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Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Magnetostática d: Energía y coeficientes de

inducción 1

Magnetostática

• Definición.

• El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.

• Ley de Biot y Savart.

• Ley de Ampère.

• Campo en puntos alejados. Momento magnético.

– Comportamiento en el infinito.

– Corrientes ligadas.

• Energía Magnética.

– Relación con las corrientes. Formación e Interacción.

– Sistemas de corrientes filiformes.

– Coeficientes de inducción. Autoinducción.

– Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.

• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall

EyM 5d-1J.L. Fernández Jambrina

• Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo Magnético almacenada en un volumen V como:

– Si lo que se desea es calcular la energía asociada a una distribución, Vdebe abarcar toda la región en la que exista campo magnético: habitualmente todo el espacio.

– Observando esta expresión se intuye que la energía se encuentra almacenada en donde existe campo. Por tanto es posible definir una densidad de energía por unidad de volumen como:

– La energía de una distribución debe ser positiva. En el caso concreto de medios isótropos y lineales:

– Sólo toma el valor 0 si los campos son nulos.

Energía del Campo Magnético Estacionario

∫∫∫ ⋅=V

m dVHBWrr

=µ=⋅= BHHBdV

dWmrrrr

J.L. Fernández JambrinaEyM 5d-2

inducción 2

Relación Energía - Corrientes

• Puesto que el campo magnético tiene su origen en las corrientes, es interesante relacionarlas con la energía.

– Como punto de partida conviene recordar que:

– y sustituyendo en la expresión de la energía:

– Si el campo cumple las condiciones de regularidad en el infinito la primera de las integrales se cancela:

» al hacer tender la superficie S al infinito

• Por tanto:

– V se puede limitar al volumen en que hay corrientes.

∫∫∫ ⋅=J

Vm dVJAW

( ) ( ) JAHABHJHAB

HAAHHA rrrrrrrrrr

rrrrrr

⋅+×⋅∇=⋅⇒

=×∇×∇=

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅×=⋅+×⋅∇=VSVV

m dVJASdHAdVJAdVHAWrrrrrrrrr

( ) ( ) 01

32=⋅×⇒∝⋅×⇒∝∝∝ ∫∫∫∫

∞→ SSSSSdHAlim

rSdHArS

rrrrrrrr

∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=CS

m ldAI

dSJAdVJAWrrrrrr

( ) ( )( ) ( )

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫

∫∫∫′

′−⋅′

′′−

dVVdrr

( ) ( )∫ ∫∫∫ ∫∫ ′′ ′−

⋅′

=′′−

⋅′

ldldIWdSSd

rJrJW rr

Relación Energía - Corrientes (2)

• La expresión anterior puede generalizarse para el caso de corrientes superficiales y filiformes:

– Hay que mencionar que la expresión para corrientes filiformes conduce a una energía infinita. Esto no debe preocupar ya que se trata de una aproximación de corrientes que circulan por conductores muy delgados.

• Se puede seguir eliminando los campos de la expresión de la energía: Así para un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:

– Y para distribuciones superficiales y filiformes:

inducción 3

Energías de interacción y formación

• Los conceptos de energías de formación y de interacción son también aplicables a la energía asociada al campo magnético:

» Se puede demostrar que

siguiendo un procedimiento similar al seguido para demostrar:

– Las energías de formación deben ser positivas.

– Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como negativas.

( ) ( )

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

+ 12121

212211

nInteracció2Formación1Formación

dVAJdVAJdVAJ

dVHHdVHHdVHH

dVAAJJ

rrrrrr

rrµµµµ

∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅21

dVAJdVAJrrrr

∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=J

VVm dVJAdVBHW

Energía magnética de una corriente filiforme.

• La energía magnética de una corriente filiforme es infinita.

– Si se escoge un elemento de longitud suficientemente pequeña como para considerarlo recto,El campo a una distancia D<∆R<<∆L será fundamentalmente el debido al propio elemento, considerado como de longitud infinita:

– La energía almacenada en esta región (cilindro) será:

– La energía es infinita en las proximidades de la corriente filiforme.

» Es decir, donde la aproximación de corriente filiforme no es válida.

( ) ϕπρ

≈ ˆ2

( ) ∞=−∆π∆µ

π∆µ

=ϕρρ

µ=∆

∫ ∫ ∫∫∫∫∆

∆+ π ∆

0lnln44

RLIdLI

inducción 4

Energía de interacción de sistemas de corrientes lineales

• Si se tiene un sistema de corrientes que pueda aproximarse por corrientes filiformes, la energía magnética de interacción entre dosde los contornos, Ci y Cj, toma la forma:

– Como el flujo a través de Ci del campo debido a Ij vale:

– Resulta:

– Es más, puesto que, para medios lineales, el campo total es la suma de los campos creados por cada corriente, la suma de las energías de interacción será:

∑ ∑∑ ∑

∑∑∫∫∫∫∑∫∫∑

=≠== +=

Φ=Φ=⇒

⇒Φ=⋅=⋅=⋅=Φ⇒=

SdBSdBSdBBB

rvrvrrvr

∫ ⋅=iC

ijijiH ldAIWrr

( ) ∫∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=ΦiC

jji ldASdASdBrrrrrr

jiijim IW ,, Φ=

Coeficientes de Inducción Mutua

• En medios lineales existe una relación de proporcionalidad entre la corriente y el campo que esta genera. Esta proporcionalidad, consecuencia de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, se extiende también al flujo.

– Este factor de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de inducción: Li,j

– En función de Li,j la energía de interacción queda como:

– Recordando que:

Se obtiene fórmula de Neumann:

» Nota: el coeficiente de autoinducción, Li,i , es infinito.

∑∑∑ ∑≠≠

jiim LIIIW ,,2

∫ ∫ −

=i jC C ji

ldldL rr

∫ ∫ ′ ′−⋅′

ldldIW rr

ijji ILSdB

,, =⋅=Φ ∫∫rr

∫∫ ⋅=iS

ji SdBI

inducción 5

Coeficientes de inducción de distribuciones no filiformes

• Se ha visto que existen dos métodos para el cálculo de coeficientes de inducción mutua para corrientes filiformes: la fórmula de Neumann y la energía.

– La expresión basada directamente en la energía se utiliza para generalizar la definición de coeficiente de inducción mutua a distribuciones superficiales y volumétricas.

– Esta misma expresión puede utilizarse para definir el coeficiente de autoinducción de una distribución superficial o volumétrica:

» La presencia del factor 2 en la expresión de la autoinducción y su ausencia en la de los coeficientes de inducción mutua proviene de las definiciones de energías de formación e interacción.

∫ ∫ −

=i jC C ji

ldldL rr

( )∫∫∫ ⋅

ji dVHHIIII

( )∫∫∫==V

ii dVHII

Energías de interacción y formación

• Los conceptos de energías de formación y de interacción son también aplicables a la energía asociada al campo magnético:

• Las energías de formación deben ser positivas.

• Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como negativas.

( ) ( )

⋅+⋅+⋅

⋅µ+⋅µ+⋅µ

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∑∑

∫∫∫

2,1212,2

212211

nInteracció2Formación1Formación

1Total

LIILILI

dVAJdVAJdVAJ

dVHHdVHHdVHH

dVAAJJ

m rrrrrr

rrrrrr

inducción 6

• Los coeficientes de inducción son parámetros geométricos.

– su valor no depende de las corrientes que circulan tal como puede verse de su expresión.

• Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji– Se deduce de su expresión.

– (ojo) Su signo cambia si se cambia el sentido considerado comopositivo para una de las corrientes, circulaciones o flujos.

• Los coeficientes de autoinducción de circuitos filiformes son infinitos

– Las integrales son impropias.

– La energía asociada con un sistema de corrientes filiformes es infinita.

– Las corrientes filiformes son un modelo matemático sin realidad física.

» Se necesita energía infinita para hacer pasar una corriente finita por un conductor de sección transversal nula.

• Los coeficientes de autoinducción de distribuciones volumétricas o superficiales son finitos y positivos.

Propiedades de los Coeficientes de Inducción

Autoinducción de distribuciones volumétricas

• El coeficiente de autoinducción de distribuciones volumétricas se define a partir de su energía:

• Puesto que parte de esta energía se está asociada al campo en el interior de la distribución y parte fuera, se acostumbra a descomponer la autoinducción en dos sumandos, llamados:

– coeficiente de autoinducción interno, asociado a la energía interior.

– coeficiente de autoinducción externo, asociado a la energía exterior.

– Es posible relacionar estos coeficientes de autoinducción con el concepto de flujo.

∫∫∫ ⋅==V

m dVHBII

∫∫∫

dVHBII

inducción 7

• Datos de la distribución de corriente

– Radio a.

– Se supone que la corriente se distribuye de forma uniforme:

– El campo creado es:

– Calculando el coeficiente de autoinducción a partir de la energía:

» En el exterior:

» El coeficiente de autoinducción externo por unidad de longitud es infinito. (Debido fundamentalmente a que no se cumplen las condiciones de regularidad)

Autoinducción de un Hilo Conductor Cilíndrico Indefinido.

∞=ρρ

=ρϕρ

µ= ∫∫ ∫ ∫∞+ ∞

ext ddzdd

ρ≤ϕπρ

≤ρ≤ϕρ

• En el interior:

– Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción interna por unidad de longitud que puede ser importante.

– Puesto que el campo en el interior de un hilo cilíndrico será fundamentalmente debido a la corriente que circula por él, este resultado se puede utilizar como aproximación en muchos casos.

Autoinducción Interna de un Hilo Conductor Cilíndrico Indefinido.

π= ˆ2 2

=ρϕρ

µ= ∫ ∫=ρ

=ϕ 1622

0int Idd

( ) mnH508

intint =πµ

inducción 8

• En el conductor interior:

– la situación es idéntica a la del hilo indefinido:

• En la región intermedia:

– La autoinducción externa por unidad de longitud:

• En el conductor exterior:

Autoinducción de un Cable Coaxial

ϕπρ

∫ ∫∫= =

ϕ πµ

ρϕρπρ

( )( ) ( )

−+−−−

−= ∫ ∫ ∫= = =

442224

bcbccb

ρϕρρρπ

( ) ( ) ϕρρπ

• Utilizando:

• Para valores normales, α= [1.5, 5], el coeficiente de inducción interno del conductor interior contribuye a la inducción total de forma significativa.

Autoinducción de un Coaxial. (2)

απµ

=⇒=α ln2

1 2 3 4 50

αααα

400nH/m

200nH/m

L0a /l

inducción 9

Autoinducción de un Coaxial. (3)

• Utilizando:

• Para valores normales, β<1.2, el coeficiente de inducción interno del conductor exterior no contribuye a la inducción total de forma significativa.

( )( ) ( )

( )( )

−ββ−

−β+ββ

−βπµ

−+−−−π

µ=⇒=β

442224

222bcbcc

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

ββββ

40nH/m

60nH/m

80nH/m

20nH/m l

Autoinducción: Método de los tubos de flujo.

• En un medio isótropo el dV puede construirsea partir de un dS ortogonal a las líneas de y un dl paralelo a las líneas de .

La integral de contorno, según la ley de Ampère es la corriente encerrada por el contorno, es decir, por el tubo de flujo. Denominando a esta corriente I(CH) resulta:

– Para que esta expresión se pueda aplicar, el flujo debe calcularse según una superficie normal a las líneas de campo, y que I(CH) es la corriente encerrada por la línea de campo correspondiente al dΦΦΦΦ.

∫∫ ∫∫∫∫ Φ

⋅=⋅=

m dldHdVHBWrrrr

( )( ) ( )BdldHSdBldHdVHB Φ⋅=⋅⋅=⋅

rrrrrrrr

( )∫∫ Φ=BS

BHm dCIW2

dSr dl

( ) ( )( )( ) ( )( )ldHSdB

ldSdHB

SdHldBrrrr

⋅⋅−⋅⋅=

=×⋅×=0

inducción 10

Autoinducción: Método de los tubos de flujo.

• Si no hay líneas de campo que corten a las corrientes es posible separar las energías de las regiones interna y externa:

– Obsérvese que la corriente encerrada por las líneas de campo externas es constante y en muchos casos coincide con la corriente total.

• En este caso los coeficientes de inducción interno y externo quedan como:

– En un conductor filiforme no existe la región interior y, por tanto, la única contribución a L es la externa.

( ) ∫∫∫∫ Φ+Φ=e

BHm dI

dCIW22

WL eBe

==∫∫∫∫

• Utilizando el método de los tubos de flujo:

– Para el cable coaxial la autoinducción externa por unidad de longitud se obtiene del flujo a través de la sección Se indicada en la figura.

– La autoinducción por unidad de longitud correspondiente resulta:

– De forma análoga se obtiene la autoinducción interna del conductor interior a partir del flujo a través de Si :

Autoinducción Cable Coaxial

∫ ∫∫= =ρ

µ=Φ1

bIdIdzd

L extext ln2

( ) ∫ ∫∫∫∫ = =ρ πµ

=ρρπµ

ππρ

=Φ′=1

22 822

dρρρρ

z=0 z=1

inducción 11

Línea Bifilar.

• Una línea bifilar está formada por dos conductores cilíndricos paralelos por los que circula la misma corriente en sentidos contrarios.

4 2 0 2 4

BJ.L. Fernández Jambrina

EyM 5d-21

Línea bifilar. (2)

• Aproximaciones para d>>a:

– Dentro de cada conductor el campo es el propio.

– En la superficie de los conductores el campo es tangencial

4 2 0 2 4

inducción 12

Línea Bifilar (3)

• Aproximación 1:

– Dentro de cada conductor el campo es el debido a su propia corriente:

» La energía dentro de cada conductor será la misma que para un conductor sólo.

» El coeficiente de autoinducción interno será el doble del de un conductor cilíndrico indefinido:

nH/m10048

2 =πµ

Línea Bifilar. (4)

• Aproximación 2:

– El campo es tangencial a las superficies.

» Esto permite aplicar la fórmula del flujo del campo magnético utilizando cualquier superficie limitada por los conductores.

» Como: y utilizando la simetría.

» Utilizando la superficie y=0.

• Resultado:

e −πµ

=ρϕ⋅

πρµ

= ∫ ∫=

=ρlnˆˆ

ba BBBrrr

SdBL eS

∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅=

rrrrrrrr

L −πµ

inducción 13

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

e aprox,ln=

−µπ

e exacto,ln=

4 6 8 10 12 14 16 18 20

Línea Bifilar. (5)

• La figura compara los valores autoinducción externa en función de la relación d/a para las expresiones exacta Le y aproximada La por unidad de longitud.

• El error relativo cometido al usar la expresión aproximada es menordel 5% para d/a > 10.

• Aproximación para el cálculo de la inductancia:

– Si w>>d, se puede suponer que las líneas de campo tienen el aspecto de la figura:

» No cortan a los conductores.

» Así se puede aplicar fácilmente el método de los anillos de flujo, lo que equivale a calcular el flujo entre dos puntos cualquiera de los conductores:

» Y la inductancia:

• Cálculo exacto:

– El cálculo exacto conviene hacerlo a través de:

» Es engorroso.

Autoinducción de una línea biplaca.

( ) ( )w

dIdlnB

IdlnBCIdCI

1 2µ=⋅=⋅=Φ= ∫∫∫∫

L m µ==2

⋅= ∫21

inducción 14

Autoinducción de una línea biplaca. (2)

• Comparación entre el valor aproximado de la inductancia y el exacto:

– Las escalas son logarítmicas.w/d

1 10 100

10µH/m

1µH/m

0.1µH/m

0.01µH/m

Exacta

Aproximada

• Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d.

• El arrollamiento tiene N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.

– El campo en su exterior es nulo.

– El campo en su interior es:

» Verifica la ley de Ampère y las condiciones en el infinito y en la superficie del solenoide.

• El flujo en una espira:

• El flujo total será N veces el anterior, y

Autoinducción de un Solenoide Toroidal

ϕπρ

bNIddzd

aex ln

20 πµ

=ρϕ⋅

πρµ=Φ ∫ ∫= =ρ

NL ex ln

inducción 15

Inducción mutua entre dos espiras.

• Sean las dos espiras de la figura:

» Filiformes

» Contenidas en planos paralelos separados una distancia d.

» Coaxiales de radios a y b.

– Al ser filiformes se puede aplicar la fórmula de Neumann:

» Los diferenciales de longitud son:

r rr r1 2−

∫ ∫ −⋅

4 C C rr

ldldL rr

( )( )

( ) ( ) 211221212121

coscoscossensen

ˆcosˆsenˆ

ϕϕϕ−ϕ=ϕϕϕϕ+ϕϕ=⋅

ϕ+ϕ−=ϕϕ=

ddabddabldld

yxbbdld

yxaadld

Inducción mutua entre dos espiras circulares.

» Los vectores de posición y el módulo de su diferencia:

» Sustituyendo:

» Realizando el cambio:

( )( )

( ) ( )( ) 2

121212

ˆˆsensenˆcoscos

ˆˆsenˆcosˆˆ

ˆsenˆcosˆ

dabbarr

zdyabxabrr

zdyxbzdbr

+ϕ−ϕ−+=−

+ϕ−ϕ+ϕ−ϕ=−

+ϕ+ϕ=+ρ=

ϕ+ϕ=ρ=

( )( )∫ ∫

=ϕ +ϕ−ϕ−+

ϕϕϕ−ϕπµ

211212

4 dabba

12 ϕ−ϕ=α

∫∫ ∫π

ϕ=α +α−+

ααµ=

+α−+

αϕαπµ

4 dabba

inducción 16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

b/a=1.1

b/a=1.5

Inducción mutua entre dos espiras circulares (2)

– La primitiva de esta última integral implica funciones elípticas.

– La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función de la separación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y tomando como parámetro la relación entre sus radios (b/a).

» La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son coplanares.

» Si las dos espiras son de radios muy parecidos la inducción mutua crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares.

Fórmulas aproximadas de autoinducción

• Autoinducción de un hilo recto corto:

» RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse, Artech House. ISBN:0-89006-933-6. pág 427

• Autoinducción de un solenoide:

» RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse, Artech House. ISBN:0-89006-933-6. pág 428

(cm) hilo del diametro

hilo(cm) del longitud

(H) ainductanci4

(in) solemoide del longitud

(in) solenoide del radio

vueltasde numero

H)( ainductanci

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