lista zadataka mf2
Post on 12-Jan-2016
28 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1
Norma operatora, adjungovani operator, spektar i sv. vektori 1. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora translacije πππ₯(π‘) = π₯(π‘ + π) na πΏ2(β).
2. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora π΄: π2(β) β π2(β),
(π΄π)π = {
π2, π = 1ππβ2, π neparno
ππ+2, π parno
3. U Hilbertovom prostoru π2 definisan je operator A: (π΄π₯)π = (π₯)π+2. Dokazati da je A ogranicen i
naci normu i spektar.
4. Odrediti spektar operatora π΄π(π‘) = (βπ
ππ‘+ π‘) π(π‘) ciji je domen πΏ2(β).
5. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom: [π₯2 + 2π₯]
6. Za operator π΄: π2 β π2, π΄(π0, π1, π2, β¦ ) = (π1, π0 + β2π2, β2π1 + β3π3, β¦ ) naci domen, ispitati
ogranicenost, adjungovanost i spektar.
7. * Neka je linearni operator π: π2(β) β π2(β) definisan na sledeci nacin:
π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯2πβ1, π₯2π, β¦ ) = (π₯1 + π₯2, π₯2 + π₯3, β¦ , π₯π + π₯π+1). Odrediti:
a. normu operatora βπβ
b. adjungovani operator πβ
c. spektar i sv. vektore operatora T.
8. * Linearni operator π: π2(β) β π2(β) je definisan na sledeci nacin: π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π, β¦ ) =
(π₯2, π₯4, β¦ , π₯2π, β¦ ). Odrediti normu i (diskretan) spektar operatora π. Pokazati da su sv.
podprostori operatora π beskonacno dimenzionalni.
9. π΄(π₯0, π₯1, β¦ ) = (π₯1, β2π₯2, β¦ ), da li je ogranicen, odrediti π΄β , odrediti spektre od π΄ i π΄β .
10. π΄(π₯0, π₯1, β¦ ) = (0, π₯0, β2π₯1, β¦ ), da li je ogranicen, odrediti π΄β .
11. ** Operator π: π2 β π2, definisan je na sledeci nacin: π(π0, π1, π2,β¦) = (1
2π2,
2
3π3, β¦ ,
πβ1
πππ, β¦ ).
a. Odrediti normu operatora βπβ,
b. diskretan spektar ππ(π) i odgovarajuce sv. vektore,
c. adjungovani operator πβ i njegov diskretni spektar ππ(πβ ).
12. * Fourier-Plancherel-ov operator je u prostoru πΏ2(β) definisan na sledeci nacin: πΉπ(π‘) =1
β2πβ« πββ π‘π π(π ) β π
β. Odrediti mu spektar. Hint: proveriti dejstvo operatora na Hermite-ove
funkcije.
13. * Operator π΄: πΆ[0, 1] β [0, 1] je definisan formulom: (π΄(π₯))(π‘) = π₯(0) + π‘π₯(1). Ispitati
osobine operatora π΄ i odrediti mu spektar.
14. * Odrediti sv. vrednosti i normirane sv. vektore za sledece operatore:
a. οΏ½ΜοΏ½π§ = ββ π
ππ
b. οΏ½ΜοΏ½π§2 = β
π2
ππ2
c. οΏ½ΜοΏ½ = ββ π
ππ+ π sin π
π je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?
15. * Odrediti sv. vrednosti i sv. vektore operatora (π΄π₯)(π‘) =π2π₯
ππ‘2, ako je domen definisan sa:
a. π·(π΄) = π₯(π‘) β πΆ2[0, π]: π₯(π) = π₯(0) = 0;
b. π·(π΄) = π₯(π‘) β πΆ2[0, π]: π₯β²(π) = π₯β²(0) = 0;
c. π·(π΄) = π₯(π‘) β πΆ2[0, π]: π₯(π) = π₯(0), π₯β²(π) = π₯β²(0).
Integralno jezgro 16. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom [π₯(π₯ + 2)]
17. * Polazeci od definicije celog dela preko step funkcije, naci izvod raspodele sa integralnim
jezgrom [2π‘2 β 4π‘].
18. * Neka πΎ oznacava integralni operator u prostoru πΏ2[β1, 1] sa integralnim jezgrom π(π₯, π‘) =
π₯ + π‘ + 2π₯π‘. Odrediti (diskretni) spektar i sv. vektore operatora πΎ. Reprezentovati operator πΎ u
bazisu Legendre-ovih polinoma.
19. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora πΎ: πΏ2[0,1] β πΏ2[0,1]
definisanog na sledeci nacin: (πΎπ)(π‘) = β« π(π‘, π )π(π ) β π 1
0, pri cemu je π(π‘, π ) =
{1 β π‘, 0 β€ π β€ π‘ β€ 11 β π , 0 β€ π‘ β€ π β€ 1
. Hint: diferencirati sv. jednakost.
20. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora πΎ: πΏ2[0,1] β πΏ2[0,1]
definisanog na sledeci nacin: (πΎπ)(π‘) = β« π(π‘, π )π(π ) β π 1
0, pri cemu je π(π‘, π ) = max{π‘, π } , 0 β€
π‘, π β€ 1. Hint: diferencirati sv. jednakost.
21. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora πΎ: πΏ2[0,1] β πΏ2[0,1]
definisanog na sledeci nacin: (πΎπ)(π‘) = β« π(π‘, π )π(π ) β π 1
0, pri cemu je π(π‘, π ) = min{π‘, π } , 0 β€
π‘, π β€ 1. Hint: diferencirati sv. jednakost.
22. * Neka πΎ oznacava integralni operator u prostoru πΏ2[0, 1] sa integralnim jezgrom π(π₯, π‘) = π₯ +
π‘. Odrediti sv.vrednosti i sv. vektore operatora πΎ.
Ostalo
23. * Pokazati da niz funkcija ππ(π₯) =π
π
1
1+π2π₯2 slabo konvergira ka πΏ(π₯) funkciji. Za βdobreβ test
funkcije smatrati ogranicene πΆβ(β) funkcije.
24. ** Izjednacavanjem odgovarajucih Fourier-ovih komponenti pokazati da vazi: πΏ(π‘) =
πβ ππβ0
1
β2πππ
βπ‘2
2π2.
25. * Polazeci od generatrise π2π π‘βπ 2= β π»π(π‘)
π π
π!
β
π=0 odrediti β¨π|π₯|πβ© =
β« π₯πβπ₯2π»π(π₯)π»π(π₯) β π₯
β
ββ.
26. * Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru πΏ2(β) definisan na sledeci nacin:
πΉπ(π‘) =1
β2πβ« πββ π‘π π(π ) β π
β, komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora.
(π»πΏπ»ππ(π‘) = βπβ²β²(π‘) + π‘2π(π‘)).
27. * Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije (π’(π‘) = {0, π‘ β€ 0; 1, π‘ > 0}) π(π) =
ππΏ(π) +1
β π. Hint: izraziti step funkciju preko antisimetricne funkcije π ππ(π‘).
28. * Ako je raspodela π(π₯, π) definisana na sledeci nacin (kao n-ta iteracija funkcije π(π₯)):
π(π₯, 1) = π(π₯) = ||π₯| β 1|, π(π₯, π) = π (π(β¦ π(π₯))), odrediti πβ²β²(π₯, 20).
2
Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i centar 1. ** Za grupu π·3β = π·3 β πΆ2 odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i
centar.
2. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, komutant za grupu πΆ5π£, kao i
moguce nacine razlaganja grupe πΆ5π£ na semidirektni proizvod.
3. * Data je grupa πΊ = πΆ4 β§ πΆ2. Odrediti klase konjugacije, podgrupe, invarijantne podgrupe i
odgovarajuce faktor grupe.
4. ** Paulijeve matrice {ππ}, definisane su na sledeci nacin: π1 = (0 11 0
) , π2 = (0 ββ β 0
) , π3 =
(1 00 β1
) , ππππ = πΏπππ + β β νπππππ3π=1 . Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda
generisanih sa β π1 i β π2 grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podgrupe i
faktor grupe.
5. * Za grupu generisanu matricama: {(0 11 0
) , (β1 00 1
)} odrediti red, klase konjugacije i
invarijantne podgrupe. Na taj nacin je istovremeno definisana i jedna reprezentacija iste grupe.
Da li je tako definisana reprezentacija reducibilna ili ireducibilna?
6. * Za grupu koja se sastoji od svih mogucih kompozicija funkcija generisanih sa π(π₯) =2
2βπ₯ i
π(π₯) = 2 β π₯, odrediti red, klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe, centar i
komutant.
(a) Klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe i (b) odrediti IRR 7. **** (a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne IRR grupe π·3
(b) Zatim odrediti IRR grupe π·3β = πΆ2 β π·3.
8. *** (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu
πΎ8.
(b) Indukcijom sa podgrupe π» = {1, β1, β , ββ } naci neekvivalentne IRR grupe πΎ8.
9. ** Grupa G je zadata preko dva generatora π i π generatorskih relacija ππ = πβ1π, ππ = πβ1π.
Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti
red elemenata π i π.
10. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu π·4.
Indukcijom sa podgrupe π» = {π, πΆ42, ππ₯ , ππ¦}, odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije
grupe π·4.
11. * Data je grupa πΊ = {π, π, π2, π3} β {π, π}. Odrediti sve invarijantne podgrupe, a zatim
indukcijom sa podgrupe {π, π2, π, π2π} naci sve ireducibilne reprezentacije grupe πΊ.
12. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu πΆ3π£.
(b) Indukcijom sa ciklicne podgrupe naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe πΆ3π£.
13. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu πΆ4π£.
(b) Indukcijom sa podgrupe πΆ4 naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe πΆ4π£.
14. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, faktor grupe, kao i broj ireducibilnih
reprezentacija za grupu πΆ6π£.
15. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu π·4.
Zatim, indukcijom sa podgrupe π» = {π, πΆ42, π, ππΆ4
2} naci sve neekvivalentne ireducibilne
reprezentacije za π·4. ~#2.10
16. * Indukcijom sa podgrupe πΆ6 odrediti dvodimenzione ireducibilne reprezentacije grupe πΆ6π£.
Ostalo 17. * Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama π(π₯) =
1 β π₯ i π(π₯) = 1/π₯ i π3. Zatim pokazati da je dejstvom permutacije π β π4 na elemente π, π, π, β
u izrazu π₯ =πβπ
πβπ:
πβπ
πβπ zadan homomorfizam grupe π4 na π3. Sta je jezgro ovog homomorfizma?
3
Standardni bazis (SAB) 1. *** Odrediti st. bazis za reprezentaciju π·(πΊ) = π΅0 β πΈ1,β1 β πΈ1,β1 grupe πΆ3π£
2. ** Metodom grupnih projektora odrediti SAB za representacije grupe π3 u prostoru β3
definisanu na sledeci nacin: π· (1 2 33 1 2
) = (
0 β3/2 1/2
β1/2 ββ3/4 3/4
β3/2 β1/4 β3/4
), π· (1 2 31 3 2
) =
(
1 0 0
0 ββ3/2 1/2
0 1/2 β3/2
)
3. *** Reprezentacija grupe π·4 je definisana sa π·(πΆ4)(ππ₯, ππ¦, ππ§) = (ππ¦, βππ₯, βππ§) i π·(π) =
(ππ₯ , ππ¦, ππ§) = (βππ¦, βππ₯ , βππ§). Naci simetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju.
4. * Odrediti st. bazis za regularnu reprezentaciju grupe π·3. Regularna reprezentacija grupe πΊ reda
π je matricna reprezentacija π·π (πΊ) u prostoru βπ, definisana sa π·β ππ (ππ) = πΏ(πβ ππ
β1, ππ) =
πΏ(πβ β1ππππ, π).
5. * Odrediti st. bazis za podprostor koji odgovara dvodimenzijalnoj IR-i grupe πΆ4π£. Regularna
reprezentacija grupe G reda π je matricna reprezentacija π·π (πΊ) u prostoru βπ, definisana sa
π·β ππ (ππ) = πΏ(πβ ππ
β1, ππ) = πΏ(πβ β1ππππ, π).
6. * Odrediti st. bazis za permutacionu reprezentaciju grupe πΆ5π£.
7. * Odrediti SAB za subdukciju na ciklicnu podgrupu, tenzorskog kvadrata dvodimenzionalne
ireducibilne reprezentacije grupe π·4.
8. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe πΆ4π£.
9. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe
πΎ8 (πΈ1,β1 β πΈ1,β1).
CG 10. * Naci Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe π3.
11. * Za grupu πΎ8 odrediti CG serije i CG koeficijente.
12. * Odrediti CG koeficijente i CG serije za IR-e grupe πΆ5π£.
Ostalo
13. * Matrice π·(πΆ4) = (
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
) i π·(ππ₯) = (
0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0
) definisu permutacionu
reprezentaciju grupe π·4. Naci vektore koji pripadaju podprostoru za ireducibilnu reprezentaciju
πΈ1,β1.
14. ** Metodom grupnih projektora odrediti skup 2x2 matrica iz β22, koje su invarijantne u odnosu
na dejstvo grupe πΆ3π£ definisano sa:
(βπ΄ β β22)(βπ β πΆ3π£)π·(π)π΄ = πΈ(π)π΄πΈ(πβ1)
gde je πΈ(πΆ3π£) dvodimenzionalna ireducibilna reprezentacija grupe πΆ3π£.
15. * Reprezentacija grupe π·4 u β22 je definisana sa: (βπ΄ β β22)π·(πΆ4)π΄ = (β 00 ββ
) π΄ (ββ 00 β
),
π·(ππ£) = (0 11 0
) π΄ (0 11 0
). Naci matrice koje se pripadaju podprostoru π΄0β reprezentacije.
16. Reprezentacija grupe π·3 je definisana sa π·π(πΆ3) = (
0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1
) i π·π(ππ£) =
(
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
)
top related