tema logaritmos
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Tema .- Logaritmos
XPLoga
Profesor: Juan SanmartínMatemáticas
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Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe loga P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
PaxPLog xa
Ejemplo:
8238log 32
Leemos, logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2 elevado a 3 es 8.
Análogamente podemos decir:
84,5310731105051,184,53log
0001,010000
110
11040001,0log
10000001061000000log
813481log
12553125log
731105051,110
44
10
610
43
35
Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y son los más utilizados. Por eso, la tecla de la calculadora es para el cálculo de los logaritmos decimales. (también en el uso habitual podemos poner log en lugar de log10 ).Para Calcular, por ejemplo, log10 53,84 se hace:
53,84 1,731105051
El cálculo de logaritmos en otra base se hace a partir de los logaritmos decimales, como se verá en las propiedades
Ejercicio 1.- Decir el valor de los logaritmos poniendo los números en forma de potencias:
a. Log6 1296b. Log2 0,125
41296log61296) 64 a
Ejercicio 2.- Con la tecla ,calcular log 5, log 50, log 500, log 5000
...69897,35000log
...69897,2500log
...69897,150log
...69897,05log
3125,0log221
81
1000125125,0) 2
33 b
Ejercicio 3.-Utilizando la tecla para hallar potencias, ^ ó xy , calcular de forma aproximada log7532.
,...3532log24017
343774
3
...2,3532log,...6147
,...506773,3
2,3
...22,3532log
...5367
...5267
,...5167
723,3
22,3
21,3
Así sucesivamente, podemos aproximarnos tanto como queramos al valor de log7532.
Hallemos la cifra de las décimas
Hallemos la cifra de las centésimas
Propiedades de los logaritmos
Las siguientes propiedades de los logaritmos son, todas ellas, consecuencia de las propiedades de las potencias
I.- El logaritmo de 1 es 0 cualquiera que sea la base.
01log a Ejemplo: 1501log 05
II.- Cualquiera que sea la base, su logaritmo es 1.
1log aa 7717log 17 Ejemplo:
III.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
QPQP aaa logloglog Ejemplo:
9368log64log)864(log512log 2222
51229512log 92
IV.- El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
QPQP
aaa logloglog
Ejemplo:
23527log243log27
243log 333
9329log27
243log 233
V.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.
PnP an
a loglog
Ejemplo:
23649log349log 7
37
VI.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.
nPP an
aloglog Ejemplo:
32
34log4log 23
2
Esta propiedad es consecuencia de la anterior debido a:
nPP
nPP a
an
an
aloglog1loglog
1
VII.- Cambio de base. El logaritmo en base a de un número se puede obtener, a partir de los logaritmos decimales, según la siguiente igualdad.
aP
aPPa log
loglogloglog
10
10 De esta forma se puede hacer por calculadora
Ejercicio 4.-Sabiendo que el log 2=0,301 y aplicando las propiedades anteriores, calcula log 507.
50log750log 7
Ejercicio 5.-Con ayuda de la calculadora, obtener:a. log2 1500b. log7 593
Tecla
1500255074679,10301029995,0176091259,3
2log1500log1500log) 55074697,10
2 a
5937281340817,384509804,0
773054693,27log
593log593log) 281340817,37 b
2log100log72
100log7
893,11301,027
Ejercicio.- Sabiendo el valor de log 2= 0,301030 y el de
log 3= 0,477121, calcula los siguientes logaritmos.
4loga).-
22log4log
b).- 12log
12log
c).- 15log
43log 223log 22log3log
2log23log 079181,1301030,02477121,0
602060,0301030,022log2
15log2
30log2103log
2log10log3log
176091,1301030,01477121,0
Ejercicio.- Calcula el valor de la siguiente expresión
a).- 35
6 2
2 5122464log
35
6 2
25122464log
35
26 2
2 5122log464log
3512log
2log6
464log 252
22
3512log
2log56
4log264log 22
22
319
638
648108
610
3915
6226
Ecuaciones Exponencialesy Logarítmicas
Para resolver estos tipos de ecuaciones basta aplicar las propiedades de las potencias y las de los logaritmos. Veamos algunos ejemplos
En este tema vamos a ver:
813 52
x
Ecuaciones Exponenciales
1502 1 x
Ecuaciones Logarítmicas
1log2log x
Sistemas de Ecuaciones
4log5loglog2
yxyx
Ejercicio 6.-Resuelve
813 52
x
813 52x
992 xx
a).-
b).- 1502 1 x Aplicamos el concepto de logaritmo
150log1 2x
Como150 no es potencia entera de 2, para despejar x tenemos que tener en cuenta la definición de logaritmo (propiedad VII)
2288,71x
45 332
x 452 x 542 x
33
2
1
xx
2288,7301029995,0176091259,2
2log150log
2288,612288,7 x
Ejercicio 7.-Resuelve
a).- 1log2log x
1log2log x
Aplicamos la propiedad III, logaritmo de un producto e igualamos logaritmos y la propiedad II.
Es lógico que si dos logaritmos son iguales lo que hay dentro tiene que ser igual ¡¡¡IMPORTANTE!!!
10log)2log( x
10log)2log( x
52
10102 xx
b).- 23loglog 55 x
Aplicamos la propiedad IV, logaritmo de un cociente y aplicamos la definición de logaritmo para transformar 2 en logaritmo.
2555 5log25log
3log
x
Al igualar logaritmos, igualamos lo que contienen y por lo tanto:
752532553
2 xx
c).- 27log3log6 22 x
Aplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia e igualamos.
322
62 3log27log3log x
36 33 x
2126
12614366
24
0662
2
x
acabbx
xx
36933 22 xxx
2126
1
x
2126
2
x
Ejercicio 8.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
a).-
1loglog22
yxyx Aplicamos las propiedades como
en los casos anteriores.
1010loglog1loglog yx
yxyx
Resolvemos el sistema
20202102
2221122101022
xxy
yyyyyxyx
Solución del sistema
20;2 xy
Ejercicio 9.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
a).-
4log5loglog2
yxyx Aplicamos las propiedades como
en los casos anteriores.
5loglog2 yx
De la otra ecuación obtenemos
52 10logloglog yx
4log yx
410 yxCon lo que obtenemos un nuevo sistema que pasamos a resolver
52 10log100000logloglog yx
52
52
1010loglog yx
yx
410log10000log)log( yx
410log)log( yx
4
52
10
10
yxyx
54
3
1010
x
Resolvemos la ySolución
xy
410
54
35
4
2
1010
1010
x
x
x
33 993 101010 xx
10101010 3
43 yx
10;103 yx
Ejercicio 9.-Resuelve
1222 1 xx
Hacemos que 2x = z y aplicando las propiedades de las potencias:
222 1 xx
Llegamos a que:
22222 1 xxxx
242 xz x
Resolvemos
123122 zzz
1222 zzxz
43
12123 zz
Ejercicio 10.- Resuelve la ecuación.
23log6log1log xxx
Aplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia e igualamos.
23log61log xxx
2361 xxx
23652 xxx 0822 xx
2
622
362x
Comprobamos que x=-4 no verifica la ecuación porque log(-5) no existe. La solución es:
21 x
0822 xx
12
814422
42
acabbx
21 x
42 x
Fin de Tema
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