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Lista de Exercícios 01 de Cálculo Diferencial e Integral IV(2011.1)
Esta lista de exercícios e todas as que se seguirem visam oferecer material
complementar para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IV. Alguns problemas foram
extraídos de diversos livros e outros sugeridos pelo próprio monitor que esta lista redige. Ela é
especialmente interessante para o estudante que não conseguiu adquirir o livro-texto do
curso, e é do desejo do redator que elas juntamente com as notas de aula do professor
contribuam com o aprendizado do assunto, que é de suma importância na área de exatas.
1-(Próprio) Podemos ver a derivação como uma transformação linear? Prove caso esta
afirmativa seja verdadeira.
2-(Piskunov vol. II) Demonstre que as funções indicadas, dependentes de constantes
arbitrárias indicadas pela letra C, satisfazem as equações diferenciais correspondentes:
a)
.
b)
c)
d)
e)
f)
.
g)
3-(Kaplan vol. II) Ache os fatores integrantes de cada uma das seguintes equações diferenciais
e obtenhas as soluções gerais:
a)
.
b)
c)
4-(Piskunov vol. II) Ache as soluções das seguintes equações diferenciais lineares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
5-(Piskunov vol. II) Resolver os seguintes problemas geométricos, parte integral do problema é
traduzi-lo para a linguagem das equações diferenciais.
a) Demonstrar que a curva cujo coeficiente angular de suas retas tangentes em cada
ponto é proporcional a abcissa do ponto de tangência é uma parábola.
b) Achar uma curva que passe pelo ponto (0,-2), de tal modo que o coeficiente angular
das retas tangentes desta curva sejam igual a ordenada correspondente deste ponto
aumentada de três unidades.
c) Achar uma curva que passe pelo ponto (1,1) de tal maneira que o coeficiente angular
de suas retas tangentes em cada ponto seja proporcional ao quadrado da ordenada
neste ponto.
d) Demonstrar que a curva cuja propriedade consiste em que todas suas normais passem
por um ponto fixo é uma circunferência.
6-(Próprio) Se uma equação puder ser escrita como
, mostre, com cálculos, que a
substituição
transforma esta equação numa equação linear de primeira ordem.
Questões de Provas Antigas:
1-(2008.1) Em cada item abaixo encontre a solução geral da equação diferencial.
a)
. (Valia 2,0 pontos)
b) . (Valia 1,5 pontos) c) (Valia 2,0 pontos)
2-(2002.2) Resolve com a substituição
o problema de Cauchy abaixo. (Valia 1,0 pontos)
a)
3-(2002.2) Considere a equação diferencial
a) Encontre a solução geral desta equação. (Valia 1,5 pontos) b) Existem soluções da equação acima tais que ? Esta solução pode ser
única? (Valia 1,0 pontos) 4-(2006.1) Resolvas as equações diferenciais abaixo: (Valor da questão não informado)
a)
b)
c)
.
Lista 2 – Resumo de Equações de Primeira Ordem
Parte integral da solução dos problemas em equações diferenciais consiste em identificar o tipo de equação diferencial que se apresenta ao aluno, para desta forma sabermos qual algoritmo de resolução aplicar. 1-Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem
Algoritmo:
a) Integre ; b) Ache a exponencial da primitiva de encontrada em b, este é o nosso fator integrante ; c) Multiplique toda a equação diferencial por ;
d) Pela definição de fator integrante, e) Integre dos dois lados; f) Isole y, atente para o aparecimento de uma constante arbitrária em f;
Simbolicamente:
a)
b)
c)
d)
Observação: A equação de Bernoulli é, em última análise, uma equação deste tipo, uma vez aplicada mudança de variável o que nos leva a e a uma equação linear em u(x). Sempre lembrar que uma vez encontrada u(x), nós devemos devolver a variável original y, para tal, basta lembrarmos-nos da substituição . 2-Equação Separável
Algoritmo:
a) Isole de um lado todos os termos em x, e do outro todos os termos em y; b) Integre cada lado com respeito a sua variável isolada, não esqueça de um lado adicionar uma constante
arbitrária C; c) Manipule algebricamente a expressão para uma forma que mais lhe convenha;
Simbolicamente:
a)
b)
c) Arranje os termos como preferir;
Observação: A equação homogênea é, também em última análise, uma equação separável, uma vez
aplicado mudança de variável , pois isto sempre vai nos levar a uma equação separável em termos de u e de
x. Novamente, uma vez encontrada u(x), retornar a expressão em y.
Prova:
3-Equação Exata
Algoritmo:
a) Verifique se é verdadeiro , e ipso facto, a equação é realmente do tipo exata.
b) Se o fato verificado anteriormente é verdadeiro, é porque existe uma função tal que é verdadeiro .
c) Usando seus conhecimentos de cálculo III, procure , que é essencialmente o mesmo problema de achar
uma função potencial no .
Simbolicamente:
a) Uma vez que integramos apenas com respeito a x, a constante que aparece pode ser muito bem uma função exclusivamente de y;
b)
; Desta forma achamos e com isto nossa função potencial;
c) Arranje como preferir.
Caso Especial: Quando uma equação da forma não for exata, é possível achar uma fator integrante para ela de modo simples de forma a torná-la uma equação exata. O procedimento consiste em assumir que exista um fator integrante que é exclusivamente função de x ou exclusivamente função de y e partindo deste pressuposto desenvolver uma equação diferencial auxiliar que nos leve a e com isto tornemos a equação inicial exata.
Simbolicamente, temos dois jeitos de encontrar :
Testando se nos serve:
a)
b)
Verifique se
é mesmo só função de x;
c)
d) Multiplique por . A equação se tornará exata;
Testando se nos serve:
a)
b)
Verifique se
é mesmo só função de y;
c)
d) Multiplique por . A equação se tornará exata;
Observações:
a) As hipóteses ou podem ser testadas em qualquer ordem, naturalmente; b) Se uma hipótese é verdadeira, já se encontrou um fator integrante, então não faz sentido testar a outra
hipótese; c) Não se esqueça de resolver ;
Observações Gerais: Os alunos devem notar que todas as equações estudadas até o momento se resumem em 3 grupos de equações, mesmo as equações estudadas que, a priori, não parecem pertencer a estes grupos, sob uma substituição adequada cairão nos 3 casos resumidos nesta ficha.
Lista 3 – Exercícios de Revisão (A lista 1 já tem equações lineares o suficiente) 1-Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
a)
b)
c)
d)
e)
2-Resolver as equações diferenciais a seguir:
a)
b) c)
d)
e)
f)
3-Achar a família de curvas ortogonais a cada uma das curvas pedidas, tente identificar cada tipo de curva:
a)
b)
c)
d) ; 4-Resolver as seguintes equações diferenciais lineares com coeficientes constantes:
a)
b)
c)
d)
5-Resolver as equações diferenciais separáveis a seguir: a) b) c) d)
e) ; 6-Problemas Mistos: a) Mostre que toda equação diferencial separável é exata;
b) Mostre que toda equação homogênea é separável pela substituição ;
c) Para uma equação diferencial linear homogênea da forma , mostre que: -A soma de duas soluções é uma solução; -O produto de um escalar por uma solução é uma solução; -Conclua que qualquer combinação linear de soluções é solução; -Lembre de Álgebra Linear, da noção de conjunto gerador, o que podemos inferir?
Lista 4 – Cálculo Diferencial e Integral IV
Sugestão para quem estiver com alguma dificuldade no assunto:
Um bom material extra pra quem sabe um pouco de inglês. São aulas ministradas por professores do MIT e que
foram gravadas através da licença OpenCourseWare:
http://academicearth.org/courses/differential-equations
Equações Homogêneas a Coeficientes Constantes
1 - Para as seguintes equações diferenciais de segunda ordem homogêneas:
(i) Escreva o operador diferencial L de cada equação tal que a equação seja da forma L[y] =0;
(ii) Resolva então a equação L[y] =0, escrevendo o polinômio característico associado a estas equações;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Observação: Não estranhe a forma da resposta, relembre a definição de núcleo.
2-Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)
b)
Redução de Ordem
3-Usando o método da redução de ordem, primeiro, verifique que é de fato solução das equações abaixo, e
em seguida ache a solução geral das equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4- Verifique que se tivermos uma equação da forma e conhecermos uma solução
particular, não identicamente nula, , ao procurarmos uma solução teremos de fato
uma equação linear em termos de e ache uma expressão geral para esta equação.
Extra: É possível usar o método da redução de ordem de uma forma alternativa, se utilizar a identidade de Abel e
algumas simples considerações sobre as constantes envolvidas. Observe:
Método dos Coeficientes Constantes
5 - Para as seguintes equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas:
(i) Escreva o operador diferencial L de cada equação tal que a equação seja da forma L[y] ;
(ii) Resolva então L[y] = 0 (homogênea associada) e use-a para resolver L[y] = f(x);
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
6 – Dar a solução do problema de valor inicial:
a)
b)
7 – Dar a solução do problema de valor inicial: ;
8-Dar a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
a)
b)
Lista 5 – Cálculo Diferencial e Integral IV
Resumo das Equações Lineares de Segunda Ordem:
1-Equações diferenciais de segunda ordem, homogêneas a coeficientes constantes:
Solução:
a) Escrever o polinômio característico associado
b) Achar as raízes de .
c) Temos agora três possibilidades:
2-Método da Redução de Ordem:
Solução:
a) Procurar uma solução da EDO tal que
b) Com isto achar as derivadas de para substituir na equação, saber:
c) Substituir estes valores na EDO, a equação encontrada será em termos de uma equação diferencial
linear de primeira ordem;
d) Então, devido ao item anterior, faça a substituição e resolva a equação em ;
e) Do item anterior, encontre por simples integração, terá duas constantes;
f) Uma vez que substitua os valores e encontre que será a solução geral da equação;
3-Método dos Coeficientes a Determinar:
Solução:
a) Antes de tudo, resolver a equação homogênea associada
b) Uma vez encontrado o espaço solução da homogênea associada, devemos comparar estas soluções com a
função o que nos leva a duas opções:
Nem a função , ou nenhuma de suas partes está contida em , então devemos procurar, via
inspeção uma solução particular para a equação linear, através do que podemos chamar de “chute
consciente”.
Exemplo: A equação tem como , se você resolver a homogênea associada
encontrará que que não se parece em nada com . Como a derivação é uma operação
que só consegue baixar o grau dos polinômios, então o grau máximo de um polinômio que possa servir como
solução vai ser o grau máximo do polinômio em que é 1. Então procure uma solução da forma ;
Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada
vemos que que não se parece com . Uma vez que a derivação da função seno nos leva
na função cosseno e a derivação da função cosseno nos leva na função seno, então a solução que procuraremos
será da forma ;
A função , ou alguma de suas partes está contida em , então devemos procurar, via inspeção
uma solução particular para a equação linear, através do que podemos chamar de “chute consciente”, só
que desta vez devemos multiplicar o nosso “palpite” por x nos termos que apareceram em .
Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada
vemos que , agora observe que aparece de fato em , então pelo mesmo
argumento utilizado no exemplo anterior, a solução procurada será da forma .
Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada vemos
que , mas observe que 1 está contido em . Então, ao invés de fazermos como
no primeiro exemplo, procuraremos uma solução da forma . Observando que se procurássemos
uma solução da forma teríamos que c seria um parâmetro livre das equações obtidas.
4-Método da Variação dos Parâmetros: O método da variação dos parâmetros é um método poderoso, e
extensível a toda ordem de equações lineares, para dele utilizarmos basta conhecermos as soluções da equação
homogênea associada da EDO.
a) Resolver a equação homogênea associada ;
b) Extrair daí duas soluções fundamentais ;
c) A solução da EDO será ;
d) Sabendo que satisfazem o seguinte sistema de equações:
e) O que pela Regra de Cramer nos leva ao seguinte:
f) Desta forma nos é acessível encontrar e por simples integração; g) Ao final basta fazermos que será a solução da homogênea somada a uma
solução particular da EDO.
Exercício – Desafio: Resolver sabendo que é solução, utilizando o seguinte roteiro:
I) Utilize redução de ordem para encontrar todas as soluções da homogênea associada;
II) Use variação de parâmetros para encontrar a solução da EDO;
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