kuliah - sistem bilangan dan multiple integral

"Sistem Bilangan"

Sistem Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yangdigunakan untuk pencacahan dan pengukuran.Simbol ataupun lambang yang digunakan untukmewakili suatu bilangan disebut sebagai angka ataulambang bilangan

Sistem bilangan adalah sebuah simbol ataukumpulan dari simbol yang merepresentasikansebuah angka.

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU2

Sistem Bilangan

Bilangan Desimal

Bilangan Biner (Binary)

Bilangan Oktal

Bilangan Duodesimal

Bilangan Heksadesimal

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU3

Bilangan Desimal

Sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yangmenggunakan 10 macam angka dari 0,1, sampai 9.

Sistem bilangan desimal sering dikenal sebagai sistembilangan berbasis 10, karena tiap angka desimalmenggunakan basis 10

Misalkan : angka desimal 123 = 1*102 + 2*101 + 3*100

n basis 10

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU4

Bilangan Desimal

3578.778

8x10-3

8 x 100

7 x 101

5 x 102

3 x 103

7x10-2

7x10-1Decimal point

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU5

Bilangan Biner

Sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan sistembilangan biner atau sistem bilangan basis dua dengan duasimbol yaitu 0 dan 1

Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh GottfriedWilhem Leibniz pada abad ke-17

Sistem ini juga dapat disebut dengan istilah bit, atau BinaryDigit

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU6

Bilangan Biner

Contoh :

Bilangan desimal 10 = ……….bilangan biner

10 = (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20).

Diperoleh bilangan biner dari 10 adalah 1010

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU7

Bilangan Biner

1100.101

1 x 2-3 = 0.125

0 x 20= 0.000

0 x 21= 0.000

1 x 22= 4.000

1 x 23= 8.000

0 x 2-2 = 0.000

1 x 2-1 = 0.500Binary point

Each bit of the

Number may be

Representaed by

A Boolean value

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU8

Mengubah Bilangan Desimal menjadi

Bilangan Biner

Bilangan 10(10) = …(2)

Caranya :

10 : 2 = 5(0), 5 : 2 = 2 (1), 2 : 2 =1(0), 1 : 2 = 0(1)

sehingga sisa hasil bagi dibaca dari belakang menjadi

1 0 1 0

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU9

Bilangan Oktal

Bilangan Oktal atau sistem bilangan basis 8 adalahsebuah sistem bilangan berbasis delapan

Simbol yang digunakan pada sistem ini adalah0,1,2,3,4,5,6,7

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU10

Bilangan Duodesimal

Bilangan Duodesimal adalah sistem bilangan basis 12.

Simbol yang digunakan pada sistem ini adalah

0,1,2,3,4,5, 6, 7, 8, 9, X,

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU11

Bilangan Heksadesimal

Heksadesimal atau sistem bilangan basis 16 adalahsebuah sistem bilangan yang menggunakan 16simbol

Berbeda dengan sistem bilangan desimal, simbolyang digunakan dari sistem ini adalah angka 0sampai 9, ditambah dengan 6 simbol lainnya denganmenggunakan huruf A hingga F

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU12

Bilangan Heksadesimal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU13

Bilangan Heksadesimal

Contoh Soal :

Ubah bilangan heksa 10E ke bilangan desimal

Mengalikan dari tiap digit terhadap nilai tempatnya.

= 256 + 0 + 14 = 270

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU14

Bilangan Heksadesimal

Konversi dari desimal ke heksadesimal

Bilangan 270 = …………..heksadesimal

270 dibagi 16 hasil : 16 sisa 14 ( = E )

16 dibagi 16 hasil : 1 sisa 0 ( = 0 )

1 dibagi 16 hasil : 0 sisa 1 ( = 1 )

Dari perhitungan nilai sisa yang diperoleh bila ditulis

dari bawah ke atas menghasilkan 10E.

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU15

"Multiple Integral"

Double Integral

17 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

Double Integral

18 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU19

Triple Integral

20 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

Tulus B.S. - Teknik Mesin USU21

Triple Integral

22 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

Applications

23 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

Applications

24 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

Alternative Notation

25 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

26

Review Polar Coordinates

r

θ

x

y

),( rP

cosrx

sinry

22 yxr

x

y1tan

r0

20

scoordinatePolar

27

z

rθ

z

x

y

),,( zrP

cosrx

sinry

zz

22 yxr

x

y1tan

zz

r0

20

z

scoordinatepolar lCylindrica

Review Polar Coordinates

28

φ

ρ

θ

z

x

y

),,( P

cossinx

cosz

222 zyx

z1cos

sinsiny

x

y1tan

0

0

20

scoordinatepolar Spherical

Review Polar Coordinates

Further Example of Use of Multiple Integral

29

Determine of Volumes by Multiple Integral

30Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

Determine of Volumes by Multiple Integral

31 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU

Determine of Volumes by Multiple Integral

32 Tulus B.S. - Teknik Mesin USU