…ptf.unze.ba/wp/wp-content/uploads/2020/10/mehmat-i_g... · 2020. 10. 14. · istorijat mehanike...

Aleksandar Karač

zgrada MF, kancelarija 1111

tel: 032 44 91 20

[email protected]

www.ptf.unze.ba

http://ptf.unze.ba/mehanika-materijala-i/

https://classroom.google.com/u/3/c/MTUwNTIzODQ4NTIy

Alma Žiga

Kancelarija 1102

tel: 449 120, lok 141

[email protected]

MEHANIKA MATERIJALA I

MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 1

Izvođenje nastave• predavanja: 3 časa sedmično

• vježbe (auditorne) : 2 časa sedmično

Obaveze studenata• redovno prisustvo na predavanjima i vježbama

• urađene zadaće (ukupno 2 zadaće) – PREDATE U ZADANOM ROKU!!!

O kursu Mehanika Materijala I .....

Cilj predmeta • Razviti analitičke vještine i vještine rješavanja problema• Uspostaviti vezu između vanjskih opterećenja koja djeluju na deformabilna tijela i

napona i deformacija koje ta opterećenja izazivaju,• Dati osnovne izraze za računanje napona i deformacija uzrokovanih raznim vrstama

opterećenja

Kompetencije (Ishodi učenja)

Po završetku kursa studenti će biti u stanju:•razlikovati različite vrste opterećenja, te izračunavati odgovarajuće napone ideformacije koje oni uzrokuju,•dizajnirati i analizirati jednostavnije konstrukcije na osnovu kriterija čvrstoće ikrutosti,•izračunavati glavne normalne i maksimalne tangencijalne napone u tijelu, koristećianalitičke izraze i Mohrov krug napona,•razlikovati statički određene i neodređene probleme, te primijeniti odgovarajućemetode za njihovo rješavanje.


Provjera znanja

Konačna ocjena

• dvije zadaće u toku semestra (zadaci)

• dva testa/kolokvija u toku semestra (teorija, kviz pitanja)

• pismeni ispit (zadaci)

• prisustvo nastavi: 0 %

• zadaća: 30 %

• testovi/seminarski: 20 %

• pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!!

Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!!


Ocjena 6 55-65%

Ocjena 7 65-75%

Ocjena 8 75-85%

Ocjena 9 85-95%

Ocjena 10 95-100%


Sadržaj/program kursa

(1) Naponi i deformacije, osobine materijala 2 sedmice

(2) Aksijalno naprezanje 2 sedmice

(3) Uvijanje 2 sedmice

TEST I

(4) Savijanje 3 sedmice

(5) Ravno stanje napona i primjena 3 sedmice

(6) Hipoteze o razaranju materijala 1 sedmica

TEST II/integralni



LITERATURA

dodatna

osnovna • Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici)• Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003. • Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2004.• Rašković D., Otpornost materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.• Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.• Dž. Kudumović, S. Alagić, Zbirka Rješenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 2000.• A. Karač, Riješeni ispitni zadaci iz Otpornosti materijala, MF-UNZE, e-izdanje, 2014.

• RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.• JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.• JM Gere, BJ Goodno, An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage

Learning, Seventh Edition, 2009.• FP Beer, ER Johnson Jr., JT DeWolf, DF Mazurek, Mechanics of materials, McGraw-Hill Education, Seventh

Edition, 2015.• WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaum’s outline series, McGraw-Hill, 1998.• WC Young, RG Budynas, Roark’s formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, 2002.



ZADAĆA 1: (1) + (2) + (3)

Zadata: 29. oktobar 2020.Rok za predaju: 18. decembar 2020. (petak)

ZADAĆA 2: (4) + (5) + (6)

Zadata: 10. decembar 2020. Rok za predaju: 29. januar 2021. (petak)

Obaveze studenata

Provjera znanja

TEST 1: (1) + (2) + (3) 10. decembar 2020.

TEST 2 (ili integralni): (4) + (5) + (6) 28. januar 2021.

Konsultacije

Radnim danom od 10.00-11.00



Korisne web stranice

• MecMovies to Accompany Mechanics of Materialshttp://web.mst.edu/~mecmovie/

• Strength of Materials (SOM) - Notes, Tutorialshttp://www.onesmartclick.com/engineering/strength-of-material.html

• CosmoLearning, Strength of Materialshttp://www.cosmolearning.com/courses/strength-of-materials/

• Elastic Beam Deflection Calculatorhttp://www.aps.anl.gov/APS_Engineering_Support_Division/Mechanical_Operations_and_

Maintenance/Calculators/ElasticBeam2.html

• Free Mechanical Engineering Online Calculatorshttp://www.freebyte.com/cad/calculator.htm

• FREE STRUCTURAL SOFTWAREShttp://www.taxlians.com/html/freesoft.html



Mehanika materijala – grana primijenjene mehanike koja se bavi ponašanjem čvrstih tijela izloženih različitim tipovima opterećenja.

Osnovni cilj: određivanje napona, deformacija i pomjeranja u konstrukcijama i njihovim komponentama usljed opterećenja koja na njih djeluju.

Otpornost materijalaNauka o čvrstoćiMehanika materijala

Strength of MaterialsMechanics of MaterialsMechanics of Deformable Bodies

FestigkeitslehreStärke von Materialien

Résistance des matériaux

forca e materialeve

sterkte van materiale

супраціў матэрыялаў

съпротивление на материалите

材料强度

styrken af materialer

sterkte van de materialen

lakas ng mga materyales

lujuusopin

αντοχή των υλικών

חוזק חומרים

Szilárdságtanقوة المواد

силата на материјали

fasthetslæreresistenza dei materiali

材料の強さ

vires materiae

Отпорност материјала

trdnost materiala

resistencia de los materiales

nguvu ya vifaa

Mukavemet

שטַארקייַט פון מַאטעריַאלס

сопротивление материалов



Istorijat otpornosti materijala*

Leonardo da Vinci

XVII vijek: Galileo, Robert Hooke, Marriote

Elastične linije: (Jacob) Bernoulli, Euler, Lagrange,

XVIII vijek: Parent, Coulomb - mehaničke osobine materijala

1800-1830: Navier, Poncelet, Young,

Teorija elastičnosti: Cauchy, Poisson, Lamé, Clapeyron, Teorija ploča: (Jaques) Bernoulli, Germain

* SP Timoshenko, History of Strength of Materials, McGraw-Hill, 1953.



Istorijat mehanike materijala

1830-1870: Fairbairn, Hodgkinson, Weisbach, Redtenbacher, Grashof, Saint-Venant, Jourawski, Bresse, Winkler, Culmann, Rankine, Maxwell, Stokes, Duhamel, Phillips, Neumann, Clebsch, Kelvin,

kontinuirane grede – neodređeni nosači (Navier)

jednačina tri momenta (Bertot, Clapeyron)

razvoj željeznica, zamor materijala (Wöhler), udarna opterećenja, rešetkasti nosači (Ritter)

Teorija elastičnosti: Green, Wertheim, Kupffer

1870-1900 Baushinger, Mohr, Castigliano, Jasinsky, Föppl, Joukowski, Boussinesq, Reyleigh, Lamb, Love, Pearson, Voigt, Hertz,

laboratorije za mehanička ispitivanja

energija deformacije

statiči određeni i neodređeni rešetkasti nosači, ugibi



Istorijat mehanike materijala

XX(I) vijek: Griffith, Klein, Prandtl,

lom krtih materijala, testiranja duktilnih materijala

teorije čvrstoće

puzanje, zamor metala

eksperimentalna naponska analiza, približne metode rješavanja

trodimezionalni problemi

savijanje ploča i ljuski, vibracije

brodske konstrukcije (Krylov)

computer-aided design (CAD),

computer-aided engineering (CAE)



Napon, deformacija, osobine materijala *Ravnoteža u deformabilnom tijelu

• Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile

• Reakcije oslonaca

• Jednačine ravnoteže

Koncentrisana sila(idealizacija)

Zapreminska sila

Površinskasila

Linearna raspodjelaopterećenja • unutrašnja opterećenja

*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.


Vrste opterećenja:

• Aksijalno oterećenje

• Smicanje

• Uvijanje

• Savijanje

• Izvijanje*

Napon, deformacija, osobine materijala Ravnoteža u deformabilnom tijelu

• unutrašnja opterećenja

Moment uvijanja

Moment savijanja

Smicajnasila

Normalnasila

Čvrstoća konstrukcije – sposobnost prenošenja određenog opterećenja bez loma, oštećenja ili plastičnih deformacija.

Krutost konstrukcija – otpornost konstrukcije prema deformisanju.

*Elastična stabilnost konstrukcije – sposobnost konstrukcije da izdrži početni ravnotežni oblik pod određenim opterećenjem.


Napon, deformacija, osobine materijalaPojam napona

20

Nlim =PamA

FA

Pretpostavke:

• Materijal je kontinuum

• Materijal je kohezivan

Normalni napon – djeluje normalno na površinu

0lim zz A

FA

Smičući (tangencijalni) napon – djeluje po površini

0

0

lim

lim

xzx A

yzy A

FAFA

(1.1)

(1.2)

(1.3)


Napon, deformacija, osobine materijalaSrednji normalni napon

sr 2

N =Pam

FA

Istezanje – pozitivan napon

Pritisak – negativan napon

Ograničenja jednačine (1.4):

• vrijedi samo ako je napon jednoliko raspoređen po poprečnom presjeku (ukoliko sila P prolazi kroz težište!)

• bilo koji poprečni presjek udaljen od koncentracije napona za veličinu najveće dimenzije

(1.4)

Normalni naponi teže da promijene dužinu/volumen elementa na koji djeluju, ne mijenjajući pri tome njegov oblik!!!


Napon, deformacija, osobine materijalaSrednji tangencijalni i noseći napon

Sila P se prenosi s ‘viljuške’ na ploču preko vijka kontaktom (tzv. noseći naponi) između vijka i viljuške (1 i 3, sl. (c)), te vijka i ploče (2, sl. (c)) .

• noseći napon

Pabbb

FA

(1.5)

Površina Ab je projektovana površina na kojoj djeluje sila (za zakrivljenu površinu vijka predstavlja pravougaonik stranica d (prečnik vijka) i l (dužina dodirne površine))


sr PaVA

Tangencijalni naponi teže da promijene oblik elementa na koji djeluju!

(1.6)

Napon, deformacija, osobine materijalaSrednji tangencijalni i noseći napon

• srednji smičući (tangencijalni) napon


Napon, deformacija, osobine materijalaDozvoljeni napon i opterećenje

Čvrstoća konstrukcije – sposobnost konstrukcije da izdrži ili prenese opterećenje

Stepeni sigurnosti

Obično odnos dvije kvantitativne veličine sa istom jedinicom (čvrstoća/napon, kritični napon/primijenjen napon, maksimalna brzina/brzina rada, ...)

Izbor zavisi od mnogo faktora i predstavlja mjeru nesigurnosti dizajnera u analitički model, teoriju razaranja, podataka o osobinama materijala, vrste materijala (krt, duktilan)

Za krte materijale važi da se dizajniraju prema najvećoj čvrstoći, tj. lomu, dok se duktilni materijali pod statičkim naponom dizajniraju prema granici tečenja. Zato je faktor sigurnosti krtih materijala dva puta veći od onih za duktilne pod istim uslovima.

stvarna čvrstoćazahtjevana čvrstoća

S (1.7)



Podaci o osobinama materijala iz testiranja

Uslovi okoline u kojima se proizvod koristi

Analitički modeli opterećenja i napona

Stvarni materijal koji se koristi je testiran 1.3Osobine materijala (iz tablica) su na raspolaganju 2Približne osobine materijala (iz tablica) su na raspolaganju 3Loše osobine materijala (iz tablica) su na raspolaganju 5+

Identični sa uslovima testa 1.3U osnovi okolina na sobnoj temperaturi 2Srednje teški uslovi okoline 3Veoma zahtijevne osobine okoline 5+

Modeli poređeni sa eksperimentima 1.3Modeli tačno predstavljaju sistem 2Modeli približno predstavljaju sistem 3Modeli su gruba aproksimacija sistema 5+

S1

S2

S3

S=MAX(S1,S2,S3)Za duktilne materijale

S=2MAX(S1,S2,S3)Za krte materijale



napon pri otkazudozvoljeni naponstepen sigurnosti

( )eH ydoz

RS

( )eH y

doz

RS

Duktilni materijali

( )mdoz

RS

( )mdoz

RS Krti materijali

dozvoljeno opterećenje dozvoljeni napon površina

doz dozP A doz dozP A

(1.8)

(1.9)

(1.10)


Napon, deformacija, osobine materijala

Primjer 1.1: Čelična šipka (vješalo) konstrukcije na slici, prikačena je na oslonac pomoću vijčane veze. Glavni dio šipke ima pravougaoni oblik širine b1=38mm i debljine t=12mm. U području veze, šipka je proširena na b2=75 mm. Vijak, koji prenosi opterećenje sa vješala na dva držača, ima prečnik d= 25mm. Odrediti vrijednosti dozvoljenog opterećenja P za sljedeće slučajeve:

a) Dozvoljeni zatezni napon u glavnom dijelu je 110 MPa

b) Dozvoljeni zatezni napon u vješalu u poprečnompresjeku kroz rupu vijeka je 75 MPa (dozvoljeninapon u ovom dijelu je manji zbog koncentracijenapona oko rupe)

c) Dozvoljeni noseći napon između vješala i vijkaje 180 MPa

d) Dozvoljeni smicajni napon je 45 MPa

vijakpodloška

držač

vješalo

b1=38mmt=12mm

d=25mmb2=75mm


Primjer 1.2: Na slici je dat probijač za pravljenje rupa u čeličnoj ploči. Pod pretpostavkom da je prečnik probijača d=20 mm, ploča debljine 8 mm (kao na slici), a sila probijanja P=110 kN izračunati prosječni tangencijalni (smicajni) napon u ploči, te prosječni pritisni napon.



Napon, deformacija, osobine materijalaPojam deformacije

Deformacija – promjena veličine i oblika tijela usljed djelovanja vanjskih sila.



-L

(1.11)

Normalne deformacije

Prije deformacije Poslije deformacije

sr duž 'lim -

B A n

s ss

(1.12)


Napon, deformacija, osobine materijalaTangencijalne deformacije

Prije deformacije Poslije deformacije

(1.13) duž duž

lim ' -2nt B A n

C A t


Primjer 1.3: Dio od gume početnog pravougaonog oblika ABCD deformiše se u oblik prikazan isprekidanim linijama na slici dole. Odrediti srednju tangencijalnu deformaciju u tačkama A, B i C, te srednje normalne deformacije dužina AB , AC i AD.



Mehaničke osobine materijala

Uređaji za određivanje mehaničkih osobina

Kidalicazatezanje pritisak

Epruvete za ispitivanje na zatezanje/pritisak


MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021.


Dijagram napon-deformacija (zatezanje)

Granicačvrstoće

Granica tečenja

Granica proporcionalnosti

Linearnopodručje

Idealna plastičnost ilitečenje

Očvršćavanje Pojava vrata

Lommaterijala

Područjeloma

Pojavavrata





Konstrukcioni čelik Legura aluminija

Guma Krti materijal



Mehaničke osobine materijalaNapon, deformacija, osobine materijala

Beton Drvo (crveni hrast)





Jabuka i krompir Čokolada



Dijagram napon-deformacija (pritisak)


Bakar Sivi Liv



Dijagram napon-deformacija

Elastično ponašanje Plastično ponašanje


Elastično plastično Zaostala deformacija

Elastičnarelaksacija



Hooke-ov (Hukov) zakon

Linearna zavisnost između napona i deformacije za šipku opterećenu na zatezanje:

Pa E

– napon – deformacija E – konstanta proporcionalnosti, (Young (Jang)-ov) modul elastičnosti

čelik: 210 GPaliveno gvožđe: 83-170 GPalegure aluminijuma: 70-79 GPabeton (pritisak): 17-31 GPadrvo: 11-13 GPaplastični materijali: 0.7-14 GPa

E)( tg:


(1.14)



Poisson-ov (Poasonov) koeficijent

Prije opterećenja

Poslije opterećenja

Za linearno elastične materijale vrijedi da je poprečna deformacija proporcionalna uzdužnoj i predstavlja osobinu materijala poznatu kao Poisson-ov koeficijent

'

adeformacij uzdužnaadeformacij poprecna

Poprečna deformacija

'

čelik: 0.3 beton (pritisak): 0.1-0.2guma: 0.5pluto: 0auksetični ‘materijali’ < 0!!!


(1.15)

(1.16)


Primjer 1.4: Čelična cijev dužine L=1 m, vanjskog prečnika d2=15 mm i unutrašnjeg prečnika d1= 10 mm, opterećena je na pritisak aksijalnom silom P=60 kN.Treba odrediti: a) napon,

b) uzužnu deformaciju, c) skraćenje , d) poprečnu deformaciju,e) promjenu unutrašnjeg i vanjskog prečnikaf) promjenu debljine cijevi

Osobine materijala: E=210 Gpa, =0.3




Hooke-ov (Hukov) zakon u smicanju

Pa G

– tangencijalni napon – tangencijalna (ugaona) deformacija G – konstanta proporcionalnosti, modul klizanja

)1(2

EG

(1.17)

(1.18)




Primjer 1.5: Na slici je dat noseći pometač, koji se koristi za oslanjanje mašina i mosnih nosača. Sastoji se od linearnog elastičnog materijala (elastomer kao guma) poklopljenog čeličnom pločom. Ako pretpostavimo da je visina elastomera h, a dimenzije ploče a×b, te da je čelična ploča izložena tangencijalnoj sili V, odrediti prosječni tangencijalni napon u elastomeru i horizontalno pomjeranje ploče, d.



U toku kursa, ukoliko se to ne naglasi, materijal će se smatrati:

- linearno elastičan- homogen – jednak sastav- izotropan – sve osobine su jednake u svim pravcima.



Aksijalno naprezanje*

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.

*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

IV


Aksijalno naprezanjeSaint-Venant-ov (Sen-Venan) princip

Opterećenje iskrivljuje linije u blizininjegove primjene

a-a

Opterećenje iskrivljuje linije u blizini oslonaca

Linije koje su daleko od primjene opterećenjai oslonaca su prave

b-b c-c

Napon i deformacija koji se javljaju u tačkama tijela koje su dovoljno daleko od područja primjene tog opterećenja biće isti kao napon i deformacija bilo kojeg opterećenja koje ima istu,statički ekvivalentnu, rezultantu i koji su primijenjeni u istoj oblasti.

⇔


Aksijalno naprezanje*

I) konstantan poprečni presjek i opterećenje

FA

E L

*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

L LE (2.1)

Izduženje aksijalno opterećenog elementa

FLEA


Aksijalno naprezanje

II) promjena parametara po segmentima

i i

i i i

F LA E

Ukoliko je šipka podijeljena na nekoliko aksijalnih sila uzdužno, ili se mijenja poprečni presjek ili modul elastičnosti, ukupno izduženje je jednako zbiru izduženja pojedinačnih segmenata u kojima su ove veličine konstantne.

(2.2)

Čelična cijev

Al – cijev




III) proizvoljan poprečni presjek i/ili opterećenje

( )( )

F xA x

E

ddx

( )( )

F x dxdA x E

0

( )( )

L F x dxA x E

(2.3)

F(x)F(x)




Primjer 2.1: Stub za jednu zgradu je napravljen od čelične cijevi (E=200 GPa, =12×10-6 1/°C) kvadratnog poprečnog presjeka dimenzija na slici (b). Na stub djeluju sile PA i PB kao što je prikazano na slici (a). Treba odrediti:a) napon, izduženje i deformaciju u pojedinim segmentima stuba,b) vertikalno pomjeranje kraja A i B,c) maksimalnu silu PA, ako je dozvoljeni napon materijala 300 Mpa,d) promjenu temperature dijela AB tako da ukupno izduženje usljed djelovanja temperature i opterećenja bude jednako nuli.

Ostali podaci: LAB=LBC=0.8 m.



Primjer 2.2: Element ABC na slici, dužine L, sastavljen je od dva dijela iste dužine (0.6 m), ali različitih prečnika, i izložen sili od P=110 kN. Dio AB ima prečnik d1=100 mm, a segment BC d2=60 mm. Segment AB je uzužno izbušen do polovine dužine (0.3 m). Dio je napravljen od plastike modula elastičnosti E=4 MPa.

a) Ukoliko je dozvoljeno sabijanje dijela 8mm, koliko je maksimalno dozvoljeni prečnik rupe?b) Ako je maksimalni prečnik rupe jednak d2/2, na kojoj udaljenosti od tačke C treba primijeniti silu P da se šipka ne skrati 8 mm.c) Ako je maksimalni prečnik rupe jednak d2/2, a sila primijenjena na krajevima, koja je dozvoljena dubina rupe ako je skraćenje ograničeno na 8 mm.



Primjer 2.3: Stub koji se koristi kao oslonac za opremu u laboratoriji je obrađen uniformno kao na slici čitavom dužinom H. Svaki poprečni presjek stuba je kvadrat, pri čemu je vrh dimenzija bb, a baza 1.5b1.5b.

Izvesti formulu za deformaciju d usljed sile P koja djeluje na vrh. Pri tome pretpostaviti da je ugao zakošenja mali i da težina stuba nema uticaj na deformaciju.


Aksijalno naprezanjeStatički neodređeni aksijalno opterećeni elementi

Dodatni uslov za određivanje sile reakcije su:

uslovi kompatibilnosti ili kinematski uslovi

specificiraju ograničenja u pomjeranju koja se javljaju u osloncima ili bilo kojoj drugoj tački u elementu.

Problem je statički naodređen ako jednačine ravnoteže nisu dovoljne da bi se odredile sile reakcije.

0 0B AF F F P

47

Nedovoljno da bi se odredile reakcije!!!

0A B

Zadatak možemo riješiti koristeći dijagram sila u štapu, ili pomoću metode superpozicije.


Aksijalno naprezanjeStatički neodređeni aksijalno opterećeni elementi

⇔ ⇔

0 0B AF F F P

0A B

0A AC B CBF L F LAE AE

CB ACA BL LF P F PL L

Dijagram aksijalnih sila



Princip superpozicije

Princip superpozicije: rezultujući naponi ili pomjeranja u nekoj tački mogu se odrediti algebarskim sabiranjem napona ili pomjeranja koja su uzrokovana svakom komponentom pojedinačno.

Uslovi za primjenu uslova superpozicije:

1. Opterećenje mora biti linearno u odnosu na napon ili pomjeranje koje treba odrediti

2. Opterećenje ne smije značajno promijeniti početnu geometriju ili konfiguraciju elementa na koji djeluje

Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi



Metod fleksibilnosti ili metod sila (jednačina kopatibilnosti predstavljena principom superpozicije)


⇔ +

ACP

PLEA

B CBBF L

EA

0 0 ACP B AC B BLPL F L F PL



Primjer 2.4: Dio ABCD s fiksiranim krajevima sastoji se od tri prizmatična segmenta, kao na slici. Krajnji segmenti imaju površinu poprečnog presjeka od A1=840 mm2 i dužinu L1=200 mm. Srednji segment ima površinu poprečnog presjeka od A2=1260 mm2 i dužinu L2=250 mm. Opterećenja su: PB=25.5 kN i PC=17.0 kN.

a) Odrediti reakcije RA i RD u fiksiranim osloncima. b) Odrediti pritisnu aksijalnu silu FBC u srednjem segmentu.

V



(Villot-ov) Plan pomjeranja (rešetkasti nosači)


Za male uglove rotacije dužina luka može se zamijeniti tangentom dijela kružnice

• pomjeranje se nanosi pod uglom 90º.



Primjer 2.5: Kruta šipka AB dužine L oslonjena je u tački A i ovješana pomoću dvije vertikalne žice u tačkama C i D. Obe žice imaju isti poprečni presjek A, i izrađene su od istog materijala modula elastičnosti E. a) Odrediti napone C i D u žicama usljed opterećenja P koje djeluje u tački B.b) Naći pomjeranje tačke B,c) temperaturu u užetu C tako da kruta poluga ostane u horizontalnom položaju.d) uraditi a-c, ako nema štapa D.

Podaci: L=1700 mm, A=18 mm2, E=210GPa, h=450 mm, c=500 mm, d=1250 mm, P=750 N.



Primjer 2.6: Kruta poluga ABC, okačena o uže CD i oslonjena na elastični štap BE, nosi kontinuiranoopterećenje, kao što je prikazano na slici desno. Odrediti:

a) sile i napone u štapu BE i užetu CD,b) deformaciju užeta CD i štapa BE,c) vertikalno pomjeranje tačke C.d) temperaturu u užetu tako da kruta poluga ostane u horizontalnom položaju.e) uraditi a-c, ako nema štapa BE.

Podaci: poluga ABC – LAB = 1.5 m, LAC = 2 m; uže CD – ECD = 200 GPa, ACD = 3 cm2, LCD = 2.5 m, = 30º; štap BE – EBE = 20 GPa, ABE = 20 cm2, LBE = 200 mm; q = 20 kN/m.



Primjer 2.7: Za sistem štapova na slici odrediti sile u štapovima, te pomjeranje tačke C pod djelovanjem sile F.


Aksijalno naprezanjeIzduženje aksijalno opterećenog elementa: utjecaj temperature

Promjene temperature u elementu proizvode širenje ili skupljanje elementa, stvarajući tako tzv. termičke deformacije i napone.

T T

– koeficijent termalnog širenja materijala, [1/K]

(2.4)

( )T T E T E (2.5)

Deformacija:

Napon:

( )T T L T L (2.6)Izduženje:



Primjer 2.8: Plastična šipka ACB sačinjena od dva različita puna dijela cilindričnog poprečnog presjeka nalazi se između dva kruta oslonca kao na slici. Šipka je izložena povećanju temperature od 30C.

a) Odrediti silu koja vlada u šipki,b) maksimalni napon u tački C,c) pomjeranje u tački C.

Podaci: E=6 GPa, =100·10-6 1/C.


Aksijalno naprezanjeStatički neodređeni aksijalno opterećeni elementi – problemi

Opšti princip rješavanja statički neodređenih aksijalno opterećenih elemenata

1. Postaviti jednačine ravnoteže (statičke, kinetičke jednačine)

2. Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske, kinematičke jednačine, jednačine konzistentne deformacije)

3. Postaviti relacije sila-deformacija (konstitutivne relacije)

4. Riješiti sistem jednačine dobiven kroz korake 1-3


Aksijalno naprezanjeStatički neodređeni aksijalno opterećeni elementi – problemi

M1 M2

M3


Aksijalno naprezanjeNapon u kosom presjeku

Pojam elementa napona – izolovani segment nekog elementa s ucrtanim naponima koji djeluju na njegove površine/stranice.

Element napona

VI



cos sinN P V P

2

1

P= cosA

NA

1

P= sin cosA

VA

Istezanje – pozitivan znakPritisak – negativan znak

Pozitivan znak ako tangencijalni napon teži rotirati materijal suprotno kretanju kazaljke na satu.



2 2

1

P= cos cosA x

NA

1

P= sin cos sin cosA x

VA

2 1cos (1 cos 2 )2

1sin cos sin 22

(1 cos 2 )2

x

sin 22

x

(2.7)

(2.8)



Maksimalni normalni i tangencijalni napon

max

min

za 0 ( 0)0 za 90 ( 0)

x

max

min

za 45 ( )2 2

za 45 ( )2 2

x x

x x



Primjer 2.9: Plastična šipka, pravougaonog poprečnog presjeka, je ugrađena između krutih oslonaca, ali bez početnog napona. Kada se temperatura u šipki poveća 40 C, u ravni pq se javi pritisni napon od 12 MPa.

a) izračunati tangencijalni napon u ravni pq.b) nacrtaj element napona orijentisan prema ravni pq i pokaži napone koji djeluju na sve površi elementa.

Podaci: =108·10-6 1/K, E=3 GPa, b=37.5 mm, h=75mm



Primjer 2.10: Dvije ploče su spojene ljepljenjem, kao što je prikazano na slici. Radi lakšeg rezanja i ljepljenja, ugao između ljepljene površine i površine ploča mora biti između 10 i 40. Normalni napon u ploči pod djejstvom sile P je 4.9 MPa. Treba uraditi sljedeće:

a) izračunati normalne i tangencijalne napone u ljepljenom spoju ako je =20,

b) Ako je dozvoljeni tangencijalni napon u spoju 2.25 MPa, koji je najveći dopušteni ugao ,

c) Koji ugao bi se trebao koristiti da bi tangencijalni napon u ljepljenom spoju bio dvostruko veći od normalnog.


Aksijalno naprezanjeDeformacioni rad

1 10W Pd

Izduženje šipke proizvodi deformaciju, čime se povećava energija šipke, tzv. energiju deformacije ili deformacioni rad.

1 10U W Pd

(2.9)



1 10

12

U W Pd P

Linearno elastično ponašanje materijala

Deformacioni rad

(2.10)

2

2P LUEA

(2.11)

2

2EAU

L

(2.12)

Nejednake šipke

2

2i i

ii i i

P LU UA E

2

0

( )2 ( )

L P x dxU

A x E (2.13)


Uvijanje

*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003


UvijanjeOsnovni pojmovi

Moment sprega sila, [Nm]

1 1 1 2 2 2 T Pd T P d

Moment sprega sila – vektorska reprezenacija

(pravilo desne ruke)

Moment sprega sila – reprezentacija uvijenom strelicom

Momenti koji uvijaju neki element nazivaju se uvojni ili torzioni momenti.

(3.1)


Uvijanje

Čisto uvijanje – svi jednaki poprečni presjeci opterećeni istim momentom uvijanja– ugao uvijanja (rotacije)

Element abcd postaje ab’c’d, kojem se ne mijenjaju stranice, ali se mijenja ugao između njih – čisto smicanje (element izložen samo tangencijalnim deformacijama)!

Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka


Uvijanje

max'bb rd

ab dx

ddx

maxrrL

maxr

Maksimalan ugao uvijanja

Odnos tangencijalne deformacije i ugla uvijanja na površini šipke

Promjena ugla uvijanja

Za čisto uvijanje

Tangencijalna deformacija

(3.2)

(3.3)

(3.4)



UvijanjeDeformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka

2max

rL

1 1min max

2

r rr L

(3.5)

Sve prethodne relacije važe za sve materijale, bez obzira da li su linearni ili nelinearni, elastični ili neelastični, ali za male uglove uvijanja i male deformacije!


Uvijanje

Veza deformacija i napona

max Gr

maxr

G

Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!!

Uzdužni i transferzalni naponiUvijanje = čisto smicanje = dvoosno naponsko stanje bez tangencijalnih napona

(3.6)


VII


Uvijanje

Formula uvijanja2maxdM dA dA

r

maxr

(3.6)2 2max maxA A A A

T dM dA dA dAr r

2 4 mo

A

I dA – polarni moment inercije poprečnog presjeka4

32odI – za kružni poprečni presjek

maxo o

Tr TI W

(3.7)

oW – polarni moment otpora presjeka

3

16odW – za kružni poprečni presjek

Formula uvijanja

maxo

Tr I (3.8)Opšta formula uvijanja




Uvijanje


Ugao uvijanja – konstantni parametri

o

TGI

o

TLLGI

(3.8)

i

i ii

i i i o

T LG I

(3.9)

Promjena parametera po segmentima

Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjekamax Gr max

o o

Tr TI W


Uvijanje

( )( ) ( )oL

T x dxG x I x

(3.10)

Proizvoljan uzdužni (kružni) poprečni presjek i/ili opterećenje

max Gr maxo o

Tr TI W




Uvijanje

Primjer 3.1: Puni štap kružnog poprečnog presjeka, prečnika 40 mm, dužine 1350 mm i modula klizanja 80 GPa, opterećen je momentom uvijanja na svojim krajevima, kao što je dato na slici. Odrediti:

a) Maksimalan tangencijalni napon u šipki, te ugao uvijanja ako je moment uvijanja 340 Nm

b) Maksimalan mogući moment uvijanja, ako je dozvoljeni tangencijalni napon 40 MPa, a maksimalni dozvoljeni ugao uvijanja 2.5

40 mm

1350 mm

RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.


Uvijanje

Primjer 3.2: Vratilo cilindričnog poprečnog presjeka od čelika, izrađeno u dvije varijante, kao puno i šuplje (slika), treba prenese moment uvijanja od 1200 Nm bez prekoračenja dozvoljenog tangencijalnog napona od 40MPa i dozvoljenog uzdužnog uvijanja od 0.75/m. Treba odraditi:

a) Prečnik punog vratila

b) Potrebni vanjski prečnik šupljeg vratila ako je debljina stjenke vratila jedna desetina vanjskog prečnika

c) Odnos prečnika (d2/d1) i težina oba vratila



Uvijanje

Primjer 3.3: Momenti uvijanja djeluju na puno čelično vratilo kao što je prikazano na slici desno. Odrediti:a) Ugao uvijanja diskova A i B u odnosu na disk C,b) Maksimalni napon u vratilu BC,c) Dimenzije šupljeg vratila od aluminijuma koje bi trebalo zamijeniti dio CD, ako se zna da je odnos vanjskog i unutrašnjeg prečnika 1.2. Proračun uraditi prema kriterijumu čvrstoće.

Podaci: TA = 200 Nm, TB = 400 Nm, TC = 100 Nm, dAB = 20 mm, dBC = 30 mm, dCD = 25 mm, LAB = 200 mm, LBC = 300 mm, LCD = 250 mm.


Uvijanje

Ograničenja u korištenju prethodnih jednačina


• Samo za kružne poprečne presjeke (pune ili šuplje)

• Linearno elastični materijali

• Za dijelove vratila udaljene od koncentracija napona

• Ne mogu se koristiti za druge poprečne presjeke jer:

Poprečni presjek ne ostaje u ravni

Maksimalni naponi nisu uvijek u najudaljenijim tačkama presjeka

Naprednije metode analize napona neophodne za rješavanje


UvijanjeStatički neodređeni problemi

Šipka (1)

Cijev (2)

Cijev (2)

Cijev (2)

Šipka (1)

Šipka (1)

Fiksna

ploča

1 2T T T

1 2

Jednačine ravnoteže

Jednačine kompatibilnosti

Konstitutivne relacije

1

11

1 0

T LG I

2

22

2 0

T LG I

1

1 2

1 01

1 0 2 0

G IT T

G I G I

2

1 2

2 02

1 0 2 0

G IT T

G I G I


UvijanjeStatički neodređeni problemi

1. Postaviti jednačine ravnoteže (statičke, kinetičke jednačine) – moment uvijanja

2. Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske, kinematičke jednačine, jednačine konzistentne deformacije) – ugao uvijanja

3. Postaviti relacije moment uvijanja-ugao uvijanja (konstitutivne relacije)

4. Riješiti sistem jednačine dobiven kroz korake 1-3

Opšti princip rješavanja statički neodređenih elemenata opterećenih na uvijanje


Uvijanje

Primjer 3.5: Vratilo ABC je uklješteno na oba kraja i opterećeno momentom uvijanja T0 u tački C. Segmenti AC i CB vratila imaju prečnike dA i dB dužina LA i LB i polarnih momenata inercije I0A i I0B, respektivno. Potrebno je izvesti formule:a) za momente u uklještenjima A i Bb) za maksimalan tangencijalni napon AC i CB u svakom segmentu vratilac) ugao rotacije C u poprečnom presjeku gdje je primijenjen moment uvijanja T0


UvijanjeDeformacioni rad

2TU W

220

02 2GIT LU

GI L

V ht

h

2VU W

2

2h tU

2 2

2 2 2Gu

G


Savijanje*

*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003

VIII


Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka*Savijanje

*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003

Karakteristike poprečnih presjeka neophodnih za proračun napona:

1. Površina poprečnog presjeka – aksijalno neprezanje

2. Moment površine prvog reda – statički moment površine – raspodjela tangencijalnih napona u poprečnim presjecima grede izložene savijanju silama

3. Momenti površine drugog reda (momenti inercije):

a. Aksijalni moment inercije – računanje normalnih napona i deformacija greda izloženih savijanju

b. Polarni moment inercije – računanje napona pri uvijanju

c. Centrifugalni momenti inercije – određivanje ekstremnih vrijednosti aksijalnih momenata inercije ravne površine


Savijanje

Težište – geometrijski centar površine

yA

A

xdAS

xAdA

xA

A

ydASyAdA

Konačan broj jednostavnih oblika

i ii

ii

x Ax

A

i ii

ii

y Ay

A

Sx – statički moment inercije s obzirom na x osu

Sy – statički moment inercije s obzirom na y osu

xA

S ydA

yA

S xdA

Centralne (težišne) ose – prolaze kroz težište -centralni momenti jednaki nuli!!!

(4.1)

(4.2)

Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka


Savijanje

Momenti inercije – momenti inercije drugog reda

2x

A

I y dA

2y

A

I x dA

xyA

I xydA

– aksijalni moment inercije s obzirom na x osu

– aksijalni moment inercije s obzirom na y osu

– centrifugalni moment inercije s obzirom na x i y osu

20

A

I r dA – polarni moment inercije s obzirom na tačku 0

2 2 20 ( ) x y

A A

I r dA x y dA I I

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)



Savijanje

Momenti inercije – momenti inercije drugog reda

• Polarni moment inercije za tačku se ne mijenja s rotacijom koordinatnog sistema – zbir centralnih momenata inercije je konstantan

• Centralni momenti inercije su pozitivne veličine

• Centrifuglani moment inercije može biti pozitivan, negativan ili nula; jednak je nuli u odnosu na ravan simetrije, ako se jedna od težišnih osa podudara s ravni simetrije

• Momenti inercije u odnosu na težišne ose su centralni ili sopstveni momenti inercije

Poluprečnici inercije

xx

IiA

yyI

iA

(4.8)



SavijanjeGeometrijske karakteristike poprečnih presjeka


Savijanje

Steiner-ova (Štajner) teorema – teorema paralelnih osa – promjena momenata inercije s translacijom koordinatnog sistema

2 2 2 21 1 1 1( ) 2 Cx C C C x

A A A A

I y d dA y dA d y dA d dA I Ad 2

1Cx xI I Ad

22Cy y

I I Ad

Moment inercije površine u odnosu na bilo koju osu u ravni jednak je momentu inercije u odnosu na paralelnu težišnu osu i proizvoda površine i kvadrata udaljenosti između dvije ose

1 2

1 2 1 2

( )( )

xy C CA

C C C CA A A A

I x d y d dA

x y dA d y dA d x dA d d dA

1 2Cxy xyI I Ad d

(4.9)

(4.10)

(4.11)



Savijanje

Promjena momenata inercije s rotacijom koordinatnog sistema

2x

A

I y dA 2yA

I x dA xyA

I xydA

1 cos sinx x y

1 sin cosy x y

1

1

1

2 21

2 2 2 2

2 2

( sin cos )

sin cos 2sin cos

cos sin sin 2

xA A

xA A A

x x y xy

I y dA x y dA

I x dA y dA xydA

I I I I

2 1cos ( ) (1 cos(2 ))2

21sin ( ) (1 cos(2 ))2

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

I I I II I

(4.12)



Savijanje

Promjena momenata inercije s rotacijom koordinatnog sistema

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

I I I II I

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

y xy

I I I II I

1 1

1 1

1 1

2 2 2 2

( cos sin )( sin cos )

cos sin sin cos sin cos

x yA A

x yA A A A

I x y dA x y x y dA

I xydA xydA x dA y dA

1 1

1 ( )sin 2 cos 22x y x y xy

I I I I

(4.12)

(4.13)

(4.14)



Savijanje

Invarijante momenata inercije

(4.12) + (4.13) + (4.14) 1 1I o x y x y

I I I I I I - prva invarijanta momenta inercije

- druga invarijanta momenta inercije2II x y xyI I I I

Glavni momenti inercije

1 ( )sin(2 ) 2 cos(2 ) 0x x y xydI

I I Id

2tg xy

x y

II I

(4.15)

• Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog momenta inercije• Jednačina (4.15) ima dva korijena u domenu (0,2), a oni ovise od predznaka xy i (x-y) – ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih momenata inercije



Savijanje

22

1 2 2x y x y

xy

I I I II I

22

2 2 2x y x y

xy

I I I II I

12 0I


Glavni momenti inercije

(4.16)


Savijanje

Primjer 4.1: Za ravni presjek dat na slici odrediti glavne centralne momente inercije i položaj glavnih centralnih osa inercije.

Primjeri D.1-D.5 (str. 307-310), Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003.


Savijanje

Jednostavno oslonjena greda

Konzolna greda

Greda s prepostom

Usljed primijenjenog opterećenja u gredi se razvijaju tangencijalne (transferzalne) sile i momenti savijanja. U svrhu dimenzionisanja neophodno je odrediti maksimalne tangencijalne napone i momente!

Vrste greda Konvencija o predznaku opterećenja

Pozitivno orijentisano kontinuirano opterećenje

Pozitivno unutrašnje tangencijalno opterećenje

Pozitivni unutrašnji moment savijanja


Dijagrami transferzalnih sila i momenta savijanja

IX


SavijanjeVeze opterećenja, transferzalnih sila i momenata savijanja

Područje kontinuiranog opterećenja

02

0, ( ) ( ) 0

( )

0, ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

i

i

yi

i

F V w x x V V

V w x x

M V x M w x x k x M M

M V x w x k x

( ) dV w xdx

(4.17)

(4.18)

(4.17)

dM Vdx

(4.18)

Nagib dijagrama transferzalnih sila = intenzitetu kontinutiranog opterećenja

Nagib dijagrama momenta savijanja = transferzalna sila


Savijanje

Područje koncentrisanih sila i momenata

0, ( ) 0

iyi

F V F V V

V F

(4.19)

(4.20)

Ukoliko sila F djeluje nadole, transferzalna sila na dijagramu ‘skače’ nadole!

0 0

0

0, 0

0,

ii

M M M M V x M

x M M

Ukoliko moment M djeluje u smjeru kazaljke na satu, moment na dijagramu momenata ‘skače’ nagore!

Veze opterećenja, transferzalnih sila i momenata savijanja


SavijanjeČisto savijanje

Čisto savijanje se odnosi na savijanje grede pod konstantnim momentom savijanja; dešava se samo tamo gdje su transferzalne sile jednake nuli!!!

Centralni dio grede u čistom savijanju, a krajevi u nejednakom savijanju!!!


SavijanjeČisto savijanje

Vertikalne linijeostaju ravne

Horizontalne linijesu zakrivljene


SavijanjeZakrivljenjost grede

1

– zakrivljenost grede

– radijus zakrivljenja grede

1 dd dsds

1za male deformacije(ugibe): ddx

(4.21)


SavijanjeČisto savijanje – uzdužne deformacije u gredi

Neutralna površina – s profilom se siječe u neutralnoj osi (d=dx)

' ( )efdx yL y d d dx dx

Uzdužna deformacija je sada:

' 'ef ef efx

ef

L L L dx y yL dx

Deformacije grede pri čistom savijanju mijenjaju se linearno s udaljenošću od neutralne površine bez obzira na model materijala (njegovu zavisnost napon-deformacija)

Uzdužni elementi grede pri čistom savijanju su izloženi jednoosnom naponskom stanju.

(4.22)


SavijanjeČisto savijanje – normalni naponi u gredi

x xEyE E y

Gdje se nalazi neutralna osa u odnosu na koju se računa y?!

Kod čistog savijanja aksijalna sila je nula rezultantna sila u xpravcu je nula

Neutralna osa prolazi kroz težište poprečnog presjeka grede za materijal koji se ponaša po Hooke-ovom zakonu i ukoliko na njega ne djeluju aksijalne sile

0xA A

dA E ydA

0xA

ydA S z-osa mora proći kroz težište!!!

X


Savijanje

Rezultantni moment jednak je momentu M

Relacija moment savijanja – zakrivljenost grede

2

1

x

xA A A

zz

dM ydA

M ydA EyydA E y dA

MM EIEI

x E y

EI – savojna krutost!!!

xz

MyI

Formula savijanja!!!! (4.23)

Čisto savijanje – normalni naponi u gredi


SavijanjeČisto savijanje – normalni naponi u gredi

Maksimalni naponi u poprečnom presjeku

Zatezni naponiPritisni naponi

Pritisni naponiZatezni naponi

11

1x

Mc MI S

22

2x

Mc MI S

S1 i S2 – sekcijski moduli poprečnog presjeka

(4.24)


Savijanje

Ograničenja u korištenju formule savijanja

• važi samo za homogene, linearno elastične materijale izložene čistom savijanju• ne važi za nejednako savijanje, jer transferzalne sile uzrokuju deformaciju poprečnog presjeka izvan ravni

• ne daje tačne rezultate za područja oko oslonaca, promjena poprečnog presjeka, diskontinuiteta u opterećenju (koncentracija napona!!!)

IPAK, i u slučaju nejednakih momenata savijanja formula savijanja se može koristiti!!!

Čisto savijanje – normalni naponi u gredi


Savijanje

Primjer 4.2: Za gredu datu na slici odrediti maksimalne zatezne i pritisne napon u gredi usljed kontinuiranog opterećenja.Zadatak prvo uraditi za gredu pravougaonog poprečnog presjeka vanjskih dimenzija presjeka na slici.


Savijanje

Primjer 4.3: Privremena drvena brana napravljena je od horizontalnih dasaka A oslonjenih na dva vertikalna stuba B. Stubovi su kvadratnog poprečnog presjeka (bb) postavljeni na udaljenosti 0.8 m, kao na slici. Pretpostaviti da je dubina vode do vrha brane, h=2 m. Odrediti najmanju dimenziju b stuba ako je dozvoljeni napon drveta doz=8 MPa.


SavijanjeTangencijalni naponi u gredi

Pretpostavke:

• Tangencijalni naponi su paralelni s transferzalnim silama• Tangencijalni naponi su uniformno raspoređeni po širini grede (ali mogu da se mijenjaju po visini)

Vrijedi:

• Tangencijalnim naponima na elementu odgovaraju uzdužni naponi• na gornjem i donjem rubu tangencijalni naponi su nula


Savijanje

1z

MyI

2( )

z

M dM yI

1z

MydA dAI

1 1

zA A

MyF dA dAI

2 2( )

zA A

M dM yF dA dAI

3A

dMF ydAI

3F bdx

3 2 1F F F

1

A

dM ydAdx Ib

A

Q ydA

VQIb

Formulatangencijalnih napona!!!

Tangencijalni naponi u gredi

(4.25)


Savijanje

Pravougaoni poprečni presjek

1

A

dM ydAdx Ib

A

Q ydA

VQIb

1

/ 2 22

12 4

h

A y

b hQ ydA bydy y

22

12 4VQ V h yIb I

1

2 22

max 1

0

32 4 8 2

y

V h Vh VyI I A


(4.26)


SavijanjeTangencijalni naponi u gredi

Ograničenja u korištenju formule tangencijalnih napona

• važi samo za homogene, linearno elastične materijale s malim deformacijama• za pravougaone poprečne presjeke tačnost zavisi i od odnosa širina-visina – što je presjek uži, tačnija je: za

kvadratni poprečni presjek maksimalan napon je 13% viši od onog datog izrazom (4.26)• izraz (4.25) ne važi za mnoge poprečne presjeke (trouglasti, polukrug, ...)• izraz (4.25) važi samo ako su ivice paralelne s y-osom (tangencijalni naponi djeluju paralelno y-osi)• izraz (4.25) važi samo ako je tangencijalni napon ravnomjeran po širini poprečnog presjeka• formula je primjenjiva samo na prizmatične poprečne presjeke

I u slučaju nejednakih momenata savijanja formula savijanja se može koristiti!!!

• parabolička promjena tangencijalnih napona uzrokuje paraboličku promjenu tangencijalnih deformacija = vitoperenje

• pokazuje se da ‘vitoperenje’ usljed tangencijalnih napona ne mijenja značajnije uzdužne deformacije čak i kada se tangencijalne sile mijenjaju duž grede


Savijanje

Primjer 4.4: Drvena greda, pravougaonog poprečnog presjeka bh=100150 mm, AB je opterećena kao na slici. Koncentrisana sila djeluje na udaljenosti a=0.5 m od svakog oslonca.Odrediti maksimalnu dozvoljenu silu P ako je dozvoljeni napon na savijanje 11 MPa (i za zatezanje i za pritisak), a dozvoljeni napon na tangencijalni napon 1.2 MPa. Uticaj težine grede zanemariti.

XI


Savijanje

Kružni poprečni presjek – približan proračun


• Tangencijalni naponi nisu paralelni s y-osom (vidi tačku m)• Ipak, tangencijalni naponi su najveći na neutralnoj osi, i pretpostavimo

da su uzduž p-q jednaki – moguće koristiti formulu (4.25)

VQIb

4

4rI

2 34 22 3 3cr r rQ Ay

2b r

max43

VQ VIb A

(4.27)

Kružni prsten

4 42 1( )

4r rI 3 32 1

2 ( )3

Q r r 2 12( )b r r

2 22 2 1 1

max 2 22 1

4 ( )3

r r r rVQ VIb A r r

(4.28)


Savijanje

Profili


Javljaju se tangencijalni naponi i u horizontalnom (mnogo veći) i u vertikalnom pravcu

Javljaju se tangencijalni naponi samo vertikalnom pravcu (kao za pravougaoni poprečni presjek)


Savijanje

Profili


11 2 2

hhA b

12 12

hA t y

1 11

11 2 1

2 2 2 21 1 1

2 2 22 2 2

48 8

h hh yhQ A A y

b tQ h h h y

2 2 2 21 1 148VQ V b h h t h yIb It

333 3 31

1 1( ) 1 ( )

12 12 12b t hbhI bh bh th

2 2 2max 1 1( )8

V bh bh thIt

2 2min 1 max min( ) (1.1 1.6)8

Vb h bhIt

(4.29)


Savijanje

Profili – tangencijalna sila


1 min 1 max min

1max min

2 ( )3

23

dijagramV A t h h t

thV

Tangencijalna sila u vertikalnom dijelu nosi 90-98% ukupne tangencijalne sile!!!

1sr

Vth

Obično se koristi pojednostavljena formula koja daje 10% grešku u odnosu na izraz (4.29)


Savijanje

Primjer 4.5: Greda s poprečnim presjekom kao na slici izložena je transferzalnoj sili V=45 kN. Odrediti maksimalan i minimalan tangencijalni napon, te ukupnu silu koja djeluje na vertikalni dio profila. Dimenzije poprečnog presjeka su: b=165 mm, t=7.5 mm, h=320 mm i h1=290 mm.


Savijanje

Primjer 4.6: Greda s poprečnim presjekom kao na slici izložena je transferzalnoj sili V=45 kN. Odrediti tangencijalni napon u presjeku n-n, te maskimalan tangencijalni napon. Dimenzije poprečnog presjeka su: b=100 mm, t=25 mm, h=200 mm i h1=175 mm.

h=200 mmh1=175 mm

b=100 mm

t=25 mm


Maksimalni naponi u grediSavijanje

xz

MyI

Formula savijanja!!!! (4.23)

VQIb

Formula tangencijalnih napona!!! (4.25)


SavijanjeDimenzionisanje

• Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone• Grede su obično duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi služe kao konačna provjera.• Sekcijski modul treba ispunjavati:

• Za jednostavne poprečne presjeke jednostavno je naći potrebne dimenzije, dok se za složene izabere oblik, pa onda dimenzije.

• Nakon izbora provjerava se tangencijalni napon koristeći jedan od izraza

• Iako prethodni izraz ne predstavlja problem, za kratke i grede opterećene velikim tangencijalnim silama, te grede od drveta, neophodno je uzeti u obzir tangencijalne napone.

maxz gr

doz

MS S

maxdoz

VQIt S

max maxdoz

M yI S


Savijanje

Primjer 4.7: Slojevita drvena greda data na slici izložena je kontinuiranom opterećenju od 12 kN/m. Ako odnos visine i širine grede mora biti 1.5, odraditi najmanju širinu koja može izdržati opterećenje. Dozvoljeni napon na savijanje je 9 MPa, a na smicanje 0.6 MPa. Težinu grede zanemariti.


Savijanje

Primjer 4.8: Za gredu kružnog prstenastog poprečnog presjeka vanjskog prečnika d=50 mm, opterećenu kao na slici, odredi dimenzije poprečnog presjeka, ako je dozvoljeni napon na savijanje 100 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon je 50 Mpa

Podaci: LAB=0.4 m, LAC=1 m, LAD=1.2 m, FB=5 kN, MD=1 kNm.


SavijanjeDeformacioni radČisto savijanje Transferzalna sila

22 12 2V V

MyU dV dAdxE E I

2

0 2

L M dxUEI

22 12 2V V

VQU dV dAdxG G It

2 2

2 20 2

L

A

V QU dA dxGI t


*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

Ravno stanje napona i primjena*



Tenzor napona

Opšte stanje napona

Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine

Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj i desnoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose.

Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje.

Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje.

Značenje indeksa

Konvencija o predznaku napona

Ravno stanje napona i primjena*


Ravno stanje napona

Ravno stanje napona – jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa.

xy yx 1 1 1 1x y y x

Ravno stanje napona i primjena


Naponi na kosoj ravni

1 0 0 0

0 0

sec( ) cos( ) sin( )

tg( )sin( ) tg( ) cos( ) 0x x xy

y yx

A A A

A A

10x i

iF

(5.1)

1 1 0 0 0

0 0

sec( ) sin( ) cos( )

tg( ) cos( ) tg( )sin( ) 0x y x xy

y yx

A A A

A A

10y i

iF

(5.2)

1

2 2cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )x x y yx

1 1

2 2( )sin( )cos( ) 2 (cos ( ) sin ( ))x y x y yx

(5.3)

(5.4)



1

2 2cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )x x y yx

1 1

2 2( )sin( )cos( ) 2 (cos ( ) sin ( ))x y x y yx

(5.3)

(5.4)

2 1cos ( ) (1 cos(2 ))2

21sin ( ) (1 cos(2 ))2

1sin( )cos( ) sin(2 )2

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

(5.5)

(5.6)




2cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

(5.7)

1 1x y x y (5.8)


1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy



Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi

1 ( ) sin(2 ) 2 cos(2 ) 0x x y xydd

(5.8)

2tg(2 ) xy

x y

(5.8) (5.9)

• Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog normalnog napona• Jednačina (3.9) ima dva korijena u domenu (0,2), a oni ovise od predznaka xy i (x-y) – ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih ravni

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

(5.5)

Ravno stanje napona i primjenaXII


22

2x y

xyR

cos(2 )2

x y

R

sin(2 ) xyR

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

(5.5)

(5.6)

22

1 2 2x y x y

xy

22

2 2 2x y x y

xy

1 1 1 2x y x y (5.7)

U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi, tj. 12=0

(5.10)

(5.11)




1 1 ( ) cos(2 ) 2 sin(2 ) 0x y x y xydd

(5.12)

1tg(2 )2 tg(2 )x y

xy

(5.12) (5.13)

• Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog tangencijalnog napona• Jednačina (3.13) ima dva korijena u domenu (0,2), a oni ovise od predznaka xy i (x-y) – za ugao prema (3.13) vrijedi

= 45

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

(5.6)




22

2x y

xyR

cos(2 )2

xy

R

sin(2 ) x yR

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

(5.5)

(5.6)

1 1 1 2x y x y (5.7)

22 1 2

max,min 2 2x y

xy

(5.14)

U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi

1 2

2 2x y


(5.15)



Mohr-ov (Mor) krug napona (grafičko određivanje naponskog stanja)

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

(5.5)

(5.6)

Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao 2

Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao tako što se obje jednačine kvadriraju i saberu, pa se dobije:

1 1 1

2 22 2

2 2x y x y

x x y xy

(5.16)

1 1 12 2 2

srx x y R (5.16a)



Mohr-ov (Mor) krug napona – konstrukcija

Dva načina crtanja Mohr-ovog kruga napona




• Nacrta se koordinatni sistem s abscisom x1 (n), pozitivna na desno, i ordinatom xy (n), pozitivna na dole

• U dijagramu se ucrta tačka A s koordinatama (x,xy) – predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj x površi (površ A)

• U dijagramu se ucrta tačka B s koordinatama (y,-xy) – predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj y površi (površ B)

• Povuče se duž od AB koja predstavlja prečnik kruga napona s centrom u tački C.

• Koristeći tačku C kao centar nacrta se kružnica koja prolaziu kroz tačke A i B.

• Ugao koji određuje ravan normalnih napona određuje se na osnovu ugla 22p

• Ugao koji određuje ravan maksimalnih tangencijalnih napona određuje se na osnovu ugla 2 2s




JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.



Mohr-ov (Mor) krug napona – određivanje napona za proizvoljnu ravan




Primjer 5.1: Element je izložen naponima kao na slici: x=85 MPa, y=-29 MPa, xy=-32.5 MPa.a) Odrediti glavne napone i prikaži na skici elementa naponab) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i pokaži na elementu naponac) rezultate pod a) i b) potvrdi konstrukcijom Mohr-ovog kruga napona

-32.5MPa

85MPa

-29MPa



Hooke-ov zakon za ravno stanje napona

⇔ + +

xx E

xy E

yx E

yy E

xy yx G

2(1 )EG

1 ( )x x yE

1 ( )y y xE + utjecaj temperature

1 ( )x x y TE

1 ( )y y x TE (5.17)

xz E

yz E

( )z x yE ( )z x y TE



Hooke-ov zakon za ravno stanje napona

1 ( )x x yE

1 ( )y y xE + utjecaj temperature

1 ( )x x y TE

1 ( )y y x TE

(5.17)

2 ( )1x x yE

+ utjecaj temperature (5.18)2 ( )1 1x x y

E E T

2 ( )1 1y y xE E T

2 ( )1y y xE

( )z x yE ( )z x y TE

0z



Promjena zapremine i deformacioni rad

0V abc

1 ( )( )( ) (1 )(1 )(1 )x y z x y zV a a b b c c abc

1 0 (1 )(1 )(1 )x y zV V

1 0 (1 )x y zV V

1 0 0 ( )x y zV V V V

22 2

1 ( )21 ( 2 )

2 2

x x y y xy xy

xyx y x y

W

WE G

Promjena zapremine

Deformacioni rad

Specifična promjena zapremine (dilatacija):0

1 2 ( )x y z x yVe

V E

(5.19)

(5.20)

(5.21)



Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja


1

12

2x

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

1(1 cos(2 ))

2x

x

1 1sin(2 )

2x

x y

Ravno stanje napona i primjenaXIII



Čisto smicanje (bez normalnih napona)

12

12

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

1sin(2 )x xy

1 1cos(2 )x y xy



Element izložen čistom smicanju (nema normalnih napona)


1sin(2 )x

1 1cos(2 )x y





G max (1 )E E E

Tangencijalna deformacija je promjena ugla između dvije linije koje su prije opterećenja zaklapale ugao od 90 stepeni.





Veza modula elastičnosti i modula klizanja

max2 (1 )bdL h

2 2 2 22 cos( )2bd

L h h h

2 2max max max(1 ) 1 cos( ) 1 2 1 sin2

max 2

max (1 )E E E

G

)1(2

EG(3.12)






Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih napona

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

1cos(2 )

2 2x y x y

x

1 1sin(2 )

2x y

x y

1

12

12



Maksimalni naponi u grediPravougaoni poprečni presjek

Normalni i tang. naponi Glavni normalni naponi Maksimalni tang. naponi

22

1,2 2 2x y x y

xy

22

max,min 2x y

xy



Maksimalni naponi u grediProfili



Primjer 5.2: Prosta greda AB dužine L=1.8 m opterećena je koncentričnom silom P= 48 kN koja djeluje na udaljenosti c=0.6 m od desnog oslonca. Greda je izrađena od čelika pravougaonog poprečnog presjeka bh=50 150 mm. Analiziraj glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon u presjeku m-n koji se nalazi na udaljenosti x= 225 mm od lijevog oslonca.



Kombinovana opterećenja - općenito

Postupak rješavanja:

• Odabrati (kritičnu) tačku u kojoj želimo odrediti napone i deformacije. Kritične tačke su one u kojima se nalaze najveći normalni ili tangencijalni naponi preko formule za savijanje ili formule za tangencijalne napone.

• Za svako opterećenje, odrediti rezultante opterećenja u poprečnom presjeku u kojem se nalazi odabrana tačka• Izračunati normalne i tangencijalne napone u izabranoj tački za svaku od rezultanti opterećenja• Kombinovati pojedinačne napone kako bi se dobile komponente napona, tj. x, y, xy• Odrediti glavne normalne i najveće tangencijalne napone za izabranu tačku• Odrediti deformacije u izabranoj tački, koristeći Hooke-ov zakon• Izabrati dodatne tačke i ponoviti proces. Proces ponavljati sve dok se ne analizira neophodan broj tačaka.

Ravno stanje napona i primjenaXIV


Postupak rješavanja – primjer: analizirati napone u tačkama A i B (+ C i D)

Kombinovana opterećenja - općenito

1 3

2

o

Tr TI r

3

4A

Mr MI r

2 2

4 43 3V VA r

Tačka A

Tačka B



Primjer 5.3: Vratilo elise helikoptera pokreće elisu koja obezbjeđuje podižuću silu kako bi se helikopter održao u zraku. Kao posljedica se javlja kombinacija uvijanja i aksijalnog naprezanja. Ako je prečnik vratila 50 mm, moment uvijanja 2.4 kNm i zatežuća sila 125 kN, odrediti maksimalan zatežući, maksimalan pritisni napon te maksimalan tangencijalni napon vratila.



Primjer 5.4: Tabla dimenzija 2 x 1.2 m, kao na slici, postavljena je na stub u obliku cijevi unutrašnjeg prečnika 220 mm i vanjskog prečnika 180 mm. Početak znaka je 0.5 m od ose cijevi stuba, te 6 m iznad zemlje. Odrediti glavne napone i maksimalan tangencijalni napon u tačkama A i B na dnu stuba ako na znak djeluje vjetar koji izaziva pritisak 2 kPa.

Ravno stanje napona i primjenaXIV


Primjer 5.5: Stub od cijevi kvadratnog poprečnog presjeka služi kao nosač horizontalne platforme. Vanjska dimezija cijevi je 150 mm a debljina stjenke je 12.5 mm. Platforma ima dimenzije 170 x 610 mm i nosi kontinuirano opterećenje od 140 kPa koje djeluje na gornjoj površini. Rezultanta ovog opterećenja je vertikalna sila od 14.5 kN i djeluje na sredini platforme, udaljenom 230 mm od ose cijevi. Druga sila od 3.5 kN djeluje horizontalno na stub 1.3 m od osnove. Odrediti glavne normalne napone i maksimalan tangencijalni napon u tačkama A i B na osnovi.

75 mm

75 mm

12.5 mm

b=150 mm

t=12.5 mm

1.4 kNd=230 mm

h=1.3 m

P2=3.5 kN



Primjer 5.6: Pravougaoni blok izložen je vertikalnoj sili od 40 kN, s napadnom tačkom u uglu bloka (slika). Odrediti najveći napon koji djeluje u presjeku ABCD. Težinu bloka zanemariti.

Ravno stanje napona i primjenaXV


Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)*

*Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2003*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

Granica napona koja definiše slom materijala:• Duktilni/žilavi materijali – početak tečenja materijala• Krti materijali – čvrstoća materijala

• Jednostavno za jednostavna opterećenja; za kompleksna opterećenja koriste se teorije o razaranju• Nijedna teorija se ne može primijeniti na sve materijale niti na isti materijal pod različitim uslovima

(temperatura, brzina deformacije, ..)• Prvo se odrede normalni i tangencijalni naponi tamo gdje su najveći, pa se odrede glavni naponi, a onda odredi

ekvivalentni napon zavisno od teorije koja se primjenjuje!!!


Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Duktilni materijali

Teorija (hipoteza) maksimalnog tangencijalnog napona (Tresca)

Lüderove linije pri ispitivanju čelika

max 2eHR ReH se uzima iz testa na zatezanje

1

2

1 2

eH

eH

eH

R

R

R

Kada 1 i 2 imaju isti znak

Kada su 1 i 2 različitog znaka


Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Duktilni materijali

Teorija (hipoteza) najvećeg specifičnog deformacionog rada (Huber, von Mises, Hencky)

1 1 2 2 3 3

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3

1 1 1 12 2 2 21 2

2

U

UE

2 2 21 2 1 3 2 316d

UE

Test na zatezanje 213d eH

U RE

Biaksijalno opterećenje 2 2 21 1 2 2 eHR

Čisto smicanje Y eH

R


Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Krti materijali

Teorija (hipoteza) najvećeg normalnog napona (Rankine)

Test na zatezanje Test na uvijanje

1

2

m

m

R

R

ult mR


Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Krti materijali

Mohr-ov kriterij (hipoteza)

• Za materijal s različitim osobinama na zatezanje i pritisak• Neophodno uraditi tri testa (jednoosno zatezanje, jednoosni pritisak,

test na uvijanje)

Kriva loma


Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Krti materijaliKrti materijali

Mohr-ov kriterij (hipoteza) – pojednostavljeni model


Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)

• Otkaz duktilnih (žilavih) materijala određen je tečenjem materijala (granica tečenja) – definiše se klizanjem između kristala koji čine materijal, a koje se dešava usljed tangancijalnih napona, a teorija maksimalnog tangencijalnog napona se zasniva na ovoj ideji

• Otkaz krtih materijala određen je lomom materijala (čvrstoća) –dešava se samo usljed maksimalnih normalnih zateznih napona, a ne pritisnih, pa se koristi teorija najvećih normalnih napona (ukoliko je dijagram napon-deformacija isti za zatezanje i pritisak). Ukoliko materijal ima različite dijagame napon-deformacija, koristi se Mohr-ova teorija. Ipak, zbog nesavršenosti materijala, teško je predvidjeti lom krtih materijala, pa se rezultati moraju uzeti s oprezom!



Primjer 6.1: Puno vratilo od sivog liva izloženo je momentu uvijanja od 550 Nm. Odrediti najmanji poluprečnik pri kojem vratilo neće otkazati. Epruveta sivog liva izložena zatezanju ima zateznu čvrstoću od 140MPa.



Primjer 6.2: Puno vratilo izrađeno od čelika s granicom tečenja ReH =250 MPa ima poluprečnik 12.5mm. Odrediti da li će vratilo otkazati koristeći hipoteze sloma za duktilne materijale, ukoliko je izloženo aksijalnoj sili od 65kN i momentu uvijanja od 360 Nm.

132.4 MPa

117.3 MPa

12.5 mm

65 kN

T=360Nm



Primjer 6.3: Šipka od livenog aluminijuma izrađena je od legure s čvrstoćom na zatezanje od 60 MPa i čvrstoćom na pritisak od 120 MPa. Koristeći Mohrovu hipotezu odredi moment uvijanja pri kojem se može očekivati lom.



Primjer 6.4: Element od legure aluminijuma kvadratnog poprečnog presjeka stranice 20 mm, opterećen je silom pritiska od 10 kN i smicanjem silom 5 kN. Za najugroženiji dio poprečnog presjeka odrediti:

• glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon,

• stepen sigurnosti koristeći von Mises hipotezu,

• najveću silu smicanja, koja se može primijeniti uz konstantnu silu pritiska, a da ne dođe do otkaza materijala. Stepen sigurnosti protiv plastičnih deformacija je 2. Koristiti Tresca kriterij.

Granica tečenja materijala je ReH=150 MPa.


Informacije o polaganju pismenog dijela ispita

1. Ispit sadrži 4-5 zadataka, od kojih svaki nosi 15-35% bodova.

2. Na ispitu je dozvoljeno koristiti Listu formula (može se naći na web-stranici kursa), kalkulator i pribor za pisanje.

3. Uz kalkulator i pribor za pisanje, obavezno ponijeti 2-3 prazne dvolisnice A4 format.

4. Mobiteli se ne mogu koristiti umjesto kalkulatora.

5. Ne mogu se koristiti urađeni zadaci, zbirke zadataka i sl., niti se oni mogu dodati na Listu formula.

3. Studenti koji budu ‘uhvaćeni’ u prepisivanju ili korištenju nedozvoljenih sredstava, biće udaljeni s ispita sa zabranom izlaska na pismeni ispit na dva sljedeća termina.

3. Minimalan prolaz na pismenom ispitu je 51%, ali može biti i veći zavisno od broja osvojenih bodova u zadaćama i testovima (učešće pojedinih provjera znanja u konačnoj ocjeni: zadaće/programi 30%, testovi 20%, pismeni ispit 50%)


S R E T N O !!!

…ptf.unze.ba/wp/wp-content/uploads/2020/10/mehmat-i_g... · 2020. 10. 14. · istorijat mehanike...

Documents