logaritmos - lenimar n andrade
Post on 05-Apr-2018
215 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/31/2019 Logaritmos - Lenimar N Andrade
1/5
Calculando logaritmos de uma forma eficiente
Lenimar Nunes de AndradeUFPB - Joao Pessoa
e-mail: lenimar@mat.ufpb.br
7 de abril de 2007
Resumo
Assim como existem formulas com a funcao trigonometrica arco-
tangente que sao usadas no calculo do valor de , existem formulas que
envolvem a funcao arco-tangente hiperbolica que sao uteis no calculo
de logaritmos. Neste artigo, destacamos a utilizacao dessas formulas
no calculo de logaritmos de alguns numeros.
1 IntroducaoDesde o seculo XVII que os logaritmos vem sendo utilizados. Seu calculo
despertou a atencao de matematicos famosos como Newton, Euler, entreoutros.
Os valores dos logaritmos de varios numeros eram publicados em forma delongas tabelas chamadas tabuas de logaritmos. Devido as propriedades doslogaritmos, a utilizacao dessas tabelas tinha por objetivo facilitar calculosonde apareciam multiplicacoes, divisoes, potencias e razes.
Como as tabuas de logaritmos sao construdas e a maneira como as cal-culadoras ou computadores os calculam e algo que sempre chama a atencaodos curiosos.
Neste artigo apresentamos algumas formulas que podem ser usadas paracalcular logaritmos de uma forma eficiente, ou seja, com poucas operacoesaritmeticas envolvidas e boa precisao numerica dos resultados obtidos.
1
-
7/31/2019 Logaritmos - Lenimar N Andrade
2/5
2 A funcao arco-tangente hiperbolica
A funcao arco-tangente hiperbolica arctgh(x) pode ser definida por
arctgh(x) =1
2ln
1 + x
1 x
,
onde ln(x) = loge(x) representa o logaritmo natural de x.
Em geral, para toda formula envolvendo uma funcao trigonometrica existeuma formula analoga envolvendo uma funcao hiperbolica. Por exemplo, apartir das conhecidas formulas para o calculo da soma dos termos de umaprogressao geometrica infinita com |x| < 1
1
1 + x2= 1 x2 + x4 x6 + x8
e1
1 x2= 1 + x2 + x4 + x6 + x8 +
podemos obter as formulas
arctg x =
k=0(1)kx2k+1
2k + 1= x
x3
3+
x5
5
x7
7+
x9
9
e
arctgh x =k=0
x2k+1
2k + 1= x +
x3
3+
x5
5+
x7
7+
x9
9+ .
Uma formula muito utilizada para calcular o valor de e a formula deMachin:
4= 4 arctg
1
5 arctg
1
239.
Usando essa formula, ele calculou com 100 casas decimais em 1706.Temos varias formulas parecidas com a formula de Machin onde aparecem
logaritmos no lugar de . Como por exemplo,
ln 2 = 2 arctgh1
5+ 2 arctgh
1
7,
(que e equivalente a ln 2 = ln(3/2) + ln(4/3)). Essa formula foi usada porEuler em 1748 para calcular ln 2 com 25 casas decimais. E impressionanteo fato de numeros tao distintos quanto e ln 2 serem obtidos atraves decalculos tao semelhantes.
2
-
7/31/2019 Logaritmos - Lenimar N Andrade
3/5
Muitas outras formulas podem ser obtidas a partir de valores particulares
das funcoes arctgh(x) e ln(x). Por exemplo, a partir de1/2ln(3/4) + arctgh(1/2) pode-se chegar a
l n 2 =k=0
1
8k + 8+
1
4k + 2
1
4k,
que e uma serie de convergencia muito rapida, somando-se poucos termospodemos obter resultados bem proximos do valor exato.
3 Uma formula eficiente
Em 1997, P. Sebah obteve a formula
ln 2 = 10arctgh1
17+ 4 arctgh
13
499.
A verificacao da validade desse tipo de formula em geral e imediata, bas-tando usar as definicoes e propriedades basicas das funcoes envolvidas. Porexemplo, a formula anterior e equivalente a
ln2 = 5 ln(9/8) + 2 ln(256/243) = 5(2 ln 3 3 ln 2) + 2(8 ln 2 5ln3)
Essa formula foi utilizada em 2001 para calcular ln 2 com mais de 500 milhoesde casas decimais.Substituindo-se arctgh(1/17) e arctgh(13/499) pela soma de tres termos
de cada uma das respectivas series, podemos obter um valor aproximado deln 2 com 8 casas decimais exatas (isto e, 8 casas decimais do valor aproximadocoincidindo com as do valor exato), conforme mostrado a seguir. Utilizamoso smbolo significando aproximadamente igual a.
arctgh1
17
1
17+
1
14739+
1
7099285= 0, 05889152
arctgh
13
499
13
499 +
2197
372754497 +
371293
154693737512495 = 0, 02605800
ln 2 10(0, 05889152) + 4(0, 02605800) = 0, 69314718.
4 Logaritmos de outros numeros
Conhecendo-se um valor como o de ln 2, usando propriedades basicas doslogaritmos podemos determinar varios outros como ln 0, 5 = ln(1/2) = ln2,ln 4 = 2 ln 2, ln 0, 25 = ln(1/4) = 2 l n 2, etc.
3
-
7/31/2019 Logaritmos - Lenimar N Andrade
4/5
Alem disso, a partir de
2 arctgh
1
2x + 1
= ln
1 + 1
2x+1
1 12x+1
= ln
x + 1
x
,
obtemos ln(x + 1) = ln(x) + 2 arctgh
1
2x+1
, ou seja,
ln(x+1) = ln(x)+2
1
2x + 1+
1
3(2x + 1)3+
1
5(2x + 1)5+
1
7(2x + 1)7+
.
que pode ser usada para calcular logaritmos de outros numeros, conforme
mostrado a seguir onde a partir de ln 2 calculamos ln 3, depois ln 9 e ln 10.
ln 3 ln 2 + 2
1
5+
1
375+
1
15625+
1
546875+
1
17578125
= 1, 09861228
ln 9 = ln 32 = 2 ln 3 2 1, 09861228 = 2, 19722456
ln10 ln9+2
1
19+
1
20577+
1
12380495+
1
6257102173+
1
2904189280011
= 2, 30258508.
5 Logaritmos decimais
Para obter logaritmos decimais, basta dividir os logaritmos naturais porln 10. Podemos obter assim os seguintes valores:
log2 =ln 2
ln10
0, 69314718
2, 30258508= 0, 30103000
log3 =ln 3
ln10
1, 09861228
2, 30258508= 0, 47712125
que sao valores com 8 casas decimais exatas.Note que usamos apenas uma quantidade bem modesta de termos dos
desenvolvimentos em series de potencias. Se tivessemos usado mais termos,teramos obtidos resultados muito melhores. Por exemplo, se tivessemosusado 10 termos dos desenvolvimentos de cada serie, no final teramos obtidolog 2 e log 3 com 15 casas decimais exatas.
4
-
7/31/2019 Logaritmos - Lenimar N Andrade
5/5
6 Recordes no calculo de ln 2
Em 2001, foi divulgado um calculo de ln 2 com mais de 500 milhoes decasas decimais. A seguir, a evolucao da quantidade de casas decimais dessetipo de calculo ao longo de varias decadas.
N. dgitos Ano Calculador
16 1671 I. Newton25 1748 L. Euler
137 1853 W. Shanks273 1878 Adams
330 1940 H. S. Uhler3.683 1962 D.W. Sweeney2.015.926 1997 P. Demichel5.039.926 1997 P. Demichel
10.079.926 1997 P. Demichel29.243.200 1997 X. Gourdon58.484.499 1997 X. Gourdon
108.000.000 1998 X. Gourdon200.001.000 2001 X. Gourdon & S. Kondo240.000.000 2001 X. Gourdon & P. Sebah500.000.999 2001 X. Gourdon & S. Kondo
Referencias
[1] Avila, G., Como se constroi uma tabua de logaritmos, Revista doProfessor de Matematica 26, 1994.
[2] Gourdon, X., Sebah, P., The logarithm constant log(2), 2001, dis-ponvel na internet em numbers.computation.free.fr
[3] Markushevich, A. I., Areas y logaritmos, Editorial Mir, 1975.
5
top related