งคาจรงและเทจ

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q ¬¬¬¬(P ⇒⇒⇒⇒ Q) Q ⇒⇒⇒⇒ P ¬¬¬¬(Q ⇒⇒⇒⇒ P) ¬¬¬¬(P ⇒⇒⇒⇒ Q) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(Q ⇒⇒⇒⇒ P)

T T T F T F F

T F F T T F F

F T T F F T F

F F T F T F F

18

คานยามเก'ยวกบคาความเปนจรง (3)� เม�อมประโยคมากกวา 1 ประโยค จะเรยกวาประโยคเหลาน�น

� Consistent กนกตอเม�อประโยคเหลาน�นมโอกาสท�จะเปนจรงในกรณเดยวกน

� ไมเชนน�นจะเรยกวาประโยคเหลาน�น Inconsistent

� ตวอยาง 1 : ประโยค 2 ประโยคคอ (P ∨ Q) และ ¬(P ⇔ ¬Q)

� ตวอยาง 2 : ประโยค 2 ประโยค คอ (P ⇒ Q) ∧ P และ ¬(Q ∨ ¬P)

P Q P ∨∨∨∨ Q ¬¬¬¬Q P ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬Q ¬¬¬¬(P ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬Q)

T T T F F T

T F T T T F

F T T F T F

F F F T F T

consistent

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q (P ⇒⇒⇒⇒ Q) ∧∧∧∧ P ¬¬¬¬P Q ∨∨∨∨ ¬¬¬¬P ¬¬¬¬(Q ∨∨∨∨ ¬¬¬¬P)

T T T T F T F

T F F F F F T

F T T F T T F

F F T F T T F

19

คานยามเก'ยวกบคาความเปนจรง (4)� 2 ประโยคจะถอวา Logically equivalent กตอเม�อคาความเปน

จรงของท*ง 2 ประโยคเหมอนกนในทกกรณ

¬P ⇒ ¬Q และ ¬(Q ∧ ¬P)

P Q ¬¬¬¬P ¬¬¬¬Q ¬¬¬¬P ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬Q Q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬P ¬¬¬¬(Q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬P)

T T F F T F T

T F F T T F T

F T T F F T F

F F T T T F T

20

Rules of Replacementช'อกฎ Logically equivalent

Double negation (DN) ¬ ¬P ≡ P

Commutativity (Com) P ∨ Q ≡ Q ∨ PP ∧ Q ≡ Q ∧ P

Associativity (Assoc) (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

(P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R)

Tautology (Taut) P ∨ P ≡ P, P ∧ P ≡ P

Demorgan’s Law (DM) ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q

¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q

Transposition (Trans) P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P

Material Implication (Impl)

P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q

Exportation (Exp) P ⇒ (Q ⇒ R) ≡ ( P ∧ Q )⇒ R

Distribution (Dist) P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

Material Equivalent (Equiv)

P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)

≡ (P ∧ Q) ∨ (¬P∧ ¬Q)

ประโยคใน propositional logic สามารถแทนท�กนได ถาประโยคท �ง 2 น�น logically equivalent

21

ตวอยางการพสจนดวยตารางความเปนจรงจงพสจนการเทากนของสมการตอไปน� ¬(P ⇒ (Q ∧ R)) ≡ ¬[(P ⇒ Q) ∧ ( P ⇒ R)]

P Q R (Q ∧∧∧∧ R) P ⇒⇒⇒⇒ (Q ∧∧∧∧ R) ¬¬¬¬(P ⇒⇒⇒⇒ (Q ∧∧∧∧ R)) (P ⇒⇒⇒⇒ Q) (P ⇒⇒⇒⇒ R) (P ⇒⇒⇒⇒ Q) ∧∧∧∧( P ⇒⇒⇒⇒ R) ¬¬¬¬[(P ⇒⇒⇒⇒ Q) ∧∧∧∧ ( P ⇒⇒⇒⇒ R)]

T T T T T F T T T F

T T F F F T T F F T

T F T F F T F T F T

T F F F F T F F F T

F T T T T F T T T F

F T F F T F T T T F

F F T F T F T T T F

F F F F T F T T T F

22

ตวอยางการพสจนดวยกฎจงพสจนการเทากนของสมการตอไปน� ¬(P ⇒ (Q ∧ R)) ≡ ¬[(P ⇒ Q) ∧ ( P ⇒ R)]

¬(P ⇒ (Q ∧ R)) ≡ ¬(¬P ∨ (Q ∧ R)) Impl

≡ P ∧ ¬(Q ∧ R) DM

≡ P ∧ (¬Q ∨ ¬ R) DM

≡ (P ∧ ¬Q) ∨ (P ∧ ¬ R) Dist

≡ (¬ (¬ P) ∧ ¬Q) ∨ (¬ (¬ P) ∧ ¬ R) DN

≡ ¬ (¬ P ∨ Q) ∨ ¬ (¬ P ∨ R) DM

≡ ¬ (¬ P ∨ Q) ∨ ¬ (¬ P ∨ R) DM

≡ ¬ [(¬ P ∨ Q) ∧ (¬ P ∨ R)] DM

≡ ¬ [(P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ R)] Impl

แบบฝกหดดวยการใชตารางความเปนจรงและดวยการใชกฎ� (((A ⇒ B) ⇒ B) ⇒ B) ≡ A ⇒ B� ¬[(P ⇒ Q) ∧ ¬R] ≡ ¬P ∨ Q ⇒ R

23

คานยามเก'ยวกบคาความเปนจรง (5)� Logically consequence : B จะถกเรยกวา logically

consequence ของ A1,A2,..,An กตอเม�อ ไมมคาความเปนจรงใดท�ทาให A1,A2,.., An เปนจรง แตไมทาให B เปนจรง

� ขอโตแยงจะ Logically valid กตอเม�อขอสรปน�น logically consequence กบสมมตฐาน ถาสมมตฐานมขอเดยว(A) จะเรยกได วา A logically imply B

� ตวอยาง : ขอโตแยงมสมมตฐาน 2 ประโยค P ⇒ Q และ ¬Q ⇒ P และขอสรปคอ Q

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q ¬¬¬¬Q ¬¬¬¬Q ⇒⇒⇒⇒ P

T T T F T

T F F T T

F T T F T

F F T T F

24

Deduction: Rules of Inference and Replacement

� การแกไขปญหาของ Propositional Logic โดยใชตารางความเปนจรง (truth table) ตามทฤษฎสามารถแกไขไดทกปญหา

� แตขนาดของตารางความเปนจรงจะใหญข�นมาก ตามจานวนของตวแปรของประโยคน�นๆ

� ตวอยาง ถามประโยค Propositional Logic มตวแปร 10 ตว ตารางความเปนจรงจะตองมท �งหมด 210 = 1024 แถว

� ดงน�นจงมวธแกปญหาโดยเอาทฤษฎตางๆ แทนการใชตารางความเปนจรง

� Natural Deduction

� Direct Deduction

� Indirect Deduction

25

Natural Deduction (การนรนย)

� วธ natural deduction พยายามท�จะลดการคดคาความเปนจรงของแตกรณโดยหาคาความเปนจรงทาตามข �นตอนทละข �นตอนไปเร�อยๆ ตามความรท�ม

� ตวอยาง : ขอกลาวอางท �วไป

ในสถานท�เกดเหตมขนแมวหรอขนสนขตกอย ถามขนสนขตกอยในท�เกดเหตเจาหนาท�สมชายจะเปนโรคภมแพ ถาเปนขนแมวท�ตกอยในท�เกดเหต แลวสมปองเปนฆาตกร แตเน�องดวยเจาหนาท�สมชายไมไดเปนโรคภมแพดงน�นสมปองคอฆาตกร

1. มขนแมวตกอยในท�เกดเหต หรอ มขนสนขตกอยในท�เกดเหต (สมมตฐาน)

2. ถามขนสนขตกในท�เกดเหต แลว เจาหนาท�สมขายจะเปนโรคภมแพ (สมมตฐาน)

3. ถามขนแมวตกอยในท�เกดหต แลว สมปองเปนฆาตกร (สมมตฐาน)

4. เจาหนาท�สมชาย ไมไดเปนโรคภมแพ (สมมตฐาน)

5. ไมมขนสนขตกอยในท�เกดเหต (จากขอ 2 และ ขอ 4)

6. มขนแมวตกอยในท�เกดเหต (จากขอ 1 และ ขอ 5)

7. สมปองคอฆาตกร (จากขอ 3 และขอ 6)

26

Rules of Inference (กฎของการอนมาน)� การอนมานดวยวธการใหเหตผลจะตองมการตรวจสอบความสมเหตสมผล กฎของ

การอนมานเชงตรรกศาสตร ไดแก� Modus Ponens (MP)� Modus Tollens (MT)� Disjunctive Syllogism (DS)� Addition (Add)� Simplification (Simp)� Conjunction (Conj)� Hypothetical Syllogism (HS)� Constructive dilemma (CD)� Absorption (Abs)

27

Modus Ponens (MP)� Modus Ponens (⇒-elimination)

P ⇒ QPQ

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q

T T T

T F F

F T T

F F T

28

Modus Tollens (MT)� Modus Tollens (⇒-elimination)

P ⇒ Q¬Q¬P

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q ¬¬¬¬Q ¬¬¬¬P

T T T F F

T F F T F

F T T F T

F F T T T

29

Disjunctive syllogism (DS)� Disjunctive Syllogism (∨-elimination)

หรอP ∨ Q¬P

Q

P Q P ∨∨∨∨ Q ¬¬¬¬P

T T T F

T F T F

F T T T

F F F T

P ∨ Q¬Q

P

P Q P ∨∨∨∨ Q ¬¬¬¬Q

T T T F

T F T T

F T T F

F F F T

30

Addition (Add)� Addition (∨-introduction)

หรอPP ∨ Q

P Q P ∨∨∨∨ Q

T T T

T F T

F T T

F F F

P Q P ∨∨∨∨ Q

T T T

T F T

F T T

F F F

QP ∨ Q

31

Simplification (Simp)� Simplification (∧-elimination)

หรอP ∧ QP

P Q P ∧∧∧∧ Q

T T T

T F F

F T F

F F F

P Q P ∧∧∧∧ Q

T T T

T F F

F T F

F F F

P ∧ QQ

32

Conjunction (Conj)� Conjunction (∧-introduction)

PQ

P ∧ Q

P Q P ∧∧∧∧ Q

T T T

T F F

F T F

F F F

33

Hypothetical syllogism (HS)� Hypothetical syllogism (chain reasoning, chain

deduction)

P Q R P ⇒⇒⇒⇒ Q Q ⇒⇒⇒⇒ R P ⇒⇒⇒⇒ R

T T T T T T

T T F T F F

T F T F T T

T F F F T F

F T T T T T

F T F T F T

F F T T T T

F F F T T T

P ⇒ QQ ⇒ RP ⇒ R

34

Constructive Dilemma (CD)� Constructive Dilemma

P Q R S P ⇒⇒⇒⇒ Q R ⇒⇒⇒⇒ S (P ⇒⇒⇒⇒ Q) ∧∧∧∧ (R ⇒⇒⇒⇒ S) P ∨∨∨∨ R Q ∨∨∨∨ S

T T T T T T T T T

T T T F T F F T T

T T F T T T T T T

T T F F T T T T T

T F T T F T F T T

T F T F F F F T F

T F F T F T F T T

T F F F F T F T F

F T T T T T T T T

F T T F T F F T T

F T F T T T T F T

F T F F T T T F T

F F T T T T T T T

F F T F T F F T F

F F F T T T T F T

F F F F T T T F F

(P ⇒ Q) ∧ (R ⇒ S)

P ∨ RQ ∨ S

35

Absorption (Abs)� Absorption

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q P ∧∧∧∧ Q P ⇒⇒⇒⇒ (P ∧∧∧∧ Q)

T T T T T

T F F F F

F T T F T

F F T F T

(P ⇒ Q)

P ⇒ (P ∧ Q)

36

Direct Deduction� Direct deduction ของขอสรปจากเซตของสมมตฐานประกอบไปดวย

ลาดบของประโยค� สมมตฐาน (premise)

� ประโยคท�มาจากกฎของการอนมาน (rules of inference)

� ประโยคท�มาจากกฎของการแทนท� (rules of replacement)

� ตวอยางม สมมตฐานคอ C ∨ D, C ⇒ O, D ⇒ M, และ ¬O มขอสรป M จะพสจนวาถกตอง

1. C ∨ D premise2. C ⇒ O premise3. D ⇒ M premise4. ¬O premise5. ¬C 2,4 MT6. D 1,5 DS7. M 3,6 MP

1. C ∨ D premise2. C ⇒ O premise3. D ⇒ M premise4. ¬O premise5. (C ⇒ O) ∧ (D ⇒ M) 2,3 Conj

6. O ∨ M 1,5 CD7. M 4,6 DS

37

ตวอยาง Direct Deduction� พสจน T ⇒ U จากสมมตฐาน P ⇔ Q , (S ∨ T) ⇒ Q, และ ¬P ∨ (¬T ∧ R)

1. P ⇔ Q premise2. (S ∨ T) ⇒ Q premise3. ¬P ∨ (¬T ∧ R) premise4. (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) 1 Equiv5. (Q ⇒ P) 4 Simp6. (S ∨ T) ⇒ P 2,4 HS7. P ⇒ (¬T ∧ R) 3 Impl8. (S ∨ T) ⇒ (¬T ∧ R) 6,7 HS9. ¬(S ∨ T) ∨ (¬T ∧ R) 8 Impl10. (¬S ∧ ¬T) ∨ (¬T ∧ R) 9 DM11. [(¬S ∧ ¬T) ∨ ¬T] ∧ [(¬S ∧ ¬T) ∨ R) 10 Dist

12. (¬S ∧ ¬T) ∨ ¬T 11 Simp13. (¬S ∨ ¬T) ∧ (¬T ∨ ¬T) 12 Dist14. ¬T ∨ ¬T 13 Simp15. ¬T 14 Taut16. ¬T ∨ U 15 Add17. T ⇒ U 16 Impl

38

Indirect Deduction� Indirect deduction ม 2 วธ

� Conditional proof : สมมตคาความเปนจรงให 1 ตวแปรเพ�อแกปญหา

� Indirect proof : กาหนดขอสรปเปนเทจ แลวถามพสจนหกลางได จะทาใหขอสรปน�นเปนจรง

�ตวอยาง : มสมมตฐานคอ P ⇒ Q และ P ⇒ (Q ⇒ ¬P) มขอสรปคอ ¬P จงพสจนวาเปนจรงหรอไม (ใชวธ Indirect

proof)1. P ⇒ Q premise

2. P ⇒ (Q ⇒ ¬P) premise

3. P assumption

4. Q 1,3 MP

5. (Q ⇒ ¬P) 2,3 MP

6. ¬P 5,4 MP

7. P ∧ ¬P 3,6 Conj

8. False 7 IP

ขดกบ assumptionเพราะฉะน�น ¬P เปนจรง

39

ตวอยาง (1)

�จงพสจนวาคากลาวตอไปน�ถกตอง

ถาอณหภมและความดนคงท�ฝนจะไมตก ขณะน�อณหภมคงท� ดงน�นถาฝนตกแลวหมายความวาความดนไมคงท�

�วธพสจน กาหนด�A แทน อณหภมคงท�

�B แทน ความดนคงท�

�C แทน ฝนตก

�แทนประโยคดวย propositional logic� Premise : ถาอณหภมและความดนคงท�ฝนจะไมตก (A ∧ B) ⇒ ¬C

� Premise : ขณะน�อณหภมคงท� A

� Conclusion : ถาฝนตกแลวหมายความวาความดนไมคงท� C ⇒ ¬B

40

ตวอยาง (2)ขอสรปคอ C ⇒ ¬B

1. (A ∧ B) ⇒ ¬C Premise

2. A Premise

3. ¬(C ⇒ ¬B) Assumption

4. ¬(A ∧ B) ∨ ¬C 1 Impl

5. ¬A ∨ ¬B ∨ ¬C 4 DM

6. ¬B ∨ ¬C 2,5 DS

7. ¬C ∨ ¬B 6 Comm

8. C ⇒ ¬B 7 Impl

9. ¬(C ⇒ ¬B) ∧ C ⇒ ¬B 3,8 Conj

10. False 9 IP

41

Predicate calculus First order Logicขอจากดของ Propositional Logic

� ทบทวน� Propositional Logic เปนการแทนประโยคดวยสญลกษณ เชน

� สมชายเปนคน (P)� สมปองเปนคน (Q)� สมหญงเปนคน (R)

� จะเหนไดวาจะตองใชสญลกษณ 1 ตวเพ�อแทนประโยค 1 ประโยคไมสามารถจะเขาถงคาท�มคณลกษณเหมอนกนเฉพาะตวได

� Predicate calculus (Predicate Logic) สามารถท�จะทาให ประโยคท�มคณลกษณะเหมอนกนเขาถงคาเฉพาะแตละตวได � Human(สมชาย), Human(สมปอง), Human(สมหญง)� Human( ) เรยกวา Predicate

42

Predicate Logic� บางคร �งเรยกวา Predicate Calculus

� เปนกระบวนการตรรกะท�มความซบซอนกวา Propositional Logic

� แตมการอนมานเพ�อใหไดคาความจรงใหมจากคาความจรงท�มอยแลว

� องคประกอบพ�นฐานของ Predicate Logic จะประกอบดวย� ตวอกษร (Alphabet)

� สวนแสดงความสมพนธ (Predicate)

� ตวเช�อม (Connective)

� ตวบงปรมาณ (Quantifier)

43

Predicate Logic : ตวอกษร� ตวอกษร เปนองคประกอบท�เปนสวนของตวอกษรท�ใชในกระบวนการของ

Predicate Logic ประกอบดวย� คาคงท' (Constant) เปนคาท�ใชบอกถงความหมายท�ชดเจนแนนอน เชน

� GARFIELD แทนความหมายของแมว� SURASAK แทนความหมายของคน เพศชาย

� ตวแปร (Variable) คอ การระบถงความหมายในภาพรวม ไมเฉพาะเจาะจง� cat หมายถงสตวท�เปนแมว แตไมไดระบถงพนธ� father หมายถงพอคน แตไมไดระบวาพอใคร

� ฟงกชน (Function) คอสวนท�ใชในการบงบอกโดเมนขององคประกอบ� cat(GARFIELD) เปนฟงกชนสาหรบหาวา GARFIELD เปนแมวพนธอะไร� father(SURASAK) เปนฟงกชนสาหรบหาวาพอของ SURASAK คอใคร

44

Predicate Logic : สวนแสดงความสมพนธ � เปนสวนท�ใชแสดงความสมพนธระหวางองคประกอบ ซ�งจะชวยขยายความเขาใจใน

คาท�แสดงวามความสมพนธกนอยางไร เชน

� MAN(SURASAK) SURASAK เปนผชาย

� LIKES(BOB, PUI) BOB ชอบ PUI

� OLDER(SURASAK, father(CHAI)) SURASAK แกกวาพอของ CHAI

45

Predicate Logic : ตวเช'อม� ตวเช�อมใชในการเช�อมระหวางสวนแสดงความสมพนธ (Predicate) เขาดวยกน ม

เคร�องหมายตางๆ ดงน�� นเสธ (¬¬¬¬) ทาใหกลบคาความจรง� และ (∧∧∧∧) เชน บอบหลอและนสยด เขยนไดเปน

� HANDSOME(BOB) ∧ NICE(BOB)� หรอ (∨∨∨∨) เชน กรแกกวาบอบหรอสม

� OLDER(KORN, BOB) ∨ OLDER(KORN, SOM)� ถา ... แลว (⇒⇒⇒⇒) เชน ถาบอบดาแลวบอบจะหลอ

� BLACK(BOB) ⇒ HANDSOME(BOB)� กตอเม'อ (⇔⇔⇔⇔) เชน บอบจะบวชกตอเม�ออาย 25 ป

� MONK(BOB) ⇔ AGE25(BOB)

46

Predicate Logic : ตวบงปรมาณ� เปน คาท�ใชช�วดปรมาณของประโยค เพ�อใชในการบงช�ถงจานวนหรอขนาด ใน

Predicate Logic ทาใหเกด First Order Logic มอย 2 ประเภทคอ� ตวบงปรมาณสากล(Universal Quantifier) บางคร�งเรยก “For

All” จะใชเคร�องหมาย ∀∀∀∀ จะเปนจรงเม�อทกคาเปนจรง� คนไทยจะเลอกต �งไดตอนอาย 18 ป� ∀x(THAI18(x) ⇒ VOTE(x))

� ตวบงปรมาณบางสวน(Existential Quantifier) บางคร�งเรยก “For Some” จะใชเคร�องหมาย ∃∃∃∃ จะเปนจรงถาคาบางคาเปนจรง� คนบางคนเลน facebook และ twitter� ∃x(FACEBOOK(x) ∧ TWITTER(x))

47

คาควรระวงในการใช Quantifier� ปกตการใช ∀∀∀∀ ประโยคหลกจะเช�อมกนดวย ⇒ ไมใช ∧

� ตวอยาง : นกศกษาทกคนท�เรยน UBU จะเกง�∀x( At(x, UBU) ∧ smart(x) )

� ผดเพราะจะหมายความวา “ทกคนท�เรยน UBU และ ทกคนเกง”�∀x( At(x, UBU) ⇒ smart(x) ) ถก

� ปกตการใช ∃ ประโยคหลกจะเช�อมกนดวย ∧ ไมใช ⇒ � ตวอยาง : นกศกษาบางคนท�เรยน UBU จะเกง

�∃x( At(x, UBU) ⇒ smart(x) ) � ผดเพราะประโยคสามารถเปนจรงได ถงคนท�เกงจะไมเรยน ECT

�∃x( At(x, UBU) ∧ smart(x) ) ถก

48

ความสมพนธของ ∀ ∀ ∀ ∀ และ ∃∃∃∃� ∀x ¬P(x) ≡ ¬∃x P(x)

� ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)

� ∀x P(x) ≡ ¬∃x ¬P(x)

� ∃x P(x) ≡ ¬∀x ¬P(x)

ตวอยาง :ทกคนชอบไอศครม

∀x Loves(x, ICE-CREAM)

สามารถเขยนไดอกอยาง

¬∃x ¬ Loves(x, ICE-CREAM)

49

Nested Quantifier� บางคร�งความตองการท�จะแสดงประโยคท�ซบซอนมากข�น จะมการใชตวบงปรมาณหลายตว

เชน� พ�นองคอญาต ∀x ∀y Brother(x,y) ⇒ Sibling(x,y)

� ∀x ∀y ≡ ∀y ∀x สามารถเขยน ∀x,y ไดเพ�อใหดงายข�น� ∃x ∃y ≡ ∃y ∃x สามารถเขยน ∃x,y ไดเพ�อใหดงายข�น� ∃x ∀y ไมเหมอนกบ ∀y ∃x

� ∃x ∀y Loves(x,y) � มบางคนท�รกทกๆคนในโลก

� ∀y ∃x Loves(x,y)

� ทกๆคนในโลกน�ถกใครบางคนรก

50

Normal Form� เพ�อใหคอมพวเตอรสามารถทาการอนมานไดงายข�น ควรจะเปล�ยนประโยคตางๆใหอยในรปของ

“Normal Form”� ทกประโยคใน FOL สามารถท�จะแปลงใหอยในรปของ Normal Form ได

�Conjunctive normal form (CNF)

� ทกประโยคจะเกดจากเช�อมตอกนของประโยคยอยดวย conjunction (∧) และในประโยคยอยจะประกอบดวยคาท�เช�อมตอกนดวย disjunction (∨)

�(P(x) ∨ R(x,y)) ∧∧∧∧ (¬S(y) ∨ R(y,z)) ∧∧∧∧ T(y)

51

การอนมานใน First Order Logic (FOL)

� เราไมสามารถใช Truth table เพ�อแกไขปญหาของ FOL เน�องจากใน FOL มตวแปร(variables) ทาใหตาราง Truth table สามารถมคาความเปนไปไดเปน infinity

�Robinson (1965) เสนอวธแกไขปญหาการพสจนคาใน FOL ดวย algorithm ท�ช�อวา resolution refutation (ซ�งสามารถใชกบ propositional logic กได)

�Resolution� (A ∨∨∨∨ B) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬A ∨∨∨∨ C) อนมานไดเปน (A ∨∨∨∨ C)� (¬¬¬¬A ⇒⇒⇒⇒ B) ∧∧∧∧ (B ⇒⇒⇒⇒ C) อนมานไดเปน (¬¬¬¬A ⇒⇒⇒⇒ C)

52

Resolution Refutation� การพสจนประโยค p สามารถอนมานจากเซตของประโยคใน KB

� เปล�ยน ¬¬¬¬p และประโยคใน KB ใหอยในรปของ CNF

� ทาซ�าจนกระท �งไดประโยควาง� หาประโยคยอย 2 ประโยคท�สามารถทา resolution ไดและยงไมเคยถกใชมากอน� นา 2 ประโยคยอยน�นเขากฎ resolution เพ�งสรางประโยคยอยใหม

� ถาการทางานส�นสดลงดวยประโยควางเปลา(null, false) ถอวาพสจน p ไดไมเชนน�นกคอ p ไมสามารถพสจนได

� ปญหาของ Resolution Refutation กบ FOL

� จะเปล�ยนประโยคใหอยในรป CNF ไดอยางไรเม�อม Quantifier ?

� จะรไดอยางไรวาประโยค 2 ประโยคขดแยงกนในเม�อมตวแปรอย ?

53

การเปล'ยนประโยคใหอยในรป CNF (1)1. กาจดตวเช�อม ⇔⇔⇔⇔ ดวยการใชกฎ Material Equivalent (Equiv)

� P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)

2. กาจดตวเช�อม ⇒⇒⇒⇒ ดวยการใชกฎ Material Implication (Impl)

� P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q

3. นาตว negation (¬¬¬¬) กระจายเขาไปขางในประโยค� ¬ ¬P ≡ P Double negation

� ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q Demorgan

� ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q Demorgan

� ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

� ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)

54

การเปล'ยนประโยคใหอยในรป CNF (2)4. ทา standardize โดยการเปล�ยนช�อตวแปรของแตละประโยคยอยไมใหซ �ากน

� ∀x(P(x)) ∨ ∀x(Q(x)) ≡ ∀x(P(x)) ∨ ∀y(Q(y))

5. เล�อน Quantifier ทกตวมาทางดานซายของประโยคโดยรกษาลาดบไว � ∀x(P(x)) ∨ ∃y(Q(y)) ≡ ∀x∃y(P(x) ∨ Q(y))

6. ใชวธ Skolemization เพ�อกาจด ∃7. ลบ ∀ ออกจากประโยคใหหมด8. ใช Distributive law เปล�ยนใหอยในรปของ CNF

� P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

9. แยกประโยคใหญออกเปนประโยคยอยๆโดยใช ∧ เปนตวแยก10. ทา standardize ตวแปรของแตละประโยคยอยอกรอบหน�ง

55

วธ Skolemization

� เปนวธท�ใชเปล�ยนประโยคท�ม Existential Quantifier(∃∃∃∃) เปนประโยคท�ไมม ∃

� จะทาการกาจด ∃ ดวยการแทนท�ตวแปรของ ∃ ดวย skolemfunction ซ�ง argument ของ function จะเปนตวแปรของ universal quantifier ∀ ท�อยใน scope ของ ∃ ท�จะกาจด

� ถา ∃ ท�ตองการจะกาจดไมอยใน scope ของ universal quantifier ∀ ตวใดเลย กจะแทนท�ดวย skolem function ท�ไมม argument ซ�งกคอ คาคงท'

56

ตวอยาง : Skolemization� ∀x∃y (Person(x) ∧ Person(y)) ⇒ Loves(x,y)

� ∃y อยภายใต ∀x ดงน�นแทนท� y ดวย skolem function ท�ม argument คอ x

� เปล�ยนไดเปน∀x (Person(x) ∧ Person(f(x))) ⇒ Loves(x,f(x))

� ∃x P(x) เปน P(A) คาคงท� A

� ∀x∀y∃z P(x,y,z) เปล�ยนเปน ∀x∀y P(x, y, f(x,y))

� ∀x∃y∀z P(x,y,z) เปล�ยนเปน ∀x∀z P(x, y, f(x))

57

ตวอยาง : การแปลงประโยคใหอยในรป CNF (1)จงแปลงประโยคตอไปน�ใหอยางในรป CNF

(∀x)([a(x) ∧ b(x)] ⇒ [c(x,i) ∧ (∃y)((∃z)[c(y,z)] ⇒ d(x,y))]) ∨ (∀x)(e(x))

1. กาจด ⇒

(∀x)(¬¬¬¬[a(x) ∧ b(x)] ∨∨∨∨ [c(x,i) ∧ (∃y)(¬(∃z)[c(y,z)] ∨∨∨∨ d(x,y))]) ∨ (∀x)(e(x))

2. นาตว ¬¬¬¬ กระจายเขาไปขางในประโยค

(∀x)( [¬¬¬¬a(x) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬b(x)] ∨ [c(x,i) ∧ (∃y)((∀∀∀∀z)[¬¬¬¬c(y,z)] ∨ d(x,y))]) ∨ (∀x)(e(x))

3. ทา standardize ช�อตวแปร(∀x)( [¬a(x) ∨ ¬b(x)] ∨ [c(x,i) ∧ (∃y)((∀z)[¬c(y,z)] ∨ d(x,y))]) ∨ (∀w)(e(w))

4. เล�อน quantifier มาอยดานซายของประโยค(∀∀∀∀x)(∃∃∃∃y)(∀∀∀∀z) (∀∀∀∀w)([¬a(x) ∨ ¬b(x)] ∨ [c(x,i) ∧ (¬c(y,z) ∨ d(x,y))] ∨ e(w)

58

ตวอยาง : การแปลงประโยคใหอยในรป CNF (2)(∀∀∀∀x)(∃∃∃∃y)(∀∀∀∀z) (∀∀∀∀w)([¬a(x) ∨ ¬b(x)] ∨ [c(x,i) ∧ (¬c(y,z) ∨ d(x,y))] ∨ e(w)

5. กาจด ∃(∀x)(∀z) (∀w)([¬a(x) ∨ ¬b(x)] ∨ [c(x,i) ∧ (¬c(f(x),z) ∨ d(x,f(x)))] ∨ e(w)

6. ปลดตว ∀ ออกจากประโยค[¬a(x) ∨ ¬b(x)] ∨ [c(x,i) ∧ (¬c(f(x),z) ∨ d(x,f(x)))] ∨ e(w)

7. ทา Distribution law

� [¬a(x) ∨ ¬b(x)] ∨ e(w) ∨∨∨∨ [c(x,i) ∧∧∧∧ (¬c(f(x),z) ∨ d(x,f(x)))]

� [¬a(x) ∨ ¬b(x) ∨ e(w) ∨ c(x,i)] ∧∧∧∧

[¬a(x) ∨ ¬b(x) ∨ e(w) ∨ ¬c(f(x),z) ∨ d(x,f(x))]

59

ตวอยาง : การแปลงประโยคใหอยในรป CNF (3)

8. ใชตว conjunction (∧) เปนตวแยกประโยคใหญออกเปนประโยคยอยๆ� [¬a(x) ∨ ¬b(x) ∨ e(w) ∨ c(x,i)]

� [¬a(x) ∨ ¬b(x) ∨ e(w) ∨ ¬c(f(x),z) ∨ d(x,f(x))]

9. ใชตวทา standardize อกรอบของแตละประโยคยอยไมใหซ �ากน� [¬a(x) ∨ ¬b(x) ∨ e(w) ∨ c(x,i)]

� [¬a(u) ∨ ¬b(u) ∨ e(v) ∨ ¬c(f(u),z) ∨ d(u,f(u))]

60

การพสจนดวย Resolution Refutation (1)

� กลบมาท� propositional logic ท�ไมมคาตวแปรใหวนวาย

� ตวอยาง: ตองการพสจน a จากสมมตฐาน

� b ∧ c ⇒ a

� b

� d ∧ e ⇒ c

� e ∨ f

� d ∧ ¬f

¬(b ∧ c) ∨ a¬b ∨ ¬c ∨ a

¬(d ∧ e) ∨ c¬d ∨ ¬e ∨ c

d ¬f

• ¬b ∨ ¬c ∨ a

• b• ¬d ∨ ¬e ∨ c

• e ∨ f• d• ¬f

61

การพสจนดวย Resolution Refutation (2)

� Resolution� (A ∨∨∨∨ B) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬A ∨∨∨∨ C) อนมานไดเปน (A ∨∨∨∨ C)

� (¬¬¬¬A ⇒⇒⇒⇒ B) ∧∧∧∧ (B ⇒⇒⇒⇒ C) อนมานไดเปน (¬¬¬¬A ⇒⇒⇒⇒ C)

กาหนด ¬¬¬¬a•¬b ∨ ¬c ∨ a

• b• ¬d ∨ ¬e ∨ c

• e ∨ f• d• ¬f

¬b ∨ ¬c ∨ a¬a

¬b ∨ ¬c b

¬c¬d ∨ ¬e ∨ c

¬d ∨ ¬e e ∨ f

¬d ∨ f¬f

¬d d

62

Unification (1)� จะเหนวาสาหรบ Propositional Logic จะงายมากในการด 2 ประโยคท�

ขดกน (p และ ¬p)

� แตสาหรบ FOL การเทยบกนจะซบซอนข�นเน�องจากจะตองพจารณา argument ของ predicate ดวยเชน

� MAN(JOHN) และ ¬MAN(JOHN) ขดแยงกน

� MAN(JOHN) และ ¬MAN(SPOT) ไมขดแยงกน

� ในการตรวจสอบความขดแยงกนของประโยคใน FOL จะตองมการ แทนท'(substitution) คาของตวแปร ซ�งเรยกวา Unification

� Notation : car/x หมายถงการแทนคา car ใหกบตวแปร x

63

Unification (2)� ถามประโยค

� Knows(John, x)

� แลวแทนท�ดวย {Paul/x}

� จะทาใหประโยคท�ไดเปน Knows(John, Paul)

� ถาไมสามารถหาคามาแทนตวแปรไดถอวาการทา unification ลมเหลว� ตวอยาง : foo(x, A, goo(y))

� {Fred/x, z/y} => foo(Fred, A, goo(z))

� {w/x, Jack/y} => foo(w, A, goo(Jack))

� {z/x, moo(z)/y} => foo(z, A, goo(moo(z)))

64

ตวอยาง1: สรางประโยคในรปแบบของ FOL� จากประโยคตอไปน�

คนท�สอบวชาประวตศาสตรผานและถกลอตเตอร�จะมความสข แตถาใครท�เรยนอยหรอโชคดจะผานวชาท�เรยนทกวชา สมชายไมไดเรยนแตสมชายโชคด ใครท�โชคดจะถกลอตเตอร� ถามวาสมชายมความสขไหม ?

� คนท�สอบวชาประวตศาสตรผานและถกลอตเตอร�จะมความสข� ∀x(Pass(x, HISTORY) ∧ Win(x, LOTTERY) ⇒ Happy(x))

� ใครท�เรยนอยหรอโชคดจะผานวชาท�เรยนทกวชา� ∀x∀y (Study(x) ∨ Lucky(x) ⇒ Pass(x,y))

� สมชายไมไดเรยนแตสมชายโชคด� ¬Study(สมชาย) ∧ Lucky(สมชาย)

� ใครท�โชคดจะถกลอตเตอร�� ∀x(Lucky(x) ⇒ Win(x, LOTTERY))

65

ตวอยาง1: เปล'ยนประโยคใหอยในรป CNF� กาจด ⇒

� ∀x(Pass(x, HISTORY) ∧ Win(x, LOTTERY) ⇒ Happy(x)) � ∀x(¬[Pass(x, HISTORY) ∧ Win(x, LOTTERY)] ∨ Happy(x))

� ∀x∀y (Study(x) ∨ Lucky(x) ⇒ Pass(x,y))� ∀x∀y (¬[ Study(x) ∨ Lucky(x)] ∨ Pass(x,y))

� ¬Study(สมชาย) ∧ Lucky(สมชาย)

� ∀x(Lucky(x) ⇒ Win(x, LOTTERY))� ∀x(¬ Lucky(x) ∨ Win(x, LOTTERY))

66

ตวอยาง1: เปล'ยนประโยคใหอยในรป CNF (1)� กระจาย ¬ เขาไปในประโยค

� ∀x(¬[Pass(x, HISTORY) ∧ Win(x, LOTTERY)] ∨ Happy(x)) � ∀x(¬Pass(x, HISTORY) ∨ ¬Win(x, LOTTERY) ∨ Happy(x))

� ∀x∀y (¬[ Study(x) ∨ Lucky(x)] ∨ Pass(x,y)) � ∀x∀y ([¬Study(x) ∧ ¬Lucky(x)] ∨ Pass(x,y))

� ¬Study(สมชาย) ∧ Lucky(สมชาย)� ∀x(¬ Lucky(x) ∨ Win(x, LOTTERY))

� Standardize : ไมมใหทา� เล'อน Quantifier ไปดานซายของประโยค : ไมตองทา� ทา Skolemization : ไมตองทา

67

ตวอยาง1: เปล'ยนประโยคใหอยในรป CNF (2)�ตด universal quantifier ออก

� ¬Pass(x, HISTORY) ∨ ¬Win(x, LOTTERY) ∨ Happy(x)

� (¬Study(x) ∧ ¬Lucky(x)) ∨ Pass(x,y)

� ¬Study(สมชาย) ∧ Lucky(สมชาย)

� ¬ Lucky(x) ∨ Win(x, LOTTERY)

� ทา Distribution

� (¬Study(x) ∧ ¬Lucky(x)) ∨ Pass(x,y)

� (¬Study(x) ∨ Pass(x,y)) ∧ (¬Lucky(x) ∨ Pass(x,y))

68

ตวอยาง1: เปล'ยนประโยคใหอยในรป CNF (3)� จาก

� ¬Pass(x, HISTORY) ∨ ¬Win(x, LOTTERY) ∨ Happy(x)

� (¬Study(x) ∨ Pass(x,y)) ∧ (¬Lucky(x) ∨ Pass(x,y))� ¬Study(สมชาย) ∧ Lucky(สมชาย) � ¬ Lucky(x) ∨ Win(x, LOTTERY)

� แยกออกเปนประโยคยอยได � ¬Pass(x, HISTORY) ∨ ¬Win(x, LOTTERY) ∨ Happy(x)� (¬Study(x) ∨ Pass(x,y)) � (¬Lucky(x) ∨ Pass(x,y))� ¬Study(สมชาย)� Lucky(สมชาย) � ¬ Lucky(x) ∨ Win(x, LOTTERY)

69

ตวอยาง1: เปล'ยนประโยคใหอยในรป CNF (4)� จาก

� ¬Pass(x, HISTORY) ∨ ¬Win(x, LOTTERY) ∨ Happy(x)� (¬Study(x) ∨ Pass(x,y)) � (¬Lucky(x) ∨ Pass(x,y))� ¬Study(สมชาย)� Lucky(สมชาย) � ¬ Lucky(x) ∨ Win(x, LOTTERY)

� Standardize ตวแปรของแตละประโยคยอยได � ¬Pass(x1, HISTORY) ∨ ¬Win(x1, LOTTERY) ∨ Happy(x1)� (¬Study(x2) ∨ Pass(x2,y1)) � (¬Lucky(x3) ∨ Pass(x3,y2))� ¬Study(สมชาย)� Lucky(สมชาย) � ¬ Lucky(x4) ∨ Win(x4, LOTTERY)

70

ตวอยาง1: พสจน (1)� จากสมมตฐานท�ได

1. ¬Pass(x1, HISTORY) ∨ ¬Win(x1, LOTTERY) ∨ Happy(x1)

2. ¬Study(x2) ∨ Pass(x2,y1)

3. ¬Lucky(x3) ∨ Pass(x3,y2)

4. ¬Study(สมชาย)5. Lucky(สมชาย) 6. ¬ Lucky(x4) ∨ Win(x4, LOTTERY)

� ตองการพสจนวา สมชายมความสข Happy(สมชาย) ดงน�นใหกลบคาความเปนจรงเปนพสจน ¬Happy(สมชาย)

71

ตวอยาง1: พสจน (2)¬Happy(สมชาย) ¬Pass(x1, HISTORY) ∨ ¬Win(x1, LOTTERY) ∨ Happy(x1)

¬Pass(สมชาย, HISTORY) ∨ ¬Win(สมชาย, LOTTERY) ¬ Lucky(x4) ∨ Win(x4, LOTTERY)

¬Pass(สมชาย, HISTORY) ∨ ¬Lucky(สมชาย) Lucky(สมชาย)

¬Pass(สมชาย, HISTORY)¬Lucky(x3) ∨ Pass(x3,y2)

¬Lucky(สมชาย)Lucky(สมชาย)พสจนไดวา สมชายมความสข

Happy(สมชาย)

{สมชาย/x1}

{สมชาย/x4}

{สมชาย/x3, HISTORY/y2}

72