m1 rezolvari.pdf

Bacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro1BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 1Prof. Silvia Brabeceanu+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvripariale, n limitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 3 3 3 3 32 2 264 log 64 4 log 4 4 log 4 + = + = +finalizare, rezultat 63p2p2., ) , ) , )2 3 92 3 10 2 2 2 2 f f f + + + = + + + + Termenii unei progresii geometrice cu12 a = , 2 q = i 9 n = . Suma , )11, 11nna qS qq= =, )992 1 21 2S =; Finalizare, rezultat 10221p2p2p3.C.E. , ) , j )26 0 6 0 , 0 6, x x x x x > > e Rezolvarea ecuaiei12 220 . .6 93. .4x C Ex x xx C E= e = = eVerificare2p2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro24.Mulimea multiplilor lui 4este { ;48,12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 M =, )49 Card M = i , ) 33 Card A =, ), )4933CardPCard AM= =2p1p2p5., ) , )1 12 2 3 5 4 22 2w u v i j i j = + = + Calcule, finalizare 4 11 w i j = 2p3p6.Formula de lucru2 2 2cos2a c bBac+ =nlocuire2 2 28 12 6cos2 8 12B + = Finalizare43cos48B =1p2p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a) , )3 213 2A | | = |\ ., )1 011 0A | |= |\ ., ) , )2 21 12 2A A | | + = |\ .2p2p1pb), ) , )1 01 11 0A A B | | = = |\ . 1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro321 01 0B | |= |\ .;31 01 0B | |= |\ .;41 01 0B | |= |\ .1 0 .1 01 0 .1 0nn nr parBn nr impar | | | \ .= | | | \ . 3p1pc), )1 12 1 12 1 1n nk kk kA kk k= = + | |= | +\ . , ) , ), ) , )221 1221 12 1 122 1 12n nk kn nk kn nk k nn nk k n= == =| | | | + | | | | = | | + | | \ .\ . 1p4p2.a)3 14 2 2 4 2 2 12 2x y xy x y xy x y - = + = + +, ) , ) , ) , )1 1 14 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 12 2 2xy x y x y y x y + + = + = +2p3pb), )34 2 22x y z xy x y z| |- - = + - = |\ . , ) , )316 8 42xyz xz yz xy x y z = + + + + + , )34 2 22x y z x yz y z| |- - = - + = = |\ . , ) , )316 8 42xyz xz yz xy x y z + + + + + 3p2pc), ) , )21: 2 2 1 , , , 22nnn oriP n x x x x x x n n- - - - = + e e > . N_, )2 12 2 12n x x x = - = +, )3 13 2 2 12n x x x x = - - = +Pp. , ) P n adevrat , ) 1 P n + adevrat, ) , )12 11 12 2 1 2 2 12 2n nn nn orix x x x x x x + (- - - - = + - = = + ( . ._2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro43pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)1, 04y mx n m m = + = = i 1 n =, )32 21 1lim 24xxm aax ax b= = = = +, )321 4lim 1 44 162xx bn x bx b| | = = = = | | +\ . )1p2p2pb), ), ) { ;32 \ 22 2xf x Dx= = , ), ) , ), )2 232 48 122 2 2 2x x xxf xx x' ( +' = = ( ( , ) 0 f x ' > pe , , 0 i j ) , ) 6, f x cresctoare, ) 0 f x ' < pe , ) 0, 2 i , ) , ) 2, 6 f x descresctoare1p2p1p1pc), ) , ), )32 22 4 422lim lim4 4xf xx xx xxf xx x x + | || | = | | +\ . \ .nedeterminat 1, ), ), ), ) , )32 24 12 2 224 1lim 12notat Lx xx xxxx | |+ | |\ ., ), ) , )32 24 1lim 22 2 2xx xLx x= = 1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro5, ) , )22limf xxf x ex| | = |\ .1p1p2.a)2 2 21 1 1132 2x dxdx dxx x = + +} } }, )22211 13ln 2 f x dx x x = +}, )21271 ln64f x dx = +}2p2p1pb), )1113ln 2aaaaa af x dx x x+++= +}3 51 3ln 1 3ln2 4aa+ = +3 522 4aaa+ = =+2p2p1pc)Se pune n eviden monotonia funciei f, ), )2302f x fx' = > +strict cresctoare, ) , ) , ) 1 2 f f x f s s integrnd relaia , )21104f x dx s s}1p2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro6BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 2Prof. Silvia Brabeceanu+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1., ) , ) , )24 2 21 5 1 5 4 2 5 16 20 16 5 z i i i i (= = = = + ( , ) 4 16 5 Re 4 z i z = + = 4p1p2.Condiia2 21 225 x x + =Relaiile lui Vite1 21 223x x mx x m+ = = , )22 2 21 2 1 2 1 22 2 10 x x x x x x m m + = + = +{ ;22 10 25 3, 5 m m m + = e 1p1p1p2p3.3 3 34 1192 3 64 4 a a q q q q = = = =, )81811a qSq=, )8883 4 14 14 1S = = 2p1p2p4.C.E., ), ) , ) , )22 0 2,2 1 3 4,3 4 0 , 1 4,x xx x xx x x > e = = e > e 3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro7, ) , )223 4 2 8 4, x x x x = = e 2p5.Formula , ) , )2 21 2 2 1 2 1M M x x y y = + 160 4 10 AB = =320 8 5 AC = =160 4 10 BC = =4 10 AB BC ABC = = A isoscel1p1p1p1p1p6., , A B C coliniare AB : i ACvectori coliniari2 5 AB i j = i , ) , ) 3 2 2 AC m i m j = + ABi ACvectori coliniari2 53 2 2 m m = 199m =1p1p2p1pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a), )1 3 21 5 1 42 4 2D =, ) 1 16 D =2p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro8b), ) , ) , ) , ) , ) , ) , )1 2 24 1 4 1 8 4 8 2 20 4 2 12 4 1xD x x x x x x x xx= = + + , )3 27 3 21 D x x x x = +, ) , ) , )27 3 D x x x = 1p3p1pc), ) , ) , )23 0 3 7 3 3 0x x xD = =33 7 0 log 7xx = =213 3 02xx = =1p2p2p2.a) f se divide cu , ) , ), ), )31 01 1 01 0fX ff= ' = '' =2 2 25 3 2 1 56 3 0 3a b c aa b c ba b c c+ + = = + + = = + + = = 2 5 3 0 S a b c = + + = + =1p3p1pb)4 3 22 5 3 1 f X X X X = + + , ) , )3 21 2 3 1 f X X X = +, ) , )221 2 1 f X X X = , ) , )31 2 1 f X X = +1p2p1p1pc) Relaiile lui Vite 1p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro9, ) , )22 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 42 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + + + + + +2 2 2 21 2 3 45 3 122 2 2x x x x + + + = = 1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Considerm j ) , ) , )2: 0, ,1xh h x arctg xx = +, ) , ), )22 22211x xh x arctg xx x'| |' = = |+\ . +, ) , ) 0, 0, h x x ' > e i , ) , ) 0 0 0, h h x = > pentru , )201xx arctg xx > >+1p2p2pb), ), )22211xg xx' =+, ) 0 1 g x x ' = = dar , ) 0, 1 x x e =Din tabloul de valori 1 x = punct de maxim2p2p1pc)Ecuaia tangentei , ) , ) , )0 0 0y f x f x x x ' = 3 33 4f | |' = | |\ .i33 6f t| |= | |\ .Ecuaia tangentei n3,3 6A t| | | |\ .este3 36 4 3y xt | | = | |\ .Ecuaia tangentei: 9 12 2 3 3 0 x y t + =1p1p2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro102.a) , )11 413111 12 24xI x dx x = = }14 I =3p2pb), )12312 V x dx t= }14 714 44 7x xV x t| |= + |\ .587V t =1p2p2pc), ) , ) , )1 113 3 31 12 1 3 3 2 2 2n n nnnI x dx n x x dx (= = + ( } }11 3 3 6nn n nI nI nI = + +16 1 31 3 1 3nn nnI In n += ++ +3p1p1pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 3Prof. Silvia Brabeceanu+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.3 710 10C C = combinri complementare3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro113 710 100 C C =2p2., ) , ) 4, 3 4 3fA m m G f m m + e : = +, ) , ) , )24 3 4 2 7 5 f m m m m m m = + + + = + 25 3 2 2 m m m m + = + = 1p2p2p3.Radicalii exist pentru x eRidicarea la cub , ) , ) , )33 2 5 2 7 0 x x x + + + =Soluia2572xxx = = = 1p3p1p4.Substituie22 2 4 4 2x x x xy y + = + = 12234 6 18 032yy yy= = = 1 22 23 5log22 2 33 5log2x xxx +=+ = =32 22x x + = ecuaia nu are soluii reale1p2p1p1p5., ) , )2 25 2 1 u m m = + + +i , ) , )2 22 3 3 v m m = + , )2 25 14 26 5 18 18 u v m m m m = + + = + 1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro122 215 14 26 5 18 184m m m m m + + = + = , )2 25 14 26 5 18 18 m m m m m + + = + e1p1p6.4C AACC Ay ymx x= = , )1, 1BM AC BMACBM AC M AC m m mm e = = , ) : B BM BBM y y m x x = : 4 21 0 BM x y + =1p1p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a), )5 1 31 1 1 03 1 2Det A= =, )5 14 0 21 1pD rang A = = = =3p2pb)5 14 01 1pD = = = S compatibil simplu nedeterminat, z o = e5 3: x ySx yoo+ = ' + =2 , 22 2x yd x d yo oo o = = = =, , ,2 2S o o o o = e ` ) 1p1p2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro13c)0 0 02 3 9 2 3 92 2x y z o o o + + = + + =9 18 2 o o = ={ ;0 0 01, 1, 2 1,1, 2 x y z S = = = =1p2p2p2.a){ ;1 2 2213 0 3 2 0 1 1, 22Axx x x x Ax= - = + + = A = = = { ;3 2410 2 8 6 0 16 13Bxx x x x Bx= = + + = A = = =

{ ; 1 A B = 2p2p1pb), ) , ) , ) , ) 2 2 2 4 2 4 6 2 2 4 4 8 14 x y z x y z x y z x y z xz yz x y z - = + + = + + + + + + + = = + + + + + , ) , ) , ) , ) 2 2 2 4 4 8 14 x z y z x z y z xz yz x y z - = + + = = + + + + + 3p2pc)2 2 a x x x = - = + i22 8 6 b x x x x = = + + 222 10 85 42 2a b x xx x+ + += = + +Notm cuam media aritmetic 20 0 5 4 02aa bm x x+< < + + pe { ; , ) \ 1 f x convex pe { ; \ 1 2p2p1pc), )24lim1xxx| |+ = | |+\ .nu exist asimptot orizontal, )lim 1 0xf xmx= = = i , ) lim 0xn f x mx y x= = = ( asimptot oblic, ) , ), ) , )111 lim11 limsxdxl f xxl f x = = = ` = = )_asimptot vertical1p2p2p2.a)Cum g f ' = c o primitiv G a lui g este , ) , ) G x f x c = +, ) , ) 1 3 1 3 G f c = + =2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro153 2 3 2 c c + = =1pb), ) , )112 1 2 2 3xxg t dt f t x x = = + + + }, ) , ) , )1lim lim 2 1 lim 2 2 3xx x xg t dt x x = + + + }, )lim 2 1 0xx x + + =, )1lim 2 2 3xxg t dt = }1p1p2p1pc), )202 1 A x x dx = + +}, ) , ), )3 3 22 13A x x = + +, )29 2 2 3 33A = 1p2p2pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 4Prof. Silvia Brabeceanu+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1., ) , )3 31 3 1 3 52 i i + + = , ) , )2 23 3 12 i i i + = 2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro16, ) , ), ) , )3 32 21 3 1 31333 3i iii i+ + = +1p2.C.E. , ) , )21 01. 14 4 0xxx > e + >Din proprietatea de injectivitate , ) , )21 4 4 1, 5 2 x x x < + e Din , ) 1 i , ) , ) 2 1, 5 x e2p2p1p3.32 3 0 ,2x x |+ > e |

., ) , ) , )20 , 0 2, 33xxx x < e , )3, 0 2, 32A |= |

.2p2p1p4.301 13 31 30k kkkT C yx xy + | | | |= | |\ . \ .3023kkx x +=302 93kk k + = =2p1p2p5., ) ,G G G G GG x y r x i y j = + 13 3A B CGx x xx + += =53 3A B CGy y yy + += =1 53 3Gr i j = + 2p1p1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro176.4 AB = i 12 CD =, ) , 7 h d B CD = =, )562ABCDAB CD hA += =2p2p1pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a), )3 1 21 1 8 81 3 2Det A a a= = Pentru , ) , ) 1 0 2 a Det A rang A = = =Pentru , ) , ) 1 0 3 a Det A rang A = = =2p1p2pb)Pentru , ) 1 0 a Det A = = S compatibil simplu nedeterminat, z o = e3 2: x ySx yoo+ = ' + =2 0pD = =,2 2x yd x d yo oo o = = = =, , ,2 2S o o o o = e ` ) 1p1p2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro18c)3 23 20 0 00 02 2x y z o o o| | | |+ = + = | |\ . \ ., )122302 8 0 24oo o o oo= + = = = Pentru { ; 0 0, 0, 0 S o = = soluia banalPentru { ; 2 1,1, 2 S o = =Pentru { ; 4 2, 2, 4 S o = = 1p2p2p2.a)5 5 20 5 5 25 5 x y xy x y xy x y - = + + = + + +, ) , ) 5 5 5 x y x y - = +2p3pb) , ) , 5 parte stabil a lui n raport cu legea " -" , ) , ) , , 5 , 5 x y x y : e - e , ) , 5 xe i , ) , ) , ) , 5 5 5 0 y x y e > , ) 5 5 25 0 5 5 20 5 , 5 xy x y xy x y x y + > + + < - e 1p2p2pc) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , )28 7 63 8 7 5 8 5 7 20 63 9 22 E x x x x x x x x x = + - = + + + + = = + , )20 9 22 0 E x x x < + >, ) , ) , ) , ) f x 2, x 0 f x 0 x 0 > > > >, ) , ) , ) , )1f f x f xf x= +Concluzia : , ) , ) , ) f f x 2 x 0 > > .2p1p1p1p4. Fie A, mulimea paginilor cu text i B mulimea paginilor cu deseneA B A B A B = + A B 180 = .1p2p2p5.ACm 1 = ;Dac BB' AC BB'm 1 = ;BB' : x y 1 0 = .1p2p2p6.Formulelex 1ctgx2tg2= i2t2tg2sin tt1 tg2=+Calcule i demonstrarea egalitii.2p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro22SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a) , ) det A 1 = ;, ) , )1det A 0 A= - .3p2pb)11 0 0A 1 1 12 4 3 | | |= | |\ .;13A A 2I+ = ;Demonstraia egalitii prin inducie matematic.1p1p3pc), )213A A 4I+ = ;, )20101 201132 A A 2 I+ = .2p3p2.a) , permutare par; , permutare impar.2p3pb), )3 1 ord 3 = =, )3 1 ord 3 = =, ) , ) ord ord = .2p2p1pc)Dac6x S e , permutare par x i x au pariti diferiteDac6x S e , permutare impar x i x au pariti diferiteEcuaia nu are soluii.2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a) , ) , ) , ) , ) , ) , ) A x 2 x 3 B x 1 x 3 C x 1 x 2 2 + + + + + + + + = ;2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro23Calcule i obinerea rezultatelor A 1; B 2; C 1 = = = .3pb), ) , )n1 1a , n 16 n 2 n 3= >+ +;, )nn 1a>, ir mrginit;, )nn 1a>, ir monoton;nn1lim a6 = .2p1p1p1pc), ) , ) f x 2 f x 2 = ;A( 2;0) , centru de simetrie pentru graficul funciei3p2p2.a), ) j f x 2x 2x = Din g(x) 2x = admite primitive dar , ) j h x 2x = nu admite primitive pe j 0; 2011 f nuadmite primitive pe j 0; 2011f continu pe poriuni f integrabil pe j 0; 20111p2p2pb)f este periodic de perioad principal01T2= ;{ ; { ;1201120 02x dx 4022 2x dx =} };Calcule i rezultat final { ;2011020112x dx2=}1p2p2pc), ) , )x0F x f t dt =}este o primitiv a funciei f;, ) , ) , )1F' x f x 0 x 0;4 (= > e ( ;F strict cresctoare pe10;4 ( ( .2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro241pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 6Prof. Breazu Nicolae+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1., ) { ;2k10, k 1,...,10051 x ( = e (+ ;Suma este egal cu 0.4p1p2.Din condiiile de existen, , ) { ; x 0; \ 1 e ;Se logaritmeaz egalitatea n baz 10 i obinem33 12lg x lg x lg x2 2| | = |\ .;Substituii: lg x t = i2t u = ;Rezolvarea ecuaiilor i obinerea soluiei1S 10;10 = ` ).1p1p1p2p3., ) , )3 2 xf x x ln2 x+ = ;12 x 2 xln ln2 x 2 x + | |= |+ \ .;, ) , ) , ) , ) f x f x , x 2; 2 f = e , funcie par.2p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro254. k k k 1n n 1 n 1C C C = + ;k 1 k 2 k 1n 1 n 2 n 2C C C = + ik k k 1n 1 n 2 n 2C C C = + ;Sumare i rezultat final .2p2p1p5.QA QDQP2+= ;QB QCQR2+= ;QA QBQM2+= ;QC QDQN2+= ;QP QR QM QN 0 + = + = ;QP QR P, Q, R = coliniare.2p2p1p6., )2 2sin x cos x 1, x + = e;Substuia2cos x t 2t t 1 0 = + = ;Rezolvarea ecuaiilor i soluia 5S ; ;3 3 = ` ).1p2p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)2det A 3p 12 = ;minp 0 = .2p3pb){ ; det A 0 p 2 = e ;Dac { ; p \ 2 rangA rangB 3 e = = ;Dac p 2 = i8q5= rangA rangB 2 = = .1p2p2pc){ ; det A 0 p \ 2 = e ;2 21 2 222p 1 3 p 11 1A A p 3 3 3 2pdet A 3p 127 3 5 -| | |= = + | | |\ ..2p3p2. Restul mpririi lui f la g este 0; 1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro26a) mprirea corect efectuat;a=4; b= - 6; c=4.3p1pb)Ecuaia3 2x x x 1 0 + = are soluiile1 2 3x 1; x i; x i = = = ;Ecuaia22x 2x 4 0 + = are soluiile4 5x 1; x 2 = = .3p2pc) 5ii 1x 0= =;52010 2010ii 1x 2= =, de unde2010S 2 = .2p3pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a) , )1f ' x 2xx 1= +;, ) , ) f ' x 0, x 1 > > f strict cresctoare pe , ) 1; .2p3pb), ), )222x 4x 1f '' xx 1 +=;f este convex pe21;12| |+ | |\ .i concav pe21 ;2| |+ | |\ .;02x 12= + , punct de inflexiune.2p2p1pc)f strict cresctoare pe , ) 1; f injectiv;, ) , )x 1 xx 1limf x ; lim f x ; > = = Imf = , codomeniul f surjectiv;, ) , ) , )11 1f ' 4f ' 2 5 = = .1p1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro272p2.a)Substituia cos x t = , )120 1I f x sin xdx t 1dt = = +} }Integrare prin pri i rezultat1 2 1I 2 ln2 2 1+= +2p3pb), ) , )2 20 0V f x dx cos x 1 dx= = +} };Integrare prin pri sau folosirea formulei21 cos 2xcos x2+= ;23V2=2p2p1pc)j , )2g : 0; , g x cos x = ,n 20; ; ;...;n n| |A = |\ .,nlim 0 A = ,n 2 ; ;...; n n| |= |\ ., )nn na g; A=, )2n0lima g x dx2= =}2p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro28BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 7Prof. Breazu Nicolae+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.30 log 2 1 < < ;31 2 2 < < ;2 e 3 < < ;3< ;33log 2 2 e< < g(1)=0, 0 x >1p1p1p2pc)Din a)2'( ) ( ), 0nf x nx g x x= > i b) ( ) 0, 0 g x x > > , '( ) 0, 0 f x x > >f strict cresctoare pe (0, ) i f(1)=0 ( ) 0, 1 f x x > >2 1 11 0n n nx nx nx+ + > , mparte relaia prin nx i finalizeaz1p1p3p2.a)Aplic metoda integrrii prin pri:1 12 1211 11 1 1(ln ) ' ln |1 1 ( 1)e e n nen nnx neI x x dx x x dxn n x n+ ++ += = =+ + +} }5pb) 1 12 211 12 2(ln ) ln | ln1 1 1 1e e n nen nn nx eJ x x dx x x xdx In n n n+ += = = + + + +} }5pc)111 1 12( 3)1 1( 1)lim lim limnnn nn n nn n nn n neI II J n I en ne e n e+++ + + + + += =+finalizeaz1 11 130( 1)limn nn nn nnI J ne e ne n e+ ++ + + += =+2p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro43BAREMDE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 11Prof. Bulgr Delia Valentina+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.Folosete proprietatea logaritmilor: log ( ) log loga a axy x y = + i scrie 35=75, 45=95Obine a=13p2p2.O valoare maxim se atinge atunci cnd m-2 e < e = =S=( 1, ) \{0} 2p2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro46b)2 21'( )( 1) 1xf xx x=+ +'( ) 0 1 f x x = = ; '( ) 0, . ( ,1) f x pt x > e ; '( ) 0, . (1, ) f x pt x < e (1, 2 1) A punct de maxim local.2p2p1pc)2222211 1 111 11121 112( 1) 141( ( )) 11limlim limxx xx xxxx xx xxf xxe e| | + + | |+ + \ . +| |+ = = |+\ .= =2p3p2.a)2 2 2 221 1 ' 1 2 200 0 0 022 220sin sin sin sin ( cos ) cos sin | ( 1) sin cos( 1) sin (1 sin ) ( 1) ( 1)n n n n nnnn n nI xdx x xdx x x dx x x n x xdxI n x x dx n I n It t t ttt = = = = + = = } } } }}21n nnI In =2p2p1pb)Din a)2 2 22 12k kkI Ik = i2 1 2 12, 12 1k kkI I kk+ = >+Pentru 1, k n = nlocuit separat n prima relaie2 0 4 2 2 2 21 3 2 1, ,...,2 4 2n nnI I I I I In = = = i nmulind egalitile obine:1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro472 4 6 2 0 2 4 2 2 21 3 5 2 1 1 3 5 ... (2 1)... ...2 4 6 2 2 4 6 ... (2 ) 2n n nn nI I I I I I I I In nt = = .Analog, pentru 1, k n = nlocuit n a doua relaie2 12 4 6 ... (2 )1 3 5 ... (2 1)nnIn+ = +2pc)Pentru2 21 110 0[0, ], sin sin sin sin2n n n nn nx x x xdx xdx I It tt + ++e s s s} }.Deci2 1 2 2 1 2 12 12n n n nnI I I In+ ++s s =22 12 112nnI nI n++s sTrecnd la limit, rezult22 12 1lim1 lim lim 12nn n nnI nI n ++s s = , cu criteriul cletelui obine22 1lim 1nnnII+ =2p1p1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro48BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 12Prof. Bulgr Delia Valentina+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.3 3( 2 1)3 2 32 1 2 1+= = + 4 3 2 5, 7 3 2 3 8 < < < + e A < > Expresia2( ) 1 E x x x = + admite o valoare minim egal cu2min314 4y x xaA= + >Obine40 ( ) ,3f x x s s e1p2p2p3.mparte ecuaia prin 25x(sau prin 49x) i obine27 72 1 05 5x x| | | | = | |\ . \ .Noteaz75xt| | = |\ .,t>0, scrie22 1 0 t t =Finalizeaz x=01p2p2p4. Exist 900 de numere formate din trei cifre. Produsul a trei cifre este impar dac toate cifrele sunt 2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro49impare, adic cifrele sunt din mulimea {1,3,5,7,9}.Pot fi35 125 = numere de trei cifre cu produsul cifrelor un numr impar.125 5900 36p = =2p1p5.0 u v u v : = 4(a+3)-5a=0, a=122p3p6.Folosete teorema cosinusurilor:2 2 22 cos a b c bc A = + 2116 9 2 3 42a = + 13, 7 13 a p = = +2p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)1 2 3 4 52 4 5 3 1ot | |= |\ .1 2 3 4 54 3 5 2 1to | |= |\ .ot to =2p2p1pb)21 2 3 4 53 2 1 5 4o | |= |\ .,31 2 3 4 54 2 5 3 1o | |= |\ .,41 2 3 4 51 2 3 4 5 e o | |= = |\ .2 3{ , , , } H e o o o =3p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro50c)Demonstrez c H parte stabil a lui5S n raport cu compunerea permutrilor1 1 3 2 1 2 3 1, , ( ) , ( ) e e o o o o o o = = = =(H, ) este un subgrup al grupului5( , ) S .2p2p1p2.a)5 {0,1, 2, 3, 4} = ZCalculeaz (0) 3, (1) 0, (2) 3, (3) 3, (4) 1 f f f f f = = = = =Rdcina este1 x =1p3p1pb)Cum rdcinile polinomului n5Z pot fi 0,1, 2, 3, 4 , calculeaz (0) 3, (1) 4 , (2) 1 2 , (3) 3 , (4) 2 4 f f a f a f a f a = = + = + = = +Obine 1, 2, 0, 2 2 a a a a a = = = = =3p2pc)1 2 3 5, , x x x eZ rdcinile polinomului f, scrie31 132 233 3 3 0 3 0 3 0x axx axx ax+ + =+ + =+ + =i adunnd obine3 3 31 2 3 1 2 3 ( ) 4 0 x x x a x x x + + + + + + =Din relaiile lui Viete1 2 3x x x + +0 =3 3 31 2 31 x x x + + =3p1p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Ecuaia tangentei este : (1) '(1)( 1) y f f x = f(1)=1 i2 22 1'( ) '(1)22( 1) 1xf x fx x x x= = + +ecuaia tangentei: x-2y+1=02p2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro51b), )2 22 2( 1)lim limx xx ax bx ax b x x ax bx ax b x x ax b + = + = + + +==2( )2(1 1 )limxbx aaxa bxx x=+ +112 2aa = =2p2p1pc)Punctele de extrem se gsesc printre rdcinile ecuaiei '( ) 0 f x =2 22'( )2( )x bf xx x b x x b += + +x=2b22(2 ) 0 13f b b b b -= = = e 1p2p2p2.a)' '0 02ln 1 1 1 12 ln 2 ln (ln ) 2 ln |e e e e eeee e e e exI dx xdx dx x x dx dx I xx x x x= = = = } } } } }' 201(ln ) | lneeeeI x xdxx= },'0324I ='0 03 18 4I I = =2p2p1pb)22221122'2ln 12 ln |nnnneen neexI dx I xx+ +++= = }2 222 2211 122 22 2' ' 2 '1 ( 2) ( 1)ln (ln ) (ln ) | ln 24 4n nnnn ne een nee en nI x x dx x xdx Ix+ ++++ ++ += = = } }2 14nnI +=3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro5211 1.2 2n nI I const r+ = = = (progresie aritmetic)2pc)20 11 3 5 2 1 1 2 1 1 ( 1)... ... ( )4 4 4 4 4 4 2 4n nn n n nS I I I + + + += + + + = + + + + = + =1 222 3 1 1222 2lim4 ( 1)1 1 .lim limnnn n nn nn nS ne en n+ + + | | + | | = + = = | |\ . \ .2p3pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 13Prof. Canache Georgiana+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.x=an=5n-3 ;a1=2 ,a2=7 ,r=5 ; Sn=225 nn => Sn=2455n2-n-490=0=> n=10 => x=473p2p2. C.E. x = {4,-1}(x-4)(x-7)+(2x+1)(x+1)=3(x+1)(x-4)X= - 411p2p2p3. Fmin=yv1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro53A =-11Minimul funciei f=11202p2p4. Numrul cutat e dat de numrul funciilor g:{a,c,d}->{1,2,3,4}43=64 de funcii2p3p5.AB= 20 BC= 41 AC= 374 74 2 74cos74 37A = =2p3p6.2 21cos sino o + = =>2 2sin3o =2 2 tgo = ,24ctgo =E=12232p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)29 5 70 4 80 0 4A| | |= | |\ .9 0 03 6 03 6 63 tA| | |= | |\ .20 5 73 2 83 6 23 tA A| | |= | | \ . 2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro541pb)*4 2 00 6 60 0 6A | | |= | |\ .11 103 64 2 01 1 10 6 6 012 2 20 0 610 02A| | | | | | | |= = | | | |\ . | |\ .3p2pc)3 2A BI= +1 1 10 0 20 0 0B| | |= | |\ .3( )2 nnBA I= +21 1 30 0 00 0 0nB B| | |= = | |\ .=>1 23( 1) ( 1)( 2)( ........ 1)2 62 2 n n n n n n n nBn A I B = + + + + +1p2p2p2.a)e1=4e2=5(4*5)+(4 5)=92p2p1pb) f(4)=0 i f(5)=1a=1 i b= - 43p2pc) Se observ c : x y=(x-4)(y-4)+4Se demonstreaz prin inducie c :2011..............de orix x x = _(x-4)2011+4Se rezolv ecuaia si rezult c x=62p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)Bacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro551.a)F este funcie continu pe (-4,4)ls(-4)= - i ld(4)=x=-4 si x=4 asimptote verticale2p2p1pb)''( )4(ln )4x xfx= =+'444( )4xxxx++=2216xx'( ) xf = 0X=0 este punct de extrem1p1p1p2pc)1 4 1lim ( ) lim ln( )4 1x xxxf xx x += ==4 1ln4 1lim1 xxxx+=''lim4 1(ln )4 11( )xxxx+=228lim116xxx =121p1p1p2p2. x3+6x2-x-30=(x-2)(x+3)(x+5) 2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro56a)43( 3)( 5) x x dx + +}=33x=43+4x2 43+15x43==16632p1pb)3222 3306xxxxx+ ++ =2 3 5A B Cx x x+ + + +A=1135B= -35C=970 0 01 1 111 1 3 1 9 135 2 5 3 7 5dx dx dxx x x + = + +} } }=0111 3 9( ln | 2| ln | 3| ln | 5|)35 5 7|x x x + + + =11 2 3 2 9 5ln ln ln35 3 5 3 7 4+ + =32 935 7ln2 5( ) ( )3 71p1p1p2pc)1204ttdtIt=}==102ln | |2|tt =+=1ln362p1p2pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 14Prof.Canache GeorgianaBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro57+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.612125 625 255= = ;3 122 16 = :4 126 216 =3 45 6 2 > >3p2p2.1 23 1 mx x+ = +21 2 mx x m = 228 11 2( )7 mm x x = + ++E(m)=247 mm +1p2p2p3.2( ) ( 3) 1logf x y x y = => + =12( 3) 1 3log2yx y x = => =13 2yx = +1p2p2p4.2520A =20+5=252p3p5.AB=2 2(3 1) ( 3 5) m m+ =2 2(2 ) ( 8) m m+ 210 9 0 mm + = => m={1,9}2p3p6.2sinACRB =2R=8 22p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro58R= 4 2SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)1 1 2(1, 2) 1 1 10 0 1M| | |= | |\ .i1 2 3(2, 3) 2 1 20 0 1M| | |= | |\ .M(1,2)M(2,3)=3 3 73 3 60 0 1| | | | |\ .2p2p1pb)31 0 00 1 00 0 1I| | |= | |\ .a=0 i b=03p2pc)1 0( , ) 1 01taa b ab aM| | |= | |\ .Det M(a,b)=12*1( , ) 10 0 1a ba b a a abaM| | |= + | |\ .i211( , ) 10 0 1a ba b a a abaM | | |= + | |\ .1p2p2p2.a)f=x3+3x2+x+2f(0)= 2 , (1) 3 f =` `, `(2) 0 f = `, (3) 3 f =` `f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)= 0`1p3p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro59b)f=x3+3x2+x+3 i (0) 3 f =` `, (1) 0 f =` `, `(2) 1 f =`, (3) 0 f =` `x={ 1`, 3`}3p2pc)Pentru a= `2i pentru a= 3`polinomul este reductibilSe verific pentru a={ 0`, 1`}F este ireductibil pentru a=1`2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)32 212 1644 4 4 4xxx xxx x= + + + +i2 212 1624 4( 2)x A Bxxx x = + + A=12 i B= 83244 4xxxx = + + +212 82( 2)xx+ 2p2p1pb) x=2 Asimptot verticalay=mx+nm=32( )lim lim 14 4)(x xf xx xxx x = = +n=32lim( ( ) ) lim( ) 44 4x xf x mx xxxx = = +=> y=x+41p1p1p2pc)f(x)=212 842( 2)xxx+ + + 1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro602 312 16'( ) 1( 2) ( 2)f xx x= i3 424 48''( )( 2) ( 2)f xx x= + ( )11!1( 1)( )nnnnx a x a += | | | \ .( )( )( )( ) 12 821 12( 2)nnnxfx x= + | || | | | \ . \ .=( )( )nxf =1112 !( 1)( 2)nnnx + -8121( 1)!( 1)( 2)nnnx++ + 1p2p2.a)Observm c f(x) este funcie impar .2224 x x dx }este 02p2p1pb)22 22(4 ) V dxx xt= }2 22 42 2( )4V dx dxx xt = } }3 52 22 2( )3 54| |V x xt = 12815V t=1p1p1p2pc)10 ( )0|n nf xx xs s }1 1n0 00 ( )x nf x dx dxxs s} }=1n+12p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro61Din teorema cletelui rezult ca limita cerut este 0. 2pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 17Prof. Ciocnaru Viorica+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.Efectueaz produsul i obine z = 1+ 3 +i (1- 3 )Calculeaz modulul lui z | z | = 2 2 ) 3 1 ( ) 3 1 (2 2= + +3p2p2. Grupeaz termenii i obine x2(x + 4) - 2(x + 4) = 0Ajunge le relaia (x + 4) (x + 2 ) (x 2 ) = 0Obine x1= - 4, x2= - 2 , x3= - 21p2p2p3. Observ a = 3 log123Obine log32 =aa23Aplic proprietile logaritmilor i obine dup calcule log616 =3) 3 ( 4+aa1p2p2p4.Calculeaz C24= 6 i aplic formula termenului general al progresiei geometrice bn= b1*qn-1 2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro62pentru b3i b5Obine b1= 2/ 3, q2= 3 i b21= 2 * 393p5. Afl coordonatele mijlocului M al segmentului [BC]; M(1, -1)Scrie ecuaia dreptei care trece prin dou puncte, face calculele i obine AM: 6 x y 7 = 02p3p6.Folosete formula cos a + cos b = 2 cos2b a +cos2b a i obinecos o + cos 7o = 2 cos 4o cos 3ocos 3o + cos 5o = 2 cos 4o cos oFace nlocuirile, simplificrile, raionalizeaz i obine cos4t/ cos12t= 3 -12p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)Obine S2= -2 aCalculeaz S3= - 3 bCalculeaz S4= 2 a22p2p1pb) Scrie xi3+ a xi+ b = 0, ie{1, 2, 3} i le nmulete cu xikAdun relaiile obinute i gsete Sk+3+ a Sk+1+ b Sk= 0, ke N.3p2pc) Calculeaz i obine D2= - 4 a3 27 b2 Observ c dac x1,x2,x3sunt reale D este real, D2> 0 : Observ c dac o rdcin este complex, exist i conjugata ei (ecuaia avnd coeficienireali) i D2< 0, fals deci x1,x2,x3sunt reale1p2p2p2.a)Observ x y = y x , x, y e GCalculeaz (x y) z =1 ++xyy x z =1 + + + + + +yz xz xyxyz z y x, x, y, z e Gx (y z) = x 1 ++yzz y=1 + + + + + +yz xz xyxyz z y x, x, y, z e GFinalizeaz (x y) z = x (y z), x, y, z e G1p3p1pb)Scrie x e = e x = x, x e G i nlocuiete obinnd relaia1 ++xee x= x3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro63Calculeaz i obine e = 0, x e G, finalizeaz e e G.2pc)Scrie x e G1 ''++xxx x= enlocuiete e = 0, obine1 ''++xxx x= 0 de unde x = -xFinalizeaz x e G - x e G deci x e G este simetrizabil2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Scrie formula pentru (f/ g), o aplic i obine f(x) =2 22) 1 (1+xxCalculeaz xlim112+xx= 0, Gfadmite asimptot orizontal de ecuaie y = 0 la Precizeaz c Gfnu mai are alte asimptote2p2p1pb)Calculeaz g(x) =2) 1 (1xCalculeaz g(x) =3) 1 (2 xPresupune c g(n)(x) =1) 1 (! ) 1 (+nnxnCalculeaz (g(n)(x)) i obine g(n+1)(x) =21) 1 ()! 1 ( ) 1 (++ + nnxn ne N1p1p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro64c) Scrie (uv) = uv + uvScrie formula lui Leibniz (uv)(n)= C0n u(n)v + C1n u(n-1)v + C2n u(n-2)v + ... + Cnn u v(n)Folosete formula lui Leibniz atribuindu-i lui u112+ xi lui v (x2+1); (x2+1)(k)= 0, k > 3nlocuiete i calculeaz C0n(f g)(n)(x) (x2+1) + C1n(f g)(n-1)(x) 2x + C2n(f g)(n-2)(x) 2 = (f g)(n)(x) (x2+1)+ 2n (f g)(n-1)(x) x + n(n -1) (f g)(n-2)(x) = 01p1p1p2p2.a)Calculeaz I0=} +1021xdx = ln23Calculeaz I1=} +102 xxdx = 1- 2 ln3+2 ln2Finalizeaz I1= 1- 2 ln23= 1 2 I02p2p1pb)Observ In-1=} + 1012 xxndxScrie relaia In+ 2 In-1=} ++ 10122xx x n ndxCalculeaz In+ 2 In-1=} + + 1012) 2 (xx xndxAjunge la rezultatul 1/ n1p1p1p2pc)Observ c xe[0, 1] xn> xn +1 In > In+1i In > 0In sI0deci irul (In) este mrginit i monotonMenioneaz c irul e convergent i nlim In= nlimn1= 02p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro65BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 18Prof. Ciocnaru Viorica+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1. Calculeaz z = -7 + 24 iDetermin | z | = 25,_z = -7 - 24 i3p2p2.Scrie formulele pentru Pn, Akn, C knunde 0 s k s nCalculeaz A13= 3, C45= 5, P3= 6, C25= 10, A24= 12Verific relaia 2n< 10 n + 1 cnd n e{3, 5, 6, 10, 12}, calculeaz probabilitatea i obine 0,251p2p2p3. Pune condiiile de existen a logaritmilorScrie inecuaiile corespunztoareRealizeaz tabelul de semne i gsete x e (- 4, 3- 13 ) ( 3+ 13 , )1p2p2p4. Scrie c nlimea din A e perpendicular pe BC i panta sa este 1/ 2Noteaz ecuaia nlimii i o aduce la forma cartezian general21x y + 7 = 0.2p3p5.Calculeazu +v = 6i + 2jObineuv = -72p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro666.Aplic formula i obine sin B + sin C = 2 sin2C B +cos2C B Obine cos B + cos C = 2 cos2C B +cos2C B Obine sin A = sin2C B +/ cos2C B + : sin A = ctg A/ 2 : 2 sin2A/2 cos A/2 = cos A/2: sin2A/2 = 1/ 2 : sin A/2 = 2 /2 : A/2 = 450: A = 9002p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)Obine 2 B = 2 p A + 2 I4,B2= p2A2+ 2 p A + I4,2 B B2= I4- p2A2Obine prin calcul A2= O4Finalizeaz 2 B B2= I42p2p1pb)Obine B =1 2 22 1 22 1 22 2 1+ + + +p p p pp p p pp p p pp p p pi det B = 1Observ relaia B (2 I4- B) = I4 ,B-1= 2 I4- B3p2pc) Verific pentru n = 1Aplic demonstraia Bn+1= B+ n p A B : Bn+1= (n+1) p A+ I4+ n p2A2Observ A2= O4 ,Bn+1= I4+ (n+1) p A, ne N*i pe R1p2p2p2.a)Scrie (x y) z = x (y z)Calculeaz (x y) z = x + ay a + az a; x (y z) = x + ay + a2z - a2a de unde(z 1)( a2a) = 0Finalizeaz a = 0, a = 11p3p1pb) Scrie x + ae a = x de unde a = 0 sau e = 1Scrie x y = x + y 1, x y = y x, x, y e Z3p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro67c) Scrie axiomele grupuluiMenioneaz asociativitatea, comutativitatea, e = 1 pentru a determinat, noteaz x x = 1Calculeaz x = 2 x, xe Z2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Calculeaz f(1) = t / 4 2Scrie formula de derivare, o aplic i obine f(x) =211x +- 2Calculeaz f(1) = - 3/ 22p2p1pb) Precizeaz legtura ntre f > 0 respectiv f < 0 i creterea respectiv descreterea funcieiObine f(x) = -2212 1xx+< 0, xe R, deci f este strict descresctoareScrie formula pentru (f/ g)Calculeaz f(x) =2 2) 1 (6xx+i precizeaz convexitatea/ concavitatea funciei dup cum x < 0respectiv x > 01p1p1p2pc)Calculeaz xlim(arc tg x 2x) = - Precizeaz c Gfnu admite asimptot orizontal la + Calculeaz xlimxx x 2 arcsin = - 2Calculeaz xlim(arc tg x 2x + 2x) = t / 2 i scrie ecuaia asimptotei oblice y = - 2x + t / 21p1p1p2p2.a)Calculeaz I0=} + +1026 51x xdx =21ln10|32++xx= ln2 23Calculeaz I1=} + +1026 5x xxdx =21ln (x2+ 5 x + 6)|10-45ln10|32++xxFinalizeaz I1=21ln2 -45ln892p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro681pb)Observ In+2= ) (102x f xn} +dxObserv In+1= ) (101x f xn} +dxObserv In+2+ 5 In+1+ 6 In= )) ( 6 ) ( 5 ) ( (1102x f x x f x x f x n n n+ + + +}dxCalculeaz In+2+ 5 In+1+ 6 Ini obine11+ n1p1p1p2pc)Scrie relaia}) (x f dx =21ln32++xx+ c}) (x f dx = F(x) + cF(1)=21ln43 F(x) =21ln32++xx2p1p2pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 19Prof. Ciocnaru VioricaBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro69+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.Scrie formulele pentru Akn, Cknunde 0 s k s n i calculeaz A24 + n= (n+4)(n+3)Calculeaz C34 + n=)! 1 ( ! 3)! 4 (++nn= (n+4)(n+3)(n+2)/ 6 i obine 4 > n deci n e {0, 1, 2, 3}3p2p2. Calculeaz log636 = 2Observ ordinul comun al radicalilor 12 i noteaz316 =12 162 , 20 =12 6 125 * 2 ,448 =12 3 123 * 2Gsete 20 ,448 ,316 , log6361p2p2p3. Scrie elementele mulimii transformnd radianii n gradeGsete dou valori corecte pentru cos o i scrie relaia cos ( t - x) = - cos xGsete cos3t= 1/ 2, cos2t= 0, cos32t= -1/2, cos t = -1 i probabilitatea 4/ 71p2p2p4.Scrie Tk+1,calculeaz i obine C k8 k21x4) 8 ( 2 k k ,4) 8 ( 2 k k e NGsete k = 0 T1= x4, k = 4 T5=835x2p3p5. Scrie forma trigonometric a unui numr complex, stabilete modulul i argumentul, formula pentrurdcinile de ordinul n = 5 ale ecuaiei dateObine z0= 1, z1= cos52t+ i sin52t, z2= cos54t+ i sin54t, z3= cos56t+ i sin56t,Z4= cos58t+ i sin58t,2p3p6.Scrie formula distanei ntre dou puncte i calculeaz AB = 82 , BC = 5, AC = 132pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro70Calculeaz PABC= 18 + 82Scrie AABC= 33/ 21p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)Obine sistemul x y + 2z = m rezolv sistemul- x + 2y + z = n2x + y - z = pGsete m = - (t1+ t2+ t3) = - 2, n = t1t2+ t2t3+ t1t3= - 1Gsete p = - t1t2t3= 22p2p1pb) Scrie ecuaia t3+ t2+ t + 1 = 0, descompune n factori i determin t1= -1, t2= i, t3= -inlocuiete n sistem t1,t2,t3i calculeaz cu metoda lui Cramer x = -1, y = -1, z = -1`3p2pc) t1= t2= t3 m = -3 t1, n = 3 t12, p = - t13Gsete dup nlocuiri i calcule 1= 1/ 3, fals sistem incompatibil : Sistemul este incompatibil dac determinantul matricei sale este nul m= 0 fals saut12+ t22 +t32= t1t2+ t2t3+ t1t3 :t1= t2= t31p2p2p2.a)Scrie axioma elementului neutruCalculeaz e pentru - 4, e pentru - 5, e pentru 7Finalizeaz e pentru T 81p3p1pb) Scrie axioma elementelor simetrizabile, o aplic n primul inel x - x = 5 i gsetex = (4x - 15)/ (x - 4) ; x e {3, 5}Calculeaz x T x = 8 i obine x = (7x - 48)/ (x - 7); x e {6, 8}3p2pc)Observ c f este bijectiv i scrie f(x-y) = f(x) f(y), f(x- y) = f(x) T f(y)Calculeaz f(x-y), f(x) f(y), f(x- y), f(x) T f(y)Finalizeaz: f este izomorfism de inele2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Observ c f(x) = 0 i gsete x1= 1Obine x2+ x 5 = 0 i gsete x2,x32p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro71Finalizeaz S = {221 1 , 1}1pb) Observ c Gfadmite asimptote verticale de ecuaii x = 1, x = -1Observ c xlim f(x) = i Gfnu admite asimptot orizontalCalculeaz xlimxx f ) (= 1Calculeaz xlim (15 623 + xx x- x) = 0 i scrie ecuaia asimptotei oblice y = x la 1p1p1p2pc)Observ nedeterminarea 1 Obine expresiax xx x) 1 (5 623 + = 1-x x +25pentru bazObine expresia -x x +25xx213+pentru exponentAjunge prin calcule la e-5/ 21p1p1p2p2.a)Obine) 5 (1+ x x=51(x1-51+ x)Calculeaz51(ln x- ln (x+5))|n1Finalizeaz51(ln n- ln(n+5) + ln 6)2p2p1pb)Noteaz In=51(ln n- ln(n+5) + ln 6)Scrie formulele necesare i aplic proprietile logaritmilor1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro72Obine In= ln556+ nnCalculeaz nlim In= ln561p2pc)) ( ) 3 (74x f x x} dx =} +7453xxdx,53+xx= g(x), g(x) > 0Observ c pentru x e [4, 7] g(x) e [g(4), g(7)]Ajunge prin calcule la31s ) (74x g}dx s 12p1p2pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 20Prof. Ciocnaru Viorica+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.Observ cii2 33 2+=) 2 3 )( 2 3 () 2 3 )( 3 2 (i ii i+ + += iObserv c | i | = 1 i_i = - i3p2p2. Grupeaz ((1+ x) -2 x2)5Folosete binomul lui Newton i obine (1+ x)5- 5(1+ x)42 x2+ 10 (1+ x)3(2 x2)2- 10 (1+ x)2(2 x2)3 5(1+ x) (2 x2)4+ (2 x2)5Calculeaz coeficientul lui x4i obine -151p2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro733.Obine 1v =iObine 2v =75 i +73 j , 3v =137 i +138 j i 1v + 2v + 3vAplic formula i calculeaz cos =3451p2p2p4. Observ c 62= 36, 64= 1296, 65= 7776ncadreaz numrul 2011 ntre 1296 i 7776 apoi logaritmeaz i obine log61296 < log62011< log67776 adic 4 < log62011 < 5 deci [log62011] = 42p3p5. Scrie formulele pentru cos2A/ 2 = p(p - a)/ bc, etc.Introduce n relaia dat, calculeaz i obine p22p3p6. Scrie formulele pentru termenul general i pentru sumele termenilor pentru fiecare progresieCalculeaz S101= (5+ 5 + 100 * 0,2)*101/ 2 = 15 * 101Calculeaz S80= 5(1- (0,2)80)/ (1- 0,2) = 25 (1 (0,2)80)/ 4 i S101/ S802p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)Calculeaz M2=1 0 04 1 010 4 1Calculeaz M3=1 0 06 1 021 6 1Scrie Tr M = 32p2p1pb)Calculeaz Mn+1=1 0 02 1 03 2 2 1+ + + +nn n nxy x x3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro74Observ c xn= 2n i yn= n(2n + 1), ne N i scrie Mn=1 0 02 1 0) 1 2 ( 2 1nn n n +2pc) Calculeaz M13= 0Calculeaz M13= 0, M21= - 2Folosete Mni obine M2011=1 0 04022 1 04023 * 2011 4022 11p2p2p2.a)Scrie determinantul matricei sistemuluiAplic una din regulile de calcul pentru determinantul de ordinul 3 i obine valoarea^6 n Z12,valoarea^5 n Z7Finalizeaz1p3p1pb)Determin elementele inversabile:^1,^5,^7 ,^11Gsete probabilitatea cerut 1/ 33p2pc)Gsete x =^1, observ^6 z =^0 de unde z e {^0 ,^2 ,^4 ,^6 ,^8,^10}Calculeaz y e {^0 ,^2 ,^4 ,^6 ,^8,^10}Scrie soluia sistemului2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Obine dup calcule g(x) = =nkk kx p1cos = f(x)Scrie g(x) = - =nkk kx k p1sinCalculeaz f(0) = =nkkp1, g(0) = 02p2p1pb)g(x) = f(x) > 0, xe R1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro75Observ g cresctoareObserv g periodicg constant i g(x) = 0 xe R1p1p2pc)g(x) = jxjpnjjsin1=g(kt ) = t jkjpnjjsin1== 0Scriexxxsinlim0 =1xx gx) (lim0 =xnxnpxpx p nxsin ... 2 sin2sinlim210+ + += =nknp11p1p1p2p2.a)Obine F(x) = ln (1+ ln x) + cPentru x = ee-1determin c = 1Finalizeaz F(x) = ln (1+ ln x) + 1, x > 12p2p1pb) Folosete schimbarea de variabil 2 ex 3 = uObine 2 exdx = duCalculeaz capetele de integrare x = 0, u = -1; x = t, u = 2 et 3Obine e2t 3et+ 2 = 0 i t = 0 sau t = ln 21p1p1p2pc)Folosete schimbarea de variabil 2 ln x 3 = u, obinex2dx = duCalculeaz capetele de integrare x = e2u = 1; x = t u = 2 ln t 3Obine ln2t 3 ln t + 2 = 0 i t = e sau t = e22p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro76BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 23Prof. Lung Ioan+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului ob inut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.24 21 i 1z2 2i (+ + | | | |= = = ( | |\ . \ . ( 212 4i | |= = |\ .3p2p2.Im B f =12ba = , f descresctoare pe j 2, 1 i crectoare pe j 1,10 , ) , ) , ) 1 2, 2 3, 10 123 f f f = = =Finalizare: j 2,123 B =1p2p2p3. 5log 35 3 =, )2 2 2log (3 7) log (3 7) log 9 7 1 + + = =finalizare1p2p2p4.15 n =219 5 14k n kn nC C n= = =2p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro775.A C B Dz z z z + = +Finalizare: (0, 5) D2p3p6.2221xtgtgxtg x=221cos 21tg xxtg x=+finalizare2p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)22 0 20 1 02 0 2A| | |= | |\ .3 24 0 40 1 04 0 4A A A| | |= = | |\ .=2 22 22 0 20 1 02 0 2| | |= | |\ .2p2p1pb)3 22 0 20 02 0 2p q p qA pA qA p qp q p q+ + | | |= + = + | |+ +\ .3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro782 4 31 2p q pp q q+ = = + = = 2pc) 3 343 32 0 20 1 02 0 2A| | |= | |\ .1 11 12 0 20 1 02 0 2n nnn nA | | |= | |\ .- se demonstreaz prin induc ie matematic1 11 11 11 12 0 22 1 0 2 10 0 0 02 1 0 2 12 0 2n nk kn nk kn nn nk kk kB n n = = = =| | | | | | |= | = | | | \ . | |\ . 1p2p2p2.a)21 22 2i ii+ | | = = |\ .20001000112ii+ | | = = |\ .10005001, 12ii+ | | = = |\ .finalizare1p3p1pb)12i +- rdcin12i - rdcin, ) , )1 2X x X x f - finalizare3p2pc)Justificarea faptului c , ) R X aX b = +2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro79, )21 f X C aX b = + +, ) , )'1 , 1 f a b f a = + =, ) , )2998 2999 1 2 R X X i = 2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a) , )2111f xx' = =+2201xx= >+f- cresctoare pe R2p2p1pb), ), )2221xf xx'' =+, ) 0 0 f x x '' = =, ) , ) 0, 0 f x x '' < < i , ) , ) 0, 0 f x x '' > >0 x = - punctul de inflexiune1p1p1p2pc), ) , ) lim , limx xf x f x = = nu exist asimptote orizontale, ) , ) , )lim 1 , lim2x xf xm R n f x mxxt- = = e = = 1:2d y x t = - asimptot oblic la +1,2m n t' ' = =2:2d y x t = + - asimptot oblic la 1p1p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro802.a), ) , )101 3 tf t e dt = =}, ) , )11 1 10 0 003 3t t t tt e e dt t e e = =}, )104 3 4tt e e = = +2p2p1pb)Fie F o primitiv a lui , ) , ) 3 tg t t e = , ) , ) , )20 f x F x F = , ) , ) , ), ) , )22 20 2 3 xf x F x F x x e'' = = , )1 2,30 0, 3 f x x x ' = = = Din semnul func iei f '1 2,30, 3 x x = = -punctele de extreme ale func iei f1p1p1p2pc)0020( )limxf xx =, )0002( )limxf xx'= =', )2202 3lim 32xxx x ex= = 2p1p2pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 24Prof. Lung IoanBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro81+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1., ) , ) 2 3 22 4 7 4 73 2 9 4 13 13 13i ii iz ii+ ++ += = = = + +7Im13z i =3p2p2., ) , ), ) , )118 2 2 84 2 2 4f ff f= = = = 2 82 4a ba b+ = + = Finalizare: , ) 3 2 f x x = +2p1p2p3.22ba =f-cresctoare pe , j , 2 , 0, 2 A A c =j Im 1, 5 B f = =1p2p2p4.2n- nr. submul imilor mul imii A2 1 255 8nn = =2p3p5.3 3 11, 1 1 7 2622 5 1ABCA m m m = A A = + = 2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro821 2597 26 33 1,7m m m = = = 3p6.2 , 2 0,2 2t tt t| | | |e e | |\ . \ ., ) sin 2 sin 2 t = , ) arcsin(sin 2) arcsin(sin 2 ) 2 t t = = 2p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a) , )2 21det 1 11x xA x x xx x+ = = + =, ) det 2011 1 A =3p2pb), ) , ) , ) , )?, A x A y M A x A y M e e, ) , ) , )1 1 11 1 1x x y y x y x yA x A y A x y Mx x y y x y x y+ + + + | | | | | | = = = + e | | | + \ . \ . \ .M- parte stabil n raport cu nmul irea matricelor1p2p1pc), ) det 2011 1 A = , ) 2011 A - inversabil, )20 , A I = , ) , ) 2011 2011nA A n = , , ) , ) , ) , ) , )120 A x A x A I A x A x = = = , ) , ) , ) , )1 12011 2011 2011 2011n nA A A n A n ( = = = ( 1p2p2p2.a), ) 7 m o =, ) , ) , )1 1m oc o = = 3p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro83b)1 2 3 4 55 3 4 2 1 | |= |\ .11 2 3 4 55 4 2 3 1 | | = |\ .1p1p1p1p1pc)1 11 2 3 4 5 1 2 3 4 5,3 5 4 1 2 5 1 4 3 2o t | | | |= = | |\ . \ .1 1x o t = =1 2 3 4 53 2 5 1 4| |= |\ .2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a) , ) , )22 2 2 2 f x x x = = 2 0 x >j ) 2, D = 2p2p1pb), )j )2 2, 62 2, 2, 6x xf xx x >= e, ), )1, 62 21, 2, 62 2xxf xxx > ' = e , ) , ) 6 6s df f' '=, ) , ) 2, 6 6, D' = 1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro841p1pc)f- func ie Rolle pe j 11,18, ) , ) , ) , ) , ) 11,18 . . 18 11 18 11 c a f f f c ' - e = , )17f c ' =574c =1p1p2p1p2.a), ) , ) , )2 1cos cos cos f x f x x = =, )0 1 2 220 0 1 0( )sin cos cos sin ... cos cos f x xdx x xdx tdt tdtt t = = = = =} } } }10sin sin1 sin 0 sin1 t = = =2p2p1pb)j , ) cos 1,1 , x x R e e, )1( ) cos ( ),n nf x f x n N- = e1 ( ) 1nf x s s f- mrginit2p1p2pc), ) , )1cos cos f x x g x x = =, ) , )2 22 20 0cosgV C g x dx xdxt t= = =} }22 20 0 01 cos 2 sin 22 2 4 4x x xdxt t tt += = + =}1p2p2pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro85Varianta 25Prof. Lung Ioan+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.x a ib = + - rdcina ptrat , )21 4 3 a bi i + = +, )2 3 x i = +3p2p2.2 y x =29 9 0 x x =finalizare1p2p2p3., ) 0 2 f =322f | | = |\ .Finalizare: f-nu este injectiv1p2p2p4.11T - termenul din mijloc al dezvoltrii51031 20k n k kk nT C a b C a+ = =2p3p5.d-mediatoarea segm. j AB , , )0 0, M x y -mijlocul segm. j AB, M d d AB e ,2 12 1ABy ymx x=: 2 3 2 0 d x y + + =2p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro866., )1tga tgbtg a btga tgb++ = , )75 45 30 tg tg = + = 3 13 1+=2p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)3 3 3a b cc a b a b c abc abc abcb c aA = = + + =3 3 33 a b c abc = + + 3p2pb)Din a)3 3 33 a b c abc A = + + , )111a b c a b c b c b cc a b a b c a b a b c a bb c a a b c c a c a+ +A = = + + = + + =+ +, ) , )2 2 2a b c a b c ab bc ac = + + + + Finalizare1p3p1pc), ) , ) , ) , )2 2 22 2 22 a b b c c a a b c ab bc ac + + = + + , ) , ) , )2 2 23 3 313 ( )2a b c abc a b c a b b c c a (+ + = + + + + , ) , ) , )2 2 23 3 30, 3 0 0 a b c a b c abc a b b c c a a b b c c aa b c+ + = + + = + + = = = = =1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro873 38 6 x y xy + + =3 3 32 2 3 022 0x y xyx yx y+ + = = =+ + =2p2p2.a), )?) , , i x y x y x y G = e ln ln1 1ln ln ln ln2 2y xx y x y y x = : = -comutativ, ) , ) , )?) , , , ii x y z x y z x y z G = e Finalizare3p2pb)Din a) - asociativ i comutativ2 1) G e G e element neutru , )1 1, x e e x x x G : = = e 21e e =, )?23) : G x G x G x x x x e ' ' ' e - e = = 4ln xx e G ' = eFinalizare2p2p1pc)21 1 12 4 2, e e e e e e e e = = = Se demonstreaz prin induc ie c112... nn orie e e e = _2p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro88SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a), ) , )2 23 3 3 3 3 33 317 19 3 3 1 3 3 1...1 2 2 31 1nnkn n k kan n k k =+ + + += + + + = = + +, )3 311 11nk k k = (= (+ ( =, )3111 n= +2p2p1pb), )33131lim lim 11nnnn nan (= = (+ ( , )33lim11nnne += =11ee= =2p2p1pc)sin sin 2sin cos2 2a b a ba b + =, ) , ) , )1 11lim sin sin lim2sin cos2 2n n n nn nn nn a a n a ana na + ++ + = =... 2sin 0 cos 2 0 cos 0n no o = = = =1p2p1p2.a)222 22,21( ) min ,2 2 1,1 1x xxf x xxxx x s | | += = |+\ . > + + 2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro89( ) f x = , , )2, ,12, 1,1x xxx e e + Func ia min este continu f - admite primitive2p1pb) Fie F primitiv a lui f, ) , , )212, ,122 , 1,xc xF xarctgx c x+ e = + e F continu1 2 1 21 122 4 2 2c c c ct t + = + = + ,fie2c c = , ) , , )21, ,12 2 22 , 1,xc xF xarctgx c xt + + e = + e 1p1p2p1pc), ) , ) j ) 0 1, 0 f x x < e 0 1 221 0 121A xdx xdx dxx= + + =+} } }0 12 2211 02 1 2 22 2 2x xarctgx arctg t= + + = + 1p2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro90BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 26Prof. Lung Ioan+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.4cos 4 1 1 0 i t = =0 P =3p2p2.1 2bx xa+ = 7 531mm =54m =1p2p2p3.58 81log log5x x = =222log 1 1log5 log 8 15xx = =1442 2 x = =1p2p2p4.21045 C = - numrul submul imilor lui A care au 2 elemente210102CP =2p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro915.1AB ACAB AC m m : = 1, 3 13AB AC AB ACm m m m = = = 2p3p6.1sin32x =, ) , ) 3 1 , 16 18 3k k kx k k Z xt tt t = + e = +5 13, ,18 18 18x t t t e ` )1p2p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)(S) admite o singur solu ie det 0 A : =1221det 2 3 1 012mA m mm= = + = =1\ 1,2m R e ` )2p2p1pb)Pentru1\ 1,2m R e ` )(S) este compatibil1) 1 m= , )2 112 1 2x y zx y zx y z F + + = + + = + + = =, ) S - incompatibil1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro9212)2m = 11122x y zx y zx y z + + = + + = + + =1 1 1 11 1 1 , 1 21 21 12A B rangA| | | | | | |= = = | | | | \ . |\ ., )1 1 11 1 1 011 12c S = = - compatibilS:m=12p1pc)1\ 1, ,2m R e ` )112B| | |= | |\ .21 1 21 1 1 2 11 2 1md m = = 20 22 1 12 3 1 1d myd m m m= = = + 1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro93, )00 1 0 1, y m m > > e 2p2.a), ) , ) 7 7 7 x y x y = + 1) G asociativitatea2) 8 G e =31) 77G xx' = +4) G comutativ( , ) G - grup abelian1p1p1p1p1pb), ) , )2 201120117 7 ... 7 7orix x x x x x x = + = + _, )20117 7 7 7 x x + = =3p2pc)f bijectiv 0 a =, ) , ) , ) , ) , , f x y f x f y x y G = e 1, 7 a b = = , ) 7 f x x = 2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a) , )2 221 1x xf x arctgxx x' = + =+ +21xarctgxx= +3p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro94b), ), ) , ) , )2 2 22 2 22 21 1 2 20,11 1x x xf x x Rx x x+ '' = = > e+ + +f ' - strict cresctoare3p2pc), ) , ) , ) 0,0f strict cresctoaref x x Rf o-+' ' > e' =, ), ) , ) , )strict cresctoare pe 0,0,0ff x x Rf o-+ > e=1p1p1p2p2.a)1 13 1 133dx dxxx= =+ +} }121211 1 1 313 3 32xx dx | |+ || | \ .= + = = |\ .}2 13 3 x C = + +2p2p1pb), )1001limnnkkf f x dxn n =| | = = |\ . }102 1 4 23 3 3 3 x = + = =232p1p2pc), ), )2 13 31503F x x CCF= + + ==2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro95, )2 113 3F x x = + +, ) , ) 1 F x f x =83x =1p2pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 27Prof. LUNGANA VIORICA+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1., ) 027 , 0371=1 670 3 2011 + =02011 = a2p2p1p2.0 3 4 0 3 42 2= + : = + x x x x sau : = + + 0 3 42x x{ ; 3 , 1 e x sau { ; 3 , 1 e xRdcinile reale ale ecua iei sunt { ; 3 , 1 , 1 , 3 e x2p2p1p3.Numrul de submul imi cu cte k elemente ale unei mul imi cu n elemente este n k Ckn s s 0 ,, ) nn n n nn nC C C C + + + + = + = ... 1 1 22 1 02p3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro964.Fie p creterea copacului; dup o lun nl imea copacului este , ) p x px x h + = + = 1Dup 2 luni , ) , ) , ) . 1 2 12 2p x p p x px x p px x h + = + + = + + + =Pentru 816 , 10 % 4 , 10 = = = h p x m2p2p1p5.Notm E c b a baaccb= lg lg lg;, ) , ) , ) 0 lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg = + + = c b a b a c a c b E = = 1 0 lg E E 1lg lg lg= baaccbc b a3p2p6.3266sin sin = = = = tBC ABBCABC ;3 323 66cos cos = = = = tBC ACBCACC|.|

\| = b a b a b a , cos27 = BC AC , 0 = AB AC , 9 = BC BA2p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)03 3 32 2 21 1 163 6 92 4 61 2 3det = = = A (determinantul asociat unei matrice cu dou linii egale estezero).Rangul matricei A este 3 1 s s rangA .Pentru c 3 0 det - rangA A =Observm c 0 3 3 = = i orice determinant ob inut prin bordarea acestuia este nul.1 03 91 36 92 32 61 34 62 3= = = = = rangA2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro972pb), ) A Y X =|||.|

\|= |||.|

\|= 3 6 92 4 61 2 31 2 33213O A A XY A S = = =3p2pc)|||.|

\|=|||.|

\|+|||.|

\|= + =4 6 92 5 61 2 43 6 92 4 61 2 31 0 00 1 00 0 13 A I B = = + + = = 0 11 48 48 45 36 36 804 6 92 5 61 2 4det B matricea B este inversabil.* 1det1BBB =,|||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11*B B BB B BB B BB ,|||.|

\|=4 2 16 5 29 6 4Bt8 12 204 26 511 = = = B ; 2 ) 6 8 (4 16 212 = = = B ; 1 5 42 15 213 = = = B ;, ) 6 18 244 29 621 = = = B ; 7 9 164 19 422 = = = B ;, ) 2 6 82 16 423 = = = B9 45 366 59 631 = = = B ; , ) 6 18 246 29 432 = = = B ; 8 12 205 26 433 = = = B.|||.|

\| =8 6 92 7 61 2 8*B . Deci||||||.|

\| =|||.|

\| =1181161191121171161111121188 6 92 7 61 2 81111B .1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro98A I B A I1111181161191121171161111121183 6 92 4 61 2 31111 0 00 1 00 0 1111313 = ||||||.|

\| =|||.|

\||||.|

\|= sauA A 103 6 92 4 61 2 31030 60 9020 40 6010 20 303 6 92 4 61 2 33 6 92 4 61 2 32=|||.|

\|=|||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|=, )32323 3 31 11111110111111111I A A I A A A I A I A I B B B B = + = + = +|.|

\| = = ,Deci inversa matricei B este A I B11131 =2p1p2.a), ), ) 1 1 1 2 *2 2 2 2 2 2+ = + = y x y x y x y x , , ) I y x e , .Cercetm dac exist , ) e , 1 e astfel nct , ) , ) e = = , 1 , * * x x x e e x, ) , ) , ), ) , ) , ) , ), ), ) , ) , ) , ), ) , ) , ) , ) , ) e = e = : e = : e = + : e =, 1 , 2 , 1 , 0 2 1 , 1 , 0 11 1 , 1 , 1 1 1 , 1 , *2 2 2 22 2 2 2x e x e x x xe x x x e x x x e x, ) , ) , ) e e = , 1 , , 1 2 x eS artm c , ) , ) , ) , ) e - e , 1 , , 1,x x astfel nct 2 * *, ,= = x x x x ., ) , ) , ), ) , ) , ) , ), ), ) , ) , ) , ) , ) , ) e + = : e = : e = ++ e = + : e =, 1 ,111 , 1 ,111 , 1 , 2 11 1 , 1 , 2 1 1 1 , 1 , 2 *22 ,22 ,2 , 2 2 , 2 ,xxx xxx xx x x x x x x x, ) , ) , ) e e= , 1 , , 1122,xxxx .Deci orice element din I este simetrizabil n raport cu aceast lege de compozi ie.1p2p2pb)Dac func ia , ) , ) , 1 , 0 : f este un izomorfism ntre grupurile , ) +,*R i , ) ,* I ,Bacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro99atunci , ) , ) 1 1 2 1 2 1 2 1 + = = = + = + = x x f m m m f .Verificm dac func ia ndeplinete condi ia de morfism de grupuri:, ) , ) , ) , )*, , * +e = R y x y f x f y x f ., ) , ) , ) , ) , ) , ) , ), ), ) , )*2 2, ,1 1 1 1 1 1 1 1 1 *+e = = + = + + + = + =R y x xy fxy y x y f x f y f x fDeci f e morfism de grupuri.Verificm dac func ia este func ie bijectiv:Fie*2 1, +eR x x cu , ) , ) f x x x x x f x f = + = + : =2 1 2 1 2 11 1 este func ieinjectiv.Fie , ) e , 1 y cu, ) , ) , ) , ) e e = = + = + : = , 0 , , 0 1 1 12 2y y x y x y x y x frezult func ia f este surjectiv.Deci func ia f este func ie bijectiv.Din f morfism de grupuri i f func ie bijectiv, rezult f este izomorfism de grupuri.1p2p2pc), ) 1 1 2 2 *22 2 4+ = + = x x x x x, ) 1 1 * *32+ = x x x xSe arat, prin metoda induc iei matemetice: , ) 1 1 * ... * * *2+ = nori n dex x x x x _ .Atunci , ) 1 1 * ... * * *1002100+ = x x x x xori de _ .2p2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro100SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Din , ) , ) , ) , ) , ) n f n f n f n f n f 4 1 3 1 = + = +, ) , ) 2214 0 4 1 =|.|

\| = = f f, ) , ) , ) 8 2 4 1 4 2 = = = f f, ) , ) , ) 32 8 4 2 4 3 = = = f f, ) , ) , ) 128 32 4 3 4 4 = = = f f1p1p1p1p1pb), )1 14 2 1 2 1 = = f, )1 24 2 4 2 2 = = f, )1 3 24 2 4 2 3 = = f, )1 4 34 2 4 2 4 = = fDeducem c , ) , ) 0 , 4 21> = n n f n.Se demonstreaz prin induc ie egalitatea , ) , ) 0 , 4 21> = n n f n., )21412 4 2 01 = = = f adevrat.Presupunem c , )14 2 = kk f adevrat, i demonstrm c , ) , ) 0 , 4 2 1 > = + k k f k.Folosind rela ia dat n enun , ob inem , ) , ) , ) , ) 0 , 4 2 4 2 4 4 11> = = = + k k f k f k k.Deci , ) , ) 0 , 4 21> = n n f n.1p1p1p2pc), ) , ) , ) , ) , ) = + = + + + + = 1 2 1 04 2 ... 4 2 4 2 4 221... . 2 1 0 nn n f f f f S, ) = + + + + = 1 24 ... 4 4 1 221 n31 4221 n64 4 134 2 221 n n = + = , (1), ) , )64 4 13214 230 1 nnf n f =+ = +, (2)1p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro101Din rela iile (1) i (2), rezult c , ) , )30 1 f n fSn += .1p2.a), ) = = = } } } xdx e x e xdx e xdx e x x x xcos sin sin sin,, ) , ) = = =} } }xdx ex x e xdx e x e x e xdx e x exx x x x x xsincos sin sin cos sin cos sin,, ) , ) C x xexdx e C x x e xdx exx x x+ = + = } }cos sin2sin cos sin sin 22p2p1pb), ) , ) , ) , ) = + = x x xe x F e x F e x F,,, ) , ) , ) , ) , ) x e e x F x f e x F e x f x x x xsin = + = + =2p3pc)Din , ) , ) , ) e = + x x x f x F , sin R , ) , ) , ) e = + x x e e x f e x F x x x, sin R , ) , ) , ) , ) , ) = : = + x e e x F x e e x F e x F x x x x xsin sin,,,, ) , ) , ) + = = } C x xee x F xdx e e x Fxx x xcos sin2sin, ) , ) , ) , ) , ) x xCe x x x F x f Ce x x x F + = = + = sin cos21cos sin21,, ) , ) , ) , )xe x x x f C C f + = = = + : = cos sin21210 0 1210 02p2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro102BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 28Prof. LUNGANA VIORICA+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1. Din RcC rezultEcua ia are rdcini complexe , ) e m R3p2p2.233102331 + =+: =++ x x x x, ) 9 3 2 2 9 3 2 2 + = + + = + x x x x sau 9 3 2 2 = + x xDeci 7 = x sau511 = x2p2p1p3.= + + + + = == nnkka21...212112120nn2122112111 =|.|

\|=+j 1 1 2212212 = =((

+ =((

= n na sau , ) j 1 2 , 1212 = e = a an1p2p2p4. + + + + = a na a a a S n... 3 23 2, ) + + + + + = +1 4 3 21 ... 3 2 n nna a n a a a aS2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro103, ) , ) = + + + + + = + + + + + = + + 1 1 2 1 3 2... 1 ... 1 n n n nna a a a a na a a a a a S, ) , ), )22 1 2 11111111aa a n aSaa a n anaaaan n n nnn += += += + + + ++, pentru 1 = aDac , )21... 2 1 1 += + + + = = n nn S a2p1p5.54 3 3 6132324 = = C C C5p6.t tgtgttt tgt tgt2 22122 sin ;112 cos+=+= ; Notm , )0 51811 32 22= ++++ =yyyyy tgt2 0 4 42 = = + + y y y8 4 3212 = + = = ctgt tgt ctgt tgt2p1p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a) G I e||.|

\|=||.|

\|=__ __21 00 11 00 1G O e||.|

\|=||.|

\|=__ __20 00 00 00 03p2pb) = + : = + : =0 0 02 2__ ____ __ w z w w z zz ww z0 ; 000= = == w zwz3p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro104c)Fie Gz ww zP e||.|

\|=__ __ i G Q e||.|

\|= __ __o | | ounde e | o, , , w z C.=|||.|

\|+ + =||.|

\|||.|

\|= __ __ __ __ ____ ____ ____ __o | | o o | | oo | | oz w z ww z w zz ww zQ PGw z w zw z w ze||||.|

\| |.|

\| + + =__ ______________ ______________ __| o o |o | | o1p2p2p2.a), ) , ) , ) , ) = + = = mx f x f f x f f n n m n m22 2 ) )( ( , ) j , ) = + = + + = m nmx x2 2222 2 2 2 2 22, ) , ) , ) , ) , ) e e = + = ++n m x x f x n mn m, , , 2 , 2 22Z.Deci , ) e = + n m f f f n m n m, ; Z.1p3p1pb) Din punctul a) deducem c opera ia de compunere este bine definit pe mu imea G.Deoarece compunerea func iilor este asociativ, rezult c opera ia de compunere este asociativ peG.Artm c opera ia de compunere a func iilor din G este comutativ:, ) e = = = + + n m f f f f f f m n m n n m n m, ; Z..Studiem existen a elementului neutru:, ) , ) 0 , , = = + e = : e = + x n x n G f f f G f f f f n n x n n n x n , ) , ) , ) , ) = = + = + =, 0 0201 2 2 2 20f x x x x f func ia identic este elemntul neutru.Determinm elementele simetrizabile:, ) , ) G f G f y m e - e , astfel nct0f f f f f m y y m = = , ) , ) e = = + e = : e = + Z m y y m G f f f G f f f f m y m m y m0 , ,0 0

1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro105, ) G f G f m m e e , adic, orice element din G este simetrizabil.Deci, mul imea { ; Z n f G n e = mpreun cu opera ia de compunere a func iilor este grupcomutativ.2pc)Fie G F : Z, , ) n f F n = .Func ia F este bijectiv, prin construc ie.S artm c F este morfism de grupuri:, ) , ) , ) , ) , ) G f f f F f F n m f F f f F n m n m n m n m e + = + = = +, , .Rezult c , ) n f F n = este un izomorfism de grupuri.Deci grupurile , ) , G i , ) + , Z sunt izomorfe.1p2p2pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a) , ) , ) , ) =+ + +=++=2 22 22 211 211 2x xx x xx xxx f, ), ) =+ +=2 22 211x xx x, ), ) , ) , )2 2 2 222 2211 11 11+ =+++=x x x xxx xx2p2p1pb)Folosim rela iile , ) , ) , ) n f f f an + + + = ... 2 1 i , ) , ) , ) e + = kk kk f ,11 12 2N*., )2 221111 = f, )2 231212 = f..........................., ) , )2 211 1+ =n nn fPrin adunarea celor n egalit i se ob ine:1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro106, ) , ) , ) , ) , )22212111 ... 2 1++=+ = + + + =nn nnn f f f anDeci, ) , ) e ++= nnn nan,1222N*.2pc), ), ), )=||.|

\|++= ++ n nn nnn nfnnnn na22 22122112lim lim, ), ), ) , )=||.|

\|++ = ++++ n nn nnnnn22 2222111112111 lim= = + n nnne222limee121= = ..1p2p1p1p2.a), ) , ) , ) f xxx f e + = 1 , 1 , 011322,~teste strict cresctoare, deci este injectiv., ) , )35321 arccos321 ttt t = = = f, )321 arccos321 t t = = fFunc ia f este continu i strict cresctoare, deci pentru orice j 1 , 1 e x avem, ) ((

e32,35 t tx f . j , ) ((

= 32,351 , 1 t tf , deci f este surjectiv.Din f injectiv i f surjectiv, rezult f bijectiv.2p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro107b)0121212=}dxxxdeoarece , ) 0 =}aadx x f dac f este func ie impar.Func ia ((

21,21: f R, , )21 xxx f= este func ie impar., ), ) , ) , ) ((

e = = = 21,21,1 12 2x x fxxxxx f2p1p2pc), )}01t dx x f, ) , ) , ) dttdt t f dx t f x t x f||.|

\|+ = = = =2, 11132tDac , )21 = = t t f t i dac , )210 = = t t f0132113221212212121212=+ =||.|

\|+ } } } dttttdt dttt t t, pentru c func iile , ) t t g = i, )21 ttt h= sunt func ii impare.2p1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro108BAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 29Prof. LUNGANA VIORICA+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.a), ), ) , ), ) , ) e + +=+ + +=++ xx x x xx xx x,2 112 11 22111N.b)201120102011112011120101...31212112011 20101...4 313 212 11= == + + + =+ +++= S2p3p2.Suma msurilor unghiurilor interioare ale unui poligon convex cu n laturi este , ) 2 180 = n S, ) j , ) j , ) , ) + = + = + = += n n n nn n n r n aSn58 10 10 10 6821 20 68 221 21Deci e = = + : = + 5 0 360 122 10 360 180 58 102 2n n n n n n N sau e =536n N.Aadar poligonul are 5 laturi.1p2p2p3.Fie 3 2 + = x i 3 2 = y0 4 ~ = + y x0 1 3 4 ~ = = xy2p1p2p4.Folosind , ), )3 213 2 1 3 2 3 2+= = + ecua ia dat se scrie, ) , )43 213 21 21 2=++ + ++xx1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro109Notm , ) yx= + +1 23 2 ecua ia devine 3 2 0 1 4 412 , 12 = = + : = + y y yyy, ) 0 1 1 2 3 2 3 21 2= = + + = + +x xx, ) , ) 1 1 1 2 3 2 3 2 3 21 1 2 = = + + = = + +x xx1p1p1p5.Fie , ) , ) 1 ,121...2111:2 2 2 > s + + + nn nn P, ) , ) 1 1 : 1 1 211: 12 s : s P P adevratPresupunem , ) k kk P121...2111:2 2 2 s + + + adevrat, i demonstrm c, ) , )11211...2111: 12 2 2+ s++ + + +kkk P este adevrat, , ) 1 > k ., ) , ) , )2 2 2 2 2 2 2 2 211 1211 1...211111 121...2111++ s++ + + + ++ s + + +kkk k kk kSe arat c, ) , ) : s++ +:+ s++ 011 11111211 122 2kk k kkk0 1 0 1 22 2s : s + + : k k k k k adevrat.Rezult , ) 1 + k P este adevrat, , ) 1 > k .Deci inegalitatean n121...21112 2 2 s + + + este adevrat , ) 1 > n .2p1p1p1p6. , ) 0 sin 0 cos 2 1 sin 0 cos sin 2 sin 0 2 sin sin = : = + : = + : = + x x x x x x x x sau0 cos 2 1 = + x{ ; Z k k x x e e : = t 0 sin2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro110)` e + e : = : = + Z k k x x x tt23221cos 0 cos 2 1Solu ia ecua iei este { ; )` e + e e Z k k Z k k x ttt 2321p2pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)|||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|= =0 0 00 0 03 0 00 0 01 0 02 3 00 0 01 0 02 3 02A A A32 30 0 00 0 00 0 00 0 01 0 02 3 00 0 00 0 03 0 0O A A A =|||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|= =2p3pb)|||.|

\|=|||.|

\|+|||.|

\|=|||.|

\|+|||.|

\|= +1 0 01 02 3 10 0 00 02 3 01 0 00 1 00 0 10 0 01 0 02 3 01 0 00 1 00 0 13 zz zzz zz zA I, ) 11 0 01 02 3 1det3 = = + zz zzA I3p2pc), ), )3 3 33 2 2323 3 I O I A A A A A I A A I A I = + = + + + = + +Din egalitatea de mai sus, se observ c inversa matrices A I +3este matrices23 A A I + 3p2p2.a)Aplicm algoritmul lui Euclid:. .+ + + + 2 32 3 5X X X X.+ + 14 5X X. . .+ + 4 4 44 5X X.11pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro111/. . .+ + + + 1 3 42 3 4X X X X.+ + 14 5X X . . .+ + + + 1 3 42 3 4X X X XX X X X X + + + + . .2 3 4 53 4. .+ 3 4 X/. . .+ + + + 1 3 22 3 4X X X X. . . .+ + + + 2 2 2 32 3 4X X X X/ +.33 X |.|

\| + + = + . . . . .1 4 3 3 23X X X. . .+ + + + 1 3 42 3 4X X X X. .+ + 1 43X XX X X + + .2 44. .+1 4 X/. .+ + 1 43X X. .+ + 4 43X X/ / /Deci , ) . .+ + = 1 4 ,3X X g f2p1p1pb)Scriem polinoamele date astfel |.|

\| + +|.|

\| + + = + + = . . . .1 1 4 12 3 4 5X X X X X X f i|.|

\| +|.|

\| + + = + + + + = . . . . .2 1 4 2 32 3 2 3 5X X X X X X X g .Cel mai mic multiplu comun al celor dou polinoame este:1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro112j , ) =+ +|.|

\| +|.|

\| + +|.|

\| + +|.|

\| + +== . .. . . . . .1 42 1 4 1 1 4,,32 3 2 3X XX X X X X X Xg fg fg f|.|

\| +|.|

\| + +|.|

\| + + = . . . .2 1 1 42 2 3X X X X X .3pc), ) , ) : = x g x f =|.|

\| + +|.|

\| + + . . .1 1 42 3x x x x :|.|

\| +|.|

\| + + . . .2 1 42 3x x x =|.|

\| +|.|

\| + + . . .0 4 1 43x x x0 1 43= + + . .x xsau 0 4 = + .xDin. .= = + 1 0 4 x x .Din. . . . . .= =|.|

\| + +|.|

\| + : = + + 3 0 3 3 2 0 1 42 3x x x x x xsau 0 3 32= + + . .x x .Se observ, c ecua ia 0 3 32= + + . .x x nu are solu ii n Z5.Deci)`= . .3 , 1 S .2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Scriem , ) , ) , ), ) j ) e+ e+ =+ =, 1 ,11 21 , ,11 211 2222xx xxxx xxx xxx fDac , ) , ) , )11 2, 1 ,2+ = ex xxx f x este func ie continu pe ) 1 , ( , ca raport de func iicontinue.Dac , ) , ) , )11 2, , 12+ = ex xxx f x este func ie continu pe ) , 1 ( , ca raport de func ii continue.Studiem continuitatea func iei n punctul 10 = x2p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro113, ) , )011 2lim lim21111 =+ = = x xxx f lxxxxs- -, ) , )011 2lim lim21111 =+ = = x xxx f lxxxxd~ ~, ) 01 1 11 1 21 =+ = fDin , ) f f l l d s = = 1 este continu n 10 = x .Deci func ia este continu pe R.2pb) Calculm, ) , ), ), ) , ) =+ + + =+ + = |.|

\|+ 222 2222,212 6 4 2 2 211 2 2 2 1 212 2x xx x x xx xx x x xx xx, ) + + =22214 2x xx x, ) , ) , ), ) , ) e+ + e+ =, 1 ,14 21 , ,14 2222222,xx xx xxx xx xx f, ) , ), )214 2lim lim 12221111, =+ = = x xx xx f fxxxxs- -i, ) , ), )214 2lim lim 12221111,=+ + = = x xx xx f fxxxxd~ ~, ) , ) f f f d s = = = 1 2 2 1, ,nu este derivabil n 10 = x , deci func ia este derivabil pe R- { ; 1 ;punctul 10 = x este punct unghiular pentru graficul func iei.1p1p1p1p1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro114c), )0 014 2222= =+ xx xx xsau 2 = xTabelul de varia iei al func iei este:x 0 1 2 +, ) x f,+ + + + + + + 0 - - - - - - - 2 2 + + + + + + 0 - - - - - - - - - -, ) x f 0 2 1 2 0(M) (u) (M)Observm c exist 2 puncte de de maxim ( 0 = x i 2 = x ) i un punct unghiular ( 1 = x ); decisunt 3 puncte de extrem.2p2p1p2.a)1110 = = =} e x dx I ee1 11ln ln11111 = + = = == = } } e e x e dxxx x x xdx I eeee2p3pb), ) , ) = = = } } enenn dx x x dx x I1,1ln ln, ) , ), )111111ln1ln ln = == =}}nenenennI e dx x n edxxx n x x x1p2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro115c)Din , ) s s s s s s 1 ln 0 1 ln 0 1 nx x e x , ) 1 ln 011 1 = = s s } } e x dx dx x ee enAdic s s 1 0 e In irul , )0 > n nI este mrginit., ) , ) , ) , ) 0 1 ln ln ln ln1 1 111 s = = } } } ++enenenn n dx x x dx x dx x I I , deoarece0 1 ln 1 ln 0 s s s x x .Deci s+ n n I I1 irul , )0 > n nI este ir descresctor.irul , )0 > n nI este mrginit i descresctor, atunci irul , )0 > n nI este convergent.Fie j ) 1 , 0 lim e = e L InnDac = nnI L lim 0 ~ imposibil, rezult 0 = L .Deci 0 lim = nnI2p2p1pBAREM DE EVALUARE I DE NOTAREVarianta 30Prof. LUNGANA VIORICA+ Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajulcorespunztor.+ Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, nlimitele punctajului indicat n barem.+ Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.SUBIECTUL I (30 de puncte)1.Graficul func iei de gradul al doilea : f RR, , ) c bx ax x f + + =2con ine punctele, ) , ) , ) 4 , 1 ; 1 , 3 ; 2 , 1 C B A dac, ), ), ) = + + = + + = + : === 41 3 924 11 32 1c b ac b ac b afff3pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro116, )81938118198113111 8310 916 22 = == = = = == + = + = x x x fcaba cabc ac ab2p2.Inegalitatea , ) e > + + + y x m y x y x , , 0 6 42 2R se scrie, ) e > + + + + + y x m y y x x , , 0 13 9 6 4 42 2R, adic, ) , ) , ) e > + + y x m y x , , 0 13 3 22 2R , rezultj ) e > > , 13 13 0 13 m m m1p2p2p3.Fie e2 1, x x R { ; 2 cu , ) , ) :=: =2 222112 1xxxxx f x ff x x x x x x x x = : = :2 1 2 2 1 1 2 12 2 este func ie injectiv.Fie e y R { ; 1 cu , ) , )122 1 22 = = : = : =: =yyx y y x y yx x yxxy x f .Presupunem c 2 0 2 2 2 212 = : = : = y yyyimposibil, deci e=12yyx R { ; 2 ,Deci func ia f este surjectic. Din f func ie injectiv i f func ie surjectiv rezult f func iebijectiv f este func ie inversabil f admite invers :1 f R { ; 1 R { ; 2 ,, )121=xxx f2p2p1p4.n k b a C T k k n kn k s s = +0 ,123 252522525252125 1212121 kkkkkkkkkkk x CxxCxx C T+ = =|.|

\|||.|

\|=1 + kT con ine pe8 325 483 9 3 823 25x C T k kkx = = = =1p2p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro1175.Fie e y R cu , ) =+ = yxx xy x f1322, ) 0 3 1 32 2 2= : + = y x x y y y x x xDar e x R , ) 0 9 4 4 0 1 4 9 02s : > + > A y y y yRezolvm ecua ia ataat210 10 9 4 42 , 12 = = y y y((

+ = ((

+ e : > A210 1,210 1Im210 1,210 10 f y1p1p2p1p6.100 45 45 = = = ctg AF ABAFABctg3 100 30 30 = = = ctg AF ACAFACctg, ) 1 3 100 = = AB AC BC2p2p1pSUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)Pentru 1 = m sistemul devine= + + = + = + +1 210 2z y xz y xz y x = = + + = = A 0 5 1 4 1 2 1 21 2 11 1 11 1 2sistemul este compatibil determinat. Serezolv folosind formulele lui CramerAA=AA=AA= zyxz y x ; ; .1pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro118533 1 1 1 21 2 11 1 11 1 0 = = + = = A xx.522 2 1 1 21 1 11 1 11 0 2= = + + + = = A yy.544 1 4 1 21 2 11 1 10 1 2= = + = = A zz.Solu ia sistemului este)`|.|

\| =54,52,53S .1p1p1p1pb)Sistemul este compatibil determinat dac i numai dac 0 = A .2 6 1 4 2 1 21 2 11 11 1 22 2 2 + = + + = = A m m m m m mmmm210 2 6 02= = + : = A m m m sau32 = me : = A m 0 R)` 21,32.1p2p2pc)Fie|||.|

\| =1 2 11 11 1 2mmmA i|||.|

\| =1 1 2 11 1 10 1 1 2__mmmACercetm dac pentru32 = m sau21= m sistemul este incompatibil.Bacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro119Observm c )` e = : = =21,32210 1 211 22m mmmDac32 = m sau =21m 011 2=mmDar 0 det = A = A pentru32 = m sau21= m (conform punctului b)), deci 2 = rangA .2 6 1 4 1 21 2 11 10 1 22 2 2 = + = = A m m mmmmcar)` e = : = 21,32310 2 62m mpentru32 = m sau21= m , 3 0__= = A A rangcarDeci pentru32 = m sau21= m ,__3 2 A rang rangA = = = , adic sistemul este incompatibil.1p2p1p1p2.a), ) , ) , ) , )2008 2004 4 5011 501 1 501 1 501 1 1 1= + = + + + + + + + + + + + + = + + +bi aibi ai b a b a i f i f f f4p1pb)Dac 2 = a , 2 = b , 1 = c , atunci 1 2 23 4 + = X X X f, ), ) , ) , ), ) : = + : = + : = + 0 1 2 1 0 1 2 1 1 0 1 2 22 2 2 2 2 3 4x x x x x x x x x x0 12= : x sau 1 0 1 22 , 12 = : = + x x x sau 14 3 = = x x .1p2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro120Deci, rdcinile polinomului sunt: 1 ; 14 3 2 1 = = = = x x x x adic polinomul are o rdcin simpli o rdcin tripl.2pc) Presupunem c, ), ), ), ), ) := + = + + + =:= ==::+ : + : :0 10 100 10 10 011 1 13c b ac b acffff Xf Xf Xf X X X f X X f g1 1110 = = + = + =:b ab acimposibil; deci nu exist valori reale ale coeficien ilor c b a , , astfel ca fs se divid cu X X g =3.2p2p1pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1.a)Scriem , )22 1 4 1 4 1 1 4 3 = + = + x x x x x i, )23 1 9 1 6 1 1 6 8 = + = + x x x x x ; ob inem:, ) , ) , ) = = + + =2 23 1 2 1 1 6 8 1 4 3 x x x x x x x f3 1 2 1 = x x1 x are sens dac j ) j ) = e > > , 1 , 1 1 0 1 E x x x5 4 1 2 1 = = = x x x i 10 9 1 3 1 = = = x x x2pBacalaureat Matematic M1 2010 - 2011Modele de Subiecte www.mateinfo.ro121x 1 5 10 2 1 x - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +3 1 x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + +Dac j ) , ) 1 3 1 1 20 3 10 2 15 , 1 = + = e x x x fxxx--Dac j ) , ) 5 1 2 3 1 2 10 3 10 2 110 , 5 = + = e x x x x fxxx-~Dac j ) , ) 1 3 1 2 13 10 2 1, 10 = + = e x x x fxxx~~Deci , ) j )j )j ) ee e =, 10 110 , 5 , 5 1 25 , 1 , 1x dacx dac xx dacx f1p1p1pb) , ), ), ) , ) f f l lx lfx f ld sxxdxxs = = )` = = = = =51 5 1 2 lim1 51 lim5555~-este continu n 51 = x ., ), ), ) , )