matriz geometria analÍtica e Álgebra linear me. gilcimar bermond ruezzene

MATRIZ

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Me. Gilcimar Bermond Ruezzene

Definição de Matrizes

Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Amxn =

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

= [aij]mxn

matriz A de m linhas e n colunas

Elemento da linha ie coluna j

Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna

TIPOS DE MATRIZES

1 2 2

1 1 3

4 1 2

Matriz quadrada

m = n (x linhas = x colunas)

Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)

Diagonais

Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.

Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)

Elementos dadiagonal principal:

1, 1 e 2

Elementos dadiagonal secundária:

2, 1 e 4

2 1 1

0 1 2

0 0 4

Matriz triangular superior

Matrizes Triangulares

2 0 0 0

1 1 0 0

2 3 4 0

4 5 7 2

Matriz triangular inferior

Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.

Todas as matrizes triangulares são quadradas.

Casos especiais de Matrizes Triangulares.

Matriz identidade

2 0 0

0 4 0

0 0 7

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Matriz diagonal

Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero

A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da

diagonal principal são todos iguais a um.

Chamamos a matriz acima de I3

(identidade de ordem 3)

No geral, In onde n é a ordem da matriz.

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Matriz nula

Todos os elementos são nulos.

Chamamos a matriz nula de Omxn

Então essa é O3x4

A Matriz nula não precisa ser quadrada!

Igualdade de Matrizes.

Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos

correspondentes são iguais.

421

213

112

421

213

112

Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )

2341

30

12

x

A

.

431

102=A

32

t

x

Matriz A transposta

Simétrica Matriz quadrada tal que At = A

2223

31

x

A

.

23

31=A

22

t

x

Matriz A transposta

Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A

33013

102

320

x

A

.

013

102

320

=A

33

t

x

=Os elementos da transposta

são os opostos da original.

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Adição

01

52

40

52

04

11

53

52

31

Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.

É sempre possível somar matrizes?

Não!

Somente quando estas forem de mesma ordem.

+ =

O mesmo vale pra subtração.

Multiplicação por escalar

62

204

Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.

31

102.2

3.21.2

10.22.2

Matriz A Matriz -2A

Multiplicação de matriz por matriz

CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.

2223

40

11.

35

24

12

xx

234.3)1(50.31.5

4.2)1(40.21.4

4.1)1(20.11.2

x

75

44

22

Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo

Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.

O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.

O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.

2223

40

11.

35

24

12

xx

75

44

222.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4

4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4

5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4

Observe, multiplicamos

ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o

primeiro elemento da linha com o

primeiro elemento da coluna e por aí

vai...

EXEMPLO 1

Calcule o produto das matrizes:

20

53

12

.

021

102

321

13

EXEMPLO 2

Dadas as matrizes

65

43

21

A

102

231B

calcule a matriz A – Bt é:

14

Inversão de Matrizes

nIAA 1.

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I.

Calcule a inversa da matriz A =

EXEMPLO 3