metodos numericos

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4.6 Fórmulas de Integración

En la siguiente sección desarrollaremos las

fórmulas de integración. Esta operación estárepresentada por:

(4.66)

Es conocido que el cálculo diferencial de laintegral de la función f(x) es equivalente al

área bao la curva de la función! dentro de losl"mites de integración del ee x.

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#na v"a casi exacta $ sistemática de evaluarintegrales es eecutar la integraciónnum%ricamente.

&igura '.' representación gráca del integral. (a)

olo el área positiva (b) áreas positiva $ negativa

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4.7 Formulas de la integración Newton-Cotes

El intervalo *x+!xn, se divide en varios segmentosde anc-ura - $ la formula de interpolación/regor$01e2ton03otes queda expresado como:

  (4.6)

5orque esta fórmula de interpolación austa la

función exactamente a un nmero nito de puntos(n7')! dividiendo el intervalo total de laintegración *x+!xn, en varios segmentos deanc-ura -.

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4.8 La Regla Trapeoidal

8l desarrollar la primera fórmula de 1e2ton03otes!nosotros usamos un segmento de anc-ura - $ el auste

del polinomio por dos puntos (x+!$+) $ (x'!$')(ver &ig 4.9).

&igura 4.9 a ampliación del segmento mostrando en la

aplicación de la regla trape;oidal.

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e retiene los dos primeros t%rminos del polinomiode /regorio01e2ton $ se agrupa en conunto con elresto de los t%rminos del polinomio en t%rminos

restantes.8s"! la ecuación integral llega a ser:

(4.6<)

a primera diferencia es reempla;ada con sudenición de =$+>$'0$+ 

(4.6?)

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El t%rmino restante es evaluado como sigue:

(4.+)

os primeros operadores de diferencia! =9! =@!... sereempla;a por su equivalente! los operadores

diferenciales $ el t%rmino restante llega a ser:

n (4.')

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a serie restante puede reempla;arse por un t%rmino evaluado en A'

por lo tanto

(4.9)

Esto es un t%rmino de orden -@ $ abrevia por B (-@). 5or lo tanto! Eq.(4.6?) puede ser escrito como:

) (4.@)

.

.

.

" #4.7$"

a adición de todas las estas ecuaciones sobre el intervalo total da laregla del trapecio segmento0mltiple.

) (4.6)

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El t%rmino del valor absoluto del error no puede calcularse! perosu magnitud relativa puede medirse por la orden del t%rminoporque n es inversamente proporcional a -:

(4.)

el t%rmino de error para la regla trape;oidal de segmento

mltiple llega a ser: 

) (4.<)

Es decir! la aplicación repetida de la regla trape;oidal sobre

segmentos mltiples -a baado el t%rmino de error poraproximadamente una orden de la magnitud.

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%so de la regla trapeoidal

8proxime el área 8l bao la curva de la función dadapor la tabla siguiente! en el intervalo

a > C++! > '<++.

 Xo > C++ x'>'<++ ! por tanto - > '<++ 0 C++ >'@++

8 >('@++ D9)(? 7 9@) > 9+<++

&unt

os

' ( ) * 4 $

f(x) ? '@.4 '<. 9@ 9C.' 9.9

x C++ ?++ '4++ '<++ 9++ 99+