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Métodos Numéricos por Interpolación

Interpolación de Polinomios de LagrangeCoeficientes de un Polinomio de

Interpolación

Ing. Marvin Hernández C.

Interpolación de un Polinomio de Lagrange

Este método es una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo por diferencias divididas y nos permite determinar valores intermedios entre puntos

Se define de la siguiente forma:

n

iXifXLiXfn

0)()()(

Además…

Las funciones en términos de x pueden ser de primero o segundo orden, de la siguiente manera:

)()()( 101

00

10

11 Xf

XX

XXXf

XX

XXXf

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))(()( 2

1202

101

2101

200

2010

212 Xf

XXXX

XXXXXf

XXXX

XXXXXf

XXXX

XXXXXf

Obtención del polinomio de Lagrange de primer orden.

A partir del polinomio de Newton:

Se reformula como:

01

0101

)()(,

XX

XfXfXXf

10

0

01

101

)()(,

XX

Xf

XX

XfXXf

Obtención del polinomio de Lagrange

La ecuación anterior se sustituye en la formula de interpolación lineal:

Se agrupan términos semejantes:

)()()()( 010

01

01

001 Xf

XX

XXXf

XX

XXXfXf

)()()( 101

00

10

11 Xf

XX

XXXf

XX

XXXf

Si utilizamos f1(x)

La versión lineal de primer orden es semejante a una interpolación lineal, por esto se observa un error relativo porcentual muy alto.

Ejemplo #1. Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primer grado, evalúe ln 2

Ejemplo # 1

%33.33%100693147.0

462098.0693147.0

xError

Gráfica #1

Si utilizamos f2(X) Si la versión es de segundo orden, la

aproximación tiene una forma cuadrática, lo cuál logra un error relativo mucho mas pequeño y cercano al valor verdadero.

Ejemplo #2. Con un polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado, evalué In 2

Ejemplo # 2

%36.18%100693147.0

565844.0693147.0

xError

Gráfica #2

Gráfica #3

Se muestra un caso de segundo grado.

La suma de los términos es el único polinomio de segundo grado.

Gráfica #4

Interpolación de Lagrange empleando la computadora

Problema Estimar la velocidad del paracaidista en

T=10s

Graficas del problema anterior

Coeficientes de un polinomio de Interpolación

La importancia de esta interpolación lineal consiste en la posibilidad de obtener la representación explicita de polinomios interpoladores sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones que imponen las condiciones de interpolación.

Fórmula General

Este método nos proporciona un polinomio conveniente de la siguiente forma:

nnXaXaXaaXf ...)( 2

210

Ejemplo#3

Calcule los coeficientes de la parábola de la forma:

Solución

051873.0

721463.0

66959.0

2

1

0

a

a

a

22 )2(051873.0)2(721463.066959.0)2( f

564844.0)2(2 f

Observación

Debe observarse que el método anterior no es el método de interpolación más eficiente para determinar los coeficientes de un polinomio.

Los coeficientes suelen ser inexactos, en particular para n grandes.

En resumen…

Para determinar un punto intermedio, emplee la interpolación de Newton o de Lagrange.

Para determinar una ecuación de la forma general, limítese a polinomios de grado menor y verifique los resultados.