l'hôpitalovo pravilo - unizg.hr
Post on 17-Oct-2021
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
L'Hôpitalovo pravilo
. . . olak²ava ra£unanje limesa oblika
0
0i
∞∞
.
Teorem. (L'Hôpitalovo pravilo) Neka su zadane f , g : D ⊆ R→ R i c ∈ R ∪ {±∞}. Vrijedi
limx→c
f (x)
g(x)= lim
x→c
f ′(x)
g ′(x)
ako su zadovoljeni sljede¢i uvjeti:
(i) limx→c f (x) i limx→c g(x) su oba 0 ili oba beskona£ni.
(ii) Postoji limx→cf ′(x)g ′(x) ∈ R ∪ {±∞}.
Analogna tvrdnja vrijedi i za jednostrane limese.
L'Hôpitalovo pravilo
. . . olak²ava ra£unanje limesa oblika
0
0i
∞∞
.
Teorem. (L'Hôpitalovo pravilo) Neka su zadane f , g : D ⊆ R→ R i c ∈ R ∪ {±∞}. Vrijedi
limx→c
f (x)
g(x)= lim
x→c
f ′(x)
g ′(x)
ako su zadovoljeni sljede¢i uvjeti:
(i) limx→c f (x) i limx→c g(x) su oba 0 ili oba beskona£ni.
(ii) Postoji limx→cf ′(x)g ′(x) ∈ R ∪ {±∞}.
Analogna tvrdnja vrijedi i za jednostrane limese.
Primjer 1(a)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
sin x
x.
Imamo
limx→0
sin x
x=
(0
0
)
L'H= lim
x→0
(sin x)′
x ′
= limx→0
cos x
1
= limx→0
cos x
= cos 0
= 1.
Primjer 1(a)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
sin x
x.
Imamo
limx→0
sin x
x=
(0
0
)
L'H= lim
x→0
(sin x)′
x ′
= limx→0
cos x
1
= limx→0
cos x
= cos 0
= 1.
Primjer 1(a)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
sin x
x.
Imamo
limx→0
sin x
x=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
x ′
= limx→0
cos x
1
= limx→0
cos x
= cos 0
= 1.
Primjer 1(a)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
sin x
x.
Imamo
limx→0
sin x
x=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
x ′
= limx→0
cos x
1
= limx→0
cos x
= cos 0
= 1.
Primjer 1(a)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
sin x
x.
Imamo
limx→0
sin x
x=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
x ′
= limx→0
cos x
1
= limx→0
cos x
= cos 0
= 1.
Primjer 1(a)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
sin x
x.
Imamo
limx→0
sin x
x=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
x ′
= limx→0
cos x
1
= limx→0
cos x
= cos 0
= 1.
Primjer 1(a)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
sin x
x.
Imamo
limx→0
sin x
x=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
x ′
= limx→0
cos x
1
= limx→0
cos x
= cos 0
= 1.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)
L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)
L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)
L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Primjer 1(b)
Izra£unajmo pomo¢u L'Hôpitalova pravila limes
limx→0
1− cos x
x2.
Imamolimx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(x2)′
= limx→0
sin x
2x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(sin x)′
(2x)′
= limx→0
cos x
2
=cos 0
2
=1
2.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x
= (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′= lim
x→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x
= (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′= lim
x→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x = (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′= lim
x→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x = (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′= lim
x→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x = (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)
L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′= lim
x→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x = (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x = (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′= lim
x→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x = (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′= lim
x→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x)
= 0.
Napomena
Jo² neki neodre�eni oblici mogu se svesti na 00ili ∞∞ . Primjerice, za neodre�eni oblik 0 · ∞ to
moºemo posti¢i tako da jedan od njegovih faktora shvatimo kao nazivnik nazivnika dvojnog
razlomka:
0 · ∞ =01∞
ili 0 · ∞ =∞10
.
Primjer. Imamo limx→0+
x · ln x = (0 · (−∞))
= limx→0+
ln x1x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′(1x
)′= lim
x→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)lim
x→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
= limx→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
=
(+∞+∞
)lim
x→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
= limx→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)
limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
= limx→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′
= limx→+∞
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
= limx→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
= limx→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
= limx→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H
6= limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani.
Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
= limx→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H
6= limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x
= limx→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H
6= limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x= lim
x→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H
6= limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x= lim
x→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H
6= limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x= lim
x→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0:
kako je za sve x ∈ R−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H
6= limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x= lim
x→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0:
kako je za sve x ∈ R−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H
6= limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x= lim
x→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0
= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0:
kako je za sve x ∈ R−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Primjer 2: L'Hôpitalovo pravilo ne pomaºe ba² svaki put!
Ra£unom
limx→+∞
x + sin x
x − sin x=
(+∞+∞
)L'H
6= limx→+∞
(x + sin x)′
(x − sin x)′= lim
x→+∞
1 + cos x
1− cos x︸ ︷︷ ︸periodi£na
nekonstantnafunkcija
ne postoji
ne moºemo izra£unati vrijednost limesa na lijevoj strani. Ali moºemo sljede¢im ra£unom:
limx→+∞
x + sin x
x − sin x= lim
x→+∞
x + sin x
x − sin x·
1x1x
= limx→+∞
1 + sin xx
1− sin xx
=1 + 0
1− 0= 1,
pri £emu u predzadnjoj jednakosti koristimo da je limx→+∞sin xx = 0: kako je za sve x ∈ R
−1 ≤ sin x ≤ 1, za sve x ∈ 〈0,+∞〉 imamo
−1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
≤ sin x
x≤ 1
x︸︷︷︸→0
kad x→+∞
Γ sin xx
Γ 1
x
Γ− 1
x
pa je limx→+∞sin xx = 0 (ovdje primjenjujemo tzv. Teorem o sendvi£u).
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)
L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)
L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(a)
Izra£unajte limes limx→0+
ln x
ctg x.
Rje²enje. Imamo
limx→0+
ln x
ctg x=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→0+
(ln x)′
(ctg x)′
= limx→0+
1x
− 1sin2 x
= limx→0+
− sin2 x
x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0+
(− sin2 x
)′x ′
= limx→0+
−2 sin x · cos x
1
= −2 sin 0 · cos 0
= 0.
Zadatak 43(b)
Izra£unajte limes limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6.
Rje²enje. Imamo
limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6=
(0
0
)
L'H= lim
x→1
(x3 − 2x2 − x + 2
)′(x3 − 7x + 6)′
= limx→1
3x2 − 4x − 1
3x2 − 7
=3 · 12 − 4 · 1− 1
3 · 12 − 7
=1
2.
Zadatak 43(b)
Izra£unajte limes limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6.
Rje²enje. Imamo
limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6=
(0
0
)
L'H= lim
x→1
(x3 − 2x2 − x + 2
)′(x3 − 7x + 6)′
= limx→1
3x2 − 4x − 1
3x2 − 7
=3 · 12 − 4 · 1− 1
3 · 12 − 7
=1
2.
Zadatak 43(b)
Izra£unajte limes limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6.
Rje²enje. Imamo
limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6=
(0
0
)L'H= lim
x→1
(x3 − 2x2 − x + 2
)′(x3 − 7x + 6)′
= limx→1
3x2 − 4x − 1
3x2 − 7
=3 · 12 − 4 · 1− 1
3 · 12 − 7
=1
2.
Zadatak 43(b)
Izra£unajte limes limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6.
Rje²enje. Imamo
limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6=
(0
0
)L'H= lim
x→1
(x3 − 2x2 − x + 2
)′(x3 − 7x + 6)′
= limx→1
3x2 − 4x − 1
3x2 − 7
=3 · 12 − 4 · 1− 1
3 · 12 − 7
=1
2.
Zadatak 43(b)
Izra£unajte limes limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6.
Rje²enje. Imamo
limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6=
(0
0
)L'H= lim
x→1
(x3 − 2x2 − x + 2
)′(x3 − 7x + 6)′
= limx→1
3x2 − 4x − 1
3x2 − 7
=3 · 12 − 4 · 1− 1
3 · 12 − 7
=1
2.
Zadatak 43(b)
Izra£unajte limes limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6.
Rje²enje. Imamo
limx→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6=
(0
0
)L'H= lim
x→1
(x3 − 2x2 − x + 2
)′(x3 − 7x + 6)′
= limx→1
3x2 − 4x − 1
3x2 − 7
=3 · 12 − 4 · 1− 1
3 · 12 − 7
=1
2.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)
L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)
L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′
= limx→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)
L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′
= limx→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)
L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′
= limx→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)
L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′
= limx→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)
L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′
= limx→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Zadatak 43(c)
Izra£unajte limes limx→+∞
ex
x5.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
ex
x5=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(x5)′= lim
x→+∞
ex
5x4
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(5x4)′= lim
x→+∞
ex
20x3
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(20x3)′= lim
x→+∞
ex
60x2
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(60x2)′= lim
x→+∞
ex
120x
=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ex)′
(120x)′= lim
x→+∞
ex
120
= +∞.
Napomena
Potpuno analogno kao u zadatku 43(c) pokaºe se da vrijedi:
limx→+∞
ex
p(x)=
{+∞ za svaki polinom p s vode¢im koe�cijentom > 0
−∞ za svaki polinom p s vode¢im koe�cijentom < 0
limx→+∞
p(x)
ex= 0 za svaki polinom p.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)
= limx→0
(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)
= limx→0
(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)= lim
x→0(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)= lim
x→0(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)= lim
x→0(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)= lim
x→0(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)= lim
x→0(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)= lim
x→0(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(d)
Izra£unajte limes limx→0
(1− cos x) · ctg x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1− cos x) · ctg x =
(0 · ∞︸︷︷︸
+∞ za x→0+−∞ za x→0−
)= lim
x→0(1− cos x) · 1
tg x
= limx→0
1− cos x
tg x
=
(0
0
)L'H= lim
x→0
(1− cos x)′
(tg x)′
= limx→0
sin x1
cos2 x
= limx→0
sin x · cos2 x
= sin 0 · cos2 0
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞))
= limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞))
= limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)
L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′
= limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)
L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − ·2 ln x · 1
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x − x · 2 ln x · 1x1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x −�x · 2 ln x · 1�x
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x −�x · 2 ln x · 1�x
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)
= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x −�x · 2 ln x · 1�x
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 43(e)
Izra£unajte limes limx→1+
ln x · ln(x − 1).
Rje²enje. Imamo
limx→1+
ln x · ln(x − 1) = (0 · (−∞)) = limx→1+
ln(x − 1)1
ln x
=
(−∞+∞
)L'H= lim
x→1+
(ln(x − 1))′(1
ln x
)′ = limx→1+
1x−1
− 1ln2 x· 1x
= limx→1+
−x · ln2 x
x − 1
=
(0
0
)L'H= lim
x→1+
(−x · ln2 x
)′(x − 1)′
= limx→1+
− ln2 x −�x · 2 ln x · 1�x
1
= limx→1+
(− ln2 x − 2 ln x
)= − ln2 1− 2 ln 1
= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)
= limx→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx = e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)
= limx→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx = e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x
= limx→+∞
eln xx = e limx→+∞
ln xx = e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx
= e limx→+∞ln xx = e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx
= e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx
= e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)
L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx
= e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx
= e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1
= limx→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx
= e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x
= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx
= e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx = e0
= 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(a)
Izra£unajte limes limx→+∞
x1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x1
x =((+∞)0
)= lim
x→+∞
(e ln x
) 1
x= lim
x→+∞e
ln xx = e limx→+∞
ln xx = e0 = 1,
pri £emu predzadnja jednakost vrijedi jer je
limx→+∞
ln x
x=
(+∞+∞
)L'H= lim
x→+∞
(ln x)′
x ′= lim
x→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1
x= 0.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x = e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
1= lim
x→0+3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x = e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
1= lim
x→0+3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x
= limx→0+
e3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x = e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
1= lim
x→0+3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x
= e limx→0+3 ln x4+ln x = e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
1= lim
x→0+3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x
= e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
1= lim
x→0+3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x
= e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)
L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
1= lim
x→0+3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x
= e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′
= limx→0+
3
1= lim
x→0+3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x
= e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3x1x
= limx→0+
3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x
= e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
�x1
�x
= limx→0+
3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x
= e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
�x1
�x
= limx→0+
3
= 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x
= e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
�x1
�x
= limx→0+
3 = 3.
Zadatak 44(b)
Izra£unajte limes limx→0+
x3
4+ln x .
Rje²enje. Imamo
limx→0+
x3
4+ln x =(00)
= limx→0+
(e ln x
) 3
4+ln x= lim
x→0+e
3 ln x4+ln x = e limx→0+
3 ln x4+ln x = e3,
pri £emu zadnja jednakost vrijedi jer je
limx→0+
3 ln x
4 + ln x=
(−∞−∞
)L'H= lim
x→0+
(3 ln x)′
(4 + ln x)′= lim
x→0+
3
�x1
�x
= limx→0+
3 = 3.
top related