lidskÁ bŘiŠnÍ aorta ii.pdfcÍle analytickými metodami získat kvantitativní odhad napjatosti...

NAMÁHÁNÍ TEPENNÉ STĚNY: LIDSKÁ BŘIŠNÍ AORTA

Kurs: Biomechanika II Obor: Biomechanika a lékařské přístroje Program: Magisterský Fakulta strojní ČVUT v Praze

Lukáš Horný lukas.horny@fs.cvut.cz

CÍLE

Analytickými metodami získat kvantitativní odhad napjatosti tepenné stěny

Jako příklad poslouží lidská břišní aorta

Tenkostěnná vs. silnostěnná aproximace Elastostatika (nelineární materiál) Konečné deformace Zbytková napětí

MOTIVACE

Numerické metody budou v klinicky podstatných úlohách, optimalizace implantace stentu (z hlediska přetížení) napojení bypassu (opět přetížení) napětí na rozhraní kalcifikovaný plát-stěna interakce tepenné stěny s krví (zejména v místech plátů) disekce stěny a ruptura aneurysmatu

atd., vždy hrát prim. Analytické metody neslouží (jak by se v „rakousko-uherské tradici“ výkladu matematiky a fyziky bohužel mohlo někdy zdát) k memorování výrazů, ale k pochopení kvalitativních

vlastností řešení, na nichž je testována hodnověrnost

výsledků numerických metod.

AD REM

Břišní aorta – kde to je, co to je?

Repro: http://www.doereport.com/enlargeexhibit.php?ID=15311

Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx

AD REM

Břišní aorta – kde to je, co to je? 1 Right lung2 Right hepatic vein3 Liver4 Left hepatic vein5 Stomach6 Left colic flexure(splenic flexure of the colon) 7 Spleen 8 Left lung9 Aorta

Repro: http://www.info-radiologie.ch/en/abdominal_ct.php#

Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/index.php?title=File:Blood_vessel_wall_cartoon.jpg

Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/images/a/ae/Artery_histology_16.jpg

Repro: http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/corepages/vascular/vascular.htm

AD REM

Je to elastická tepna

MECHANICKÉ INTERAKCE

Pasivní interakce

Přenos tepla a působení vnějšího

prostředí

Přenos tepla a působení vnějšího

prostředí

MECHANICKÉ INTERAKCE

Pasivní interakce - externí

IN SITU

EXCIZE

EX SITU

MECHANICKÉ INTERAKCE

Pasivní interakce - interní

Po rozříznutí prstýnku se tepna dík uvolnění zbytkových napětí rozevře

Aktivní interakce

MECHANICKÉ INTERAKCE Ta

hová

zkou

ška

Infl

ační

test

(naf

ukov

ánít

rubi

ce)

Repro: P. Fridez, A. Makino, D. Kakoi, H. Miyazaki, J.-J. Meister, K. Hayashi and N. Stergiopulos 2002 Adaptation of Conduit Artery Vascular Smooth Muscle Tone to Induced Hypertension Annals of BiomedicalEngineering 30:7, 905 – 916. http://www.springerlink.com/content/v257812562p17374/

Maximální kontrakcepo podání norepinefrinu céva ztuhne

Bazální tonus

Maximální dilatacepo podání papaverinu

VÝPOČTOVÝ MODEL

Předpoklady pro formulaci úlohy Konstitutivní rovnice Předpoklady o geometrii Předpoklady o zatížení a vazbách Předpoklady o deformaci (konkrétní kinematika)

Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx

Konstitutivní rovnice

VÝPOČTOVÝ MODEL

Použijeme model Guccione–McCulloch–Waldman, který popisuje cylindricky ortotropní hyperelastický materiál.

( )2 2 22 31 1

2ZZ RRc E c E Ec

W eΘΘ + + = −

J. Guccione, A. McCulloch, L. Waldman (1991) Passive material properties of intact ventricular myocardiumdetermined from a cylindrical model. J Biomech Eng 113:42–55 http://dx.doi.org/10.1115/1.2894084

Konkrétní vyčíslení materiálových parametrů pro lidskou břišní aortu převezmeme od kolektivu M.R. Laborsseho, který publikoval výsledky 16 inflačně-extenzních testů... http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X?v=s5

Michel R. Labrosse, Eleanor R. Gerson, John P. Veinot and Carsten J. Beller (2012) Mechanical characterization of human aortas from pressurization testing and a paradigm shift for circumferential residualstress by Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, in press. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmbbm.2012.08.004

Cylindrická ortotropie

VÝPOČTOVÝ MODEL

...tři na sebe navzájem kolmé osy materiálové symetrie, které jsou totožné s osami válcového souřadnicového systému

Pasivní odezva materiálu bez aktivace hladkých svalových buněk

Isochorický děj (nestlačitelnost = během deformace materiál nemění objem)

VÝPOČTOVÝ MODEL

( )FF I

F

Wp

∂= −

∂σσσσ

( )2 2 22 31 1

2ZZ RRc E c E Ec

W eΘΘ + + = −

Formální konstitutivní rovnice F je deformační gradient W je hustota deformační energie I je jednotkový tenzor 2. řádu p je hydrostatická složka napětí vzniklá reakcí na omezení stlačitelnosti

zde je použit tenzor E (Green-Lagrangeův tenzor deformace), který převedeme na F:

( )12E F F IT= −

VÝPOČTOVÝ MODEL

Geometrie budeme předpokládat, že břišní aorta je válcová trubicekonstantního poloměru R a tloušťky H (po vyjmutí z těla). Tyto údaje převezme opět z literatury:

Michel R. Labrosse, Eleanor R. Gerson, John P. Veinot and Carsten J. Beller (2012) Mechanical characterization of human aortas from pressurization testing and a paradigm shift for circumferentialresidual stress by Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, in press. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmbbm.2012.08.004

VÝPOČTOVÝ MODEL

Deformace budeme předpokládat, že během tlakování trubice:

• zůstávají všechny řezy rovinné (resp. válcové) • řezy se mohou vzdalovat/přibližovat • řezy se vůči sobě nenatáčejí

Pozor: Jde o pouhou skicu, obrázek nedodržuje konstantní objem deformovaného elementu...

VÝPOČTOVÝ MODEL

Deformace modelově vylučujeme existenci zkosů...

0R

γ Θ ≠

0Z

γ Θ ≠

0RZ

γ ≠

krut, neboli odklopení od podélné osy(reálně může nastat když (1) je helikální

proudění krve, (2) nesymetrie vazeb...)

sklopení ve směru obvodu(přechází-li při nafukování válec ve válec, nemůže nastat)

sklopení do směru podélné osy (reálně musí

nastávat jako reakce na tření krve)

VÝPOČTOVÝ MODEL

Deformace budeme si tedy přestavovat, že aorta (válcová trubice) se jen nafukuje a protahuje z tvaru válce do tvaru válce

( ), ,Q R ZΘ

( ), ,Q r zθ

rR

z

Z

Materiálový bod Q v referenčních a průběžných válcových souřadnicích

( ) ( ) Q Q r r R z z Zθ≡ ⇒ = = Θ =

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Vše (síly, deformace,...) se odehrává jen na úrovni střední plochy

Repro: http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-ROORKEE/strength%20of%20materials/lects%20&%20picts/image/lect15/lecture15.htm

redF

P

P

θθσzz

σ

l

2r

h

Pred

Fzz

σ

rR zZ

h H r R z Zθλ λ λΘ= = =

F∂=∂

x

XF =

0 0

0 0

0 0

h

Hr

Rz

Z

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

0 00 0

0 0 0 00 0

0 0

FrR

zZ

h

Hr

Rl

L

θ

λλ

λΘ

= =

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Nestlačitelnost (isochorický děj)

0 01 0 0 1

0 0det F det

rR

rR zZ

zZ

dvJ

dV θ θ

λλ λ λ λ

λΘ Θ

= = = ⇔ = =

1rR

zZθ

λλ λΘ

=

Intenzita vnitřních sil (napětí) odpovídá průměrné hodnotě po tloušťce objektu, která je rozprostřena uniformě (membrána)

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Repro: http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-ROORKEE/strength%20of%20materials/lects%20&%20picts/image/lect15/lecture15.htm

P

P

θθσzz

σ

l

2r

h

Pred

Fzz

σ

redF

2

2 2

rr

redzz

P

rP

hF rP

rh h

θθ

σ

σ

σπ

= −

=

= +

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Konstitutivní rovnice

rr rR

rR

zz zZ

zZ

Wp

Wp

Wp

θθ θθ

σ λλ

σ λλ

σ λλ

ΘΘ

∂= −∂∂= −∂∂= −∂

( ) TFF I

F

Wp

∂= −

∂σσσσ

( )2 2 22 31 1

2ZZ RRc E c E Ec

W eΘΘ + + = − →

( )21

12ij ij

E λ= −( )12 E F F IT= − →

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Finální soustava elastostatických rovnic

2

2 2

:

:

:

r rR

rR

redz zZ

zZ

W PF p

W rPF p

h

FW rPF p

rh h

θ θθ

λλ

λλ

λλ π

ΘΘ

∂ − = −∂∂ − =∂∂ − = +∂

∑

∑

∑

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Tuto soustavu vyřešíme ve třech krocích:

(1) Určíme „neurčitou“ reakci na nestlačitelnost p

2 rR

rR

P Wp λ

λ∂= −∂

...a potom ve všech rovnicích substituujeme λrR = 1/(λθΘ·λzZ)

(2) Vypočteme sílu Fred nutnou k dosažení zvoleného

počátečního předepnutí λzZini (ta bude dále konstantní, což odpovídá experimentu, kdy nafukujeme svislou trubku s konstantním axiálním přívažkem)

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

W rPp

hθθ

λλΘ

Θ

∂ − =∂

2 2red

zZ

zZ

FW rPp

rh hλ

λ π∂ − = +∂

(2a) Pro zvolené λzZini určíme λθΘini za podmínky P = 0 z rovnice:

(2b) Pro zvolené λzZini a vypočtené λθΘ za podmínky P = 0určíme Fred z rovnice:

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

(3) Simulujeme odezvu materiálu na zvolený vnitřní tlak P

a předepínací sílu Fred. Čili řešíme soustavu rovnic níže tak, že dosazujeme za P (např. od 0 do 16 kPa) a vypočítáváme λθΘ a λzZ

(s tím, že na počátku pro P = 0 se výsledky samozřejmě kryjí s předem vypočtenými λθΘini a λzZini).

W rPp

hθθ

λλΘ

Θ

∂ − =∂

2 2red

zZ

zZ

FW rPp

rh hλ

λ π∂ − = +∂

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Pro další výklad si stáhněte soubor artery-thin-

walled-tube.mw z www.biomechanika.cz

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Ukázka výsledků simulace inflačně-extenzního testu lidských infrarenálních aort z Labrosse et al. (2012)

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Nedostatky modelu

( ) ( ) 0? ,ij

x x hσ = ∈

( )2rr

Prσ = −

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Silnostěnná nádoba integrace po tloušťce stěny...

( ) ( ) ( )0rr rr

d r r r

dr r

θθσ σ σ−+ =

( )2 2 0o

i

r

red i zz

r

F r P r rdrπ π σ+ − =∫

( )rr ir Pσ = −

( ) 0rr o

rσ =

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

( )rr ir Pσ = −

( ) 0rr o

rσ =0rr rr

d

dr rθθσ σ σ−

+ =

rr rrd

dr rθθσ σ σ−

= −

rr rrd

dr rθθσ σ σ−

=

rrrr

d drr

θθσ σσ −=

( )

( )( ) ( ) ( )0

rr o o

rr

r r

rrrr rr o rr rr

rr

d r r r drr

σθθ

σ

σ σσ σ σ σ −= − = − =∫ ∫

( )or

rrrr

r

r drr

θθσ σσ −= −∫Integrál jako funkce dolní meze

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Dále uvažme jednotkovou krychli, k níž přiložíme napětí σrr, σθθ a σzz, která ji zdeformují na kvádr o hranách λrR, λθΘ a λzZ. Přírůstek deformační energie dW při další diferenciální deformaci o dλkK (tj. např. λrR přejde na λrR +dλrR je:

EΘ eθ

λrR

λzZ

λθΘ

EZ ezER er

σzz

σθθσrr

zZ rR zZ rr rR rR zz zZdW d d dθθ θ θ θλ λ σ λ λ λ σ λ λ λ σ λΘ Θ Θ= + +

Pro nestlačitelný materiál diferencováním:

1 0rR zZ rR zZ rR zZ rR zZ

d d dθ θ θ θλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λΘ Θ Θ Θ= ⇒ + + =

...dosazením: ( ) ( )rR zZ rr rR zz rr zZdW d dθθ θ θλ λ σ σ λ λ λ σ σ λΘ Θ= − + −

když předpokládáme, že nestlačitelnost eliminuje jednu proměnnou...:

zZ

zZ

W WdW d dθ

θ

λ λλ λΘ

Θ

∂ ∂= +∂ ∂

Na závěr porovnáme výrazy pro dW:

rr zz rr zZ

zZ

W Wθθ θ

θ

σ σ λ σ σ λλ λΘ

Θ

∂ ∂− = − =∂ ∂

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

To, co jsme udělali, je eliminace parametru p z konstitutivních rovnic...

rr rR

rR

zz zZ

zZ

Wp

Wp

Wp

θθ θθ

σ λλ

σ λλ

σ λλ

ΘΘ

∂= −∂∂= −∂∂= −∂

rr

zz rr zZ

zZ

W

W

θθ θθ

σ σ λλ

σ σ λλ

ΘΘ

∂− =∂∂− =∂

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

rr

Wθθ θ

θ

σ σ λλΘ

Θ

∂− =∂

( )or

rrrr

r

r drr

θθσ σσ

−= −∫

( )or

rr

r

W drr

rθθ

σ λλΘ

Θ

∂= −∂∫

Čili vyjádřili jsme radiální napětí na základě kinematiky a konstitutivní rovnice

Což dosadíme...

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

2 22 2o o

i i

r r

red i zz i rr zZ

r r zZ

WF r P rdr r P rdrπ π σ π π σ λ

λ ∂= − + = − + + ∂

∫ ∫

zz rr zZ zz rr zZ

zZ zZ

W Wσ σ λ σ σ λλ λ

∂ ∂− = ⇒ = +∂ ∂

( )2

2 22 2

2

o o o

i i i

o

i

r r r

red i rr zZ i rr

r r rzZ

r

zZ

r zZ

d rWF r P rdr rdr r P dr

dr

Wrdr

π π σ π λ π π σλ

π λλ

∂= − + + = − + +∂

∂+∂

∫ ∫ ∫

∫

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

( )2

2 2o o

i i

r r

red i rr zZ

r r zZ

d r WF r P dr rdr

drπ π σ π λ

λ∂= − + +∂∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2 2 2 o

i

r

i i rr i o rr o rr rr P r r r r r rπ π σ π σ π σ − = − = −

( ) ( )2

2

2 2

2

2 2

o oo

ii i

o o o o

i i i i

r rr

red rr rr zZrr r zZ

r r r r

rr rrzZ zZ

r r r rzZ zZ

d r WF r r dr rdr

dr

d W Wr dr rdr r dr rdr

dr rθθ

π σ π σ π λλ

σ σ σπ π λ π π λλ λ

∂ = − + + = ∂

−∂ ∂= − + = − +∂ ∂

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Integrace per partes 0rr rr

d

dr rθθσ σ σ−

+ =

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

2 2o o

i i

r r

rrred zZ

r r zZ

WF r dr rdr

rθθσ σπ π λ

λ− ∂= − +

∂∫ ∫

rr

Wθθ θ

θ

σ σ λλΘ

Θ

∂− =∂

2o o

i i

r r

red zZ

r r zZ

W WF rdr rdrθ

θ

π λ π λλ λΘ

Θ

∂ ∂= − +∂ ∂∫ ∫

2o

i

r

red zZ

r zZ

W WF rdrθ

θ

π λ λλ λΘ

Θ

∂ ∂= − ∂ ∂ ∫

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Finální model

rr

zz zZ rr

zZ

W

W

θθ θθ

σ λ σλ

σ λ σλ

ΘΘ

∂= +∂∂= +∂

( )or

rr

r

W drr

rθθ

σ λλΘ

Θ

∂= −∂∫( )rr i

r Pσ = −

( ) 0rr o

rσ =

( )2 o

i

r

red zZ zZ zZ

r zZ

W WF rdr zθ

θ

π λ λ λ λλ λΘ

Θ

∂ ∂= − ≠ ∂ ∂ ∫

( ),zZ

W W θλ λΘ=

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Jak zahrnout zbytková napětí Rozevírání prstýnku můžeme modelovat jako otevírání uzavřeného kruhového prutu...

α

Úhel rozevření

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

oM

oM

Rozstřiženou konfiguraci budeme modelovat jako mezikruhovou výseč

oρ

Ri

R

oR

α

2α

ρiρ

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Rozstřiženou konfiguraci budeme považovat za beznapěťovou, a tak za referenční Uvažujeme-li tepnu, jako trubici, pak budeme zavírání modelovat jako přechod válcové výseče 2π–2αdo válce za podmínky zachování objemu

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Kinematika – 3 konfigurace

or

r

ir

( )R R

Z

ρπψ

π αδξ

=

Θ =−

=

( ) ( )R Zρ ψ ξ → Θ

( )r r R

z Z

θλ

== Θ=

( ) ( )R Z r zθΘ →

( )

( )1

0 0

0 0

0 0

F

R

R

ρρ

ππ α ρ

δ

∂

∂

= −

( )

2

0 0

0 0

0 0

F

r R

Rr

Rλ

∂

∂

=

0

0

0

,

,

,

Z L

z l

ξ ∈ Ξ

∈

∈

Otevřená = referenční

Uzavřená = zbytková napětí

Uzavřená = zbytková napětí

Natlakovaná-napnutá

Lδ =Ξ

l

Lλ =

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Kinematika

( ) ( )

( ) ( )2 1

0 0 0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0

F F F

r

z

R rr R

Rr R r

R

ρ

θψ

ξ

ρρ ρ λ

π π λπ α ρ π α ρ

λλ δ λδ

∂ ∂∂ ∂ ∂∂ = = = = − −

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Kinematika Pro integraci je třeba vyjádřit všechny funkce jakožto závislé na zdeformovaném (finálním) poloměru r, což provedeme z podmínky zachování objemu...

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 o o o o

ll r r L R R R R r r

Lπ π− = − → = − −

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2

2 o o o o

LL R R R R

π α πρ ρ π ρ ρπ α

− − Ξ = − → = − −− Ξ

λ

δ

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2

2 o o o z ol r r r rξ

π α πρ ρ π ρ ρ λπ α

− − Ξ = − → = − −−

z

lξλ δλ= =

Ξ

Pro další výklad si stáhněte soubor artery-thick-

walled-tube.mw z www.biomechanika.cz

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Zbytková deformace (parametrizovaná úhlem rozevření α) má jen malý vliv na tvar křivky P – ro

a Fred.

( )80 1 15 16 1 99, . , .red z

F P kPa Nα λ= ° = = =

( )0 1 15 16 1 95, . , .red z

F P kPa Nα λ= ° = = =

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Zbytková deformace homogenizuje průběh napětí