logika kiskáté - arato.inf. · pdf filelogika kiskáté...
Post on 04-Feb-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Logika kiskáté
Mihálydeák Tamás és Aszalós László
2012
1. Definíciók1. Adja meg a klasszikus nulladrendu nyelv definícióját!
Megoldás: Klasszikus nulladrendu nyelven az L(0) = 〈LC,Con, Form〉 rendezett hármast értjük, aholLC = {¬,⊃,∧,∨,≡, (, )} (a nyelv logikai konstansainak halmaza). Con 6= ∅ a nyelv nemlogikaikonstansainak (állítás- vagy kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza. AzLC ∩ Con = ∅. A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt az alábbi induktív definíció adjameg:
• Con ⊆ Form
• Ha A ∈ Form, akkor ¬A ∈ Form.
• Ha A,B ∈ Form, akkor
– (A ⊃ B) ∈ Form,
– (A ∧B) ∈ Form,
– (A ∨B) ∈ Form,
– (A ≡ B) ∈ Form.
2. Adja meg a nulladrendu atomi formula definícióját!
Megoldás: Ha L(0) egy nulladrendu nyelv (azaz L(0) = 〈LC,Con, Form〉), akkor Con halmaz elemeitnulladrendu atomi formuláknak vagy nulladrendu prímformuláknak nevezzük.
3. Adja meg a részformula definícióját a nulladrendu nyelvben!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés: RF (A)],amelyre teljesül, hogy
• A ∈ RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának;
• ha ¬B ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);
• ha (B ⊃ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
1
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 2/29
• ha (B ∧ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ∨ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ≡ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A).
4. Adja meg a közvetlen részformula definícióját a nulladrendu nyelvben!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv.
• Ha A atomi formula (azaz A ∈ Con), akkor nincs közvetlen részformulája;
• ¬A egyetlen közvetlen részfomulája A;
• Az (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.
5. Adja meg a részformula definícióját a közvetlen részformula segítségével nulladrendu nyelvben!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés: RF (A)],amelyre teljesül, hogy
• A ∈ RF (A), (azaz az A formula részformulája önmagának);
• ha A′ ∈ RF (A) és B közvetlen részformulája A′-nek, akkor B ∈ RF (A) (azaz, ha egy A′ formularészformulája A-nak, akkor A′ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).
6. Adja meg a szerkezeti fa definícióját nulladrendu nyelv esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk,
• amelynek csúcsai formulák,
• gyökere az A formula,
• ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,
• (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C), (B ≡ C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulákalkotják,
• levelei prímformulák (atomi formulák).
7. Adja meg a nulladrendu logika interpretációjának definícióját!
Megoldás: A % függvényt az L(0) = 〈LC,Con, Form〉 nulladrendu nyelv egy interpretációjának nevezzük,ha
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 3/29
• Dom(%) = Con
• Ha p ∈ Con, akkor %(p) ∈ {0, 1}.
8. Adja meg a formula szemantikai értékének definícióját nulladrendu logika esetén (azaz adja meg nulladrendulogika szemantikai szabályait)!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és % egy nulladrendu interpretáció.Az A ∈ Form formula % interpretáció szerinti szemantikai értékét a következo szabályok határozzák meg(jelölés: |A|% jelöli az A formula % interpretáció szerinti értékét):
• Ha p ∈ Con, akkor |p|% = %(p)
• Ha A ∈ Form, akkor |¬A|% = 1− |A|%.
• Ha A,B ∈ Form, akkor
• |(A ⊃ B)|% =
{0, ha |A|% = 1 és |B|% = 01, egyébként
• |(A ∧B)|% =
{1, ha |A|% = 1 és |B|% = 10, egyébként.
• |(A ∨B)|% =
{0, ha |A|% = 0 és |B|% = 01, egyébként.
• |(A ≡ B)|% =
{1, ha |A|% = |B|%0, egyébként.
9. Adja meg a formulahalmaz modelljének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A % interpretáció nulladrendu modellje a Γ formulahalmaznak, ha minden A ∈ Γ esetén |A|% = 1
10. Adja meg a formula modelljének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula modelljén az {A} egyelemu formulahalmaz modelljét értjük.
11. Adja meg a formulahalmaz kielégíthetoségének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégítheto, ha van modellje.
12. Adja meg a formula kielégíthetoségének definícióját nulladrendu logika esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 4/29
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula kielégítheto, ha az {A} formulahalmaz kielégítheto.
13. Adja meg a formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. Az Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégítheto, azaz nincs modellje.
14. Adja meg a formula kielégíthetetlenségének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen.
15. Adja meg a formulahalmaz logikai következményének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz, és A ∈ Form egy formula. A Γ formulahalmaznak logikai következménye az A formula, ha aΓ ∪ {¬A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ |= A
16. Adja meg a formula logikai következményének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két tetszolegesformula. Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A} |= B. Jelölés: A |= B
17. Adja meg az érvényesség definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A ∈ Form egy formula. Az A for-mula érvényes, ha ∅ |= A, azaz ha az A formula logikai következménye az üres halmaznak. Jelölés: |= A
18. Adja meg a formulák logikai ekvivalenciájának definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula. Az Aés a B formula logikailag ekvivalens, ha A |= B és B |= A. Jelölés: A⇔ B
19. Adja meg a zárójelelhagyási konvenciókat nulladrendu nyelv esetén!
Megoldás:
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 5/29
• A legkülso zárójelpár mindig elhagyható.
• A kétargumentumú logikai konstansok elsobbségi (precedencia) sorrendje: ∧,∨,⊃,≡
• A negáció erosebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál.
• Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsobbségét a balról jobbra szabályrendezi: eloször mindig a bal oldali formulát tekintjük külön muveleti komponensnek.
20. Adja meg a literál definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha p ∈ Con, akkor a p,¬p formulákatliterálnak nevezzük. A p,¬p literálok esetén a p paramétert a literál alapjának nevezzük.
21. Adja meg az elemi konjunkció definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha az A ∈ Form formula literál vagykülönbözo alapú literálok konjunkciója, akkor A-t elemi konjunkciónak nevezzük.
22. Adja meg az elemi diszjunkció definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha az A ∈ Form formula literál vagykülönbözo alapú literálok diszjunkciója, akkor A-t elemi diszjunkciónak nevezzük.
23. Adja meg a diszjunktív normálforma definícióját!
Megoldás: Egy elemi konjunkciót vagy elemi konjunkciók diszjunkcióját diszjunktív normálformának ne-vezzük.
24. Adja meg a konjunktív normálforma definícióját!
Megoldás: Egy elemi diszjunkciót vagy elemi diszjunkciók konjunkcióját konjunktív normálformának ne-vezzük.
25. Adja meg az axiómaséma definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv (a klasszikus állításlogika nyelve). Anulladrendu kalkulus (klasszikus állításkalkulus) axiómasémái (alapsémái):
(A1) A ⊃ (B ⊃ A)
(A2) (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))
(A3) (¬A ⊃ ¬B) ⊃ (B ⊃ A)
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 6/29
26. Adja meg a axiómaséma szabályos behelyettesítésének definícióját!
Megoldás: Az axiómaséma szabályos behelyettesítésén olyan formulát értünk, amely az axiómasémából abenne szereplo betuk tetszoleges formulával való helyettesítése útján jön létre.
27. Adja meg az axióma definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: A nulladrendu kalkulus (klasszikus állításkalkulus) axiómái az axiómasémák szabályos behe-lyettesítései.
28. Adja meg a formulahalmaz szintaktikai következményének definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tetszoleges formula-halmaz. A Γ formulahalmaz szintaktikai következményeinek induktív definíciója:
Bázis:
• Ha A ∈ Γ, akkor Γ ` A.
• Ha A axióma, akkor Γ ` A.
Szabály (leválasztási szabály):
• Ha Γ ` B, és Γ ` (B ⊃ A), akkor Γ ` A.
29. Adja meg a formula szintaktikai következményének definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két tetszolegesformula. Az A formulának szintaktikai következménye a B formula, ha {A} ` B. Jelölés: A ` B
30. Adja meg az inkonzisztens formulahalmaz definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ formulahalmaz inkonzisztens, ha Cns(Γ) = Form.
31. Adja meg az inkonzisztens formula definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ⊆ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula inkonzisztens, ha Cns({A}) = Form.
32. Adja meg a konzisztens formulahalmaz definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 7/29
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ formulahalmaz konzisztens, ha nem inkonzisztens.
33. Adja meg a konzisztens formula definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ⊆ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula konzisztens, ha nem inkonzisztens.
34. Adja meg a levezetheto formula definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A ∈ Form egy formula. Az Aformula levezetheto, ha ∅ ` A, azaz ha az A formula szintaktikai következménye az üres halmaznak. Jelölés:` A
35. Adja meg a szekvencia definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz ésA ∈ Form egy formula. Ha az A formula szintaktikai következménye a Γ formulahalmaznak, akkor a’Γ ` A’ jelsorozatot szekvenciának nevezzük.
36. Adja meg a természetes levezetés által bizonyítható következményrelációk definícióját nulladrendu kalkulus ese-tén (azaz adja meg a természetes levezetés által bizonyítható szekvenciák definícióját)!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form és A,B,C ∈ Form.A természetes levezetés által az L(0) nyelvben bizonyítható következményrelációk PrND halmazát az alábbiinduktív definíció adja meg:
Bázis:
• Γ, A ` A ∈ PrND.
Szabályok:
• Strukturális szabályok:
– Ha Γ ` A ∈ PrND, akkor Γ, B ` A ∈ PrND.
– Ha Γ, B,B,∆ ` A ∈ PrND, akkor Γ, B,∆ ` A ∈ PrND.
– Ha Γ, B,C,∆ ` A ∈ PrND, akkor Γ, C,B,∆ ` A ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND és, ∆, A ` B ∈ PrND, akkor Γ ∪∆ ` B ∈ PrND.
• Logikai szabályok:
– Ha Γ, A ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ⊃ B) ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` (A ⊃ B) ∈ PrND, akkor Γ ` B ∈ PrND.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 8/29
– Ha Γ, A ` B ∈ PrND és Γ, A ` ¬B ∈ PrND, akkor Γ ` ¬A ∈ PrND.
– Ha Γ ` ¬¬A ∈ PrND, akkor Γ ` A ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∧B) ∈ PrND.
– Ha Γ, A,B ` C ∈ PrND, akkor Γ, (A ∧B) ` C ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∨B) ∈ PrND.
– Ha Γ ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∨B) ∈ PrND.
– Ha Γ, A ` C ∈ PrND és Γ, B ` C ∈ PrND, akkor Γ, (A ∨B) ` C ∈ PrND.
– Ha Γ, A ` B ∈ PrND és Γ, B ` A ∈ PrND, akkor Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND, akkor Γ ` B ∈ PrND.
– Ha Γ ` B ∈ PrND és Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND, akkor Γ ` A ∈ PrND.
37. Adja meg a klasszikus elsorendu nyelv definícióját!
Megoldás: Klasszikus elsorendu nyelven az
L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉
rendezett ötöst értjük, ahol
• LC = {¬,⊃,∧,∨,≡,=,∀,∃, (, )} (a nyelv logikai konstansainak halmaza).
• V ar (= {xn|n = 0, 1, 2, . . .}) a nyelv változóinak megszámlálhatóan végtelen halmaza.
• Con =⋃∞
n=0(F(n)⋃P(n)) a nyelv nemlogikai konstansainak legfeljebb megszámlálhatóan végtelen
halmaza.
– F(0) a névparaméterek (névkonstansok),
– F(n) az n argumentumú (n = 1, 2, . . .) függvényjelek (muveleti jelek),
– P(0) az állításparaméterek (állításkonstansok),
– P(n) az n argumentumú (n = 1, 2, . . .) predikátumparaméterek (predikátumkonstansok) hal-maza.
– Az LC, V ar, F(n), P(n) halmazok (n = 0, 1, 2, . . .) páronként diszjunktak.
• A nyelv terminusainak a halmazát, azaz a Term halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:
– V ar⋃F(0) ⊆ Term
– Ha f ∈ F(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor f(t1, t2, . . . , tn) ∈ Term.
• A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:
– P(0) ⊆ Form
– Ha t1, t2 ∈ Term, akkor (t1 = t2) ∈ Form
– Ha P ∈ P(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor P (t1, t2, . . . , tn) ∈ Form.
– Ha A ∈ Form, akkor ¬A ∈ Form.
– Ha A,B ∈ Form, akkor (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) ∈ Form.
– Ha x ∈ V ar, A ∈ Form, akkor ∀xA, ∃xA ∈ Form.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 9/29
38. Adja meg az elsorendu atomi formula definícióját!
Megoldás: Ha L(1) egy elsorendu nyelv (azaz L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉), akkor az elsorenduatomi formulák halmazát (jelölés: AtForm) az alábbi induktív definíció adja meg:
• P(0) ⊆ AtForm
• Ha t1, t2 ∈ Term, akkor (t1 = t2) ∈ AtForm
• Ha P ∈ P(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor P (t1, t2, . . . , tn) ∈ AtForm.
39. Adja meg az elsorendu nyelv részformuláinak definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés:RF (A)], amelyre teljesül, hogy
• A ∈ RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának;
• ha ¬B ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);
• ha (B ⊃ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ∧ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ∨ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ≡ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha ∀xB ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);
• ha ∃xB ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A).
40. Adja meg a közvetlen részformula definícióját az elsorendu nyelvben!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv.
• Ha A elsorendu atomi formula, akkor nincs közvetlen részformulája;
• ¬A egyetlen közvetlen részfomulája A;
• Az (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.
• ∀xA egyetlen közvetlen részformulája A;
• ∃xA egyetlen közvetlen részformulája A.
41. Adja meg a részformula definícióját közvetlen részformulák segítségével elsorendu nyelv esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 10/29
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés:RF (A)], amelyre teljesül, hogy
• A ∈ RF (A), (azaz az A formula részformulája önmagának);
• ha A′ ∈ RF (A) és B közvetlen részformulája A′-nek, akkor B ∈ RF (A) (azaz, ha egy A′ formularészformulája A-nak, akkor A′ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).
42. Adja meg a szerkezeti fa definícióját elsorendu nyelv esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk,amelynek csúcsai formulák,
• gyökere az A formula,
• ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,
• (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C), (B ≡ C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulákalkotják,
• ∀xB alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,
• ∃xB alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,
• levelei prímformulák (atomi formulák).
43. Adja meg a formula szabad változói halmazának definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula szabad változóinak FreeV ar(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív definíció adja meg:
• Ha A atomi formula (azaz A ∈ AtForm), akkor a FreeV ar(A) halmaz elemei az A formulábaneloforduló változók.
• Ha az A formula ¬B alakú, akkor FreeV ar(A) = FreeV ar(B).
• Ha az A formula (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C) vagy (B ≡ C) alakú, akkor FreeV ar(A) =FreeV ar(B)
⋃FreeV ar(C).
• Ha az A formula ∀xB vagy ∃xB alakú, akkor FreeV ar(A) = FreeV ar(B) \ {x}.
44. Adja meg a formula kötött változói halmazának definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula kötött változóinak BoundV ar(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív definíció adja meg:
• Ha A atomi formula (azaz A ∈ AtForm), akkor a BoundV ar(A) = ∅.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 11/29
• Ha az A formula ¬B alakú, akkor BoundV ar(A) = BoundV ar(B).
• Ha az A formula (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C) vagy (B ≡ C) alakú, akkor BoundV ar(A) =BoundV ar(B)
⋃BoundV ar(C).
• Ha az A formula ∀xB vagy ∃xB alakú, akkor BoundV ar(A) = BoundV ar(B)⋃{x}.
45. Adja meg a változó szabad elofordulásának definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formulaés x ∈ V ar egy változó. Az x változó valamely A-beli elofordulását szabadnak nevezzük, ha a tekintettelofordulás nem esik az A formula valamely ∀xB vagy ∃xB alakú részformulájába.
46. Adja meg a változó kötött elofordulásának definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formulaés x ∈ V ar egy változó. Az x változó valamely A-beli elofordulását kötöttnek nevezzük, ha a tekintettelofordulás nem szabad elofordulás.
47. Adja meg a zárójelelhagyási konvenciókat elsorendben!
Megoldás:
• A legkülso zárójelpár mindig elhagyható.
• A kétargumentumú logikai konstansok elsobbségi (precedencia) sorrendje: ∧,∨,⊃,≡
• A negáció erosebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál.
• Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsobbségét a balról jobbra szabályrendezi: eloször mindig a bal oldali formulát tekintjük külön muveleti komponensnek.
• A kvantorok erosebbek bármely állításlogikai muveletnél.
• Az univerzális és az egzisztenciális kvantor egyenrangú (azaz erosségben egyik sem elozi meg a mási-kat).
48. Adja meg az elsorendu logika interpretációjának definícióját!
Megoldás: Az 〈U, %〉 párt az L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 elsorendu nyelv egy interpretációjánaknevezzük, ha
• U 6= ∅, azaz U nemüres halmaz;
• Dom(%) = Con, azaz a % a Con halmazon értelmezett függvény, amelyre teljesülnek a következok:
– Ha a ∈ F(0), akkor %(a) ∈ U ;
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 12/29
– Ha f ∈ F(n) ahol n 6= 0, akkor %(f) az U (n) halmazon értelmezett az U halmazba képezofüggvény (%(f) : U (n) → U );
– Ha p ∈ P(0), akkor %(p) ∈ {0, 1};– Ha P ∈ P(n) ahol n 6= 0, akkor %(P ) ⊆ U (n).
49. Adja meg az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó v értékelés definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, 〈U, %〉 pedig a nyelv egy in-terpretációja. Az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó v értékelésen egy olyan függvényt értünk, amely teljesítia következoket:
• Dom(v) = V ar;
• Ha x ∈ V ar, akkor v(x) ∈ U .
50. Definiálja a módosított értékelés fogalmát!
Megoldás: Legyen v egy tetszoleges 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés, x ∈ V ar egy változó ésu ∈ U egy objektum. Ekkor bármely y ∈ V ar esetén
v[x : u](y) =
{u, ha y = x;v(y), egyébként.
51. Adja meg az elsorendu logika szemantikai szabályait!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, 〈U, %〉 a nyelv egy interp-retációja, v pedig az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés.
• Ha a ∈ F(0), akkor |a|〈U,%〉v = %(a).
• Ha x ∈ V ar, akkor |x|〈U,%〉v = v(x).
• Ha f ∈ F(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor
|f(t1, t2, . . . , tn)|〈U,%〉v = %(f)(|t1|〈U,%〉
v , |t2|〈U,%〉v , . . . , |tn|〈U,%〉
v )
• Ha p ∈ P(0), akkor |p|〈U,%〉v = %(p)
• Ha t1, t2 ∈ Term, akkor
|(t1 = t2)|〈U,%〉v =
{1, ha |t1|〈U,%〉
v = |t2|〈U,%〉v
0, egyébként.
• Ha P ∈ P(n) ahol n 6= 0, t1, . . . , tn ∈ Term, akkor
|P (t1, . . . , tn)|〈U,%〉v =
{1, ha 〈|t1|〈U,%〉
v , . . . , |tn|〈U,%〉v 〉 ∈ %(P );
0, egyébként.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 13/29
• Ha A ∈ Form, akkor |¬A|〈U,%〉v = 1− |A|〈U,%〉
v .
• Ha A,B ∈ Form, akkor
|(A ⊃ B)|〈U,%〉v =
{0 ha |A|〈U,%〉
v = 1, és |B|〈U,%〉v = 0;
1, egyébként.
|(A ∧B)|〈U,%〉v =
{1 ha |A|〈U,%〉
v = 1, és |B|〈U,%〉v = 1;
0, egyébként.
|(A ∨B)|〈U,%〉v =
{0 ha |A|〈U,%〉
v = 0, és |B|〈U,%〉v = 0;
1, egyébként.
|(A ≡ B)|〈U,%〉v =
{1 ha |A|〈U,%〉
v = |B|〈U,%〉v ;
0, egyébként.
• Ha A ∈ Form, x ∈ V ar, akkor
|∀xA|〈U,%〉v =
{0, ha van olyan u ∈ U, hogy |A|〈U,%〉
v[x:u] = 0;
1, egyébként.
|∃xA|〈U,%〉v =
{1, ha van olyan u ∈ U, hogy |A|〈U,%〉
v[x:u] = 1;
0, egyébként.
52. Adja meg egy formulahalmaz elsorendu modelljének definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. Az 〈U, %, v〉 rendezett hármas elsorendu modellje a Γ formulahalmaznak, ha
• 〈U, %〉 egy interpretációja az L(1) nyelvnek;
• v egy 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés;
• minden A ∈ Γ esetén |A|〈U,%〉v = 1
53. Adja meg egy formula elsorendu modelljének definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula modelljén az {A} egyelemu formulahalmaz modelljét értjük.
54. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetoségének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégítheto, ha van (elsorendu) modellje.
55. Adja meg egy formula kielégíthetoségének definícióját elsorendu logika esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 14/29
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula kielégítheto, ha az {A} formulahalmaz kielégítheto.
56. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégítheto, azaz nincs modellje.
57. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen.
58. Adja meg egy formulahalmaz logikai következményének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendurendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tet-szoleges formulahalmaz, és A ∈ Form egy formula. A Γ formulahalmaznak logikai következménye az Aformula, ha a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ |= A
59. Adja meg egy formula logikai következményének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Term,Con, Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két tet-szoleges formula. Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A} |= B. Jelölés: A |= B
60. Adja meg az érvényesség definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula érvényes, ha ∅ |= A, azaz ha az A formula logikai következménye az üres halmaznak. Jelölés:|= A
61. Adja meg a logikai ekvivalencia definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A,B ∈ Form két for-mula. Az A és a B formula logikailag ekvivalens, ha A |= B és B |= A. Jelölés: A⇔ B
62. Adja meg a behelyettesítoségre vonatkozó definíciókat!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 15/29
Megoldás: Az alábbi definíciókban legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv,A ∈ Form egy formula, x, y ∈ V ar két változó és t ∈ Term egy terminus.
Definíció (Változó változóval való helyettesíthetosége) Az A formulában az x változó behelyettesítheto yváltozóval, ha az A formulában az x változó egyetlen szabad elofordulása sem esik az A formula valamely∀yB vagy ∃yB alakú részformulájába.
Definíció (Változó terminussal való helyettesíthetosége) Az A formulában az x változó behelyettesítheto a tterminussal, ha az A formulában az x változó behelyettesítheto minden olyan változóval, amely a t terminus-ban elofordul.
Definíció (Behelyettesítés eredménye) Tegyük föl, hogy az A formulában az x változó behelyettesíthetoa t terminussal. Ekkor az [A]tx kifejezéssel jelöljük azt a formulát, amely úgy keletkezik az A formu-lából, hogy benne az x változó minden szabad elofordulását a t terminussal helyettesítjük. Más jelölés:At/x, A(x‖t), A(xt )
63. Adja meg az átnevezésre vonatkozó definíciót!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A,B,C ∈ Form háromformula, x, x1, y, y1, z, z1 ∈ V ar hat változó.
• Ha az A formula ∀xA1 alakú (A1 ∈ Form), valamint az A1 formulában az x változó behelyettesít-heto az x1 változóval, és x1 /∈ FreeV ar(A1), akkor a ∀x1[A1]x1
x formula az A formula szabályosanvégrehajtott átnevezése.
• Ha az A formula ∃xA1 alakú (A1 ∈ Form), valamint az A1 formulában az x változó behelyettesít-heto az x1 változóval, és x1 /∈ FreeV ar(A1), akkor a ∃x1[A1]x1
x formula az A formula szabályosanvégrehajtott átnevezése.
• Ha
1. a ∀yB formula egy olyan részformulája az A formulának, amely különbözik A-tól,
2. a ∀y1[B]y1y formula a ∀yB formula szabályosan végrehajtott átnevezése (következésképpen telje-
sül, hogy a B formulában a y változó behelyettesítheto az y1 változóval, és y1 /∈ FreeV ar(B)),
3. az A′ formula úgy keletkezik az A formulából, hogy A-ban a ∀yB formula valamely elofordulásáta ∀y1[B]y1
y formulával helyettesítjük,
akkor az A′ formula az A formula szabályosan végrehajtott átnevezése.
• Ha
1. a ∃zC formula egy olyan részformulája az A formulának, amely különbözik A-tól,
2. a ∃z1[C]z1z formula a ∀zC formula szabályosan végrehajtott átnevezése (következésképpen telje-sül, hogy a C formulában a z változó behelyettesítheto az z1 változóval, és z1 /∈ FreeV ar(C)),
3. az A′′ formula úgy keletkezik az A formulából, hogy A-ban a ∃zC formula valamely elofordulá-sát a ∃z1[C]z1z formulával helyettesítjük,
akkor az A′′ formula az A formula szabályosan végrehajtott átnevezése.
64. Definiálja az egy formulával kongruens formulák halmazát!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 16/29
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula.Az A formulával kongruens formulák Cong(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív szabályrendszer adjameg:
• A ∈ Cong(A) (minden formula kongruens önmagával);
• ha B ∈ Cong(A) és a B′ formula a B formula szabályosan végrehajtott átnevezése, akkor B′ ∈Cong(A).
65. Definiálja, hogy mikor kongruens két formula!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. Ha B ∈ Cong(A), akkor az A formula kongruens a B formulával.
66. Definiálja a formula szintaktikai szinonimáját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. Ha B ∈ Cong(A), akkor a B formulát az A formula szintaktikai szinonimájának nevezzük.
67. Definiálja a változóiban tiszta formulát!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula.Az A formulát változóiban tisztának nevezünk, ha
• szabad és kötött változói diszjunkt halmazt alkotnak, azaz FreeV ar(A)⋂BoundV ar(A) = ∅,
• minden kötött változó pontosan egyszer fordul elo kvantort közvetlenül követo pozícióban (mindenkötött változó pontosan egy kvantornak a változója).
68. Definálja a prenex alakú formulát!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv. Az A ∈ Formformulát prenex alakúnak nevezzük, ha az alábbi két feltétel valamelyike teljesül:
• az A formula kvantormentes, azaz sem a ∀ sem a ∃ kvantor nem szerepel benne;
• az A formula Q1x1Q2x2 . . . QnxnB (n = 1, 2, . . .) alakú, ahol
– B ∈ Form kvantormentes formula;
– x1, x2 . . . xn ∈ V ar különbözo változók;
– Q1, Q2, . . . , Qn ∈ {∀,∃} kvantorok.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 17/29
2. Tételek
69. „Kielégítheto formulahalmaz minden részhalmaza kielégítheto.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonat-kozó tételt, és bizonyítsa be!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz. Ha Γkielégítheto formulahalmaz és ∆ ⊆ Γ, akkor ∆ kielégítheto formulahalmaz.
Bizonyítás Legyen Γ ⊆ Form egy tetszoleges kielégítheto formulahalmaz, és ∆ ⊆ Γ!
Γ kielégíthetosége miatt a Γ formulahalmaznak van modellje, legyen Γ egy modellje a % interpretáció.
% tulajdonsága: Ha A ∈ Γ, akkor |A|% = 1.
Mivel ∆ ⊆ Γ, ha A ∈ ∆, akkor A ∈ Γ, s így |A|% = 1.
Azaz a % interpretáció modellje ∆-nak, tehát ∆ kielégítheto.
70. „Kielégíthetetlen formulahalmaz minden bovítése kielégíthetetlen.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvrevonatkozó tételt, és bizonyítsa be!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz. Ha Γkielégíthetetlen formulahalmaz, és Γ ⊆ ∆, akkor ∆ kielégíthetetelen formulahalmaz.
Indirekt bizonyítás Tegyük fel, hogy Γ ⊆ Form tetszoleges kielégíthetetlen formulahalmaz, és ∆ ⊆ Formolyan formulahalmaz, amelyre teljesül, hogy Γ ⊆ ∆.
Indirekt feltétel: Γ kielégíthetetlen, és ∆ kielégítheto.
A tétel feltétele szerint Γ ⊆ ∆.
A kielégíthetoségre vonatkozó tétel miatt Γ kielégítheto, ez pedig ellentmondás.
71. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatáról szóló tételt, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form, és A ∈ Form. Γ |= A akkorés csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az a A formulának (azaz az {A} egyelemuformulahalmaznak) is.
Bizonyítás→ Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= A és van olyan modellje a Γ formulahalmaznak, amely nemmodellje az A formulának. Legyen ez a modell a % interpretáció! A % tulajdonságai:
• minden B ∈ Γ esetén |B|% = 1;
• |A|% = 0, azaz |¬A|% = 1
Ekkor a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz minden eleme igaz %-ban, tehát Γ ∪ {¬A} kielégítheto, azaz Γ |= A nemteljesül, ami ellentmondás.
← Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának, deΓ |= A nem teljesül.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 18/29
Ekkor a Γ∪{¬A} formulahalmaz kielégítheto, azaz van modellje. Legyen ez a modell a % interpretáció! A %tulajdonságai:
• minden B ∈ Γ esetén |B|% = 1;
• |¬A|% = 1, azaz |A|% = 0
Tehát a Γ formulahalmaznak van olyan modellje, ami nem modellje az A formulának, s ez ellentmondás.
72. „Érvényes formula minden formulahalmaznak következménye.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonat-kozó tételt, és bizonyítsa!
Megoldás: Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, A ∈ Form. Ha A érvényesformula (|= A), akkor minden Γ ⊆ Form formulahalmaz esetén Γ |= A.
Bizonyítás Ha A érvényes formula, akkor a definíció szerint ∅ |= A. Így ∅∪{¬A} (= {¬A}) kielégíthetetlen,s így a kielégíthetetlenségre kimondott tétel alapján ennek a halmaznak a bovítései is kielégíthetetlenek.Γ ∪ {¬A} bovítése {¬A}-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.
73. „Kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvrevonatkozó tételt, és bizonyítsa!
Megoldás: Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy formulahal-maz. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ |= A.
Bizonyítás A már bizonyított tétel szerint ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ minden bovítése iskielégíthetetlen. Γ ∪ {¬A} bovítése Γ-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.
74. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatát leíró tétel következményét!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form és A ∈ Form. Γ |= Aakkor és csak akkor, ha minden olyan interpretációban, amelyben a Γ formulahalmaz minden eleme igaz,igaz az A formula is.
75. Adja meg a dedukció tételt, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz és A,B ∈Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B, akkor Γ |= (A ⊃ B).
Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ ∪ {A} |= B teljesül, de Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül.
Így Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje a % interpretáció!
A % tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz a % interpretáció szerint.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 19/29
• |¬(A ⊃ B)|% = 1
|(A ⊃ B)|% = 0, azaz |A|% = 1 és |B|% = 0. Így |¬B|% = 1. Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmaz mindeneleme igaz a % interpretáció szerint, azaz a formulahalmaz kielégítheto, tehát Γ∪{A} |= B nem teljesül, amiellentmondás.
76. Adja meg a dedukció tétel megfordítását, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz és A,B ∈Form két formula. Ha Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ ∪ {A} |= B.
Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= (A ⊃ B), és ugyanakkor Γ ∪ {A} |= B nem teljesül.
Így Γ ∪ {A} ∪ {¬B} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje a % interpretáció!
A % tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz a % interpretáció szerint.
• |A|% = 1
• |¬B|% = 1, így |B|% = 0
Így a % interpretáció szerint |(A ⊃ B)|% = 0, következésképpen |¬(A ⊃ B)|% = 1. Γ ∪ {¬(A ⊃ B)}formulahalmaz minden eleme igaz a % interpretáció szerint, azaz a % interpretációja modellje a formulahal-maznak, ami egyben azt is jelenti, hogy a formulahalmaz kielégítheto. Tehát Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül, amiellentmond indirekt feltételünknek.
77. Adja meg a következményreláció és implikáció kapcsolatát leíró tételt, és bizonyítsa!
Megoldás: A dedukciótétel és megfordításának következménye: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egynulladrendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula. A |= B akkor és csak akkor, ha |= (A ⊃ B).
Bizonyítás Alkalmazzuk a dedukció tételt és megfordítását abban az esetben, amikor Γ = ∅.
78. Adja meg a logikai és materiális ekvivalencia kapcsolatát leíró következményt!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két formula. A⇔ Bakkor és csak akkor, ha |= (A ≡ B).
79. Adja meg a metszet tételt és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel (Metszet tétel) Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form két formula-halmaz és A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B és ∆ |= A, akkor Γ ∪∆ |= B.
Indirekt bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ∪{A} |= B és ∆ |= A, de Γ∪∆ |= B nem teljesül.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 20/29
Ekkor Γ ∪ ∆ ∪ {¬B} kielégítheto (a következményreláció definíciója miatt), azaz van modellje. Legyen aformulahalmaz egy modellje a % interpretáció.
A % interpretáció tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz a % interpretációban.
• ∆ minden eleme igaz a % interpretációban.
• |¬B|% = 1
Mivel ∆ |= A és ∆ minden eleme igaz a % interpretációban, |A|% = 1. Következésképpen a Γ∪{A}∪{¬B}halmaz minden eleme igaz a % interpretációban, ami azt jelenti, hogy a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmazkielégítheto. Ekkor azonban a következményreláció definíciója miatt Γ ∪ {A} |= B nem teljesül. Ez pedigellentmond indirekt feltételünknek.
80. Adja meg a normálforma tételt!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy formula. Ekkorlétezik olyan B ∈ Form, hogy
• A⇔ B
• B diszjunktív vagy konjunktív normálformájú.
81. „A szintaktikai következményreláció reflexív.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonatkozó tételt, ésbizonyítsa!
Megoldás:Tétel Γ, A ` A (azaz a szintaktikai következményreláció reflexív).
Bizonyítás Jelölés: a rövidség kedvéért Γ∪{A} helyett ’Γ, A’-t írunk. Mivel A ∈ Γ∪{A}, így a szintaktikaikövetkezményreláció definíciójának második pontja miatt Γ ∪ {A} ` A, azaz Γ, A ` A.
82. „A szintaktikai következményreláció monoton.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonatkozó tételt, ésbizonyítsa!
Megoldás:Tétel Ha Γ ` A, akkor Γ ∪∆ ` A.
Bizonyítás (strukturális indukcióval)
• Ha A axióma, akkor minden formulahalmaznak szintaktikai következménye, így a Γ ∪∆ formulahal-maznak is.
• Ha A ∈ Γ, akkor A ∈ Γ ∪∆, így A ∈ Γ ∪∆ ` A
• Tegyük fel, hogy A nem axióma, A /∈ Γ és Γ ` A. Ekkor van olyan B ∈ Form formula, hogy Γ ` Bés Γ ` B ⊃ A. Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy állításunk teljesül a B és a B ⊃ A formulára,azaz ha Γ ` B, akkor Γ ∪∆ ` B, és ha Γ ` B ⊃ A, akkor Γ ∪∆ ` B ⊃ A.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 21/29
Ekkor be kell látni, hogy Γ ∪ ∆ ` A. Mivel Γ ∪ ∆ ` B és Γ ∪ ∆ ` B ⊃ A, így a szintaktikaikövetkezményreláció definíciójának harmadik pontja miatt ekkor a Γ ∪∆ ` A is teljesül.
83. Adja meg a kalkulus dedukció tételét, és bizonyítsa! (Segédtétel bizonyítása plusz pont.)
Megoldás:Tétel (Dedukció tétel, kalkulus) Ha Γ, A ` B, akkor Γ ` A ⊃ B.
Bizonyítás (strukturális indukcióval)
• Legyen B egy axióma. Ekkor Γ ` B. Mivel a B ⊃ (A ⊃ B) formula is axióma, így Γ ` B ⊃ (A ⊃B). Ha Γ ` B és Γ ` B ⊃ (A ⊃ B), akkor a szintaktikai következményreláció definíciójának 3.pontja miatt Γ ` (A ⊃ B).
• Legyen B ∈ Γ∪{A}. Ha B = A, akkor a segédtétel szerint ` A ⊃ A. A monotonitás miatt Γ ` A ⊃ A.
Ha B ∈ Γ, akkor Γ ` B. Mivel B ⊃ (A ⊃ B) axióma, így Γ ` B ⊃ (A ⊃ B). Ha Γ ` B és Γ ` B ⊃(A ⊃ B), akkor a szintaktikai következményreláció definíciójának 3. pontja miatt Γ ` (A ⊃ B).
• Tegyük fel, hogy B nem axióma, B /∈ Γ ∪ {A} és Γ, A ` B. Ekkor van olyan C ∈ Form formula,hogy Γ, A ` C és Γ, A ` C ⊃ B.
Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy állításunk teljesül a C és a C ⊃ B formulára, azaz ha Γ, A ` C,akkor Γ ` A ⊃ C, és ha Γ, A ` C ⊃ B, akkor Γ ` A ⊃ (C ⊃ B). Ekkor be kell látni, hogyΓ ` A ⊃ B.
– Γ ` A ⊃ C (indukciós feltevés)
– Γ ` A ⊃ (C ⊃ B) (indukciós feltevés)
– Γ ` (A ⊃ (C ⊃ B)) ⊃ ((A ⊃ C) ⊃ (A ⊃ B)) mivel a (A ⊃ (C ⊃ B)) ⊃ ((A ⊃ C) ⊃ (A ⊃B)) formula axióma.
– Γ ` (A ⊃ C) ⊃ (A ⊃ B) (A 2. és a 3. pontból leválasztással nyerheto.)
– Γ ` (A ⊃ B) (A 1. és a 4. pontból leválasztással nyerheto.)
Segédtétel ` A ⊃ A
Bizonyítás
• ` (A ⊃ ((C ⊃ A) ⊃ A)) ⊃ ((A ⊃ (C ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A)) (A második axióma a következoválasztással: A := A;B := C ⊃ A;C := A)
• ` (A ⊃ ((C ⊃ A) ⊃ A)) (Az elso axióma a következo választással: A := A;B := C ⊃ A)
• ` (A ⊃ (C ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A) (A leválasztási szabály alkalmazása az 1. és 2. pontra.)
• ` (A ⊃ (C ⊃ A)) (Az elso axióma a következo választással: A := A;B := C)
• ` A ⊃ A (A leválasztási szabály alkalmazása az 3. és 4. pontra.)
84. Adja meg a kalkulus dedukció tételének megfordítását, és bizonyítsa!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 22/29
Megoldás:Tétel Ha Γ ` A ⊃ B, akkor Γ, A ` B
Bizonyítás A monotonítás miatt Γ, A ` A ⊃ B. A reflexivitás miatt Γ, A ` A. A leválasztási szabálytalkalmazva az elozo két pontra kapjuk, hogy Γ, A ` B.
85. Adja meg a kalkulus metszet tételét és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Ha Γ ` A és ∆, A ` B, akkor Γ ∪∆ ` B.
Bizonyítás A monotonitás miatt Γ ∪∆ ` A. A dedukció tétel miatt ∆ ` A ⊃ B, s így a monotonitás miattΓ ∪∆ ` A ⊃ B. Az elozo két pontra alkalmazva a leválasztási szabályt kapjuk, hogy Γ ∪∆ ` B.
86. Adja meg az elsorendu szemantika alaptételeit!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula, 〈U, %〉egy elsorendu interpretáció és v egy 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés. Ekkor az |A|〈U,%〉
v értékegyértelmuen meghatározott.
Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula,〈U, %〉 egy elsorendu interpretáció és v1, v2 két 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés. Ha mindenx ∈ FreeV ar(A) esetén v1(x) = v2(x), akkor |A|〈U,%〉
v1 = |A|〈U,%〉v2
87. „A logikai ellentmondástalanság szukítéssel nem rontható el.” Adja meg pontosan az elsorendu tételt, és bizo-nyítsa!
Megoldás: Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egyformulahalmaz. Ha Γ kielégítheto formulahalmaz és ∆ ⊆ Γ, akkor ∆ kielégítheto formulahalmaz.
Bizonyítás Legyen Γ ⊆ Form egy tetszoleges kielégítheto formulahalmaz, és ∆ ⊆ Γ! Γ kielégíthetoségemiatt a Γ formulahalmaznak van modellje. Legyen Γ egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas. 〈U, %, v〉modell tulajdonsága:
• Ha A ∈ Γ, akkor |A|〈U,%〉v = 1
Mivel ∆ ⊆ Γ, ha A ∈ ∆, akkor A ∈ Γ, s így |A|〈U,%〉v = 1. Azaz az 〈U, %, v〉 rendezett hármas modellje
∆-nak, tehát ∆ kielégítheto.
88. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatáról szóló tételt elsorendben, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form, és A ∈ Form.Γ |= A akkor és csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az a A formulának (azaz az{A} egyelemu formulahalmaznak) is.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 23/29
Bizonyítás→ Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= A és van olyan modellje a Γ formulahalmaznak, amelynem modellje az A formulának. Legyen ez a modell az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!
A 〈U, %, v〉 tulajdonságai:
• minden B ∈ Γ esetén |B|〈U,%〉v = 1;
• |A|〈U,%〉v = 0, azaz |¬A|〈U,%〉
v = 1
Ekkor a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz minden eleme igaz a 〈U, %〉 interpretációban a v értékelés szerint, te-hát Γ ∪ {¬A} kielégítheto (hiszen modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas), azaz Γ |= A nem teljesül, amiellentmondás.
← Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának, deΓ |= A nem teljesül.
Ekkor a Γ∪ {¬A} formulahalmaz kielégítheto, azaz van modellje. Legyen ez a modell az 〈U, %, v〉 rendezetthármas!
Az 〈U, %, v〉 tulajdonságai:
• minden B ∈ Γ esetén |B|〈U,%〉v = 1;
• |¬A|〈U,%〉v = 1, azaz |A|〈U,%〉
v = 0
Tehát a Γ formulahalmaznak van olyan modellje (az 〈U, %, v〉 rendezett hármas), ami nem modellje az Aformulának, s ez ellentmondás.
89. „Érvényes formula minden formulahalmaznak következménye.” Adja meg pontosan a tételt elsorendben, és bizo-nyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form. Ha A érvényesformula (|= A), akkor minden Γ ⊆ Form formulahalmaz esetén Γ |= A.
Bizonyítás Ha A érvényes formula, akkor a definíció szerint ∅ |= A. Így ∅∪{¬A} (= {¬A}) kielégíthetetlen,s így a kielégíthetetlenségre kimondott tétel alapján ennek a halmaznak a bovítései is kielégíthetetlenek.Γ ∪ {¬A} bovítése {¬A}-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.
90. „Kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye.” Adja meg pontosan a tételt elsorendben,és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy formulahal-maz.. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ |= A.
Bizonyítás A már bizonyított tétel szerint ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ minden bovítése iskielégíthetetlen. Γ ∪ {¬A} bovítése Γ-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.
91. Adja meg a dedukció tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 24/29
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmazés A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B, akkor Γ |= (A ⊃ B).
Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ ∪ {A} |= B teljesül, de Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül.
Így Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és a v értékelés szerint.
• |¬(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 1
|(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 0, azaz |A|〈U,%〉
v = 1 és |B|〈U,%〉v = 0. Így |¬B|〈U,%〉
v = 1. Γ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmazminden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és a v értékelés szerint, azaz a formulahalmaz kielégítheto, tehátΓ ∪ {A} |= B nem teljesül, ami ellentmondás.
92. Adja meg a dedukció tételének megfordítását elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmazés A,B ∈ Form két formula. Ha Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ ∪ {A} |= B.
Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= (A ⊃ B), és ugyanakkor Γ ∪ {A} |= B nem teljesül.
Így Γ ∪ {A} ∪ {¬B} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.
• |A|〈U,%〉v = 1
• |¬B|〈U,%〉v = 1, így |B|〈U,%〉
v = 0
Így |(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 0, következésképpen |¬(A ⊃ B)|〈U,%〉
v = 1. Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} formulahalmazminden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint, azaz az 〈U, %, v〉 rendezett hármas modelljea formulahalmaznak, ami egyben azt is jelenti, hogy a formulahalmaz kielégítheto. Tehát Γ |= (A ⊃ B) nemteljesül, ami ellentmond indirekt feltételünknek.
93. Adja meg a következményreláció és implikáció kapcsolatát leíró tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula.A |= B akkor és csak akkor, ha |= (A ⊃ B)
Bizonyítás Alkalmazzuk a dedukció tételt és megfordítását abban az esetben, amikor Γ = ∅.
94. Adja meg a logikai és materiális ekvivalencia kapcsolatát leíró következményt elsorendu logika esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 25/29
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. A⇔ B akkor és csak akkor, ha |= (A ≡ B).
95. Adja meg a metszet tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form két formulahal-maz és A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B és ∆ |= A, akkor Γ ∪∆ |= B.
Indirekt bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ∪{A} |= B és ∆ |= A, de Γ∪∆ |= B nem teljesül.
Ekkor Γ ∪ ∆ ∪ {¬B} kielégítheto (a következményreláció definíciója miatt), azaz van modellje. Legyen aformulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.
• ∆ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.
• |¬B|〈U,%〉v = 1
Mivel ∆ |= A és ∆ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint, |A|〈U,%〉v = 1. Követ-
kezésképpen a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} halmaz minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint,ami azt jelenti, hogy a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmaz kielégítheto. Ekkor azonban a következményrelációdefiníciója miatt Γ ∪ {A} |= B nem teljesül. Ez pedig ellentmond indirekt feltételünknek.
96. Adja meg és bizonyítsa az elso de Morgan törvényt elsorendu logika esetén!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula ésx ∈ V ar egy változó. Ekkor ¬∃xA⇔ ∀x¬A.
Bizonyítás A törvény bizonyításához eloször lássuk be, hogy ¬∃xA |= ∀x¬A.
Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül a következményreláció, azaz a {¬∃xA,¬∀x¬A} halmaz kielégítheto.
Ekkor a halmaznak van modellje, legyen a tekintett formulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hár-mas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
• |¬∃xA|〈U,%〉v = 1, és így |∃xA|〈U,%〉
v = 0
• |¬∀x¬A|〈U,%〉v = 1, azaz |∀x¬A|〈U,%〉
v = 0
Az univerzális kvantor szemantikai szabálya szerint a 2. pont akkor teljesül, ha van olyan u ∈ U , hogy|¬A|〈U,%〉
v[x:u] = 0, azaz |A|〈U,%〉v[x:u] = 1. Ez pedig az egzisztenciális kvantor szemantikai szabálya szerint azt
jelenti, hogy |∃xA|〈U,%〉v = 1, ami ellentmond az elso pontnak.
Most lássuk be, hogy ∀x¬A |= ¬∃xA! Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül a következményreláció, azaz a{∀x¬A,¬¬∃xA} halmaz kielégítheto.
Ekkor a halmaznak van modellje, legyen a tekintett formulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hár-mas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 26/29
• |∀x¬A|〈U,%〉v = 1
• |¬¬∃xA|〈U,%〉v = 1, azaz |∃xA|〈U,%〉
v = 1
Az egzisztenciális kvantor szemantikai szabálya szerint a 2. pont akkor teljesül, ha van olyan u ∈ U , hogy|A|〈U,%〉
v[x:u] = 1, azaz |¬A|〈U,%〉v[x:u] = 0. Ez pedig az univerzális kvantor szemantikai szabálya szerint azt jelenti,
hogy |∀x¬A|〈U,%〉v = 0, ami ellentmond az elso pontnak.
97. Sorolja fel a kvantorok hatásköre bovítésének törvényeit!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A,B ∈ Form két formula ésx ∈ V ar egy változó. Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor
• A ∧ ∀xB ⇔ ∀x(A ∧B)
• A ∧ ∃xB ⇔ ∃x(A ∧B)
• A ∨ ∀xB ⇔ ∀x(A ∨B)
• A ∨ ∃xB ⇔ ∃x(A ∨B)
• A⊃∃xB ⇔ ∃x(A⊃B)
• ∃xB⊃A⇔ ∀x(B⊃A)
• A⊃∀xB ⇔ ∀x(A⊃B)
• ∀xB⊃A⇔ ∃x(B⊃A)
98. Adja meg a fiktív kvantorokra vonatkozó törvényeket!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula ésx ∈ V ar egy változó. Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor
• ∀xA⇔ A
• ∃xA⇔ A
99. Adja meg a szinonimákra vonatkozó tételeket!
Megoldás:Tétel A formulák között értelmezett kongruencia reláció ekvivalencia reláció, azaz:
• reflexív: A ∈ Cong(A);
• szimmetrikus: ha B ∈ Cong(A), akkor A ∈ Cong(B);
• tranzitív: ha B ∈ Cong(A) és C ∈ Cong(B), akkor C ∈ Cong(A).
Tétel A kongruens formulák logikailag ekvivalensek, azaz ha B ∈ Cong(A), akkor A⇔ B.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 27/29
100. Adja meg a változótisztaságra vonatkozó tételt!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula. Ekkorlétezik olyan B ∈ Form formula, hogy
• a B formula változóiban tiszta,
• a B formula kongruens az A formulával, azaz B ∈ Cong(A).
101. Adja meg a prenex alakra vonatkozó tételt!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv és A ∈ Form.Ekkor létezik olyan B ∈ Form, hogy
• a B formula prenex alakú,
• A⇔ B.
3. Feladatok
102. Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmazban mindig van hamis elem!
103. Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak van kielégítheto része?
104. Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak van nem üres kielégítheto része?
105. Igaz-e, hogy minden kielégítheto formulahalmaznak van kielégíthetetlen bovítése?
106. Igaz-e, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden része kielégíthetetlen?
107. Kielégítheto vagy kielégíthetetlen az üres formulahalmaz?
108. Adjon példát kielégítheto, illetve kielégíthetetlen formulahalmazra!
109. Bizonyítsa be, hogy A |= B (A,B ∈ Form) akkor és csak akkor, ha minden olyan interpretáció, amely A-tigazzá teszi, igazzá teszi B-t is!
110. Bizonyítsa be, hogy A |= B akkor és csak akkor nem teljesül, ha van olyan interpretáció, amelyben A igaz és Bhamis!
111. Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye!
112. Bizonyítsa be, hogy egy érvényes formula minden formulahalmaznak következménye!
113. Igazak-e az alábbi állítások? (Ha igaz, akkor bizonyítsa, ha hamis, akkor ellenpéldával cáfolja!)
(a) Minden A formula esetén ha az A formula kielégítheto (azaz a {A} halmaz kielégítheto), akkor a ¬A iskielégítheto.
(b) Ha ¬A érvényes akkor A nem kielégítheto.
(c) Ha ¬A kielégítheto, akkor A érvényes formula.
(d) Ha A érvényes formula, akkor A kielégítheto.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 28/29
(e) Ha A kielégítheto, akkor A érvényes formula.
(f) Minden A formula esetén létezik olyan A-tól különbözo B formula, amelyre teljesül, hogy A |= B.
(g) Minden A formula esetén létezik olyan A-val nem logikailag ekvivalens B formula, amelyre teljesül, hogyA |= B.
(h) Minden A formula esetén létezik olyan A-tól különbözo B formula, amelyre teljesül, hogy B |= A.
(i) Minden A formula esetén létezik olyan A-val nem logikailag ekvivalens B formula, amelyre teljesül, hogyB |= A.
(j) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy A |= B vagy B |= A.
(k) Létezik olyan formula, amely minden formulának következménye.
(l) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy ha A |= B, akkor B |= A.
(m) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy ha A |= B, akkor B-nek nem logikai következménye az A.
(n) Létezik olyan A,B formula, hogy A |= B, de B-nek nem következménye A.
(o) Ha Γ |= A vagy Γ |= B, akkor Γ |= (A ∧B).
(p) Ha Γ |= A és Γ |= B, akkor Γ |= (A ∨B).
(q) Ha Γ |= A ∨B, akkor Γ |= A vagy Γ |= B.
(r) Ha Γ |= (A ⊃ B) és Γ |= (A ⊃ C), akkor Γ, A |= (B ∧ C).
(s) Ha Γ |= (A ⊃ B) és Γ |= (A ⊃ C), akkor Γ, C |= (A ∨B).
(t) Ha Γ |= (A ⊃ C) és Γ |= (B ⊃ C), akkor Γ, (A ∨B) |= C.
(u) Ha Γ |= (A ⊃ C) és Γ |= (B ⊃ C), akkor Γ, (A ∨ C) |= B.
114. Bizonyítsa be az alábbiakat!
(a) Ha Γ |= A és Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ |= B.
(b) Ha Γ |= A és Γ |= B, akkor Γ |= (A ∧B).
(c) Ha Γ, A |= C és Γ, B |= C, akkor Γ, (A ∨B) |= C.
(d) Ha Γ |= A, akkor Γ |= A ∨B.
(e) Ha Γ, A |= B és Γ, A |= ¬B, akkor Γ |= ¬A.
(f) Ha Γ |= A és Γ |= (A ≡ B), akkor Γ |= B.
115. (a) Döntse el, hogy egy adott formulában egy adott változó behelyettesítheto-e egy megadott változóval! Haigen, akkor hajtsa végre a behelyettesítést!
(b) Döntse el, hogy egy adott formulában egy adott változó behelyettesítheto-e egy megadott terminussal! Haigen, akkor hajtsa végre a behelyettesítést!
(c) Adja meg egy adott formula szabályosan végrehajtott átnevezését!
(d) Döntse el két adott formuláról, hogy kongruensek-e!
(e) Döntse el két adott formuláról, hogy egymás szintaktikai szinonimái-e!
(f) Adja meg egy adott formula változótiszta alakját!
(g) Adja meg egy adott formula prenex alakját!
116. Bizonyítsa be a kvantifikáció De Morgan törvényeit!
(a) ¬∃xA⇔ ∀x¬A(b) ¬∃xA |= ∀x¬A(c) ∀x¬A |= ¬∃xA(d) ¬∀xA⇔ ∃x¬A(e) ¬∀xA |= ∃x¬A
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 29/29
(f) ∃x¬A |= ¬∀xA
117. Bizonyítsa be a kvantorok kifejezhetoségére vonatkozó törvényeket!
(a) ∃xA⇔ ¬∀x¬A(b) ∀xA⇔ ¬∃x¬A
118. Bizonyítsa be a kvantorok konjunkcióban való mozgatásának törvényeit!
(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∧ ∀xB ⇔ ∀x(A ∧B).
(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∧ ∀xB |= ∀x(A ∧B).
(c) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀x(A ∧B) |= A ∧ ∀xB.
(d) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∧ ∃xB ⇔ ∃x(A ∧B).
(e) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∧ ∃xB |= ∃x(A ∧B).
(f) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃x(A ∧B) |= A ∧ ∃xB.
119. Bizonyítsa be a kvantorok diszjunkcióban való mozgatásának törvényeit!
(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∨ ∀xB ⇔ ∀x(A ∨B).
(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∨ ∀xB |= ∀x(A ∨B).
(c) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀x(A ∨B) |= A ∨ ∀xB.
(d) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∨ ∃xB ⇔ ∃x(A ∨B).
(e) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A ∨ ∃xB |= ∃x(A ∨B).
(f) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃x(A ∨B) |= A ∨ ∃xB.
120. Bizonyítsa be az univerzális kvantor implikációban való mozgatásának törvényeit!
(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A⊃∀xB ⇔ ∀x(A⊃B).
(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A⊃∀xB |= ∀x(A⊃B).
(c) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀x(A⊃B) |= A⊃∀xB.
(d) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀xB⊃A⇔ ∃x(B⊃A).
(e) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀xB⊃A |= ∃x(B⊃A).
(f) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃x(B⊃A) |= ∀xB⊃A.
121. Bizonyítsa be az egzisztenciális kvantor implikációban való mozgatásának törvényeit!
(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A⊃∃xB ⇔ ∃x(A⊃B).
(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor A⊃∃xB |= ∃x(A⊃B).
(c) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃x(A⊃B) |= A⊃∃xB.
(d) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃xB⊃A⇔ ∀x(B⊃A).
(e) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃xB⊃A |= ∀x(B⊃A).
(f) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀x(B⊃A) |= ∃xB⊃A.
122. Bizonyítsa be a kvantorok fiktív alkalmazására vonatkozó törvényeket!
(a) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∀xA⇔ A.
(b) Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor ∃xA⇔ A.
top related