metal forming cae lab. gyeongsang national university,...

벡터의 정의

Metal Forming CAE Lab.

Department of Mechanical Engineering

Gyeongsang National University, Korea

Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

벡터의 정의

스칼라량과 실수(또는 수): 크기만 있고 방향성이 없는 물리량을 스칼라량(scalar

quantity)이라고 하고, 스칼라량은 실수(real number)로 표현됨

벡터량과 벡터: 물리량(physical quantity)으로서 크기와 방향성을 갖는 양(quantity)을

벡터량(vector quantity)이라고 하고, 이를 수학적으로 표현한 것을 벡터(vector)라고 함

벡터의 표현

벡터 자체:

벡터 크기:

<벡터의 정의와 기하학적 표현>

, ,a x ABa, x,

, ,a aa

필수적 요소(수학적 요구조건)

작용점: B

작용선: 점 A와 B를 지나는 직선

벡터의 구성 요소

선택적 요소

크기: 점 A와 B 사이의 거리

방향: 점 A에서 점 B로 향하는 화살표의 방향

a

x

y

z

벡터량의 예: 힘, 변위,

속도, 가속도, 열유동,

운동량, 모멘트 등

스칼라량의 예: 일,

일률, 온도, 질량 등 A

B

AB

벡터의 종류

한정벡터(bound vector): 필수적 요소 + 작용점

미끄럼벡터(sliding vector): 필수적 요소 + 작용선

자유벡터(free vector): 필수적 요소(크기와 방향)

(c) free vector

<벡터의 종류>

(a) sliding vector

statics elasticity rigid-body translation

Unknowns : RA, RB

(b) bound vector

Unknowns : deformation, etc. Unknowns : displacement, etc.

BR

AR

P

F

u

u

P

3,a az

1,x x

2,y x1,xa a

2,ya a1

0

벡터의 표현

수학적 표현: 성분으로 표시하기

<직각좌표계에서 벡터의 성분>

행벡터:

열벡터:

x ya a

2 2

x ya a a

1cosa

xa

3

, , a x y za a a

, ,

T

a

x

y x y z

z

a

a a a a

a

2차원 평면

3차원 공간

행벡터: 또는

열벡터:

, a x ya a

,

T

ax

x y

y

aa a

a

(a) 2차원

(b) 3차원

성분으로 표시하면, 크기와 방향, 즉 벡터의

필수적 요건(수학적 요건)을 표현할 수 있음

1cos ii

a

a

2 2 2

x y za a a a

2

기계공학에서 아무 언급

없으면 열벡터를 의미함 3,z x

1,x x

1,y y

1,xa a

2,ya a

0

a

a

벡터 관련 용어 정리

방향여현(directional cosine) :

단위벡터 : 크기가 1인 벡터

단위기초벡터(unit basis vector) :

1 2 3cos , cos , cos T

( 0) a

u aa

<좌표계와 단위기초벡터>

벡터 a의 크기(magnitude) :

벡터의 방향(direction) :

2 2 2 2 2 2

1 2 3 a x y za a a a a a또는

1cos ( 1, 2, 3)a

ii

ai

또는 1u

3,z x

2,y x

1,x x

, 1ei

, 3ek

, 2ej 1, 0, 0

T

1i = ei

0, 1, 0 T

2j = ej

0, 0, 1k T

3k = e

벡터의 연산

벡터의 덧셈

벡터와 스칼라의 곱셈

벡터의 덧셈과 벡터-스칼라의 곱셈의 성질

1 1 2 2 3 3[ , , ]Ta b a b a b a b

1 2 3[ , , ]Ta a a a

( ) ( )

( 0 0 0 )

-

(

)

( )

T

a b b a

a b c a b c

0 + a = a 0=

a + ( a)= 0

a + b ) = a + b

( + a = a + a

a)=( a

1a = a

벡터 의 크기, 놂(norm) :

(

1

2a a a)

a a

a b a b

a+b a b

a a

b

b

a

2a

a

b a b

a b

<벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈>

평행사변형 법칙

a

b

단위기초벡터를 활용한 벡터의 수학적 표현

, ,x y z x y za a a a a a T

a = = i j k

벡터와 스칼라곱, 벡터의 덧셈으로부터

벡터의 연산(덧셈, 뺄셈, 내적, 벡터적, 백터와 스칼라의

곱셈 등) 시, 단위기초벡터로 표현하는것이 원칙

, , T

a = x y za a a

, , T

b = x y zb b b

) ( ) ( )a + b = ( i j kx x y y z za b a b a b

za

x

o

z

xa

ya

y

kza

ixa

jya

i + jx ya a

ij

k

a

a

b

벡터의 연산

벡터의 내적 (inner product, dot product, scalar product)

<벡터의 내적>

내적의 기하학적 의미

cos

0

a b a b

a b 이면 두 벡터는 직교함

내적의 성질

(

( )

0

0 implies

a b b a

a b c) a b a c

( a ) b a b

a a

a a a = 0

0

1

i j = j k = k i =

i i = j j = k k =

기타

13

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2

1

3

, ,Ta b = a b=

i i

i

b

a b a b a b a b a a a b

b

크기 : 두 백터 가 이루는 평행사변형의 면적

벡터의 연산

벡터적 (vector product, cross product)

벡터적의 성질

<벡터적의 정의>

sin (0 ) c = a b

i j k, j k i, k i j

i i = j j = k k = 0

,a b

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

( ) ( ) ( )a a a a b a b a b a b a b a b

b b b

i j k

c = a b = i j k

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

//

a b b a

a b c a b a c

a b c a c b a b c

a b c a b c a b c

a b 0 a b

a

크기 :

기타

c = a bsinbb

a

a

벡터적의 기하학적 의미

방향 : 벡터 에 수직하면서 가 오른손법칙을 따름 , ,a b c,a b

<오른손법칙>

a

b

c

예제

벡터 와 에 대한 다음 물음에 답하라 T

2, 5, 3a T

6, 2, 1b

T

a) 2 14, 1, 1a b

b) 2a ba) 2a b c) a b d) b a e) a b 벡터 와 의사이각

T

b) 2 2, 12, 7a b

c) 2 6 ( 5) 2 3 ( 1) 1a b d) 6 2 2 ( 5) ( 1) 3 1b a

2 2 2 2 2 2

1

e) a b cos 2 5 3 6 2 1 cos 1558 cos

1 cos ( 1/ 1588) 91.45

a b

a b = .

문제 c)로부터 이므로 이다

f ) a b g) b a h) b a = a b

f ) (2 5 3 ) (6 2 ) 4 2 30 5 18 6 20 34i j k i j k k j k i j i i j k a b

g) (6 2 ) (2 5 3 ) 30 18 4 6 2 5 20 34i j k i j k k j k i j i i j k b a

h) a) b) b a = a b . 문제 와 로부터 이다

☞

n 차원으로의 벡터의 확장

Rk 유클리디안 벡터장

벡터의 차원 : 2(3)차원 평면에서 벡터량은 2(3)차원 벡터

k-차원 벡터 : 성분이 k개인 벡터

Rk : k-차원 유클리디안 벡터, k-차원 유한차원 실수벡터장

1

T 2

1 2

T

1 2 i

T

1 1 2 2

T

1 2

1

2

1

1

2

| , , , ; a 's are real

, , ,

, , ,

( )

( )

a

a a

a b

a

a b

a a a

k

k

k

k

k k

n

k

l

a

aa a a

a

R a a a

a b a b a b

a a a

a b

선형종속과 선형독립

선형조합 (linear combination)

1 1 2 2

1

n

i i n n

i

c c c c

a a a a

모든 가 0일 때만 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형독립이라고 함 ic a i

선형독립 (linearly independent)

어떤 가 0이 아닌데도 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형종속이라고 함 ic a i

선형종속 (linearly dependent)

예제

좌표계와 좌표

좌표

직교좌표계(orthogonal coordinate system)

직각좌표계(rectangular coordinate system)

원통좌표계(cylindrical coordinate system)

구좌표계(sphere coordinate system)

<좌표계와 좌표>

a) 직각좌표계 b) 원통좌표계 c) 구좌표계

<주요 직교좌표계>

x

cos

sin

x r

y r

z z

y

z z

x

y

θ r

z

y

z

x

θr

어떤 점의 위치를 기준좌표계에 대한 상대적 위치로 표현한 것

벡터량임

기준좌표계와 지방(국부)좌표계

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

local coordinate

system

reference coordinate system

3,z x

1,x x

i

i

i

2,y x

행렬의 정의

행렬 : m n

11 12 1

21 22 2

1 2

[ ]A

n

nij

m m mn

a a aa a a

a

a a a

용어 정의 :

행벡터(row vector) : 행렬

정방행렬(square matrix) : 행렬

열벡터(column vector) : 행렬

1 n

1m

n n

대각항(diagonal term) : 정방행렬에서

비대각항(off-diagonal term) :

n n ( 1,2, , )iia i n

( )ija i j

대각행렬(diagonal matrix) 단위행렬(unit matrix) 영행렬(zero matrix)

11

22

0 00 0

0 0 nn

aa

a

D

1 0 00 1 0

[ ]

0 0 1

ij

I

0 0 00 0 0

0 0 0

0

하삼각행렬(lower triangular matrix)

상삼각행렬(upper triangular matrix)

11

21 22

2 2

0 00

L

n n nn

aa a

a a a

11 12 1

22 20U

0 0

n

n

nn

a a aa a

a

행렬: 수의 규칙적인 배열

Kroneckerdelta

행렬의 정의

부분행렬(submatrix) : 원래의 행렬에서 일부의 행과 열을 제거한 행렬

주부분행렬(principal submatrix) : 정방행렬에서 동일번호의 행과 열을 동시에 제거하여

만든 부분행렬

전치행렬(transpose of a matrix), : 행렬 A의 (i,j)-요소 와 (j,i)-요소 의 자리를

바꾸어 만든 행렬

대칭행렬(symmetric matrix) :

의대칭행렬(skew-symmetric matrix) :

랭크 (rank) : 선형독립적인 행의 수(= 선형독립적인 열의 수)

특이행렬(singular matrix) : nⅹn 정방행렬에서 랭크가 n - 1 이하일 경우

TA ija jia

T , ij jia a A A

T , ij jia a A A

용어 정의(계속)

행렬과 벡터의 관계

mⅹn 행렬의 벡터 표현

1ⅹn 행벡터의 mⅹ1 열벡터

mⅹ1 열벡터의 nⅹ1 행벡터

11 12 11

21 22 2

2 1 2

1 2

, ,

a

A a b b b

a

Tn

n T

ij n

T

mm m mn

a a a

a a aa

a a a

11

22

ji

ji

i j

in mj

aa

aa

a a

a b

행렬의 덧셈 및 행렬과 스칼라 곱셈

행렬의 덧셈의 정의

성질

ij ij ijc a b C A B

행렬과 스칼라 곱셈의 정의

ij ijc a C A

( ) ( )

)

( )

( )

( ) ( ) 1

( ) (T T T T T

A + B B + A

A + B + C A B + C

A + 0 = A A + ( A 0

A + B A B

A A A

A A A A

A B A B A) A

일반적으로 이 반드시 와 를 의미하는 것이 아님

가 만족될 때, 행렬의 요소 가 정의됨

C = A B : 행렬 와 행렬 의 곱

행렬의 곱셈

행렬의 곱셈의 정의

m p q n[ ]ijaA [ ]ijbB

p q l ijc

1

Ta b a b

l

ij ik kj i j i jk

c a b

행렬의 곱의 성질

( ( ) ( )

(

(

)

(

T T T

A )B AB A B

A(BC) AB )C

A B )C AC BC

A(B C AB AC

AB ) B A

AB BA , AB 0이고 A 0 B 0

, ,I A A AI A Ix x

예제: 다음의 행렬을 이용하여 가 성립함을 보여라.

☞ 이므로 이고, 1 0 228 7 3

T(AB)

1 80 722 3

AB

1 2 4 5 22 5 3 , 2 14 1 3 0 2

A B

1 2 4

5 2 0 1 0 222 5 1

2 1 2 8 7 34 3 3

T TB A

이다. 따라서 T T T

(AB) B A

T T T(AB) =B A

이다.

1

2

1 2 3 3

j

j

ij i i i il j

l j

b

b

i c i a a a a b

b

j

j

m n행렬 m l행렬 l n 행렬

행렬의 변환기능과 응용

행렬의 역할 :

수학적 오퍼레이터(operator)

전달함수(transfer function) 및 변환(transformation)의 역할

<행렬의 역할>

<좌표변환>

벡터량의 좌표변환 법칙 :

cos sin

sin cos

i i

j j

1 , 01 2 1 2

t t t t

2, ]1

T=[t t변환행렬

Ax = y

직교단위행렬(orthonormal matrix)

T

cos , sin1

t T

sin , cos2

t

1 TT T

x yTransformation

A

Mapping

x ' x y '

y ' y x '

cos sin

cos sin

F F F

F F F

x x '

y y '

cos sin

sin cos

F F

F F

O ixF x

'xF

'yF

yF

'yF

'ij

'j

y

'x

'y

cos sin

sin cos

x' x

y' y

F F

F F

cos sin

sin cosT

F

역학문제에서의 행렬

변위-하중 관계식

AF=U1 1

1 2 2 1

x

y

L Q u

AE P u

2 2 1 1

2 2 1 1

x

y

AE u Q

u PL

KU=F

0

0

0

yxxx zxx

xy yy zy

y

yzxz zzz

fx y z

fx y z

fx y z

변위-하중 관계식

2= , ( ) =0KU F K M U

강성행렬

변위벡터

하중벡터

유한요소보간 미분방정식의 근사해법

L

AE

L

AE

, xQ u

, yP u

행렬의 변환기능과 응용

행렬의 판별치 (determinant)

2×2 행렬의 판별치 :

11 1211 22 12 21

21 22

det A a a

D a a a aa a

3×3 행렬의 판별치 :

11 12 1322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1331 3232 33 31 33

31 32 33

det A a a a

a a a a a aD a a a a a a

a aa a a aa a a

11 12 1 22 23 2 21 23 2

21 22 2 32 33 3 31 33 311 12

1 2 2 3 1 3

1 1

det

( 1, 2, , ), ( 1) ( :

( 1)

A

n n n

n n n

n n nn n n nn n n nn

n ni j

ji ji ij ij ij ij iji i

i j

j

a a a a a a a a aa a a a a a a a a

D a a

a a a a a a a a a

D a C a C j n C M C

D a

1 1

( 1)n n

i j

i ji ij iji i

M a M

여인자(cofactor))

: 마이너(minor), i-행과 j-열을 소거하여 얻은 (n-1)×(n-1) 부분행렬의 판별치 ijM

n×n 행렬의 판별치 :

11 11 12 12

11 11 12 12

M M

C C

a a

a a

행렬의 판별치

판별치의 일반적 성질

TA A

AB = BA = A B

①

②

③ 행렬의 한 행 또는 한 열에 상수 c를 곱하여 만든 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치의

c 배임

④ 어떤 행렬의 임의의 두 행 (또는 두 열)을 교환하여 만든 새로운 행렬의 판별치는 본래

행렬의 판별치의 부(negative)의 값을 가짐

⑤ 어떤 행렬의 한 행(또는 하나의 열)에 다른 행(또는 열)의 상수배를 더하여 만든 새로운

행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치와 동일함

⑥ 행(또는 열)벡터가 선형종속이면 판별치는 0임

11 12 1322 23 12 13 12 13

21 22 23 11 21 3132 33 32 33 22 23

31 32 33

det Aa a a

a a a a a aD a a a a a a

a a a a a aa a a

예제

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det det A Aa a a

D ca ca ca ca a a

11 12 13

31 32 33

21 22 23

det det A Aa a a

D a a aa a a

①

② ③

행렬 의 어조인트(adjoint)

역행렬

n×n 행렬 A의 역행렬: 1 1 1

1 1 1 1 1

( )

( )

AB B A

ABCD D C B A

일 때, 행렬 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 함

일 때, 행렬 를 직교단위행렬(orthonormal)이라고 함.

변환행렬은 직교단위행렬임. 즉, 임. 따라서 임

1 1 1 1, ,

Ax b

A Ax A b Ix A b x A b

*1 1[ ] [ ]

det det -1 T

AA A

ij ijC A

-1 -1AA I A A I 또는

*

11 21 1

* 12 22 2

1 2

[ ] [ ] :

[ ]

TAij ij

n

nij

n n nn

A C

C C CC C C

A

C C C

행렬의 곱의 역행렬

선형연립방정식

T , i j ij AA I a a

T TT I

-1AA D

직교단위행렬과 변환행렬

-1 TT T

-1 TA A

※ 참고사항: Kronecker delta 1

0ij

if i j

if i j

A

A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

ij

-1A

선형방정식과 해법

선형방정식

직접법

Gauss-Jordan 소거법

LU 분해법 (또는 Cholesky 분해법)

띠형행렬법(banded matrix)

스카이라인법(skyline method)

저밀도행렬기법(sparse matrix techique)

전선해법(frontal solution method)

반복법

행렬직교방향법(conjugate direction method)

Ax = b

선형방정식의 해법

상사변환

와 의 고유치는 동일

고유벡터의 관계 : ( : 행렬 의 고유 벡터, : 의 고유벡터)

상사변환(similarity transformation)의 정의

1x = R x x A

A A

x A

TA RAR

상사변환의 성질

상사변환의 응용

' ' ' '

' '

i j i p j q pq

i p pq j q

T T

T T

' ' ' ' i p i p pq j qT T

행렬 의 랭크가 n보다 작기 위한 조건 또는 행렬 가 특이행렬이 될 조건

차의 비선형방정식

행렬 가 대칭이면, n 개의 실근 존재

고유치 문제

제차선형연립방정식(homogeneous linear equation) :

0A I

Ax = 0

: 무의미해(trivial solution)

IF : A = 0

고유치 문제 : Ax = x ( A I )x = 0 또는

행렬 의 행벡터 또는 열벡터는 선형종속이어야 함

: 고유치(eigenvalue) 또는 특성치(charactoeristic vector)

: 고유벡터(eigenvector) 또는 특성벡터(characteristic vector)

n n ( A I )

x

특성방정식(characteristic equation) :

n n A I

n

n n A

고유벡터의 직교성 : ( ) ( )

x x = 0i j

(i) (i) ( ) ( ) ( ) ( ),Ax x A x x i j j j

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( T

( ) Tx ( A A )x )x x

j i i j i j

A I

x = 0

0x

1 2

0A x

n

i

i

, , ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), T T T T T

x Ax x x x Ax x xj j ii i i j j i j

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )If 0, ( 0 0 T A A )x x x x

i j i j i j