man s2 rappel math 1

Techniques de Modulations Analogique et Numérique

– Rappel Mathématique –

Signaux et Systèmes Linéaires invariants

2ème Réseaux & Télécommunications / 2ème Génie Électrique

Pr. Zouhair GUENNOUN zouhair@emi.ac.ma

Ecole Mohammadia d’ingénieurs – EMI Département Génie Electrique - GELE

Laboratoire d’Electronique et Communications – LEC

• Introduction

• Séries de Fourier

• Transformées de Fourier

• Puissance et Energie

• Signaux passe-bas équivalents de signaux passe-bande

• Introduction – Signaux – Définition et Classification – Systèmes – Définition – Définitions et Avantages de la Représentation Spectrale

• Séries de Fourier

Département Electrique - EMI Pr. Zouhair GUENNOUN 4

Signaux –

Définition et Classification

• Un signal peut être défini comme:

– une fonction (temporelle, spatiale, ou autre),

d’une ou de plusieurs variables

indépendantes, transportant une information

• Généralement à propos de l’état ou du comportement d’un système physique.

Signaux – Définition et Classification

• Parmi les classifications utilisées on peut considérer :

– Signaux continus et signaux discrets

– Signaux à valeur continue et signaux à valeur discrète

– Signaux déterministes et signaux aléatoires

0 2 4 6 8 10sampling time, tk [ms]

Signaux continus et signaux discrets

Fonction continue, V, de la

variable continue t (time, space

etc) : V(t).

Analogique Fonction Discrete, Vk, de la

variable discrete, tk, avec k

entier: Vk = V(tk).

Numérique

0 2 4 6 8 10

time [ms]

Echantillonnage uniforme (périodique). Fréquence d’échantillonnage fS = 1/tS

-4 -2 0 2 4 6 8 10 120

Signaux à valeur continue et signaux à valeur discrète

Signaux déterministes et signaux aléatoires

• Un signal déterministe est un signal qui peut être exprimé par une fonction mathématique précise

– ce qui permet de décrire avec précision le signal dans le passé, le présent et le futur.

• Au niveau des signaux déterministes on distingue ceux qui sont périodiques de ceux qui sont apériodiques.

• Des fois, la relation qui relie la fonction à

la variable est très compliquée:

– Cas d’un signal vocal

– Cas d’un électrocardiogramme – ECG

– Cas d’un encéphalogramme - EEG

Exemple d’un signal vocal

Systèmes - Définition

• Un système est défini par un opérateur

(un filtre par exemple) qui transforme un

signal à son entrée en un autre signal à sa

sortie.

Systèmes Linéaires

• Les systèmes linéaires satisfont au

principe de superposition :

tbytay

txbTtxaTtbxtaxT

• Relation d’entrée-sortie pour un système linéaire

invariant dans le temps (LTI – Linear Time Invariant) :

Cas particulier

• Cas d’une exponentielle complexe :

Représentation Spectrale –

Définitions et Avantages

• Les méthodes à utiliser lors du

traitement d’un signal, ou lors de

l’analyse de la réponse d’un système

à un signal dépendent fortement des

attributs qui caractérisent un signal

spécifique.

Représentation Spectrale …

• Décrire un signal par ses composantes

spectrales plutôt que par sa variation dans le

temps :

– La représentation spectrale consiste à situer les

fréquences d'un signal sur l'axe des fréquences;

– Les amplitudes correspondantes à ces fréquences

seront représentées par des segments verticaux

proportionnels.

… Représentation Spectrale …

• Souvent, la représentation se fait sur l'axe des pulsations et non sur l'axe des fréquences f, – une simple relation de proportion ( = 2pf) permet de

passer d'un axe à l'autre.

• Lorsque plusieurs composantes spectrales sont rapprochées l'une de l'autre, on parlera de spectre ou bande de fréquence: – ainsi les sons audibles dont la fréquence peut aller

de 20Hz à 20kHz seront le plus souvent représentés par une bande de fréquence.

• Comparaison entre la représentation d’une onde sinusoïdale et

d’une onde carrée

Certaines caractéristiques du signal sont

facilement identifiées, mesurées, et manipulées

dans le domaine fréquentiel.

Cas d’un signal bruité.

Signal bruité =

Sinusoïde de

1 volt (crête) à

10 MHz noyée dans

du bruit.

Le bruit peut être de

nature thermique ou

atmosphérique et

la sinusoïde à 10 MHz

peut représenter un

signal de

communication à partir

d’une sonde spatiale.

Noter que les effets du bruit peuvent être très

accentués et causer la disparition (virtuelle) du

signal sinusoïdal.

millivolts

msec 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275

Signal bruité – Représentation temporelle

En représentant le même signal sinusoïdal bruité

dans le domaine fréquentiel,

on note que les effets du bruit sont étalés sur

toutes les fréquences, rendant ainsi la présence

de la sinusoïde à 10 MHz très visible.

0 10 20 30 40 frequency in MHz

10 MHz signal

millivolts/Hz

Signal bruité – Représentation spectrale

Signal bruité après filtrage

A partir de la représentation du signal dans le

domaine fréquentiel, on voit qu’on peut minimiser

les effets du bruit en faisant passer le signal

bruité à travers un filtre à bande étroite centré

sur 10 MHz.

0 10 20 30 40 frequency in MHz

10 MHz signal

millivolts/Hz

Cas d’un signal bruité

La sinusoïde à

10MHz est

facilement

reconnaissable

dans le signal

filtré.

L’opération de

Filtrage a

significativement

réduit les effets du

bruit.

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275

Représentation dans le domaine temporel

du signal filtré.

• Introduction

• Séries de Fourier – Représentation à double plage de fréquence – Représentation trigonométrique – Représentation à plage de fréquence unique - Spectres d’amplitude et

de phase – Signaux périodiques et systèmes LTI

Analyse Spectrale

• Description des signaux dans le domaine

fréquentiel, et la correspondance entre leurs

descriptions dans les domaines temporel et

fréquentiel.

– Signaux périodiques – Série de Fourier

– Signaux apériodiques – Transformée de Fourier

Série de Fourier

• Soit v(t) un signal périodique (de période T0):

v(t) peut être représenté par une somme infinie

de sinusoïdes –

– Développement en Série de Fourier (DSF)

• Trois formes de la DSF:

– Représentation exponentielle: Forme à double

plage (représentation de fréquences positives et négatives)

– Forme trigonométrique

– Forme à plage unique (représentation des fréquences

positives seules)

Forme à double plage (Complexe Exponentielle)

Les coefficients Vn sont des nombres complexes.

dtetvT

Cas d’un signal périodique de valeur réelle

• V-n = Vn* : |V-n| = |Vn| et V-n =-Vn

• On peut exprimer les Vn soit en termes de:

– Composantes réelle et imaginaire,

– Amplitude spectrale Cn=2|Vn| et

d’une phase fn= Vn.

Imaginary axis

Real axis

Im{Vn}

Re{Vn}

Avantages: 1. La composante dc est calculée de la même manière que pour

les autres composantes.

2. Le calcul arithmétique est assez simple - Utilisation de la

représentation complexes.

3. La forme exponentielle complexe peut être étendue pour

inclure les formes d’onde non périodique (La transformée de

Fourier) et est à la base de la transformée discrète de Fourier

(DFT et FFT).

Inconvénients : Cette forme n’est pas intuitive pour trois raisons:

1. Elle utilise les exponentielles complexes — il est plus difficile

de voir v(t) comme une sommation de sinusoïdes.

2. Elle utilise des coefficients complexes.

3. Elle introduit le concept abstrait de “fréquence négative.” Les

fréquences négatives n’existent pas physiquement.

Forme trigonométrique du DSF

0 12sin

000 2sin2cos2exp TntjTntTntj ppp

tn dtt

nn VA Re2 nn VB Im2

• Où: – La fondamentale de v(t);

– Valeur moyenne de v(t) (=0 lorsque v(t) est centré)

00 2sin2cos

n tnfBtnfAA

• Où: – An = 0 (en prenant t=-T0/2)

lorsque v(t) est réel et impair (v(-t) = -v(t)); les Vn sont tous imaginaires purs.

– Bn = 0 (en prenant t=-T0/2) lorsque v(t) est réel et pair (v(-t) = v(t)); les Vn sont tous réels purs.

00 2sin2cos

n tnfBtnfAA

2cos2 Tt

tn dttnftv

2sin2 Tt

tn dttnftv

Avantages: •C’est la forme la plus simple des trois formes

•Elle est très intuitive (on voit v(t) comme une somme

de sinusoïdes).

Inconvénients: •Il y a deux termes pour chaque composante

fréquentielle (An et Bn).

i.e. On ne peut pas générer facilement l’amplitude,

la phase, et la puissance spectrale, et on perd ainsi

un outil graphique très puissant.

Forme Trigonométrique du DSF

Forme à plage unique du DSF

• Cn: amplitudes spectrales (aux fréquences nf0)

00 2cosn

nn tnfCCtv fp

200 AC

nn VC 2nn Vf

nnn BAC

Barctanf

Avantages :

1. Cette forme possède un seul terme par composante

fréquentielle, il est ainsi très facile de générer

l’amplitude, la phase, et la puissance spectrale.

2. Cette forme reste intuitive (on voit encore v(t) comme une somme de sinusoïdes).

Forme à plage unique (fréquences positives)

Inconvénients : 1. La composante dc de l’amplitude et de la puissance

spectrale est calculée d’une façon différente que

celle utilisée pour calculer les composantes ac.

Forme à plage unique (fréquences positives)

• Développer en série de Fourier un signal sous forme d’un train d’impulsions rectangulaires - TIR,

– Un TIR est utile pour plusieurs applications de systèmes de

communication.

– Soit un signal, x(t), périodique de période T0, et définit

par (t0<T0/2) :

Illustration (1)

• Pour A = 1, T0 = 4, et t0 = 1, déterminer :

– Les coefficients de la série de Fourier de x(t) dans les deux formes exponentielle et

trigonométrique

– Tracer le spectre de x(t)

• Tous les xn sont réels, et pour les n pairs (n non nul) xn=0 ;

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

magnitude

Discrete spectrum of the signal

Exemple – Train d’Impulsions Rectangulaires

• Cas général: v(t) de largeur (=2t0),

périodique (de période = T) et v(t) possède une énergie finie par

période.

12 000

Bn 0 fn 0

Tnnn p

pp sin22

| ( )|v t dt A dt A

2expsinc

• Lorsque tend vers 0 tel que A reste

constant: sin n

Exemple – Application numérique

Traçons les spectres d’amplitude et de phase de v(t) des

valeurs spécifiques de A, , et T;

Soient A = 3 volts, = 2msec., et T = 10msec.

3 v(t)

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Solution (suite)

Traçons le spectre d’amplitude à double plage,

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Frequency

in kHz

0.6 Magnitude in volts

Solution (suite)

Traçons le spectre de phase à double plage,

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Frequency

in kHz

degrees

Solution (suite)

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

Frequencyin kHz

Amplitudein

Si toutes les valeurs des Vn sont réelles, alors on peut tracer un spectre

d’amplitude qui contient à la fois l’information d’amplitude et de phase

sur le même tracé.

Traçons le spectre d’amplitude à double plage pour le train

d’impulsions rectangulaires,

Quatre Observations à propos du spectre d’amplitude d’un TIR

1) Les coefficients d’amplitude suivent l’enveloppe Tn

A psinc

envelope =

sinc (pf )

2) La valeur du terme dc est tant que sinc(0) = 1

envelope =

sinc (pf )

Quatre Observations à propos du spectre d’Amplitude d’un TIR

3) L’espacement fréquentiel entre coefficients adjacents est 1/T Hz

Frequency difference between adjacent components = 1

(in this example, T = 5)

4) Les passages par zéro de l’enveloppe surviennent aux

multiples entiers de 1/ Hz. volts

Zero crossings at integral

multiples of

Le spectre d’Amplitude d’un train d’impulsions dépend aussi de la forme d’onde des impulsions

Exercice

1. Utiliser la forme à une seule plage du DSF pour représenter le

signal v(t) ci-dessous comme une constante plus une série de

sinusoïdes, avec un seul terme pour chaque fréquence

harmonique.

• Tracer les spectres d’amplitude et de phase de ce signal.

2. Utiliser la forme exponentielle complexe des séries de Fourier

pour représenter le signal v(t) (reproduit ci-dessous).

• Tracer les spectres à double plage des amplitudes et

phases du signal.

0 -5 -10 5 10 seconds

3 v(t)

Signaux périodiques et systèmes LTI

• Lorsqu’un signal périodique traverse un

système linéaire invariant dans le temps,

le signal de sortie est également

périodique avec la même période.

77 Département Electrique - EMI Pr. Zouhair GUENNOUN

Illustration

• Un train d’impulsions triangulaires, x(t), avec une période égale à 2 et définit sur une période par : – Déterminer les coefficients des

séries de Fourier de x(t) – Tracer le spectre discret de x(t)

• En supposant que ce signal passe par un filtre LTI de réponse impulsionnelle donnée par : – Tracer le spectre discret du signal de

sortie y(t)

Signal à l’entrée et réponse impulsion du système

Département Electrique - EMI Pr. Zouhair GUENNOUN

Spectre discret du signal triangulaire

Fonction de transfert du système LTI

et amplitude de H(n/2)

Spectre discret à la sortie du filtre en réponse à un train

d’impulsion triangulaire

Effet d’un canal idéal de largeur de bande finie sur un signal périodique à son entrée

• Toutes les harmoniques passent à travers un canal avec une largeur de bande infinie

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Canal avec

une LB infinie

Pour un canal avec une largeur de bande de 3Hz: passage des quinze premières harmoniques

Canal avec

3Hz de LB 0.6

Frequency in Hz

Magnitude

in volts

Frequency in Hz

Magnitude

in volts

sec -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5

2.5 volts

sec -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5

2.5 volts

Pour un canal avec une largeur de bande de 1Hz: passage des cinq premières harmoniques

sec -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5

2.5 volts

Canal avec

1Hz de LB 0.6

Frequency in Hz

Magnitude

in volts

Frequency in Hz

Magnitude

in volts

sec -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5

2.5 volts

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