mathÉmatiques financiÈres i
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ACT2025 - Cours 4
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Quatrième cours
ACT2025 - Cours 4
Rappel:
• Escompte composé
ACT2025 - Cours 4
Rappel:
• Escompte composé
• Escompte simple
ACT2025 - Cours 4
Rappel:
• Escompte composé
• Escompte simple
• Taux nominal d’intérêt
ACT2025 - Cours 4
Rappel:
• Escompte composé
• Escompte simple
• Taux nominal d’intérêt
• Taux nominal d’escompte
ACT2025 - Cours 4
Rappel:
• Escompte composé
• Escompte simple
• Taux nominal d’intérêt
• Taux nominal d’escompte
• Équivalence de taux
ACT2025 - Cours 4
Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est
alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i(m) .
Rappel:
ACT2025 - Cours 4
Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est
alors nous disons que le taux nominal d’escompte est d(m) .
Rappel:
ACT2025 - Cours 4
L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes
en calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable dans un an ou encore
Rappel:
ACT2025 - Cours 4
en calculant la valeur accumulée par 1 dollar après un an.
Rappel:
ACT2025 - Cours 4
Exemple 1:
Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois.
(a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?
ACT2025 - Cours 4
Exemple 1:
Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois.
(a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?
(b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année?
ACT2025 - Cours 4
Solution: (a)
Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est i(2) = 6%, c’est-à-dire (6/2)% = 3% par six mois.
ACT2025 - Cours 4
Solution: (a)
Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est i(2) = 6%, c’est-à-dire (6/2)% = 3% par six mois.
Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est d(4) = 9%, c’est-à-dire (9/4)% = 2.25% par trois mois.
ACT2025 - Cours 4
Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.
Solution: (a)
ACT2025 - Cours 4
Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.
Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois.
Solution: (a)
ACT2025 - Cours 4
Le montant accumulé après les deux premières années est12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $
Solution: (a)
ACT2025 - Cours 4
Le montant accumulé après les deux premières années est12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $
Le montant accumulé après les trois dernières années est13506.11 (1 - 0.0225)-12 = 17747.17 $
Solution: (a)
ACT2025 - Cours 4
Le montant accumulé après les deux premières années est12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $
Le montant accumulé après les trois dernières années est13506.11 (1 - 0.0225)-12 = 17747.17 $
Solution: (a)
Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans.
ACT2025 - Cours 4
Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et deux ans et les soustraire l’un de l’autre. Nous aurons ainsi le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année.
Solution: (b)
ACT2025 - Cours 4
Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est
12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $
Solution: (b)
ACT2025 - Cours 4
Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est
12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $
Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est
12000(1.03)4= 13506.11 $
Solution: (b)
ACT2025 - Cours 4
Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est
12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $
Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est
12000(1.03)4= 13506.11 $
Solution: (b)
Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est14945.54 - 13506.11 = 1439.43 $
ACT2025 - Cours 4
Taux instantané de l’intérêt (ou force de l’intérêt):
Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel.
ACT2025 - Cours 4
Notons la fonction d’accumulation par A(t). Alors le taux instantané de l’intérêt est défini
Taux instantané de l’intérêt (ou force de l’intérêt): (suite)
ACT2025 - Cours 4
Exemple 2:
Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à-dire
a(t) = (1 + it)
Alors la force de l’intérêt sera
ACT2025 - Cours 4
Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à-dire
a(t) = (1 + i)t
Alors la force de l’intérêt sera
Exemple 3:
ACT2025 - Cours 4
Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante.
Remarque 1:
ACT2025 - Cours 4
Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation.
Remarque 2:
ACT2025 - Cours 4
Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet, nous pouvons montrer que
Remarque 2:
ACT2025 - Cours 4
De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale:
Remarque 2: (suite)
ACT2025 - Cours 4
Dans une situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire x = pour tout x, nous obtenons que
Remarque 3:
ACT2025 - Cours 4
Dans une situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire x = pour tout x, nous obtenons que
Remarque 3:
Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé!
ACT2025 - Cours 4
En fait, nous obtenons que
e = (1 + i)
où i est le taux d’intérêt composé équivalent au taux instantané d’intérêt .
Remarque 3: (suite)
ACT2025 - Cours 4
Exemple 4:
Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané d’intérêt de 5% par année.
Quel montant doit-il investir aujourd’hui?
ACT2025 - Cours 4
Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt = 5%.
Solution:
ACT2025 - Cours 4
Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt = 5%.
Solution:
Nous avons vu que la fonction de capitalisation est
a(t) = et .
ACT2025 - Cours 4
Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt = 5%.
Solution:
Conséquemment la fonction d’actualisation esta-1(t) = e-t .
Nous avons vu que la fonction de capitalisation est
a(t) = et .
ACT2025 - Cours 4
De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui
10000 e-(0.05)7 = 7046.88 $.
Solution: (suite)
ACT2025 - Cours 4
Soit un taux instantané de l’intérêt constant Pour chaque m > 0, désignons par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à , alors
Proposition 1:
ACT2025 - Cours 4
Remarque 4:
Il est possible que le nombre m soit plus petit que 1 dans la définition du taux nominal d’intérêt i(m). Ceci signifie que m période de capitalisation est égale à une année. Dans ce cas, le taux d’intérêt demeure
i(m)/m
par période de capitalisation.
Nous allons illustrer ceci dans l’exemple suivant.
ACT2025 - Cours 4
Exemple 5:
Si 5000 $ est placé au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé à tous les 4 ans, alors calculons le montant accumulé après 5 ans.
Dans ce cas, une année correspond à (1/4) = 0.25 d’une période de capitalisation. Donc nous avons le taux nominal d’intérêt
i(1/4) = 6%.
ACT2025 - Cours 4
Exemple 5: (suite)
Le taux d’intérêt par période de capitalisation (i.e. par 4 ans) est
6/(0.25) % = 24%.
Il faut noter aussi que 5 ans est 1.25 période de capitalisation. Donc le montant accumulé après 5 ans sera
5000(1.24)1.25 = 6542.55 $
ACT2025 - Cours 4
Remarque 5:
Il est possible que le nombre m soit plus petit que 1 dans la définition du taux nominal d’escompte d(m). Ceci signifie que m période de capitalisation est égale à une année. Dans ce cas, le taux d’escompte demeure
d(m)/m
par période de capitalisation.
ACT2025 - Cours 4
CHAPITRE IIPrincipes de base
ACT2025 - Cours 4
La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé.
Principe de base:
ACT2025 - Cours 4
Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison.
Conséquence du principe de base:
ACT2025 - Cours 4
Définition:
L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée
l’équation de valeur.
ACT2025 - Cours 4
La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même date de comparaison
Définition de l’équation de valeur:
ACT2025 - Cours 4
Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un seul versement de X dollars dans 5 ans.
Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.
Exemple 6:
ACT2025 - Cours 4
Prenons au départ comme date de comparaison t = 0. Le taux d’intérêt par période de 6 mois est
i(2)/2 = (10/2) % = 5%
Solution:
ACT2025 - Cours 4
Solution: (suite)
Le diagramme d’entrées et sorties est
Alors l’équation de valeur est
7000 + 4000(1.05)-4 + 3000(1.05)-6 = X(1.05)-10
ACT2025 - Cours 4
Si nous avions pris comme date de comparaison: la fin de la cinquième année (i.e t = 10 semestres), alors le diagramme d’entrées et sorties serait
Solution: (suite)
et l’équation de valeur serait
7000(1.05)10 + 4000(1.05)6 + 3000(1.05)4 = X
ACT2025 - Cours 4
Peu importe l’équation utilisée, nous obtenons que Béa remboursera le prêt en versant
X = 20409.16 $
Solution: (suite)
ACT2025 - Cours 4
Nous pouvons comparer les équations de valeur pour ces deux dates, nous avons
Solution: (suite)
7000 + 4000(1.05)-4 + 3000(1.05)-6 = X(1.05)-10 et
7000(1.05)10 + 4000(1.05)6 + 3000(1.05)4 = X
Celles-ci sont différentes que par la multiplication d’un même facteur, à savoir la première équation par (1.05)10.
ACT2025 - Cours 4
Il est nécessaire de fixer une date de comparaison, mais ce choix n’aura pas d’incidence sur le résultat dans le cas de
l’intérêt composé.
ACT2025 - Cours 4
Nous reprenons le même prêt que celui de l’exemple 5, sauf que Béa remboursera ce prêt par trois versements égaux au montant de Y dollars, le premier après 3 ans et demi, le second après 4 ans et demi et le dernier après 5 ans.
Déterminer Y si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.
Exemple 7:
ACT2025 - Cours 4
Prenons comme date de comparaison: t = 7 périodes de capitalisation (i.e. après 3 ans et demi). Le taux d’intérêt par période de 6 mois est
i(2)/2 = (10/2) % = 5%
Solution:
ACT2025 - Cours 4
Solution: (suite)
Le diagramme d’entrées et sorties est
ACT2025 - Cours 4
Alors l’équation de valeur est
7000(1.05)7 + 4000(1.05)3 + 3000(1.05)
| |
Y + Y(1.05)-2 +Y(1.05)-3
Solution: (suite)
ACT2025 - Cours 4
De cette équation, nous obtenons que Y = 6362.70 $.
Si nous comparons le total des versements effectués par Béa pour chacun des deux exemples précédents, nous obtenons
Solution: (suite)
3Y = 19088.10 $ < 20409.16 $ = X
ACT2025 - Cours 4
Ceci ne devrait pas nous surprendre parce que le remboursement plus rapide de son prêt fait en sorte que Béa
versera moins d’intérêt à Alex!
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