mathematical foundation

Mathematical Foundation

cmijoa@sparcs.kaist.ac.kr양승호

수학이란 무엇인가 ?

논리와 추상화의 결정체 자연의 객체와 자연과의 관계 추상화 자연수 (1,2,3....)

자연과학의 언어 생물학의 경우는 제외

몇몇 공학의 이론적 기반 전산학은 수학없이는 학문이라기보다는 기술 너그럽게 봐주세요^^;

수학이란 완전한가 ,무모순인가 ?

수학의 한계는 ? 곰곰히 생각해보세요 !

수학 기초론의 역사

유클리드부터 중세까지 모든 진리는 기하학으로 표현 가능하다고 생각

Cantor 무한의 등장 집합론 탄생

Dedekind, Weierstrass 자연수로 수학의 기초를 쌓음

Dedekind, Peano 집합론으로 자연수 표현

수학 기초론의 역사

집합론은 수학 기초의 핵심 Paradox 등장

Russell's paradox Berry's paradox

수학은 결국 모순적인 존재인가 ?

수학 기초론의 역사

집합론에 대한 다양한 시각및 해결 방법 Axiomatic Approach Platonic Realism Intuitionist

Axiomatic Approach

Axiom 이란 무엇인가 ? Euclid's 5th axiom 의 논쟁이후 , 전제로 이해

Axiomatic Structure 가 갖추어야 할 조건 완전성 , 무모순성 , 독립성

교황 = 러셀 ?

Axiom 을 어떻게 선택하나 ? Cantor's principle 은 유도 가능 Paradox 발생 않함 수학자는 모든 진리에 관심이 없음

Axiomatic Approach

ZFC(Zermelo System) 현대의 표준 Not intuitive

BNG(Von Neumann System) intuitive set theory spirit Class 개념 사용 KAIST 논리 및 집합에서 변형이 사용

그외에 더 있음

Other Approach

Platonic Realism 수학은 발명이 아니라 발견이다

Intuitionist 수학에 사용된 논리의 남용 지적 경험 중시 constructive mathematics 추구

수학의 기초란 ?

집합론 + 논리

논리란 무엇인가 ?

진리를 보존하는 논증의 학문 우리의 논리는 완벽한가 ? 믿을 수 있나 ? 귀납법 , 연역법

Hilbert Program

수학에 등장한 패러독스 무의미한 형식체계 나중에 의미 부여 모든 수학 체계의 공리적 형식화 완전성 , 무모순성 , 독립성 3년후 , 불가능하다는 것이 밝혀짐

Gödel's Completeness Theorem

1929 년에 증명됨 first-order logic

Every logically valid formula is provable Exist formal deduction of formula(provable) 술어 체계 완전함 논리 체계를 의심할 필요 없음

Truth vs Provability

진리는 증명 이상의 것을 포함 즉 , 참이나 증명할 수 없는 것이 존재함

Example

CCM(Chocolate Cake Machine)

Gödel's Incompleteness Theorem

산술체계의 불완정성 참이지만 , 증명 못하는 명제의 존재 Hilbert program is impossible GCH( 매우 악명높은 문제 ) 결국 수학 체계는 불완정하다

Decidability

Decidable Problem first-order logic Kurt Gödel, Alonso Church, Alan Turing

Gödel Number

Correspond the natural number to symbol A:2, B:3, ->:5 A->B : 235

결정 불가능한 명제가 있음을 증명함

Halting Problem

P, I 가 주어졌을때 멈추는지 판단 일반적인 알고리즘이 존재하지 않는다 결정불가능성 시사

Turing Machine

무한한 긴 테이프 , 검사 헤드 현대 컴퓨터의 조상격 가상의 기계

Church-Turing Thesis

인간이 생각할 수 있는 모든 것은 구현 가능

진실의 바다

유한한 논리적인 체계로 모든 진실 파악 불가능 우리의 세계

유한한 프로그램이나 규칙들보다 무한하게 복잡 당신은 자유롭다 당신은 정말 살아있다 다음에 무엇을 생각할지 알 수 없다 언제든지 속박을 벗어나서 새로운 인생 시작 가능

수학자는 좌절했지만 , 당신은 즐겁지 않은가 ?