Por: Xavier Jaramillo Pablo Torres Jorge Luis Veintimilla

INTRODUCCIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones por el teorema de coeficientesindeterminados existen dos métodos de resolución:

Método de Superposición Método del Anulador.

El Método de Superposición nos permite determinar una funcióncomplementaria para así hallar la solución particular de una ecuación dada.

MÉTODO SUPERPOSICIÓN

Este método nos permite encontrar una solución particular Yp(x) paralas ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma:

donde a, b, c son constantes y

El método es aplicable también cuando la función:

Consiste de una suma y productos finitos de funcionespolinomiales, exponenciales, trigonométricas. Así mismo, pueden considerarseecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes de orden superior.

El enfoque del método de coeficientes indeterminados se basa en tres principios dederivación de funciones :

1.Cuando derivamos un polinomio, el grado de éste disminuye en uno.Si g(x) = bkx

k+bk-1xk-1 +…..+b1X+bQ entonces g‘(x) = kbkxk-1 + (k-1)bk-1xk-2 +…… + b1.

Evidentemente si derivamos dos veces p, su grado disminuye en dos.

3.Si derivamos g{x) = sen mx pasamos al coseno: g'{x) = m cos mx.Si derivamos g{x) = cos mx pasamos al seno: g'{x) = —m sen mx.Si derivamos dos veces g{x) = sen mx regresamos casi a g(x), g"(x) =-m2 senmx.Si derivamos dos veces g(x) = cos mx regresamos casi a g(x), g"{x) = -m2cosmx.

Una solución particular tendrá la misma forma que g(x), excepto cuando g es unasolución de la ecuación homogénea.En esencia, el método consiste en proponer una solución particular que contenga uno omás coeficientes desconocidos. Entonces sustituimos esta solución propuesta en laecuación diferencial y escogemos los coeficientes de tal manera que la funciónefectivamente satisfaga la ecuación.

2.Al derivar una función exponencial, la función "casi no cambia". Si g(x) = eax entonces

g'(x) — aeax — ag(x). La derivada es casi la función g (salvo por la constante multiplicativa a).

Casos especiales para hallar una solución particular , dependiendo de la forma de g(x).

CASO 1. g(x) = Pn(x) = anxn + an-1xn-1+ …+ a1x + a0.

En este caso la ecuación diferencial toma la forma:

Proponemos una solución particular de la forma:

Sustituyendo yp, y'p y y´´p en

Resulta:

O equivalentemente :

y comparando coeficientes obtenemos elsistema de ecuaciones :

Si c ≠ O de la primera ecuación determinamos An y de las restantes los demás coeficientes.Si c =0 pero b≠0, el polinomio en el miembro izquierdo es de grado n — 1 y dicha ecuación no puede satisfacerse. Así que si c = 0 proponemos:

y procedemos como antes para determinar An , An-1 , . . . , A0. Nótese además que si c = 0una constante es solución de la ecuación diferencial homogénea.Si tanto b = 0 como c = 0(1 y x son soluciones de la homogénea), se propone:

aunque ahora la ecuación diferencial puede integrarse directamente.

CASO 2. g(x) = eaxPn(x), donde Pn(x) es un polinomio de grado n.

Tenemos ahora la euación:

Son posibles los siguientes subcasos.a) a no es una raíz de la ecuación auxiliar

En este caso, es preciso hallar una solución particular de la forma:

En efecto, introduciendo yp, y'v y y^ en:

y dividiendo por eax se sigue que:

Ya que grado (Qn(x)) = n, grado(Qn´(x)) = n - l y grado(Qn´´(x)) = n - 2, los polinomios enambos miembros son de grado n. Igualando los coeficientes de las mismas potenciasde x se obtiene un sistema de n+1 ecuaciones que determina los valores de:

An, A n-1, . . . , A0.

CASO 3. g(x) = P(x)eax Cos βx + Q(x)eax sen β x, donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Podemos examinar este caso en forma análoga al caso II, usando que:

por lo cual :

Y considerando de manera independiente las partes real e imaginaria, podemos hallar soluciones que no contengan números complejos de la siguiente forma:

a) Si α + i β no es raíz de la ecuación auxiliar, buscamos una solución particular de laforma:

donde u(x) y v{x) son polinomios cuyo grado es igual al mayor de los grados de P(x) yQ(x).

b) Si α + i β es raíz de la ecuación auxiliar, hacemos:

Se concluye que las formas propuestas:

para la solución particular, también son válidas cuando P(x) = 0 o Q(x) = 0 y en el caso particular cuando a = 0 o b = 0.

EJEMPLOResolver

La solución general tiene la forma y = yc + yP , donde yc es la solución general de la ecuaciónhomogénea.

y yp es una solución particular de

La ecuación auxiliar es: m2 + 3m + 2 = 0, cuyas raíces son m = -1 y m 2 = - 2

Por otra parte, proponemos una solución particular de la forma:

Comparando coeficientes en la última igualdad obtenemos el sistema de ecuacioneslineales:

Así que:

Y la solución general es:

Ya que el lado derecho es un polinomio de grado 2 y 0 no es raíz característica. Tenemos que y'p = B + 2Ax, y'‘p = 2Ay. Sustituyendo, resulta: