mehanika materijala ii - ptf.unze.ba
Post on 24-Nov-2021
15 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MEHANIKA MATERIJALA II
Aleksandar Karač
Kancelarija 1111
tel: 44 44 20, lok. 129
Aleksandar.karac@unze.ba
ptf.unze.ba/mehanika-materijala-ii
https://classroom.google.com/u/0/c/NTc0MDUxNTA3MDJa
Amel Karić
Kancelarija 4202
tel: 44 91 20, lok. 128
amel.karic@unze.ba
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 2
Izvođenje nastave
• predavanja: 2 časa sedmično
• vježbe: 2 časa sedmično [auditorne(online)/laboratorijske/RC]Obaveze studenata
• redovno prisustvo predavanjima i vježbama
• urađene zadaće – SVE PREDATO/KOLOKVIRANO DO POČETKA ISPITNIH TERMINA!!!
• seminarski rad (tekstualni dio + prezentacija)
O kursu Otpornost Materijala II .....
Cilj predmeta • Ovladati naprednijim metodama neophodnim za rješavanje komplikovanijih problema iz oblasti mehanike materijala
• Uvesti pojam nestabilnosti usljed izvijanja• Proširiti analizu opterećenja elemenata na plastično područje
Kompetencije (Ishodi učenja)
Po završetku kursa studenti će biti u stanju:• rješavati komplikovanije probleme iz oblasti savijanja• dizajnirati i analizirati konstrukcije izložene izvijanju na osnovu kriterija stabilnosti• primijeniti naprednije metode za rješavanje problema iz oblasti mehanike materijala• razlikovati i biti u stanju riješiti probleme s elementima opterećenim preko granice
tečenja.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 3
O kursu Otpornost Materijala II .....
Provjera znanja
Konačna ocjena
• kolokviranje zadataka na vježbama
• seminarski rad
• pismeni ispit (zadaci)
• prisustvo nastavi: 0 %
• zadaće: 25 %
• seminarski/test: 25 %
• pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!!
Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!!
Ocjena 6 55-64%
Ocjena 7 65-74%
Ocjena 8 75-84%
Ocjena 9 85-94%
Ocjena 10 95-100%
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 4
Sadržaj/program kursa
(1) Uvijanje – napredni kurs 2 sedmice
(2) Koncentracija napona 1 sedmica
(3) Prostorno stanje napona 3 sedmice
(4) Savijanje greda – napredni kurs 3 sedmice
(5) Energetske metode 3 sedmice
(6) Izvijanje 2 sedmice
O kursu Otpornost Materijala II .....
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 55
LITERATURA
dodatna
osnovna • Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici)• Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003. • Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2004.• Rašković D., Otpornost materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.• Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.• Vukojević D., Teorija elastičnosti, Mašinski fakultet u Zenici, 1998.• Dž. Kudumović, S. Alagić, Zbirka Rješenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 2000.
O kursu Otpornost Materijala II .....
• RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.• JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.• JM Gere, BJ Goodno, An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage
Learning, Seventh Edition, 2009.• WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaum’s outline series, McGraw-Hill, 1998.• WC Young, RG Budynas, Roark’s formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, 2002.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 6
SEMINARSKI:
Rok za predaju: 11. juni 2021. PREZENTACIJA: 15. jun 2021.
O kursu Otpornost Materijala II .....
Obaveze studenata
ZADAĆA 1: (1) + (2) + (3)
Zadata: 16. mart 2021.Rok za predaju: 30. april 2021. (petak)
ZADAĆA 2: (4) + (5) + (6)
Zadata: 27. april 2020.Rok za predaju: 18. juni 2021. (petak)
Konsultacije
Prema dogovoru/najavi!!!
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 7
Korisne web stranice
• MecMovies to Accompany Mechanics of Materialshttp://web.mst.edu/~mecmovie/
• Strength of Materials (SOM) - Notes, Tutorialshttp://www.onesmartclick.com/engineering/strength-of-material.html
• CosmoLearning, Strength of Materialshttp://www.cosmolearning.com/courses/strength-of-materials/
• Elastic Beam Deflection Calculatorhttp://www.aps.anl.gov/APS_Engineering_Support_Division/Mechanical_Operati
ons_and_Maintenance/Calculators/ElasticBeam2.html
• Free Mechanical Engineering Online Calculatorshttp://www.freebyte.com/cad/calculator.htm
• FREE STRUCTURAL SOFT WAREShttp://www.taxlians.com/html/freesoft.html
O kursu Otpornost Materijala II .....
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 8
Uvijanje – napredni kursUvijanje – ponavljanje
Veza deformacija i napona
max Gr
maxr
G
Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!!
Uzdužni i transferzalni naponi
Uvijanje = čisto smicanje = dvoosno naponsko stanje bez tangencijalnih napona
maxo
Tr I Opšta formula uvijanja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 9
Uvijanje – napredni kursVratila neokruglog poprečnog presjeka
*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
Prije deformisanja
Poslije deformisanja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 10
Uvijanje – napredni kurs
Raspodjela napona Izvitopereni poprečni presjek
Vratila neokruglog poprečnog presjeka
Naponi u izabranim elementima
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 11
Uvijanje – napredni kursVratila neokruglog poprečnog presjeka
Pravougaoni poprečni presjek
max 21
Tc ab
Maksimalni tangencijalni napon i ugao uvijanja
32
TLc ab G
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 12
Uvijanje – napredni kurs
*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
Primjer 1.1: Vratilo je izrađ eno od crvenog mesinga C83400 i eliptič nog je poprečnog presjeka. Ako se vratilo optereti momentima uvijanja kao na slici, odrediti maksimalan tangencijalni napon u dijelovim AC i BC, te ugao uvijanja φ kraja B u odnosu na kraj A.
Odrediti ugao uvijanja kraja B u odnosu na kraj C.
Vratila neokruglog poprečnog presjeka
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 13
Uvijanje – napredni kurs
Primjer 1.2: Vratilo prikazano na slici izrađeno je od aluminijumske legure 6061-T6 i ima poprečni presjek jednakostraničnog trougla. Odrediti najveći moment uvijanja T koji se može primijeniti na kraj vratila ako je dozvoljeni tangencijalni napon 8ksi, a ugao uvijanja ograničen na 0.02 radijana. Koliki moment uvijanja se može primijeniti na puno vratilo kružnog poprečnog presjeka koji je izrađen od iste količine materijala?
Vratila neokruglog poprečnog presjeka
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 14
Uvijanje – napredni kursVratila neokruglog poprečnog presjeka
Tankostjeni elementi – zatvorena kontura
Posmični tok
sr
( )( )
A A A
B B B
A B
A A B B
dF t dxdF t dxdF dF
t t
q t
Posmični tok Površina bez napona
Površina bez napona
sr
dA tdsdF tds qds
dFqds
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 15
Uvijanje – napredni kursVratila neokruglog poprečnog presjeka
Tankostjeni elementi – zatvorena kontura
Srednji tangencijalni napon
sr
sr
sr
sr sr
( ) ( )
2 2m m
dT h dF h tds
T h tds
T t hds
T t dA tA
sr 2
2
m
m
TtA
TqA
Ugao uvijanja
Izraz se dobija korištenjem energetskih metoda
24 m
TL dsA G t
srdF tds qds
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 16
Uvijanje – napredni kurs
*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
Primjer 1.3: Izračunati srednji tangencijalni napon u tankostjenoj cijevi koja ima kruž ni popreč ni presjek srednjeg radijusa rsr i debljine t. Cijev je opterećena na moment uvijanja kao na slici. Koji je relativni ugao uvijanja cijevi, ako je dužina cijevi L.
Primjer 1.4: Cijev je izrađena od bronze C86100 i pravougaonog je poprečnog presjeka. Ako je cijev izlož ena momentima uvijanja kao na slici, odrediti srednji tangencijalni napon u cijevi u tač kama A i B, te ugao uvijanja kraja C u odnosu na E. Cijev je uklješ tena na kraju E.
Vratila neokruglog poprečnog presjeka
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 17
Koncentracija napona*Osnovni pojmovi
Stanje sa visokim lokaliziranim naponima, mnogo većim od srednjih napona – usljed nagle promjene oblika, u blizini pukotina, rupa, usljed kontakta, ...
Nominalni naponi u presjecima I i II
*D.J. Vitas I, str. 125-155
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 18
Osnovni pojmovi
Geometrijski (statički) faktor koncentracije napona*
Maksimalni napon u presjeku II naponi
Koncentracija napona
Uobičajeno je da se za DUKTILNE materijale koncentracija napona kod statički opterećenih konstrukcija NE UZIMA u obzir, pošto prelazak granice proporcionalnosti ne dovodi do pucanja, nego se javlja tečenje (plastična deformacija) i očvršćavanje materijala.
Za krte materijale i konstrukcije izložene dinamičkom opterećenju koncentracija napona MORA se uzeti u obzir u procesu dizajniranja.
*postoji i dinamički (efektivni) faktor koncentracije napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 19
Metode za određivanje faktora koncentracije napona
1. Analitičko rješenje – teorija elastičnosti2. Eksperimentalne metode – fotoelasticimetrija, mjerne trake, ...3. Računarske simulacije – MKE, MKV, ...4. Teorija membrana – za probleme uvijanja
Koncentracija napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 20
Koncentracija naponaAksijalno opterećeni spojevi
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 21
Koncentracija naponaAksijalno opterećeni spojevi
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 22
Koncentracija naponaAksijalno opterećeni spojevi
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
Primjer 2.1: Odrediti maksimalan normalni napon koji se javlja u šipki koja je opterećena na zatezanje silom od P=8 kN.
Ako je dozvoljeni normalni napon šipke doz=120 Mpa, odrediti maksimalnu aksijalnu silu koja se može primijeniti.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 23
Koncentracija naponaProblemi savijanja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 24
Koncentracija naponaProblemi savijanja
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
Primjer 2.2: Promjena širine poprečnog presjeka ploče ostvarena je pomoću prelaznog radijusa kao na slici. Ako se ploča optereti momentom savijanja od 5 kNm, odrediti maksimalni normalni napon koji se javlja u čeliku. Granica tečenja je ReH=500 MPa.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 25
Koncentracija naponaProblemi savijanja
Primjer 2.3: Šipka s žljebovima je opterećena dvjema silama P, kao što je prikazano na slici (tzv. Four-point band test, 4PBT). Odrediti najveću silu P koja se može primijeniti, a da napon ne pređe granicu tečenja. Materijal je čelik A-36 (Reh=250 MPa).
Šipka na slici je opterećena silama intenziteta P=100 lbf (jedinica pound-force, 1lbf=4.448 N). Odrediti maksimalan napon usljed savijanja koji se javlja u šipki, te skiciraj raspodjelu napona po poprečnom presjeku šipke na sredini. Svaki žljeb ima poluprečnik od r=0.125 in (inch, col, 1 in = 25.4 mm)
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 26
Koncentracija naponaProblemi uvijanja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 27
Koncentracija naponaProblemi uvijanja
Primjer 2.4: Vratilo s prelazima, prikazano na slici, oslonjeno je u osloncima A i B pomoću ležajeva. Odrediti maksimalan napon u vratilu usljed primijenjenih momenata uvijanja. Radijusi zaobljenja na spojevima pojedinih dijelova vratila su r= 6mm.
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 28
Mehanika loma - uvod
Koncentracija napona na rubu eliptičke rupe u ploči
Koncentracija napona
Vrste širenja pukotine
Tip I Tip II Tip III
Intenzitet napona, K
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 29
Prostorno stanje napona
*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003
Tenzor napona
Opšte stanje napona
Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine
Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj, desnoj i zadnjoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose.
Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje.
Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje.
Značenje indeksa
Konvencija o predznaku napona
JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 30
Troosno naponsko stanje
Materijal je izložen samo normalnim naponima (nema primijenjenih tangencijalnih napona).
Maksimalni tangencijalni napon
max 2x y
z
max 2x z
y
max 2y z
x
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 31
Troosno naponsko stanje
Hooke-ov zakon u tri dimenzije1 ( ( ))x x y z TE
1 ( ( ))y y x z TE
1 ( )z z x y TE
1 ((1 ) ( ))1 1 2 1x x y z
E T
1 ((1 ) ( ))
1 1 2 1y y x zE T
1 ((1 ) ( ))
1 1 2 1z z x yE T
Promjena volumena
0
1 2 ( )x y z x y zVe
V E
Prostorno stanje napona
2 2 2
2 2 2
1 ( )21 ( ) ( )
2
1 ( ) 22(1 )(1 2 )
x x y y z z
x y z x y y z y z
x y z x y x z y z
W
WE E
EW
Deformacioni rad
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 32
Troosno naponsko stanje
00 1 2
E
0 00
33 1 2E K
3(1 2 )EK
modul kompresije ili zapreminski modul elastičnosti
“Sferično” naponsko stanje (pojam modula kompresije)
Prostorno stanje napona
- hidrostatički pritisak
“Sferično” naponsko stanje (pojam modula kompresije)
0x y z
Svaka ravan je ravan glavnog napona, normalni napon u svakom pravcu je jednak, ni u jednoj ravni nema tangencijalnih napona
Mohrov krug?
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 33
Troosno naponsko stanjeProstorno stanje napona
Primjer 3.1: Dio od aluminija u obliku kvadra (vidi sliku) dimenzija a=6in, b=4in i c=3in, izloženo je triaksijalnom naponskom stanju, σx=12000psi, σy=-4000psi, σz= -1000psi koji djeluju na površ i x, y i z, respektivno.Odrediti sljedeće veličine: a) maksimalan tangencijalni napon τ max u materijalu; b) promjene dimenzija dijela Δ a, Δ b i Δ c; c) promjenu zapremine Δ V; d) deformacioni rad u dijelu. (Pretpostaviti da je E=10400ksi i ν =0.33)
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 34
Prostorno stanje naponaKombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka)
Primjer 3.2: Horizontalna sila P=80kN djeluje na kraju ploče. Ploča je debljine 10mm, a P djeluje u pravcu ose na udaljenosti d=50mm od neutralne ose. Nacrtati raspodjelu normalnog napona koji djeluje u presjeku a-a.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 35
Ekscentrično zatezanje i pritisak (kombinacija aksijalnog naprezanja i savijanja)
max dozP McA I
1 2
y x
M MP x yA I I
Pojam jezgre presjeka
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 36
Prostorno stanje naponaKombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka)
Primjer 3.3: Pravougaoni blok zanemarive težine izložen je vertikalnom silom kao na slici. Odrediti opseg vrijednosti ekscentriciteta ey uzduž y ose tako da se u nigdje u bloku ne javljaju zatežući naponi. Odrediti područje u kojem može djelovati sila, a da ne dođe do pojave zatežućih napona u bloku.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 37
Ravno stanje napona - ponavljanje
Ravno stanje napona – jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa.
xy yx 1 1 1 1x y y x
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 38
22
1,2 2 2x y x y
xy
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
22 1 2
max,min 2 2x y
xy
U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi
1 2
2 2x y
1 1x y x y
U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi. 12 0
Prostorno stanje napona
Šta je s trećom dimenzijom?
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 39
Hooke-ov zakon za ravno stanje napona1 ( )x x yE
1 ( )y y xE + utjecaj temperature
1 ( )x x y TE
1 ( )y y x TE
( )z x yE ( )z x y T
E
2 ( )1x x y
E
+ utjecaj temperature
2 ( )1 1x x y
E E T
2 ( )1 1y y x
E E T
2 ( )1y y x
E
0z
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 40
Ravno stanje deformacija
Ravno stanje napona Ravno stanje deformacija
Naponi
Deformacije0z 0yz 0xz 0xz
, ,x y xy mogu biti različiti od 0, , ,x y z xy mogu biti različiti od 0
0yz
0xz
, , ,x y z xy mogu biti različiti od 0
0yz 0z 0yz 0xz
, ,x y xy mogu biti različiti od 0
Općenito, ravno stanje napona i ravno stanje deformacija ne dešavaju se istovremeno!!! ALI ....?
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 41
Ravno stanje deformacija
Jednačina transformacije – normalna deformacija x1
cosxdx sinydy cosxydy
cos sin cosx y xyd dx dy dy
1 cos sin cosx x y xyd dx dy dy
ds ds ds ds
cosdxds
sindyds
2 21 cos sin sin cosx x y xy
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 42
Ravno stanje deformacija
Jednačina transformacije – tangencijalna deformacija x1y1
sinxdxds
cosydyds
sinxydyds
1 2 3 sin cos sinx y xydx dy dyds ds ds
2( )sin cos sinx y xy
cosdxds
sindyds
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 43
Ravno stanje deformacija
Jednačina transformacije – tangencijalna deformacija x1y1
sinxdxds
cosydyds
sinxydyds
2( )sin cos sin2 2 2x y xy
2( )sin cos cosx y xy
Prostorno stanje napona2( )sin cos sinx y xy
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 44
Ravno stanje deformacija
Jednačina transformacije – tangencijalna deformacija x1y1
2 21 1 2( )sin cos cos sinx y x y xy
2( )sin cos sinx y xy
2( )sin cos cosx y xy
1 1 2 2( )sin cos cos sin2 2x y xy
x y
Prostorno stanje napona
1 cos 2 sin 22 2 2
x y x y xyx
1 1 sin 2 cos 22 2 2x y x y xy
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 45
Ravno stanje deformacija
Glavne deformacije
tg(2 ) xy
x y
2 2
1,2 2 2 2x y x y xy
Maksimalna tangencijalna deformacija
2 2
1,2 2 2x y xy
Mohr-ov krug deformacija
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 46
Ravno stanje deformacija
Primjena jednačina transformacija
Jednačine transformacije za ravno stanje napona mogu se koristiti i za napone kod ravnog stanja deformacija, pošto se u jednačinama ravnoteže ne javlja napon z.
Analogno, jednačine transformacije za ravno stanje deformacija mogu se koristiti i za deformacije kod ravnog stanja napona, pošto z ne utiče na geometrijske ovisnosti.
I jedne i druge su validne za bilo koji materijal (linearan ili nelinearan)!!! Zašto?
Prostorno stanje napona
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
2 21 cos sin sin cosx x y xy
1 1 2 2( )sin cos cos sin2 2x y xy
x y
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 47
Rozete mjernih traka
2 2
2 2
2 2
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
a x a y a xy a a
b x b y b xy b b
c x c y c xy c c
Za mjerenje deformacija (napona) koriste se mjerne trake, koje mjere normalne deformacije.
Za opšte stanje napona, najčešće se koriste klasteri mjernih traka –rozete.
Mjerne trake su opterećene ravnim stanjem napona.
Deformaciono stanje se može odrediti pomoću rozete s tri mjerne trake ukoliko se postave jednačine za sve tri trake, pa se riješi sistem jednačina po x, y i xy:
Prostorno stanje napona
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 48
Naponi u gredi
Normalni naponi
xz
MyI
Formula savijanja!!!!
Tangencijalni naponi
A
Q ydA VQIb
Formulatangencijalnih napona!!!
Savijanje greda – napredni kurs
Dimenzionisanje
• Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone• Grede su obično duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi služe kao konačna
provjera.• Za jednostavne poprečne presjeke jednostavno je naći potrebne dimenzije, dok se za složene izabere
oblik, pa onda dimenzije.• Iako tangencijalni naponi uglavnom ne predstavljaju problem, za kratke i grede opterećene velikim
tangencijalnim silama, te grede od drveta, neophodno ih je uzeti u obzir pri dimenzionisanju.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 49
Savijanje greda – napredni kursGrede promjenljivog poprečnog presjeka
JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 50
Savijanje greda – napredni kursGrede promjenljivog poprečnog presjeka
Primjer 4.1: Konzola s nagibom AB punog kružnog poprečnog presjeka opterećena je silom P na slobodnom kraju, kao što je prikazano na slici. Najveći prečnik konzole u presjeku B je dva puta veći od najmanjeg prečnika u presjeku A. Odrediti napon usljed savijanja u uklještenju i najveći napon u gredi.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 51
Savijanje greda – napredni kursGrede promjenljivog poprečnog presjekaPrimjer 4.2: Konzola s nagibom AB dužine L i kvadratnog poprečnog presjeka opterećena je
koncentričnom silom P na slobodnom kraju, kao što je prikazano na slici. Širina i visina grede se mijenjaju linearno od hA na slobodnom kraju do hB u uklještenju. Odrediti napon udaljenost x od slobodnog kraja A do poprečnog presjeka s najvećim naponom na savijanje ako je hB=3hA. Koji je intenzitet najveć eg napona? Koji je odnos najvećeg napona u gredi i maksimalnog napona u uklještenju usljed savijanja u uklještenju i najveći napon u gredi.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 52
Savijanje greda – napredni kursKoso savijanje
Opterećenje u ravni simetrije Opterećenje pod uglom na ose simetrije (koso savijanje)
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 53
Savijanje greda – napredni kursKoso savijanje
Predznak momenta savijanja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 54
Savijanje greda – napredni kursKoso savijanje
Naponi savijanja Neutralna osa
y zx
y z
M z M yI I
0
tg( )
y zx
y z
y z
z y
M z M yI I
M Iyz M I
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 55
Savijanje greda – napredni kursKoso savijanje
sin
cos
tg
tg tg
y
z
y
z
y z z
z y y
M P L x
M P L xMM
M I Iyz M I I
Općenito osim:
• Opterećenje je u xy-ravni (z je neutralna osa) - =0 ili 180
• Opterećenje je u xz-ravni (y je neutralna osa) - =±90• Iy=Iz
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 56
Koso savijanjeSavijanje greda – napredni kurs
Primjer 4.3
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 57
Koso savijanjeSavijanje greda – napredni kurs
Primjer 4.4
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 58
Elastična linija
Dijagram momenata
Tačka infleksijeElastična linija
Dijagram momenata
Tačka infleksije Elastična linija
Kriva ugiba uzdužne ose koja prolazi kroz težište svih poprečnih presjeka grede – elastična linija.
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 59
Elastična linija
Relacija moment savijanja – zakrivljenost grede
Prije deformacije Poslije deformacije
xy y
x xEyE E y
1
z
MEI
xz
MyI
Tačka infleksijeM = 0
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 60
Ugib i nagib grede pomoću integracije 1
z
MEI
Zakrivljenost funkcije v=f(x)
2 2
3/ 22
1 /
1 /
d v dx
dv dx
2 2
3/ 22
1 /
1 / z
d v dx MEIdv dx
Elastika – tačan oblik elastične linije (usljed momenta savijanja!!!)
Usljed ispunjenja tolerancije ili estetskih razloga, većina vratila i osovina ima plitku elastičnu liniju, pa vrijedi da je dv/dx veoma malo!!!
2 2 2
3/ 2 22
1 /
1 / z z
d v dx M d v MEI dx EIdv dx
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 61
Ugib i nagib grede pomoću integracije
2
2( ) =V dM d d vV x EI xdx dx dx
2
2z
d v Mdx EI
2 2 2
2 2 2( ) = d M d d v dVw x EI w x w xdx dx dx dx
Za EI=const
3
3
d vEI V xdx
2
2 ( )d vEI M xdx
4
4
d vEI w xdx
Jednačina momenta savijanja
Jednačina smičućih/transferzalnih sila
Jednačina opterećenja
Savijanje greda – napredni kurs
2
1 1 22
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z
d v M x dv M x M xdx C v dx C dx Cdx E x I x dx E x I x E x I x
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 62
Ugib i nagib grede pomoću integracije
Konvencija o predznaku
• pozitivni ugib nagore• pozitivni nagib se mjeri suprotno kretanju kazaljke na satu u odnosu na x-osu koja je pozitivno usmjerena prema desno, i obrnuto
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 63
Ugib i nagib grede pomoću integracije
Granični uslovi
Neophodni za izračunavanje konstanti integracije
2
1 1 22
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z
d v M x dv M x M xdx C v dx C dx Cdx E x I x dx E x I x E x I x
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 64
Primjer 4.5: Greda na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const.
Savijanje greda – napredni kurs
Primjer 4.6: Konzola na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 65
Grede s više polja
Opterećenja ili ugibi/nagibi ne mogu se predstaviti jednom funkcijom
1. Greda se dijeli na polja na način da su veličine kontinuirane2. Izvodi se integracija po poljima3. Određuju se konstante integracije iz graničnih i uslova kontinuiteta
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 66
Ugib i nagib grede pomoću integracije
Uslovi kontinuiteta
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 67
Primjer 4.7: Za gredu na slici opterećenu vertikalnom silom P, odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const.
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 68
Ugib i nagib grede pomoću integracije
Metoda Clebsch-a (i Macaulay-a )
2 2 0A 1 2 3(z) ( ) ( ) ( )
2 2q qM F z z z a F z a M z a= - + - - - + -
1. koordinatni početak izabrati na lijevom krajugrede,2. u svakom polju raspona grede u kome se mijenjanapadni moment uzeti promjenljivu (z - ai), gdje jeai lijeva granica tog polja grede,3. napadni moment u sljedećem intervalu mora bitijednak napadnom momentu prethodnog intervalauvećan za član koji sadrži binom (z - ai); za slučajdjelimično kontinualnog opterećenja to se postižeproduženjem kontinualnog opterećenja do krajagrede uz istovremeno oduzimanje istog togopterećenja,4. integracione konstante C1 i C2 javljaju se samo uprvom polju integrala diferencijalne jednačineelastične linije grede, a određuju se iz uslovaoslanjanja grede.
Više diferencijalnih jednačina po poljima se svodi na jednu – univerzalna elastična linija
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 69
Primjer 4.9: Za gredu na slici opterećenu vertikalnim silama P, Odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const.
Savijanje greda – napredni kurs
Primjer 4.8: Za gredu na slici odredi jednačinu elastične linije. Uzeti da su sve reakcije poznate.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 70
Ugib i nagib grede pomoću metode superpozicijeSavijanje greda – napredni kurs
Diferencijalna jednačina elastične linije ispunjava dva potrebna uslova kako bi se primijenio principsuperpozicije:(i)Kontinuirano opterećenje w() [q(x)] linearno je vezano za ugib(ii)Opterećenja ne mijenjaju značajno početnu geometriju grede
Princip superpozicije sastoji se u pojedinačnom tabličnom određivanju ugiba ili nagiba za neki presjek ikonačnim sabiranjiem za sva opterećenja, pri čemu treba voditi računa o predznaku ugiba/nagiba.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II
Elastične linije osnovnih grednih nosača
71
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II
Elastične linije osnovnih grednih nosača - nastavak
72
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II
Elastične linije osnovnih grednih nosača - nastavak
73
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 74
Savijanje greda – napredni kurs
Primjer 4.10: Odredi ugib u tački C. Primjer 4.11: Odredi ugib i nagib u tački B.
Primjer 4.12: Odredi ugib i nagib u tački C.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 75
Statički neodređeni gredni nosači
Broj nepoznatih (reakcija, veza) veći od broja jednačina (statičkih uslova) ravnoteže!!!
a)
M
q
q
T1
T2
q
b) c)
d) e) f)
Metoda integracije (preko elastične linije)Metoda superpozicijeMetoda silaMetoda pomjeranja/deformacijaMetoda tri momenta (Clapeyronova jednačina)itd...
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 76
Statički neodređeni gredni nosači
Metoda integracije
1. Postave se jednačine ravnoteže2. Postavi se dodatna jednačina elastične linije3. Koristeći granične uslove, riješi se sistem
jednačina
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 77
Statički neodređeni gredni nosači
Metoda superpozicije
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 78
Statički neodređeni gredni nosači
Metoda superpozicije – kombinovanje s drugim elementima
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 79
Statički neodređeni gredni nosači
Metoda superpozicije – ukrštene grede
Savijanje greda – napredni kurs
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 80
Energetske metode - osnove*
*R.C., Hibbeler, Mechanics of Materials, Pearson, Tenth Edition, 2017.
1 10W Pd
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 81
Rad vanjskih sila i deformacioni radEnergetske metode - osnove
Rad sile Rad momenta
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 82
Rad vanjskih sila i deformacioni radEnergetske metode - osnove
Višeosno (troosno) naprezanje
Deformacioni rad – tangencijalni naponDeformacioni rad – normalni napon
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 83
Deformacioni rad različitih opterećenjaEnergetske metode - osnove
Aksijalno opterećenje Uvijanje
Savijanje Smicanje transferzalnom silom
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 84
Očuvanje energijeEnergetske metode - osnove
Pod pretpostavkom da se energija nastala usljed toplote, hemijskih reakcija i elektromagnetnih efekata zanemaruje, mehanička energija je uravnoteži, odnosno rad vanjskih opterećenja jednak je deformacionom radu.
Primjer rama Primjer grede
Ograničena upotreba: Primjenljivo samo za jednu silu ili moment koji djeluje na konstrukciju i to samo za pomjeranje/ugao na mjestu i u pravcu djelovanja sile/momenta.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 85
Primjer 5.1: Okvir je opterećen horzontalnom silom kao na slici. Ako je poprečni presjek svakog štapa 0.2 in2 odredi horizontalno pomjeranje tačke B. Modul elastičnosti je 29000 ksi.
Očuvanje energijeEnergetske metode - osnove
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 86
Primjer 5.2: Konzola pravougaonog poprečnog presjeka opterećena silom na slobodnom kraju. Odredi pomjeranje ispod opterećenja, ako je EI konstantno.
Očuvanje energijeEnergetske metode - osnove
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 87
Metod virtualnih pomjeranjaEnergetske metode - osnove
Posmatra se tijelo opterećeno stvarnim opterećenjima P1, P2, P3, atraži se pomjeranje u tački A.
U tačku A se u pravcu postavlja virtualna (imaginarna) silaintenziteta 1, koja u reprezentativnom elementu kreira opterećenjeu.
Nakon primjene stvarnih opterećenja, tačka A se pomjera za , areprezentativni element izdužuje za dL. Na taj način, stvara sespoljašnji rad virtualnog opterećenja 1·, i virtualni deformacionirad u·L.
Ako se posmatra samo očuvanje virtualne energije, spoljašnjivirtalni rad mora biti jednak deformacionom virtualnom radunastao na svim elementima tijela.
Virtuelna opterećenja
realna pomjeranjaNapomena: Analagno vrijedi i za ugaona pomjeranja s primjenom virtualnog momenta.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 88
Metod virtualnih pomjeranjaEnergetske metode - osnove
Primjena na ramove
Postupak rješavanja
a) Jedinično opterećenje (ovdje sila, a analogno i za moment) se postavi na mjesto i u pravcu u kojem seodređuje pomjeranje (ugao), pa se odrede sile (n) koje djeluju na sve elemente;
b) Odrede se sile (N) koje djeluju u svim elementima samo usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja;
c) Primijeni je izraz za virtualni rad, pri čemu je neophodno paziti na predznak sila n i N;
d) Ukoliko je suma negativna, pravac djelovanja je suprotan pretpostavljenom.
(P=)1 virtualna sila (traženo) pomjeranjen sila u elementu usljed virtualne sileN sila u elementu usljed stvarnog opterećenja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 89
Metod virtualnih pomjeranjaEnergetske metode - osnove
Primjer 5.3: Odredi vertikalno pomjeranje zgloba C za ram na slici dole. Površina poprečnog presjeka svakog člana je 400 mm2, a modul elastičnosti je 200 GPa.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 90
Metod virtualnih pomjeranjaEnergetske metode - osnove
Primjena na grede
Postupak rješavanja
a) Jedinično opterećenje (sila ili moment) se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određujepomjeranje/ugao;
b) Postave se odgovarajuće x koordinate za regije grede u kojima nema diskontinuiteta niti ta stvarna niti zavirtalna opterećenja;
c) Odredi se moment kao funkcija koordinate x za virtalno opterećenje
d) Koristeći iste koordinate x odredi se moment kao funkcija od x usljed poznatih stvarnih vanjskihopterećenja;
e) Primijeni je izraz za virtualni rad.
(P/M=)1 virtualna sila/moment (traženo) pomjeranje/ugaom moment u gredi usljed virtualne
sile/momentaM moment u gredi usljed stvarnog opterećenja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 91
Metod virtualnih pomjeranjaEnergetske metode - osnove
Primjer 5.4: Odredi vertikalno pomjeranje u tački B za gredu na slici dole. EI je konstantno.
Primjer 5.5: Odredi nagib u tački B za gredu na slici dole. EI je konstantno.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 92
Castiglianov (drugi) teoremEnergetske metode - osnove
Pomjeranje je jednako prvom izvodu deformacionog rada utijelu u odnosu na silu koja tjeluje u tački i u pravcupomjeranja.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 93
Postupak rješavanja
a) Sila P se postavi na mjesto/zglob i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje, a smatra se promjenljivom;
b) Odrede se sile koje djeluju u svim elementima samo usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja i sile P;
c) Nađu se parcijalni izvodi N/P za svaki element
d) Sili P se da vrijednost sile ako je zamijenila postojeću silu, a ako nije dodijeli joj se vrijednost 0;
e) Primijeni se Castiglianov drugi teorem
Primjena na ramove
(traženo) pomjeranjeP spoljašnja sila promjenljivog intenziteta primijenjena na zglob u
pravcu pomjeranja N unutrašnja sila u elementu usljed stvarnog opterećenja i sile P
Castiglianov (drugi) teoremEnergetske metode - osnove
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 94
Castiglianov (drugi) teoremEnergetske metode - osnove
Primjer 5.6: Odredi vertikalno pomjeranje zgloba B za Primjer 5.3. Površina poprečnog presjeka svakog člana je 400 mm2, a modul elastičnosti je 200 GPa.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 95
Castiglianov (drugi) teoremEnergetske metode - osnove
Primjena na grede
(traženo) pomjeranje/ugaoP/M’ spoljašnja sila/moment promjenljivog intenziteta primijenjena na zglob u
pravcu pomjeranja (ugla) M moment u gredi usljed stvarnog opterećenja uključujući i P/M’
Postupak rješavanja
a)Sila/moment se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje/ugao, a smatra sepromjenljivom;
b)Postave se odgovarajuće x koordinate za regije grede u kojima nema diskontinuiteta niti za sile, nitikontinuirana opterećenja niti momente;
c)Odredi se moment kao funkcija P/M’, a zatim nađi parcijalni izvodiM/P ili M/M’ za svaku xkoordinatu
d)Sili/momentu se da vrijednost sile ako je zamijenila postojeću silu, a ako nije dodijeli joj se vrijednost 0;
e)Primijeni se Castiglianov drugi teorem
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 96
Castiglianov (drugi) teoremEnergetske metode - osnove
Primjer 5.7/8: Uradi primjere 5.4 i 5.5 koristeći Castiglianov teorem.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 97
Izvijanje*
*Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2003*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 98
IzvijanjeOsnovne karaktersitike i pojmovi
Stabilnost aksijalno pritisnutih elemenata
Umjesto kriterija čvrstoće (vrijednosti glavnih normalnih ili najvećih tangencijalnih napona ne prelaze kritične vrijednosti), ili kriterija krutosti (deformacije ne prelaze kritične veličine) kriterij koji se primijenjuje kod izvijanja je kriterij stabilnosti.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 99
Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanjaIzvijanje
Prelaz iz stabilnog u nestabilne uslove nastaje pri specifičnoj aksijalnoj sili, Fkr – kritična sila.
Za određivanje kritične sile koristi se diferencijalna jednačina elastične linije grede.
2
2
d vEI Mdz
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 100
IzvijanjeEuler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja
2
2
d vEI Mdz
a) Konzola
2
2 ( )d vEI F vdz
2
2 22 cos sind v k v k v A kz B kz
dz
FkEI
1 1 sin 2 1 1, 2,32
n zv n nl
sin( )cos 0 sin 1sin( )
kzB kl B kl vkl
2 1 1, 2,32
kl n n
1 2
krFn kl lEI
2
min2 2
krEIF I Il
Osnovna forma izvijanja
(0) 0v A
'( ) 0, ( ) 0v L v L
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 101
IzvijanjeEuler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja
a) Konzola – viši harmonici
22
, 22 12
kr nEIF nl
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 102
IzvijanjeEuler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja
b) Prosta greda
2
2
d vEI Mdz
2
2
d vEI Fvdz
2
22 0 cos sind v k v v A kz B kz
dz
FkEI
(0) 0 0( ) 0 sin 0
v Av L B kl
1, 2,3krFkl l n nEI
1n
2
min2 kr eEIF F I I
l
22
2krEIF n
l
Osnovna forma izvijanja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 103
IzvijanjeEuler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja
c) Greda s uklještenjem
2
2
d vEI Mdz
2
2
d vEI vF zYdz
2
2 22 cos sind v Y Y Yk v z k z v A kz B kz z
dz EI F F
FkEI
(0) 0 0
( ) 0 sin
'( ) 0 cos tg
v AYv L B kl lFYv L B kl kl klkF
2 2 2 22
2 22 2 0.7/kr
EI kl EI EI EIF kll l lkl l
Osnovna forma izvijanja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 104
d) Greda s dva uklještenja2
2
d vEI Mdz
2
2
d vEI Fvdz
M
2
22 cos sind v k v v A kz B kz
dz EI F
M M
FkEI
(0) 0
'(0) 0 0( ) 0, '( ) 0 1 cos 0
v AF
v Bv L v L kl
M
2 1, 2,3krFkl l n nEI
1n
2
min2 0.5kr e
EIF F I Il
2
224krEIF n
l
Osnovna forma izvijanja
IzvijanjeEuler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 105
IzvijanjeEuler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja – osnovna forma
a) Konzola
b) Prosta greda
c) Greda s uklještenjem
d) Greda s dva uklještenja
2
min2 2kr
EIF I Il
2
min2 krEIF I I
l
2
min2 0.7kr
EIF I Il
2
min2 0.5kr
EIF I Il
2
min2 krr
EIF I Il
2
min2 krr
EI I Il A
lr – redukovana dužina
Vitkost štapa odnos redukovane dužine i minimalnog poluprečnika inercije
2
2 22 min
rkr r kr
l A E Kli I
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 106
Primjer 6.1: Stub od aluminijuma je fiksiran na dnu te učvršćen na vrhu pomoću užadi kako bi se onemogućilo pomjeranje u pravcu x-ose, kao što je prikazano na slici. Odrediti najveću dozvoljenu silu P koja se može primijeniti, ako je faktor sigurnosti protiv izvijanja jednak 3. Uzeti da je E=70 GPa, ReH=215 MPa, A=7500 mm2, Ix=61.3·106 mm4, Iy=23.2·106 mm4.
Izvijanje (u elastičnom području)
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 107
Primjer 6.2: Platforma za osmatranje se oslanja nizom aluminijskih cijevi dužine 3.25 m, vanjskog prečnika 100 mm. Osnove cijevi su učvršćene u betonsku bazu, dok su gornji dijelovi spojeni s platformom. Cijevi su dizajnirane da izdrže opterećenje od 100 kN.
Odrediti najmanju dozvoljenu debljinu cijevi ako je faktor sigurnosti jednak 3. Uzeti da je E=72 GPa, te granica proporcionalnosti 480 MPa.
Izvijanje (u elastičnom području)
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 108
IzvijanjeEkscentrično izvijanje (formula sekante)
2
2
d vEI Mdx
2
2 ( )d vEI P e vdx
2
2 22 e cos sind v k v k v A kx B kx e
dx
PkEI
(0) 0 1 cos
( ) 0 tansin 2
v A ekL Lv L B e e k
kL
Maksimalni ugib
cos tan sin 12Lv e kx k kx
max sec 12Lv e k
Formula sekante
max sec2LM P e v Pe k
max 21 sec2
P Mc P ec P LA I A r EA r
IrA
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 109
IzvijanjeEkscentrično izvijanje (formula sekante)
max sec 12Lv e k
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 110
IzvijanjeEkscentrično izvijanje (formula sekante)
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 111
Izvijanje Izvijanje u plastičnom području
Engesserov postupak
Elastična deformacija(duge šipke)
Neelastična deformacija(kratke i srednje duge šipke)
2
2t
crE
KLr
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 112
Izvijanje Izvijanje u plastičnom području
Ostali postupci .......
a) Empirijski obrasci (Tetmeier, Ostenfeld - Johnson)
b) Omega metoda
c) Energetska metoda
d) Ritz-ova metoda
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 113
Izvijanje
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II
Informacije o polaganju pismenog dijela ispita
1. Ispit sadrži 6 zadataka (4 računska zadatka), od kojih svaki nosi 10-30% bodova iz sljedećih oblasti
2. Dozvoljeno je koristiti formule i tabele koje se mogu naći na web-stranici kursa
3. Obavezno ponijeti kalkulator (mobitel se ne može koristiti), te 2-3 prazne dvolisnice A4 formata
4. Ispit traje 135 minuta
a. Uvijanje – napredni kurs – računski zadatak (10-15%)
b. Koncentracija napona – računski zadatak (10-15%)
c. Primjena ravnog stanja napona: ekscentrični pritisak – računski zadatak (10-15%)
d. Savijanje: koso savijanje – računski zadatak (10-15%)
e. Savijanje: određivanje elastične linije – primjena metoda integracije, Clebsch (10-25%)
f. Savijanje: superpozicija – ugib i nagib statički određenih problema, statični neodređeni problemi (15-25%)
g. Energetske metode: greda i ram – 2 računska zadatka (15-25%)
h. Izvijanje (u elastičnom području) – računski zadatak (10-15%)
114
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II
S R E T N O !!!
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II
Nagradni zadaci
Nagradni zadaci
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II
Nagradni zadaci
Zadatak I.1: Dvije mjerne trake a i b su zaljepljene na površinu ploče, kao na slici. Ako su očitanja traka a=45010-6 i b=10010-6. Odrediti modul elastičnosti E, modul klizanja G i Poisson-ov koeficijent .
Podaci: wx=700 kN/m, wy=-175 kN/m, debljina ploče je 25 mm.
Naprezanje u dva pravca
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 118
Nagradni zadaciNaprezanje u dva pravcaZadatak I.2: Aluminijska ploča uklještena je sa svih strana, kao na slici. Odrediti normalne napone
x i y koji nastaju ako se temperatura ploče poveća 50 C. Uraditi isti zadatak ako se pretpostavi da je prije zagrijavanja između ploče i zida bio zazor od 70 m u y pravcu i 120 m u x pravcu.
2020-2021. MEHANIKA MATERIJALA II 119
Nagradni zadaciPrimjena ravnog stanja napona i defoermacijaZadatak II.1: Čelično vratilo dato na slici ima poluprečnik 15 mm. Odrediti moment uvijanja
vratila ako su očitanja mjernih traka: x’=−80·10-6 i y’=-80·10-6. Odrediti i deformacije u pravcu x i y ose.
top related