met variacionales ritz

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Métodos de Aproximación:Métodos Directos

Métodos Variacionales (Ritz)Residuos Ponderados, Min Cuadrados, Colocacion,

Subdominios

José Manuel Pereiras & Francisco Javier Ferrari

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional General Pacheco

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Solución de Modelos Matemáticos mediante Sistemas Discretos

Básicamente la idea es reducir el Modelo de un sistema matemático continuo a un Modelo de un sistema discreto. Esto se logra planteando un modelo paramétrico discreto.

Los procedimientos que se desarrollarán a continuación presentan las bases para el método de los elementos finitos.

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Procedimiento para el planteo del problema y su resolución: Formulación Directa

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Ejemplo

A continuación se desarrollará un ejemplo donde las incógnitas son los desplazamientos en cada uno de los parantes del sistema.

Para ello se deberá seguir el procedimiento ya visto.

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Ejemplo

El problema consiste en determinar los valores de los desplazamientos U1, U2 y U3.

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Ejemplo: Relaciones elementales de equilibrio

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EjemploAhora se plantean las ecuaciones de equilibrio para cada uno de los componentes.

Luego se sustituyen cada una de las fuerzas por sus expresiones en función de los desplazamientos.

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Elemento 1

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Elemento 2

Y de forma análoga se obtienen las matrices para el resto de los elementos.

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EjemploLa matriz de rigidez total queda:

Por último se resuelve el sistema de ecuaciones lineales K.U=R

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Formulación Variacional

Hasta el momento se han resuelto las ecuaciones de equilibrio mediante la formulación directa.

Un punto importante es que las ecuaciones de equilibrio pueden resolverse en muchos casos mediante un problema de minimización de un funcional (Formulación Variacional).

Este problema consiste en determinar un conjunto de parámetros (valores de estado) U1, U2, …, Un para los cuales el funcional U1,U2,…,Un) alcanza un mínimo.

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Formulación Variacional

La condición para alcanzar ese mínimo es:

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Formulación VariacionalEn el caso que se tenga análisis estructural lineal donde los desplazamientos son usados como funciones de estado la energía potencial total es:

= U - W

Donde U es la energía interna de deformación y W es el trabajo de las fuerzas exteriores

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Formulación Variacional

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Formulación Variacional

Condiciones de borde Esenciales o Geometricas

Las funciones de prueba deben cumplir las condiciones esenciales de apoyo. Esto significa que las funciones de prueba deben respetar las condiciones de borde como ser, restricciones de desplazamientos y/o giros.Para el caso que se muestra en la figura, se presentan posibles funciones de prueba:

)..4()..3()..2().()(

).().().()(

).().()(

).()(

3

223

222

1

LxsenD

LxsenC

LxsenB

LxsenAx

LxsenCxLxBxLxAx

xLxBxLxAx

xLxAx

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Formulación Variacional: Ejemplo

A continuación se plantea un ejemplo para un resorte con una carga aplicada en el extremo.

Consideremos u como el desplazamiento y P la carga.

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Formulación Variacional

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Método de RitzEl método de ritz consiste en plantear una función prueba que cumpla las condiciones geométricas del problema.

Se procede luego a la minimización del funcional a partir del planteo del sistema de ecuaciones que sale de plantear la condición necesaria de mínimo ya vista. Es decir se deriva respecto de cada variable de estado y se iguala a 0.

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Método de Ritz

El problema es determinar los corrimientos (x) para las condiciones geométricas (o condiciones esenciales) impuestas a la estructura.

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Método de Ritz

Sustituyendo las n(x) en (), se obtendrá (n) en el que aparecerán las incógnitas a0, a1, …, an.

La condición de mínimo de d() será lograda mediante:

niconai

...,,1,00)(

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Método de Ritz: EjemploComo ejemplo se analizará una barra sometida a una carga axial N. La expresión del potencial energético para la barra es:

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz : Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

HxAu .sin

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Método de Ritz: Ejemplo

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Ejemplo

Ejemplo de implementacion de Ritz

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Métodos de los Residuos Ponderados

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Métodos de los Residuos Ponderados: Ejemplo para una barra cargada en el extremo

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Métodos de los Residuos – Método de Galerkin

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Métodos de Mínimos Cuadrados, Colocación y Subdominios

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Método de Colocación: Ejemplo

HxAu .sin

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Método de Colocación: Ejemplo

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Método de Colocación: Ejemplo

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Método de Subdominios: Ejemplo

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Método de Subdominios: Ejemplo

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Método de Galerkin: Ejemplo

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Método de Galerkin: Ejemplo

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Método de Galerkin: Ejemplo

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Método de Mínimos Cuadrados: Ejemplo

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Método de Mínimos Cuadrados: Ejemplo

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Bibliografía

Bathe K. J., “Finite Element Procedures”, Prentice Hall Cook R., “Concepts and Applications of Finite Element Analysis”. Fornons, “Método de los elementos finitos en las estructuras”.