matematiranje sa sadrzajem
Post on 20-Jan-2016
1.578 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
Table of ContentsO SKUPOVIMA..................................................................................................................... 1
OPERACIJE SA SKUPOVIMA............................................................................................. 2
UNIJA.................................................................................................................................... 3
PRESEK............................................................................................................................... 4
RAZLIKA............................................................................................................................... 4
SIMETRICNA RAZLIKA........................................................................................................ 5
PARTITIVNI SKUP............................................................................................................... 6
KOMPLEMENT SKUPA........................................................................................................ 6
DEKARTOV PROIZVOD...................................................................................................... 7
ALGEBARSKE STRUKTURE............................................................................................... 12
Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima.................................................................... 14NZD....................................................................................................................................... 14
NZS....................................................................................................................................... 14
Transformacije algebarskih izraza........................................................................................ 25BINOMNA FORMULA........................................................................................................... 33
ISKAZI................................................................................................................................... 42
LOGICKE OPERACIJE......................................................................................................... 43
NEKA PRAVILA LOGICKOG ZAKLJUCIVANJA.................................................................. 46
KVANTORI............................................................................................................................ 49
NEKE VANE NEJEDNAKOSTI............................................................................................ 53
MATEMATICKA INDUKCIJA................................................................................................ 56
STEPENOVANJE................................................................................................................. 65
KORENOVANJE................................................................................................................... 72
ELEMENTARNE FUNKCIJE GRAFICI............................................................................... 83
INVERZNA FUNKCIJA......................................................................................................... 91
FUNKCIONALNE JEDNACINE............................................................................................ 97
FUNKCIONALNE JEDNACINE, INVERZNA FUNKCIJA I KOMPOZICIJA FUNKCIJA........ 103
LINEARNA FUNKCIJA I NJEN GRAFIK............................................................................... 117
KVADRATNA FUNKCIJA..................................................................................................... 126
EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNACINE INEJEDNACINE....................................... 145
Eksponencijalne jednacine................................................................................................... 147
Mapsoft TOCBuilder Tryout
-
Eksponencijalne nejednacine............................................................................................... 160LOGARITMI.......................................................................................................................... 164
LOGARITAMSKA FUNKCIJA............................................................................................... 171
LOGARITAMSKE JEDNACINE I NEJEDNACINE................................................................ 175
Aritmeticki niz:....................................................................................................................... 188
Geometrijski niz.................................................................................................................... 199Beskonacni red..................................................................................................................... 207
EKONOMSKE FUNKCIJE.................................................................................................... 212
Procentni racun..................................................................................................................... 216
........ . ....... ........................................................................................................................... 221
PROST KAMATNI RACUN................................................................................................... 228
Racun Meanja...................................................................................................................... 231Racun podele........................................................................................................................ 235
ZAJMOVI.............................................................................................................................. 238
Kompleksni brojevi................................................................................................................ 242Deljenje kompleksnih brojeva............................................................................................... 245Trigonometrijski oblik kompleksnog broja............................................................................. 252Mnoenje I deljenje kompleksnih brojeva utrigonometrijskom obliku.................................... 257Stepenovanje kompleksnog broja......................................................................................... 258Korenovanje kompleksnih brojeva........................................................................................ 260LINEARNE JEDNACINE....................................................................................................... 264
SISTEMI LINEARNIH JEDNACINA...................................................................................... 273
SISTEM TRI JEDNACINE SA TRI NEPOZNATE................................................................. 278
GRAFICKO REAVANJE SISTEMA..................................................................................... 284
LINEARNE NEJEDNACINE.................................................................................................. 292
KVADRATNA JEDNACINA................................................................................................... 298
VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOGTRINOMA NA LINEARNE CINIOCE. 307
NEKE JEDNACINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE.................................................... 314
Binomne jednacine............................................................................................................... 318Trinomne jednacine.............................................................................................................. 322Simetricne (reciprocne) jednacine........................................................................................ 324
Mapsoft TOCBuilder Tryout
-
SISTEMI KVADRATNIH JEDNACINA SA DVENEPOZNATE.............................................. 329
KVADRATNA NEJEDNACINAZNAK KVADRATNOG TRINOMA........................................ 339
IRACIONALNE JEDNACINE................................................................................................ 349
IRACIONALNE NEJEDNACINE........................................................................................... 356
trig......................................................................................................................................... 358
trigonometrijske_funkcije_ostrog_ugla.................................................................................. 358trigonometrijski_krug............................................................................................................. 370svodjenje_na_i_kvadrant...................................................................................................... 384grafici_trigonometrijskih_funkcija_I_deo............................................................................... 390grafici_trigonometrijskih_funkcija_II_deo.............................................................................. 398adicione_formule................................................................................................................... 408
transformacije_zbira_i_razlike.............................................................................................. 415trigonometrijske_funkcije_dvostrukog_ugla.......................................................................... 424trionometrijske_funkcije_poluugla......................................................................................... 430osnovne_trigonometrijske_jednacine.................................................................................... 437trigonometrijske_jednacine................................................................................................... 453Trigonometrijske_nejednacine.............................................................................................. 465sinusna_i_kosinusna_teorema............................................................................................. 478
analiticka............................................................................................................................... 491
planimetrija............................................................................................................................ 491ravan..................................................................................................................................... 498
prava..................................................................................................................................... 507
tacka_i_prava........................................................................................................................ 514
prava_ravan.......................................................................................................................... 525
talesova_teorema................................................................................................................. 531
trougao.................................................................................................................................. 538
slicnost_trouglova................................................................................................................. 552
primene_slicnosti_na_pravougli_trougao............................................................................. 561
konstruktovni_zadaci(trougao).............................................................................................. 572cetvorouglovi......................................................................................................................... 582
konstrukcije_cetvorouglova................................................................................................... 596
Mapsoft TOCBuilder Tryout
-
translacija.............................................................................................................................. 603rotacija.................................................................................................................................. 610osna_simetrija....................................................................................................................... 616centralna_simetrija................................................................................................................ 622kruznica................................................................................................................................. 627
primena_slicnosti_na_krug_zlatni_presek............................................................................ 635
elipsa..................................................................................................................................... 646
parabola................................................................................................................................ 652
hiperbola............................................................................................................................... 658
neke_povrsi_u_r3................................................................................................................. 664
svodjenje_na_kanonicki_oblik_teorija................................................................................... 672svodjenje_na_kanonicki_oblik_zadaci.................................................................................. 676poliederi................................................................................................................................ 687
piramida_i_zarubljena_piramida........................................................................................... 705kupa_i_zarubljena_kupa....................................................................................................... 724lopta...................................................................................................................................... 732
obrtna_tela............................................................................................................................ 739
polinomi................................................................................................................................. 748
polinom_sa_jednom_promenljivom...................................................................................... 748hornerova_sema................................................................................................................... 757
polinomi_nad_brojem_kompleksnog_broja.......................................................................... 761vektori................................................................................................................................... 767
vektori_u_ravni...................................................................................................................... 767
vektori_u_ravni_i_deo........................................................................................................... 777
vektori_u_ravni_ii_deo.......................................................................................................... 784
vektori_u_prostoru................................................................................................................ 791
vektori_u_prostoru_ii_deo..................................................................................................... 799
matrce................................................................................................................................... 805
matrice.................................................................................................................................. 805
matrice_zadaci_I_deo........................................................................................................... 825
matrice_zadaci_II_deo.......................................................................................................... 841
Mapsoft TOCBuilder Tryout
-
matrice_zadaci_III_deo......................................................................................................... 856
determinante......................................................................................................................... 870
resavanje_sistema_jednacina _metoda_det......................................................................... 879izvodi..................................................................................................................................... 890
granicne_vrednosti_funkcija_teorija...................................................................................... 890granicne_vrednosti_funkcija_I_deo...................................................................................... 893granicne_vrednosti_funkcija_II_deo..................................................................................... 901izvod_funkcije....................................................................................................................... 910izvodi_zadaci _I deo............................................................................................................. 916
izvodi _zadaci_II deo............................................................................................................ 926
izvodi_zadaci _III deo........................................................................................................... 938
izvodi _zadaci_IV deo........................................................................................................... 947
Izvodi_zadaci_I_................................................................................................................... 956
Izvodi_zadaci_II_deo............................................................................................................ 966
grafici_funkcija_zadaci_I_deo............................................................................................... 978ispitivanje_toka_i_grafik_funkcije.......................................................................................... 991asimptote_funkcija................................................................................................................ 994grafici_funkcija_zadaci_II_deo.............................................................................................. 1005grafici_funkcija_zadaci_III_deo............................................................................................. 1015grafici_funkcija_zadaci_IV_deo............................................................................................ 1029parcijalni_izvodi_i_diferencijali.............................................................................................. 1039ekstremumi_funkcija_vise_promenljivih_ideo....................................................................... 1050ekstremumi_funkcija_vise_promenljivih_iideo...................................................................... 1057integrali................................................................................................................................. 1066
tablica_integrala.................................................................................................................... 1066
integrali_tipa.......................................................................................................................... 1067
integracija_trigonometrijskih_funkcija................................................................................... 1069ojlerove_smene..................................................................................................................... 1071parcijalna_integracija............................................................................................................ 1073integrali_I_deo_zadaci.......................................................................................................... 1074
integrali_II_deo_zadaci......................................................................................................... 1082
Mapsoft TOCBuilder Tryout
-
integrali_III_deo_zadaci........................................................................................................ 1089
integrali_ IV_deo_zadaci....................................................................................................... 1099
integrali_V_deo_zadaci......................................................................................................... 1109
integrali_VI_deo_zadaci........................................................................................................ 1122
Integrali_VII_deo_zadaci...................................................................................................... 1132
integrali_VIII_deo_zadaci...................................................................................................... 1140
odredjeni_integral................................................................................................................. 1146odredjeni_integrali_teorija..................................................................................................... 1150nesvojstveni_integrali............................................................................................................ 1154pocetni_integral..................................................................................................................... 1157
primena_integrala................................................................................................................. 1158
primena_integrala_zadaci..................................................................................................... 1172
primena_odredjenog_integrala_u_geometriji........................................................................ 1187krivolinijski_integrali.............................................................................................................. 1189povrsinski_integral................................................................................................................ 1193
dvostruki_integral.................................................................................................................. 1197
trostruki_integral................................................................................................................... 1200
visestruki_integral_zadaci_I_deo.......................................................................................... 1203
visestruki_integral_zadaci_II_deo......................................................................................... 1217
visestruki_integral_zadaci_III_deo........................................................................................ 1232
visestruki_integral_zadaci_IV_deo....................................................................................... 1243
visestruki_integral_zadaci_V_deo........................................................................................ 1255
visestruki_integral_zadaci_VI_deo....................................................................................... 1265
difer....................................................................................................................................... 1277
diferencijalne_jednacine_prvog_reda_teorija....................................................................... 1277diferencijalne_jednacine_prvog_reda_zadaci....................................................................... 1281diferencijalne_jednacine_drugog_reda_teorija..................................................................... 1298diferencijalne_jednacine_drugog_reda_zadaci..................................................................... 1301parcijalne_difrencijalne_jednacine........................................................................................ 1314parcijalne_diferencijalne_jednacine_zadaci.......................................................................... 1316sistemi_difrencijalnih_jednacina........................................................................................... 1325
Mapsoft TOCBuilder Tryout
-
sistemi_diferencijalnih_jednacina_zadaci............................................................................. 1326redovi.................................................................................................................................... 1338
brojni_redovi_zadaci_I_deo_................................................................................................ 1338brojni_redovi_zadaci_II_deo_............................................................................................... 1348brojni_redovi_zadaci_III_deo_.............................................................................................. 1358redovi_sa_pozitivnim_clanovima.......................................................................................... 1365
stepeni_redovi_zadaci_I_deo............................................................................................... 1367
stepeni_redovi_zadaci_II_deo.............................................................................................. 1373
furije...................................................................................................................................... 1381furijeovi_redovi_teorija.......................................................................................................... 1381furijeovi_redovi_zadaci_I_deo_............................................................................................ 1384furijeovi_redovi_zadaci_II_deo_........................................................................................... 1390verov..................................................................................................................................... 1399
kombinatorika........................................................................................................................ 1399
slucajna_promenljiva_i_njena_raspodela............................................................................. 1404verovatnoca.......................................................................................................................... 1408
verovatnoca_zadaci_I_deo................................................................................................... 1410
verovatnoca_zadaci_II_deo.................................................................................................. 1418
verovatnoca_zadaci_III_deo................................................................................................. 1427
verovatnoca_zadaci_IV_deo................................................................................................. 1436
verovatnoca_zadaci_V_deo.................................................................................................. 1445
Mapsoft TOCBuilder Tryout
-
www.matematiranje.com
1
O SKUPOVIMA Do pojma skupa moe se vrlo lako doi empirijskim putem , posmatrajui razne grupe, skupine, mnotva neke vrste objekata , stvari, ivih bia i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup knjiga u biblioteci, skup klupa u uionici itd. Tvorac teorije skupova je Georg Kantor , nemaki matematiar, koji je prvi dao opisnu definiciju skupa. Mnogi drugi matematiari su takoe pokuavali da definiu skup. Danas, po savremenom shvatanju, pojam skupa se ne definie, ve se usvaja intuitivno kao celina nekih raziitih objekata. Predmeti iz kojih je skup sastavljen zovu se elementi skupa. Postoje skupovi sa konano mnogo elemenata, koje nazivamo konanim skupovima, i skupovi sa beskonano mnogo elemenata, odnosno beskonani skupovi. Tako, na primer , skup stanovnika na zemlji predstavlja jedan konaan skup, dok skup svih celih brojeva sadri beskonano mnogo elemenata. Skupove najee obeleavamo velikim slovima A,B ,.....X, Y,... , a elemente skupa malim slovima a,b,...,x,y,... Ako je x element skupa X , tu injenicu emo oznaavati sa xX, a ako ne pripada skupu X, oznaiemo sa xX. Oznake emo itati: x pripada skupu X ili x je element skupa X. Oznaku xX emo itati x ne pripada skupu X ili x nije element skupa X Postavimo sada pitanje: Koliko elemenata ima skup prirodnih brojeva veih od jedan a manjih od dva ? Jasno je da takav skup nema ni jednog elementa. Za takav skup kaemo da je prazan i obeleava se sa .
1
-
www.matematiranje.com
2
Meutim, desie nam se nekad da nije zgodno, a ni mogue, da neposredno navedemo sve elemente nekog skupa. Stoga se koristi i ovakvo zapisivanje skupova: {x S(x)} ili, isto{x x ima svojstvo S}, to bi znailoskup svih x koji imaju svojstvo S. Na primer skup X={7,8,9,10,11,12} moemo zapisati i na sledei nain: X={x x N 6< x
-
www.matematiranje.com
3
- UNIJA - PRESEK - RAZLIKA - SIMETRICNA RAZLIKA - PARTITIVNI SKUP - DEKARTOV PROIZVOD
- KOMPLEMENT SKUPA UNIJA Skup svih elemenata koji su elementi bar jednog od skupova A ili B , zove se unija skupova A i B i oznaava se sa A B.
}{ BxAxxBA = Na dijagramu bi to izgledalo ovako:
A B
Primer: Ako je A={1,2,3} i B={2,3,4} A B={1,2,3,4}
3
-
www.matematiranje.com
4
PRESEK Skup svih elemenata koji su elementi skupa A i skupa B zove se presek skupova A i B i obeleava se sa A B.
}{ BxAxxBA = Graficki prikaz bi bio:
A B
Primer: Ako je A={1,2,3} i B={2,3,4} AB={2,3} RAZLIKA Skup svih elemenata koji su elementi skupa A ali nisu elementi skupa B zove se razlika redom skupova A i B u oznaci A\B. A\B={ x xA xB } Naravno mozemo posmatrati i skup B\A, to bi bili svi elementi skupa B koji nisu u A. Na dijagramima to bi izgledalo ovako:
4
-
www.matematiranje.com
5
A B
Za nas primer je A\B={1} A\B
A B
Za nas primer je B\A={4} B\A SIMETRINA RAZLIKA Skup (A\B) (B\A) naziva se simetrina razlika i najee se obeleava sa . A B= (A\B) (B\A). Na dijagramu je:
A B
Za na primer je A B={1,4}
5
-
www.matematiranje.com
6
PARTITIVNI SKUP Skup svih podskupova skupa A naziva se partitivni skup skupa A i obeleava se sa P(A). Primer: Ako je A={1,2,3) , onda je P(A)={ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3}} KOMPLEMENT SKUPA Unija , presek i razlika su binarne skupovne operacije, dok je komplement skupa unarna operacija. To je skup svih elemenata koji nisu sadrani u posmatranom skupu. Komplement najee obeleavamo sa A Na slici bi bilo:
B
A
A={x x A} Primer: Ako je A={1,3,7} i B={1,2,3,4,5,6,7} onda je :
}6,5,4,2{=A DEKARTOV PROIZVOD
6
-
www.matematiranje.com
7
uveni francuski filozof i matematiar Dekart je u matematiku uveo pojam pravouglog koordinatnog sistema, koji se i danas, u njegovu ast, naziva Dekartovim koordinatnim sistemom. U tom sistemu svakoj taki ravni odgovara jedan ureeni par realnih brojeva (x,y) i, obrnuto, svakom paru brojeva (x,y) odgovara tano jedna taka u koordinatnoj ravni. Prvi broj x u tom paru nazivamo prvom koordinatom (apscisom) , a drugi y , drugom koordinatom (ordinatom). Za ureene parove je karakteristina osobina: (x,y)=(a,b) ako i samo ako x=a y=b Dekartov proizvod skupova je skup:
Treba voditi rauna da A BB A Primer: Ako je M={1,2,3} i N={A,B} onda je: MN={(1,A),(1,B),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B)}. Na slici:
1 2 3
B
A
7
-
www.matematiranje.com
8
ZADACI
1. Dokazati da je prazan skup podskup svakog skupa. Dokaz:
Mi ustvari trebamo dokazati da vazi: ))(( AxxxA Kako prazan skup nema elemenata, to je istinitosna vrednost x sigurno netacna. Dakle , podsetimo se tablice za implikaciju: Ax
p q pq Implikacija je netana jedino u sluaju kada je iskaz p taan i iskaz q netaan. T T T T T T Iz lai sledi sve, odnosno iz netanog sledi sve(uvek tano) T Dakle, prazan skup je podskup svakog skupa. 2. Dati su skupovi: A={x x se sadrzi u 12, x pripada N}, B={x x se sadrzi u 20, x pripada N} i skup C={x x se sadrzi u 32, x pripada N}. Odrediti : A\(BC), A (B ), i A\(B\C) C Resenje: Najpre moramo odrediti skupove A,B, i C. Kada se x sadrzi u nekom broju to drugim recima znaci da se taj broj moze podeliti sa x. Kako se broj 12 moze podeliti sa 1,2,3,4,6,12 to je : A={1,2,3,4,6,12}, slicno je B={1,2,4,5,10,20} i C={1,2,4,8,16,32} Odredimo A\(BC). Najpre je B C={1,2,4,5,8,10,16,20,32}. Sada trazimo one koji su elementi skupa A a ne pripadaju BC. To su 3,6,12, pa je A\(B C)={3,6,12}
Odredimo A (B ). Najpre naravno BC C , to su elementi koji su zajednicki za ova dva skupa, dakle: B ={1,2,4}. Dalje trazimo uniju skupa A i ovog skupa, to jest sve elemente iz oba skupa: A (B )={1,2,3,4,6,12}.
CC
A\(B\C)= {1,2,3,4,6,12}\({1,2,4,5,10,20}\{1,2,4,8,16,32}) = {1,2,3,4,6,12}\{{5,10,20} = {1,2,3,4,6,12}=A
8
-
www.matematiranje.com
9
3. Dati su skupovi A={1,2,3,4,5} i B={4,5,6,7}. Odrediti skup X tako da bude: X\B= i A\X ={1,2,3} Resenje: Izgleda da cemo ovde imati vise mogucnosti za trazeni skup X. Kako je X\B= , to nam govori da su svi elementi skupa B potencijalni elementi skupa X jer nema takvih elemenata da su u X a nisu u skupu B. A\X ={1,2,3} nam govori da u skupu X sigurno nisu elementi {1,2,3}.Dakle: X={4,5} ili X={4,5,6}ili X={4,5,7}ili X={4,5,6,7} 4. Na jednom kursu stranih jezika svaki slualac ui bar jedan od tri strana jezika(engleski, francuski i nemaki) i to : 18 slualaca ui francuski, 22 ui engleski, 15 slualaca ui nemaki, 6 slualaca ui engleski i francuski, 11 slualaca engleski i nemaki, 1 slualac ui sva tri jezika.Koliko ima slualaca na tom kursu i koliko od njih ui samo dva jezika? Resenje: Najpre zapisimo pregledno podatke:
- 18 slualaca ui francuski - 22 ui engleski - 15 slualaca ui nemaki - 6 slualaca ui engleski i francuski - 11 slualaca engleski i nemaki - 1 slualac ui sva tri jezika
Najbolje je upotrebiti Venov dijagram sa tri skupa(njega popunjavamo tako to popunimo presek sva tri skupa, pa preseke po dva skupa, i na kraju, elemente koji pripadaju samo po jednom skupu) ENGLEZI FRANCUZI
9
-
www.matematiranje.com
10
NEMCI Prvo upisemo 1 u preseku sva tri skupa.Zatim presek Francuzi i Englezi, ali tu ne pisemo 6, vec 6-1=5, onda presek Englezi i Nemci 11-1=10. Dalje je ostalo 18-5-1=12 koji uce samo francuski, 22-10-5-1=6 koji uce engleski i na kraju 15-10-1=4 koji uce nemacki. Broj slusaoca je 12+5+6+1+10+4=38, a broj onih koji uce samo dva jezika je 10+5=15 5. Dokazati skupovnu jednakost: =CBA )( )( CA )( CB Ovde uvek krecemo isto ( x ) x pripada levoj strani, = zamenimo sa , pa x pripada desnoj strani. Koristimo definicije skupovnih operacija dok potpuno ne rastavimo obe strane. Dalje preko logickih operacija dokazemo da je nastala formula tautologija.
Pazi: = menjamo sa , menjamo sa , menjamo sa , itd. Dokaz: ( x) ( x CBA )( ) (x )( CA )( CB ) ( x )( BA xC) (x )( CA x )( CB ) ((xA xB) xC) ((x A xC) (x B xC)) neka je: p= xA q= xB r = xC Dobili smo formulu: F: ((p q) r) ((p r) (q r)) Nju sad moramo dokazati preko tablice i upotrebom logickih operacija: p q r p q (p q) r p r q r (p r)
(q r)
F
T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Formula JESTE TAUTOLOGIJA, pa je time dokaz zavrsen. 6. Dokazati skupovnu jednakost: C\(AB)=(C\A) (C\B) Dokaz: ( x)(x C\(A B)) (x (C\A) (C\B))
10
-
www.matematiranje.com
11
(x C x(A B)) ( x(C\A) x (C\B)) (x C ( xA xB)) (xC (xA)) ( xC ( xB)) neka je: p= xA q= xB r = xC F: (r (p q)) ((r p) (r q)) Ovo dokazujemo tablicno: p q r p q p q
(p q)r (p q) r p r q (r p)
(r q)
F
T T T T TT T T TT T T T T T T TT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Dakle ova formula jeste TAUTOLOGIJA, pa je pocetna skupovna jednakost tana.
11
-
www.matematiranje.com
ALGEBARSKE STRUKTURE UVOD: Def 1. Operacija duine n u skupu X je svako jednoznano preslikavanje skupa Xn u skup X Za n=1 je UNARNA operacija, za n=2 je BINARNA operacija, tj, jednoznano preslikavanje skupa X2 u skup X. Najee oznake binarne operacije su: *, + ,, itd Def 2. Za binarnu operaciju * u skupu X vai ASOCIJATIVNI zakon ako je ( Xzyx ,, ) x*(y*z)=(x*y)*z Def 3. Za binarnu operaciju * x u skupu X vai KOMUTATIVNI zakon ako je ( ), Xyx x*y=y*x Def 4. Neka su u skupu X date dve binarne operacije * i # Levi i desni DISTRIBUTIVNI zakon glasi: ( ),, Xzyx x#(y*z)=(x#y)*(x#z) (x*y)#z=(x#y)*(x#z) Def 5. Ako postoji element e X takav da je ( )xeX e*x=x*e=x onda se takav element naziva NEUTRAL ( jedinini element) Stav : Ako postoji neutralni element onda je on jedinstven. Def 6. Neka u odnosu na operaciju * u skupu X postoji neutral e. Tada se element x` naziva SUPROTAN element elementu x ako vai: x*x`=x`*x=e DEF1. Skup X zajedno sa binarnom operacijom * zove se GRUPOID. Oznaka je (X,*) DEF2. neka su (X,*) i (Y,#) grupoidi. Preslikavanje h: X Y je HOMOMORFIZAM ako je ( ), Xyx h(x*y)=h(x)#h(y) Ako je X=Y onda je to AUTOMORFIZAM Ako je ovo preslikavanje jo i bijekcija ( 1-1, i na), onda je to IZOMORFIZAM
12
-
www.matematiranje.com
DEF 3. Grupoid (X, *) za iju operaciju * vai asocijativnost zove se POLUGRUPA DEF 4. Polugrupa (X,*) u kojoj postoji neutralni element i u kojoj svaki element ima inverzni element zove se GRUPA. Kad ispitujemo da li je zadata struktura grupa radimo sledee:
1. Ispitujemo zatvorenost zadane operacije 2. Ispitujemo asocijativnost 3. Traimo neutralni element 4. Traimo inverzni element
DEF 5. Ako za grupu (X,*) vai i komutativni zakon onda se ta grupa zove ABELOVA GRUPA DEF 6. Neka je (X,+, ) skup sa dve operacije.( + je aditivna a je multiplikativna ) Ako je: 1. (X,+) Abelova grupa 2. za operaciju vai distributivni zakon u odnosu na operaciju + onda je (X,+, ) PRSTEN DEF 7. Prsten (X,+, ) je TELO ako je ( X\{0}, ) grupa, gde je 0 neutralni element za operaciju +. DEF 8. Komutativno telo je POLJE.
13
-
1
Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima
Najvei zajedniki delilac i najmanji zajedniki sadralac polinoma NZD polinoma P i Q je polinom D koji ima najvei stepen medju polinomima koji su delioci i polinoma P i polinoma Q. NZS polinoma P i Q je polinom S koji ima najmanji stepen medju polinomima koji su deljivi i polinomom P i polinomom Q. Primer 1: Nadji NZS i NZD za polinome:
23)(
2)(4)(
2
2
2
+==
=
xxxRxxxQ
xxP
Prvo moramo svaki od njih rastaviti na inioce (naravno , upotrebom postupka navedenog u poglavlju : Transformacije algebarskih izraza).
)2)(1()1(2)1(2223)()1)(2()2(1)2(222)(
)2)(2(24)(
22
22
222
==+=+=+=+=+==
+===
xxxxxxxxxxxRxxxxxxxxxxxQ
xxxxxP
NZD je ustvari PRESEK, odnosno onaj koji ga ima u svakom od polinoma. Ovde je to oigledno x-2. Dakle: NZD = x-2 NZS je unija. On mora biti deljiv sa sva tri polinoma. Dakle: NZS = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) Primer 2: Nadji NZS I NZD za polinome :
22
22
2
2 babaRbaQabaP
+===
222
22
2
)(2))((
)(
bababaRbababaQ
baaabaP
=+=+==
==
NZD = )( ba jer ga ima u sva tri NZS = + )()( 2 babaa deljiv sa sva tri
14
-
2
________________________________________________________________
22333
22
222
)24)(2()2(8)2)(2(4
)2(44
babababababababa
bababa
++=+=++=
+=++
Primer 3: Nadji NZS I NZD za polinome:
2
2
yxyBxyxA
+==
__________
)()(yxyByxxA
+==
NZS = ))(( yxyxxy + ta emo sa NZD? Nema inioca koji se sadri u A i B. U takvoj situaciji NZD = 1 , a za polinome kaemo da su uzajamno prosti. Primer 4: Nadji NZS I NZD za polinome:
________________________
2
2
2530910036
159
=+=
=+
aaaa
____________________________________________________________________
222
22
)53()25309(25309)53)(53(4)259(410036
)53(3159
=+=++==
+=+
aaaaaaaaa
aa
NZS 2)53)(53(12 += aa Primer 5: Nadji NZS I NZD za polinome: NZS )24)(2()2( 222 babababa ++= Primer 6: Nadji NZS I NZD za polinome:
__________________________________
22
234
23
)4(31232020512123
===++
=+
xnnnxxxxxxx
15
-
3
__________________________________________________________
22
2222234
2223
)2)(2(3)4(3123)2(5)44(520205
)2(3)44(312123
+==+=++=++
=+=+
xxnxnnnxxxxxxxxx
xxxxxxxx
NZS 222 )2()2(15 += xxnx Primer 7: Nadji NZS I NZD za polinome:
______________________________________________________________________
2223
2223
22244
)1)(1()1(1)1(1)1)(1()1(1)1(1
)1)(1)(1(2)1)(1(2)1(222
+=+=++++=+++=+++
++=+==
aaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaa
NZS )1)(1)(1(2 2 ++= aaa Kako upotrebiti NZS? 1) Uprosti izraz:
=++ abba
abab
baba
22 najpre treba svaki imenilac rastaviti na inioce=
=++ abba
baab
baba
)()( zatim nadjemo NZS za imenioce ,to je )( baab i izvrimo
proirenje razlomka. Kako da znamo koji sa kojim da proirimo? Gledamo imenilac i NZS, ta je viak,sa tim proirimo. Tako prvi sabirak irimo sa a , jer je viak kad gledamo )( baab i )( bab drugi sa b a trei sa )( ba . Dakle:
)(2
)(2
)()()(
)())((
222222222
baab
baabb
baabbaba
baabbababaab
bababbaa
==++=
+=
=++=
Pre poetka (ili po zavretku) rada treba postaviti uslove zadataka. Poto deljenje nulom nije dozvoljeno to nijedan u imeniocu ne sme biti nula, tj.
;0a ;0b baba 0
2) Uprosti izraz: xxxxx +++ 222
11
21
=++++=+++ )1(1
)1)(1(2
)1(11
121
222 xxxxxxxxxxxta je problem?
Izrazi )1( x+ i )1( +x nisu, jer vani komutativni zakon )( ABBA +=+ , ali izrazi
)1( x i(1-x) jesu. Taj problem emo reiti tako to jedan od ta dva izraza okrenemo i izvuemo minus ispred, jer vai da je )( ABBA =
16
-
4
0)1)(1(
0)1)(1(121
)1)(1()1(12)1(1
)1(1
)1)(1(2
)1(1
=+=+++=+
++=
=+++=
xxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
Naravno, uslovi zadatka su:
;0x ;101 xx 101 + xx 3) Uprosti izraz:
212
46
21
2 ++
+aa
aa
aa
=++
+212
46
21
2 aa
aa
aa
=+++
+212
)2)(2(6
21
aa
aaa
aa
=+++++
)2)(2()2)(12(6)2)(1(
aaaaaaa Pazi na znak ispred zagrade!!!
Uvek pokuaj da na kraju rastavi i brojilac, jer moda ima neto da se skrati!!! Uslovi zadatka su:
202202
+
aaaa
=++
)2)(2(22
aaaa
2+aa
=+++++
)2)(2(242622 22
aaaaaaaaa
=++++
)2)(2()242(6)22( 22
aaaaaaaaa
=+
)2)(2()2(
aaaa
17
-
5
4) 23
12213
1 2 +++
xxx
xx
xx =?
=+++
2312
213
1 2 xxx
xx
xx
Izdvojiemo i rastaviti na stranu
)1)(2()2(1)2(2223 22 ==+=+ xxxxxxxxxx =
++ )1)(2(
12213
1 xxx
xx
xx
=++
)2)(1()12(1)1)(13()2(
xxxxxxx Pazi na minus!!!
=+++
)2)(1(12)133(2 22
xxxxxxxx
=++++
)2)(1(121332 22
xxxxxxxx
=+
)2)(1(42 2
xxxx
12
)2)(1()2(2
=
x
xxxxx
Uslovi zadatka:
202101xxxx
5) 25
22510
12510
1222 +++++ xxxxx =?
=+++++ 252
25101
25101
222 xxxxx
22
2
22
2
22
22
22
222
22
222
22
)25(4
)5()5(4
)5()5(502502
)5()5()25(225102510
)5()5()25(2)5(1)5(1
)5)(5(2
)5(1
)5(1
=+=
=++
=++++++=+
+++=++++
xx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxxx
18
-
6
Uslovi zadatka: 505
505+
xxxx
Mnoenje i deljenje racionalnih algebarskih izraza se radi kao i kod obinih razlomaka, s tim da prvo moramo svaki rastaviti na inioce. Dakle:
DBCA
DC
BA
= i
CD
BA
DC
BA =:
1) =+++
aaaa
aaa
2
2
2
2 121
? prvo svaki rastavimo na inioce !!!
=+++
)1(
)1()1)(1(
)1( 2
aaa
aaaa Skratimo
DC
BA
111
11 ==
Uslov zadatka: 012 a i 02 + aa
1a , 1a 0, a
2) =+
ababba
abaaba 22
2
2
babaab
baabbaabaa ==++
1
)()()(
Uslov zadatka: 0,0,0 + baba
3) =+
95:
325
2
2
2
2
xxx
xxx ?
=++
+
)3)(3()5(:
)3()5)(5(
xxxx
xxxx
2
)3()5()5(
)3)(3()3(
)5)(5(xxx
xxxx
xxxx +=+
++
Uslovi: 03,03,0 + xxx
3,3 xx
4) 4244
2
22
21:
21 mmba
mmba
+
+++ =?
=+
+++
42
44
2
22
21:
21 mmba
mmba
19
-
7
))(()1(
))()(()1()1(
)1(
)1())((:
)1(2
22
22
2
22
22
2222
2
22
babam
bababamm
mba
mbaba
mba
+=++
+++
=+
++
Uslov zadatka: ,1,, mbxbx ,1x
5) acbcaabcba
22
222
222
++++ =?
=++++
acbcaabcba
22
222
222
pretumbajmo ih prvo
=++++
222
222
22
bcacacbaba prva tri ine pun kvadrat
=++
22
222
)()(bcacba upotrebimo sad razliku kvadrata
bcacba
bcabcacbacba
++=+++
+++))(())((
Uslov: 0+ bca i 0++ bca
6) Skrati razlomak: 2365
2
2
++
xxxx
=++
2365
2
2
xxxx =+
+22623
2
2
xxxxxx
13
)1)(2()2)(3(
)2(1)2()3(2)3(
=
==
xx
xxxx
xxxxxx
Uslov: 02 x 01x
7) =
+
++++ xy
yx
xyxy
yxxyyx 2:2 22 ?
yxyxxy
yxxyyx
xyyxyx
yxxyyxyx
xyyxyx
yxxy
yxxyyx
+=+
=+++
=
+
++++
1)()(
)(
2:)(
2
2:)(
2)(
2
2
2222
22
Uslovi: ,0x ,0y ,0+ yx 0 yx
20
-
8
8) =
+++ 24:
44
236 2 aa
aa
aa
aa
=
++++ 24:
)2)(2(4
2)2(3 aa
aaa
aa
aa
PAZI: Moramo a2 da okrenemo: )2(2 = aa , pa (-) izlazi ispred!!!
)4(32
)4)(2(3)2(2
)4)(2(342
)4)(2(312632
42
)2)(2(312)2(3)2(
42
)2)(2(4
2)2(3
2
22
=++=+
+=+
++=
++++
=
++++
aa
aaaa
aaaa
aaaaaaa
aa
aaaaaaa
aa
aaa
aa
aa
Uslovi: ,2a ,2a 4a
9) Uprosti izraz: =++++++++++ 16842 116
18
14
12
11
11
xxxxxx
Ovaj zadatak ne moemo reiti klasino, probajmo da saberemo prva dva:
212
)1)(1(11
11
11
xxxxx
xx =+++=++
Dodajemo mu trei sabirak:
44
22
22
22
22 14
12222
)1)(1()1(2)1(2
12
12
xxxx
xxxx
xx =++=+
++=++ Ovo radi!!!
824
22
44 18
)1)(1(4444
14
14
xxxxx
xx =+++=++
Idemo dalje:
1688
88
88 116
)1)(1(8888
18
18
xxxxx
xx =+++=++
Konano:
321616
1616
1616 132
)1)(1(16161616
116
116
xxxxx
xx =+++=++
21
-
9
Uslovi: 01 x i 01 + x 10) Pokazati da vrednost izraza ne zavisi od a,b,c i d
)(4
11:
11
4caabcb
ba
cb
a ++
++
+
=++++
+ )(4
11:
11
4caabcb
ba
cb
a
=+++++
)(4
11:
11
4caabcb
bab
cbca
Pazi: BCAD
DCBA
=
=+++++
)(4
1:
1
4caabcbab
b
bcca
=+++
+++ )(
41
1
4caabcbb
ab
bccaabc
=+++++
+)(
41)1(4caabcbb
abcaabc
bc
=++++++
)(4
)()1)(1(4
caabcbcaabcbabbc Izvuemo gore 4 kao zajedniki
[ ] =++++
)(1)1)(1(4
caabcbabbc
[ ] 4)()(4
)(114 2 =++
++=+++++
acabcbacabcb
caabcbabbccab
22
-
10
11) Ako je 0=++ cba dokazati da je abccba 3333 =++ Dokaz: Podjimo od 0=++ cba cba =+ kubirajmo ovo 33 )()( cba =+ 33223 33 cbabbaa =+++
cbacbaabba =+=+++ 333 )(3 ovo iz a+b+c=0, zamenimo
abccbacabcba
33
333
333
=++=+
12) Ako je 0111 =++cba
Dokazati da je:
3=+++++cba
bac
acb
Dokaz: Podjimo od:
cabab
cba1
111
=+=+
cabba =+ / Podelimo sa C da bi napravili izraz iz zadatka
Slino e biti:
2
2
bca
bac
abc
acb
=+=+
=+++++cba
bac
acb
= 222 cab
bac
abc Priirimo ih redom sa ,a b i c
= 333 cabc
babc
aabc izvuemo abc
++= 333 111 cbaabc Ajde ovo da nadjemo!!! 3/()111
cba=+
33223
111131131cbbabaa
=+++
2cab
cba =+
23
-
11
333
111311cbaabba
=
+++
333
11311ccabba
=
++
333
1311cabcba
=+
abccba3111
333 +=++ Vratimo se u zadatak:
33
111333
==
++=
abcabc
cbaabc
Malo je zeznuto, pa prouavajte paljivo!
24
-
1
)(555 baba )2(242 baba
)1(2 aaaa)2(7714 223 ababbaab
Transformacije algebarskih izraza
Kako dati izraz rastaviti na inioce? Prati sledei postupak: 1) Izvui zajedniki iz svih ispred zagrade, naravno, ako ima ( distrubutivni
zakon ) 2) Gledamo da li je neka formula:
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
( )( ) RAZLIKA KVADRATA2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lake 2 ( )2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lake 2 ( )
A B A B A BI I II II I II A AB B A BI I II II I II A AB B A BA B
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
( )( ) RAZLIKA KUBOVA( )( ) ZBIR KUBOVA
( ) 3 3 KUB ZBIRA( ) 3 3 KUB RAZLIKE
A B A AB BA B A B A AB BA B A A B AB BA B A A B AB B
3) Ako nee nita od ove dve stavke, sklapamo 2 po 2, 3 po 3. itd.
PRIMERI
Izvlaenje zajednikog ispred zagrade: 1) 2) PAZI: Kad vidimo da nita ne ostaje piemo 1. 3) 4)
bbba 27 baa 7 Ako nije jasno ta treba izvui ispred zagrade, moemo svaki lan rastaviti:
bbbaab
2714 3 i
baaba 77 2
Zaokruimo (podvuemo) iste i izvuemo ispred zagrade a one koje su ostali stavimo u zagradu!!! 5)
)12(33233363 22
yxxyyxyyxyxx
xyxyyx
WWW.MATEMATIRANJE.COM
25
-
2
6) 333223 91518 bababa
bbbaaabbbaabbaaa 333536
)356(3 22 abbaba Naravno, moemo razmiljati i ovako: Za 18, 15 i 9 zajedniki je 3 Za 3a , 2a i 3a zajedniki je 2a i Za 2b , 3b i 3b zajedniki je 2b Dakle, ispred zagrade je 2 23a b . 7) )1(11 aaaaaaa xxxxx 8) )1(11 mmm aaaaaaa 9) aaaa xxxxx 124124 22 )3(4 2 xxa 10) 132132 16121612 xxxxxx nnnn )43(4 2 xxxx nn )43(4 21 nn xx U zadacima 7, 8, 9 i 10 smo koristili pravila za stepenovanje.!!!
UPOTREBA FORMULA:
2 2 ( ) ( )A B A B A B 1) )2)(2(24 222 xxxx 2) )3)(3(39 222 aaaa 3) )1)(1(11 222 xxxx 4) )12)(12(12144 222 yyyy 5) )32)(32(3)2(3294 22222 xxxxx Pazi: Da bi upotrebili formulu za razliku kvadrata SVAKI lan mora da je na kvadrat. 6) )45)(45()4()5(451625 22222222 yxyxyxyxyx 7)
2 22 2 2 2
2 2
1 9 1 3 1 3 1 316 25 4 5 4 5 4 5
x y x y x y x y 8) ))(()()( 2222222244 yxyxyxyx ))()(( 22 yxyxyx www.matematiranje.com
26
-
3
xxABBB
xAxA
84224162
22
22 )4(168 xxx
xxABBB
xAxA
105225252
22
Dakle: 4 4 2 2( )( )( )x y x y x y x y ZAPAMTI!!! 9) 4444 12116 aa 44 1)2( a , ako iskoristimo prethodni rezultat: xa 2 i y1
)14)(12)(12()1)2)((12)(12(
2
22
aaaaaa
2 2 22 ( )A AB B A B i 2 2 22 ( )A AB B A B
1) 1682 xx Gledamo prvi i trei lan jer nam oni daju 2A i 2B , a onaj u sredini proveravamo da li je BA 2 Kako je Pa je 2) 22 )5(2510 xxx jer je 2A 2B Proveri da li je 2AB 3) 22 )8(1664 yyy 4) 222 )2(44 bababa 5) 222 )3(96 bababa 6) 2 2 24 20 25 (2 5 )x xy y x y 7) 2 20, 25 0,1 0,01 (0,5 0,1 )a a a jer je
aBaBAA
1,001,05,025,0
22
2
8) 222 )22,0(48,004,0 bababa
3 3 2 2( ) ( )A B A B A AB B Najpre se podsetimo da je: 311 , 328 , 3327 , 3464 , 35125 , 36216 , 37343 1) 83x da bi mogli da upotrebimo formulu oba lana moraja biti na trei
333 28 xx Znai x-je A, 2 je B pa zamenjujemo u formulu: )42)(2()22)(2(28 222333 xxxxxxxx www.matematiranje.com
27
-
4
)198)(1(
)46296)(1(22)3()3()23(
2
2
22
aaaaaaaaaa
2) )366)(6()66)(6(6216 222333 xxxxxxxx 3) )416)(4()44)(4(464 222333 yyyyyyyy 4) 333333 1)5(151125 xxx Pazi ovde se najee napravi greska: xA 5 ,
1B 22 115)5()15( xxx )1525)(15( 2 xxx 5) 333 2)3(8)3( aa pazi: 3a A , 2 B
3 3 2 2( )( )A B A B A AB B 1) 3 3 3 3 2 2 2343 7 ( 7)( 7 7 ) ( 7)( 7 49)x x x x x x x x 2) 3 3 3 2 2 264 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 1 1 (4 1)(16 4 1)a a a a a a a a 3) 3 3 3 3 2 2 2 227 (3 ) (3 ) (3 ) 3 (3 )(9 3 )x y x y x y x x y y x y x xy y 4) 2233 )2()2)(1()1()21()2()1( yyxxyxyx
BA
754)1( 442212)1(44)22(12)1(
22
22
22
xyyyxxyxyyyxxyxxyx
yyyxxyxxyx
5) ))(()()()()()( 42242222222222323266 yyxxyxyyxxyxyxyx Redje se koristi da je:
3 2 2 3 33 3 ( )A A B AB B A B 1)
33
3
Pr
2
Pr
23 6128
BoverioveriA
yxyyxx ako je 33 8xA onda xA 2 i 33 yB pa je yB
3)2( yx 2) 3223 )4(64412 yxyxyyxx jer je
yBByxAxA
464 3333
3) 3 2 2 3 3125 150 60 8 (5 2 )a a b ab b a b
www.matematiranje.com
28
-
5
SKLAPANJE 2 po 2
U situaciji kad ne moemo izvui zajedniki, niti upotrebiti neku formulu, koristimo sklapanje 2 po 2.
Primeri:
1) ayaxyx 22 izvlaimo ispred zagrade zajedniki za prva dva, pa druga dva. )2)(()()(2 ayxyxayx 2) byaybxax 12896 3 (2 3 ) 4 (2 3 ) (2 3 )(3 4 )x a b y a b a b x y 3) babaa 44 2 PAZI NA ZNAK!!! )4)(1()1()1(4 baaabaa 4) 532012 baab PAZI NA ZNAK!!! )14)(53()53(1)53(4 abbba 5) yaybxbxa
)()( abybax Ovde moramo okrenuti izraz ab da postane ba , ili pazi, kako je )( baab , moramo promeniti znak ispred y ))(()()( yxbabaybax 6) abxbax 22 = ne '' juri '' da sklopi ''prva dva'' i ''druga dva'' moda je bolja neka druga kombinacija!!
)21()12( xbxa Slino kao u prethodnom primeru, promenimo znak ispred b, a oni u zagradi promene mesta,
))(12()12()12( baxxbxa 7) 22 8228 xybxbyyx )28)(()(2)(8 bxyyxyxbyxxy www.matematiranje.com
29
-
6
22
2
2
4)3(16)3(
7996
xx
xx
8) 762 xx Ovo lii na kvadrat binoma ali oigledno nije. Ne moemo izvui zajedniki iz svih, niti sklopiti 2 po 2 ta raditi? Naravno, uinici II godina srednje kole i stariji znaju da treba iskoristiti da je
))(( 212 xxxxacbxax , ali u I godini srednje kole moramo raditi ovako:
1. nain: 762 xx ideja je da se srednji lan napie kao zbir ili razlika neka 2 izraza. Naravno, to moemo uiniti na veliki broj naina. Onaj prvi je kad posmatramo lan bez x-sa i kako njega moemo predstaviti u obliku proizvoda. Kako je 177 to emo napisati umesto -6x izraz -7x+1x ili +1x-7x , svejedno. Onda sklapamo ''2 po 2'' )1)(7()7(1)7(71776 22 xxxxxxxxxx 2. nain: 762 xx izvrimo dopunu do punog kvadrata, to znai da moramo dodati (i oduzeti) drugi lan na kvadrat.
7336 222 xx
zapamti: uvek dodaj (i oduzmi) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat. sada iskoristimo da je ovo razlika kvadrata.
)1)(7(
)43)(43(
xx
xx
Ti naravno izabere ta ti je lake, odnosno ta vie voli tvoj profesor. Evo jo par primera: 9) ?652 xx 1.nain: Kako je 236 to emo umesto 5x pisati 3x+2x )2)(3()3(2)3(6232 xxxxxxxx 2.nain: Dodajemo (i oduzmemo) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat.
Znai 22
25
25
, pa je:
www.matematiranje.com
30
-
7
)3)(2(21
25
21
25
21
25
41
25
424
425
25
22
2
2
xx
xx
x
x
x
)5)(2(23
27
23
27
23
27
49
27
440
449
27
22
2
2
xx
xx
x
x
x
625
25565
2222
xxxx
10) ?1072 xx 1.nain: )2)(5()5(2)5(10252 xxxxxxxx
2.nain: 1027
277107
2222
xxxx
31
-
8
32
-
1
BINOMNA FORMULA Upoznajmo se najpre sa nekim oznakama: n ! - ita se en faktorijel a oznaava sledei proizvod: n!=n (n-1) (n-2) 3 2 1 Primer: 5!=543 2 1= 120 ili 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 Po definiciji je 0!=1 U zadacima esto koristimo trik da faktorijel rastavimo kao proizvod nekoliko lanova i novog faktorijela. Tako je recimo: (n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1) 2 1 (n+2)! = (n+2)(n+1)n ! ili (n+2)! = (n+2)(n+1)n (n-1)! Itd. Primer 1.:
Skrati razlomak: )!3()!1(
nn
Reenje: )!3()!1(
nn =
)!3()!3)(2)(1(
nnnn =(n-1)(n-2)
Primer 2.
Rei jednainu : )!2(
!20)!32(
)!2(= xx
xx
Reenje: )!2(
!20)!32(
)!2(= xx
xx
)!2(
)!2)(1(20)!32(
)!32)(22)(12)(2(
=
xxxx
xxxxx
33
-
2
(2x)(2x-1)(2x-2)= 20x(x-1) 2x (2x-1)2(x-1)= 20 x(x-1) [skratimo sa 4x(x-1)] 2x-1 = 5 a odavde je x=3
Ako su n i k prirodni brojevi, onda moemo definisati simbol: (kn
)
On se ita en nad ka, a izraunava se :
(kn
) = !
)1)...(2)(1(k
knnnn + Primeri:
(2
10) =
12910
= 45 ili (
315
) = 123131415
= 455
Da bi imali brzinu u radu moramo zapamtiti da je :
1)0
( =n na primer: 1)05
( = 1)0
12( = itd.
1)( =nn
na primer: 1)77
( = 1)100100( = itd.
nnnn == )1()1( na primer: 4)3
4()
14
( == 50)4950
()150
( ==
I najvanije : )()(kn
nkn
=
Na primer dobijemo da reimo )1820
( . Koristei ovo pravilo mi reavamo :
)1820
( = )220
( = 121920 = 190. Mnogo je lake ovako!
Sada moemo videti kako izgleda binomni obrazac:
(a+b)n = )0
(n
anb0 + )1
(n
an-1b1 + )2
(n
an-2b2+ + )1
( nn
a1bn-1 + )(nn
a0bn
Ova formula se lako dokazuje primenom matematike indukcije.
34
-
3
ta je vano uoiti? - U razvoju uvek ima n+1 lanova
- a poinje sa n-tim stepenom, pa u svakom sledeem lanu opada dok ne doe do
nule, dok b poinje sa nulom pa u svakom sledeem lanu raste dok ne doe do n-tog stepena
- Izrazi )0
(n
, )1
(n
, )2
(n
,, )1
( nn
i )(nn
su binomni koeficijenti , i za njih vai
jedna zanimljiva stvar: Ako poemo od nekoliko prvih razvoja dobiemo takozvani Paskalov trougao. (a+b)0 = 1 koeficijent je 1 1 (a+b)1 = a+b koeficijenti su 1 i 1 1 1 (a+b)2 = a2+2ab+b2 koeficijenti su 1, 2, 1 1 2 1 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 koeficijenti su 1, 3, 3, 1 1 3 3 1 (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 4 6 4 1 koeficijenti su 1, 4, 6, 4, 1 itd. I tako dalje.... Vidimo da su simetrini koeficijenti u razvijenom obliku binoma jednaki. Oni prave Paskalov trougao, gde su na kracima sve jedinice , a unutranji lan se dobija sabiranjem gornja dva!
1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
3
6
10
1
3
4 4
1 15 510
Opti (bilo koji) lan u razvijenom obliku binoma se trai po formuli:
35
-
4
Tk+1 = )(kn
an-k bk
1) 5)23( x+ =? =+ 5)23( x [Ovde je 3=a , xb 2= i 5=n ] 5413223145 )2(3
55
)2(345
)2(335
)2(325
)2(315
)2(305
xxxxxx oo
+
+
+
+
+
Ako vam je lake izdvojite binomne koeficijente ''na stranu'', pa ih reite:
==
=
=
=
=
=
35
101245
25
545
15
155
05
5432
554433222342
32240720108081024321123523102310235131
xxxxxxxxxx
+++++==+++++=
2) 6)1( i+ =?
=+ 6)1( i [Ovde je 1=a , ib = i 6=n ]
20123456
36
46
151256
26
656
16
166
06
166
156
146
136
126
116
106 651423324156
==
==
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
= iiiiiii oo
36
-
5
Da vas podsetimo:
===
=
1
1
4
3
2
1
iii
iii
pa je 1246
45
====
iiiiiii
Vratimo se u zadatak:
i
iiiiii
81615201561
)1(1161115)(120)1(11516111
=+++=
++++++=
3) Odrediti peti lan u razvijenom obliku binoma 12
32
21
+ xx
Odavde je 21
xa = , 32
xb = , 12=n Iskoristiemo formulu:
KKnK bakn
T +
=1
Poto trae peti lan, to je 4(145 == + kpaziTT )
320
38
4
38
4
4
32412
21
495
12349101112
412
412
x
x
xx
xx
==
=
=
+
4) Odrediti lan koji ne sadri x u razvijenom obliku binoma ( )122+ xx Odavde je ,xa = ,2= xb 12=n
37
-
6
Upotrebiemo formulu 1+KT i nai k
( )
k
kk
kk
KKnK
xk
xxk
xxk
bakn
T
312
212
212
1
12
12
12
+
=
=
=
=
Poto nam treba lan koji ne sadri x, izvriemo uporedjivanje:
4123
0312
312
==
==
kk
kxx ok
Znai, u pitanju je ( )514 TT =+ peti lan.
5) Zbir koeficijenta prvog, drugog i treeg lana u razvoju binoma n
xx
+ 12 jednak
je 46. Nai koji lan ne sadri x . Zbir koeficijenta prva tri lana je:
9
10;92
191090
9222
462
)1(1
46210
212,1
2
2
====
=+=++=++
=
+
+
n
nnn
nnnnn
nnn
nnn
Kako je 2xa = i ,1x
b = 9=n
38
-
7
k
kk
kk
KKnK
xk
xxk
xx
k
bakn
T
318
218
92
1
9
9
1)(9
+
=
=
=
=
Sada mora biti: Znai da je u pitanju sedmi lan.
6) Odrediti koeficijente uz 3x u razvoju binoma 12
2241
x
x
12
2241
x
x odavde je 12,2,
41 2 === nxbx
a
( )( )
( ) 3213
12312
21212
212
1
24112
24112
24112
xjeOvo
kkk
kkkk
kk
KKnK
xk
xxk
xxk
bakn
T
+
=
=
=
=
Dakle:
6183
0318
318
==
==
kk
kxx ok
5153
3123
3123
==
==
kkk
xx k
39
-
8
Pa e koeficijent uz 3x biti
( )( ) )32(
41
12345891011122
41
512
24112
75
7
12
=
=
kkk
7) Koeficijenat drugog lana u razvoju binoma n
xyx
+
4 odnosi se prema
koeficijentu treeg lana kao 2:11. Odrediti peti lan.
01211
)1(11
11:22
)1(:
11:22
:1
2
2
====
=
nnnnn
nnn
nnn
nn
00)12( == nnn 12=n , pazi: n=0 nije reenje!
Poto je 12,,4
=== nxy
bxa a trai se peti lan, to je:
KKnK bakn
T
= +1
24
2
4
4
2
4
8
48
145
1
4951234
9101112
412
412
+
+
=
=
=
==
=
yxyx
xy
yx
xy
yxTT
bakn
T KKnK
546875,16499 ==
40
-
9
8) Na elezniku stanicu treba da stigne iz istog pravca n ljudi. Na koliko moguih naina, s obzirom na vreme dolaska, mogu da stignu na stanicu? Razmiljamo:
- mogu da stignu svi u razliiti vreme - mogu da stignu dva zajedno, ostali u razliito vreme - mogu da stignu tri zajedno, ostali u razliito vreme - itd - mogu da stignu u grupama po 2 - mogu da stignu u grupama po 3 - itd
Broj svih mogunosti je:
=
++
+
+
=++++
nnnnn
CCCC nnnnn
...321
...321
Da bi smo ovo izraunali podjimo od binomne formule:
nononn bann
ban
baon
ba
++
+
=+ ...
1)( 11
Ako umesto a i b stavimo jedinice, dobiemo:
11...111
11)11(
++
+
=+
nnn
onn
12...21
2...21
...21
2
=
++
+
=
++
+
++
+
+
=
n
n
n
nnnn
on
nnnn
nnnn
on
Dakle broj svih mogunosti je: 12 n
41
-
ISKAZI
U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obino se sreu reenice koje su ili tane
ili netane, tj reenice koje imaju logikog smisla.Ovakve reenice se u matematici
nazivaju iskazi.Dakle , pod iskazom podrazumevamo bilo koju reenicu za koju se zna da moe biti samo tana ili samo netana.Drugim reima, iskaz moe da ima samo
jednu od istinitosnih vrednosti: istinit (taan), neistinit (netaan).
Primer:
Nije teko videti koja je od sledeih reenica iskaz:
- Broj 6 je vei od broja 2
- Broj 3 je deljiv brojem 2
- Zemlja se okree oko Sunca
- Broj 2 je vei od Natae
- Godina ima 365 dana
Prve tri reenice jesu iskazi, jer su redom tana, netana i tana, dok za zadnje dve
reenice ne moemo to tvrditi, dakle , nisu iskazi.
Iskaze emo, po dogovoru, obeleavati malim slovima latinice: p,q,r,s,t....a
ta slova emo zvati iskazna slova.Polazei od takvih elementarnih iskaza,dakle, iskaznih
slova, slino kao to u srpskom jeziku od prostih reenica pravimo sloene, moemo
napraviti i sloene iskaze.Tu e za nas biti znaajno da znamo kada e ti novi iskazi biti
tani ili netani.
U tom cilju uvodimo oznake :
T za tano (ita se te) i - za netano ( ita se ne-te)
Istinitosna vrednost nekog iskaza p, koji emo oznaavati sa (p) (ita se tau od te), bie:
42
-
(t)=T, ako je iskaz p taan (t)= , ako je iskaz p netaan
LOGIKE OPERACIJE
Neka su dati iskazi p i q.
Konjukcija iskaza p i q je iskaz p q kojem odgovara sledea istinitosna tablica:
p q p q Konjukcija je tana samo ako su p i q tani iskazi.
T T T
T
T
Disjunkcija iskaza p i q je iskaz p q kojem odgovara sledea tablica:
p q p q Disjunkcija je netana samo ako su oba iskaza , i p i q, netani. T T T
T T
T T
Ovde treba obratiti panju na razliku izmeu upravo definisanog veznika disjunkcije i
veznika takozvane iskljune disjunkcije kojem odgovara jezika forma ili..,ili.
Razlika je u tome to iskaz ili p ili q nije taan ni u sluaju kada su oba iskaza , i p i q,
tani, dok je iskaz p ili q taan.
43
-
Implikacija iskaza p i q je iskaz pq kojem odgovara sledea tablica:
p q pq Implikacija je netana jedino u sluaju kada je iskaz p taan i iskaz q netaan. T T T
T
T T
T
Jedan od najznaajnijih veznika za nas je upravo veznik implikacije. Reenica
p implicira q se sa nepromenjenim znaenjem moe zapisati i na jedan od sledeih
naina:
ako p, onda q
iz p sledi q
q, ako p
p je dovoljan uslov za q
q je potreban uslov za p
Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz p q ije se istinitosne vrednosti zadaju tablicom:
p q p q Ekvivalencija je tana samo ako oba iskaza, i p i q, imaju istu istinitostnu vradnost. T T T
T
T
T
44
-
Reenicu p je ekvivalentno sa q moemo iskazati i na jedan od sledeih naina:
ako p , onda q, i ako q, onda p
p je potreban i dovoljan uslov za q
p ako i samo ako q
To su bili osnovni binarni logiki veznici (operacije). Binarni , zato to dva iskaza prave
jedan novi iskaz. Uveemo sada jedan unarni veznik (operaciju), koji od jednog iskaza
p pravi jedan novi iskaz , sloeniji.To je p , koji se ita ne-p.
Negacija iskaza p je iskaz p kojem odgovara tablica:
Oigledno je iskaz p taan samo u sluaju kada je iskaz p P p netaan.
T
T
Zajedno, iskazne konstante (T i ), sva iskazna slova i sve sloene iskaze nazivamo
iskaznim formulama.Da bi jedna iskazna formula bila nedvosmisleno zapisana,
prilikom zapisivanja koristimo i zagrade.Polazimo od toga da je negacija operacija najvieg prioriteta,za njom su konjukcija i disjunkcija, koje su meusobno ravnopravne,
na kraju su implikacila i ekvivalencija, takoe meusobno ravnopravne.
Primer:
Niz simbola p rq ne moemo prihvatiti kao formulu, jer se ne zna redosled
operacija, poto su konjukcija i disjunkcija iste snage. Trebalo bi biti zapisano na
sledeci nain: (p q) r ili p (q r ) .
45
-
Dakle, iskazne formule su iskazi formirani od iskaznih slova p,q,r,, znakova
,,,, i zagrada, primenom konanog broja puta ovih simbola.
Iskazne formule koje su uvek, za sve mogue vrednosti iskaznih slova koja ine te formule tane, nazivamo tautologijama.
Da li je neka formula tautologija moemo proveriti na vie naina: diskusijom po slovu,
svoenjem na protivrenost, preko istinitosnih tablica, itd.
Evo jednog primera ispitivanja preko istinitosne tablice:
)()( qppq
Pazi: Uvek prvo napisi negacije,jer su najstarija operacija
p q q p q p p q )()( qppq
T T T T T
T T T
T T T T T
T T T T T
NEKA PRAVILA LOGIKOG ZAKLJUIVANJA Tautologije, kao uvek tani iskazi, u sebi kriju zakonitosti po kojima se vladaju logiki
veznici, pa, prema tome, i zakonitosti pravilnog logikog zakljuivanja.neka od
nezaobilaznih i najee primenjivanih, a ujedno i najjednostavnijih logikih zakona su:
qqpp )( modus ponens
)()( qppq pravilo kontrapozicije ( ispitano u tablici)
pqqp ))(( svoenje na protivrenost
46
-
pp zakon iskljuenja treeg
qpqp )( De Morganovi zakoni
qpqp )(
p p zakon dvojne negacije itd.
Ispitajmo modus ponens upotrebom svoenja na protivrenost:
qqpp )(
Pretpostavimo da je formula netana.Budui da je implikacija netana samo u jednom sluaju, onda mora biti:
))(( qpp = T i )(q =
Dalje, kako je konjukcija tana samo ako su oba izraza tana , mora biti:
=)(p T i )( qp =T
Pogledajmo tablicu za implikaciju: Poto smo zakljuili da je =)(p T i )(q =
mora biti )( qp = to je u kontradikciji sa
p q pq )( qp =T.
T T T Znai da polazna pretpostavka nije dobra, odnosno
da je formula tautologija(tana).
T
T T
T
47
-
PRIMERI:
1. Dati su iskazi : p: (-2)(-3)=-(-6); q:5
1=0,2 ; r: -3
2=(-3)
2
Ispitati istinitostnu vrednost izraza: )( rqp
Resenje: Kod ovog tipa zadatka najpre odredimo vrednosti iskaza p,q,r , pa te vrednosti zamenimo u datu formulu.(ovde nije potrebno praviti celu tablicu, vec samo jednu vrstu ,
za dobijene vrednosti za p,q,r)
Dakle:
(-2)(-3)=6 i -(-6)=6, pa je iskaz p- tacan , to jest =)(p T
0,2=5
1
10
2= , pa je i iskaz q tacan, to jest )(q =T
-32= -9 a (-3)
2=(-3)(-3)=9 pa je iskaz r netacan, to jest =)(r
Zamenimo sada ove vrednosti u datoj formuli:
)( rqp = )( TT = T = T. Dakle , dati izraz je tacan.
2. Ispitati da li je sledeca formula tautologija(tablicno): F: ))(()( qprqp
Kad imamo tri iskazna slova, potrebno nam je 8 vrsta:
p q r p p q r p (r p) q F
T T T T T T T
T T T T T T
T T T T T T T
T T T T T T T
T T T
T T T T
T T
Dakle ova formula nije tautologija, jer ima na kraju na tri mesta netano(dovoljno je i samo na jedno)
ZAPAMTI: kod p idemo 4 tana, 4 netana; kod q 2 tana ,2 netana; kod r jedno tano ,1 netano
48
-
KVANTORI Posmatrajmo recenicu: x2 = 25 . Oigledno ona nije iskaz, jer moe biti tana ako je x= 5 ili x=-5, a moe biti i netana ako je x neki drugi broj.
Ako,meutim reenicu kaemo:
Za svaki x, x2 = 25 ili Postoji x tako da je x2 = 25, onda za njih moemo rei da je prva netana a druga tana, pa one predstavljaju iskaze.
Upotrebom matematike terminologije moemo zapisati:
Za svaki x, x2 = 25 je ( )x (x2 = 25) Postoji x tako da je x2 = 25 je ( )x (x2 = 25) Ove rei , za svaki (bilo koji, za proizvoljan), i postoji (ili za neki) zovemo kvantori ili kvantifikatori.
Dakle:
- se ita za svaki i zove se univerzalni kvantor, - se ita postoji i zove se egzistencijalni kvantor
Zanimljivo je kako se kvantori ponaaju u prisustvu negacije:
AxAx )()( i
AxAx )()(
Reima objanjeno to bi znailo da nije svaki i neki nije imaju isto znaenje, odnosno
da izrazi nije neki i svaki nije imaju isto znaenje.
Na primer, reenice: Nije svaki profesor dobar i Postoji profesor koji nije dobar
imaju isto znacenje.
49
-
50
-
51
-
52
-
www.matematiranje.com
NEKE VANE NEJEDNAKOSTI:
1) za sve 02 x Rx Kvadrat nekog izraza je uvek pozitivan ili jednak nuli (za x=0) Primeri: za 0)2(44 22 +=++ xxx Rx za 0)1(12 22 =+ aaa Ra jer 022 + yxyx
43
24222
222
222
222 y
Izvrili smo dopunu od ''punog kvadrata'' pa je 02
2
yx i 04
3 2 y , a onda je i njihov zbir >0
2) zyxzyx +++++2
3222
Dokaz:
yyxyyyxyyxy +
=+
=+
+
0)1)1
0)1
2
2
2
zyx
x
(
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxx
zyx
+++++++++++++++
+++++++
23
)(232223
01212120)1()1()1(
222
222
222
222
222
0( (
3) Dokazati da za 0>a 221 +a
Dokaz:
0120)1(
2
2
+
aaa
aaa :/212 + (podelimo sa a ) 21 +
aa
153
-
www.matematiranje.com
4) Dokazati da za i 0x 0y
2yxxy +
(geometrijska sredina < aritmetika sredina)
Dokaz: Podjimo od ( )
xyyxxyyx
yxyx
yyxx
yx
+=+
++
+
2
2:/2
02
02
022
2
Naravno jednakost vai ako je yx = 5) Dokazati da je: koji su nenegativni: zyx ,,
3
3333 cbaxyz ++
Dokaz: Uvodimo najpre smene:
3
3
3
czbyax
===
Treba onda dokazati:
3
3333 cbaxyz ++
033
333
333
++++abccbacbaabc
Kako je (proveri mnoenjem)
))((3 222333 acbcabcbacbaabccba ++++=++odavde je sigurno 0++ cba
[ ] 0)()( ++ acb
)(21 222222 =++ cbaacbcabcba
254
-
www.matematiranje.com
Dakle proizvod dva takva izraza je >0 pa je zaista: 3
333 cbaabc ++ Odnosno
33 zyxxyz ++
Pazi: Znak = je ako je zy == x
355
-
1
MATEMATIKA INDUKCIJA Princip matematike indukcije glasi: Ako za neko tvrdjenje )(nT , Nn vai: 1) )1(T je tano 2) )1()( + nTnT je tano za ,...2,1=n tada je tvrdjenje )(nT tano za Nn Moe se desiti da tvrdjenje Tn nije tano za svako Nn ve poev od nekog prirodnog broja 10 >n pa , tj. da je Tn tano za ,...2,1, 000 ++= nnnn Tada se dokazivanje metodom matematike indukcije radi na sledei nain:
1) Proverimo tanost tvrdjenja 0Tn 2) Dokazujemo da za bilo koje 0nn > iz tanosti tvrdjenja Tn sledi tanost
tvrdjenja 1+Tn
Postupak Praktino, mi emo indukciju sprovoditi:
i) Proverimo da li je tvrdjenje tano za n=1 ii) Predpostavimo da je tvrdjenje tano za n=k iii) Dokazujemo da je tvrdjenje tano za n=k+1
Zadaci:
1) Dokazati da je : 2
)1(...321 +=++++ nnn i) Najpre proverimo dali je tvrdjenje tano za n=1.(to jest gde vidimo n stavimo 1)
112
)11(11 =+= tano ii) Pretpostavimo da je tvrdjenje tano za n=k (to nam je indukcijska hipoteza) Gde vidimo n stavimo k
2
)1(...321 +=++++ kkk www.matematiranje.com
56
-
2
iii) Da dokaemo da je tvrdjenje tano za n=k+1 Najpre vidimo ta treba da dokaemo, u poetnoj formuli n zamenimo sa k+1 ali uvek na levoj strani napiemo i predposlednji lan.
2
)11)(1()1(...21 +++=+++++
kkkk
Pretposlednji lan
odnosno: 2
)2)(1()1(...21 ++=+++++ kkkk Znai , ovo treba da dokaemo!!! Uvek krenemo od indukcijske hipoteze za koju smo pretpostavili da je uvek tana
2
)1(...321 +=+++ kkk Zastanemo malo i uporedimo leve strane hipoteze i onoga ta treba da dokaemo. Vidimo da u hipotezi fali (k+1). To je TRIK, da na obe strane hipoteze dodamo izraz (k+1).
)1(2
)1()1(...321 +++=+++++ kkkkk
Sad nam preostaje da sredimo desnu stranu i iz nje dobijemo 2
)2)(1( ++ kk Dakle:
2
)1(2)1(1
12
)1( +++=+++ kkkkkk = Izvuemo zajedniki )1( +k =
2)2)(1( ++ kk
Ovim je dokaz zavren.
2) Dokazati da je: 6
)12)(1(...321 2222 ++=++++ nnnn
i) Proverimo da li je tvrdjenje tano za 1=n 11
6)112)(11(112 =++= tano
ii) Pretpostavimo da je tvrdjenje tano za kn =
57
-
3
6)12)(1(...21 222 ++=+++ kkkk
iii) Da dokaemo tvrdjenje za 1+= kn Uvek prvo vidimo ta treba dokazati!!!
6)1)1(2)(11)(1()1(...21 2222 +++++=+++++ kkkkk
tj. 6
)32)(2)(1()1(...21 2222 +++=+++++ kkkkk Krenimo od indukcijske hipoteze i na obe strane dodamo 2)1( +k 22222 )1(
6)2)(1()1(...21 ++++=+++++ kkkkkk
Leva strana onog to Ovo kad sredimo treba da
treba da dokaemo. nam da 6
)32)(2)(1( +++ kkk Dakle:
6
)1(6)12)(1(1
)1(6
)12)(1( 22 ++++=++++ kkkkkkkk
[Izvuemo zajedniki )1( +k ] Izraz 672 2 ++ kk emo rastaviti na inioce upotrebom znanja iz kvadratne jednaine:
))((.............................0 212 kkkkacbkak =++
223
417
top related