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Métodos locales de interpolación:
La motivación para el estudio de los métodos locales de interpolaciónradica en la dificultad de calcular el polinomio de interpolación para unnúmero no pequeño de puntos.
Además, cuanto mayor sea el número de puntos, es decir, cuanto másdifícil resulte el cálculo del polinomio de interpolación, tanto más correcta será la aproximación obtenida mediante los métodos de interpolación locales.
Los dos métodos locales de interpolación más sencillos son:- Interpolación por rectas, tomando los puntos de 2 en 2.- Interpolación por parábolas, tomando los puntos de 3 en 3.
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Interpolación por rectas
Polinomio de interpolación
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Interpolación por rectas:
xn-1
xn
xn+1
yn+1
yn-1
yn
y x( ) =yn +yn+1 −ynxn+1 −xn
(x−xn)
y x( ) =yn +yn −yn−1
xn −xn−1
(x−xn)
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No están definidas las derivadas en los puntos xi; sí, en cambio, enlos puntos intermedios xi<x<xi+1, para los cuales la primera derivadaes constante y las derivadas superiores se anulan:
y' x( )=yi+1 −yixi+1 −xi
para xi <x<xi+1
Aunque no están definidas las derivadas en los puntos xi; sí quese pueden definir las derivadas por la derecha y por la izquierda que, en el caso, general, serán diferentes:
/ ∃ y' xi( )
y'(+) xi( )=yi+1 −yixi+1 −xi
→ derivada por la derecha
y'(−) xi( )=yi −yi−1
xi −xi−1
→ derivada por la izquierda
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Fórmula para la integración con interpolación por rectas:Integración por trapecios:
y(x)dxa=x0
b=xn
∫ = [yi +yi+1 −yixi+1 −xixi
xi+1
∫i=0
n−1
∑ (x−xi)]dx
= yi(xi+1 −xi) +12yi+1 −yixi+1 −xi
(xi+1 −xi)2
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥ i=0
n−1
∑
= yi(xi+1 −xi) +12yi+1 −yi( )(xi+1 −xi)
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
i=0
n−1
∑xi
=
xi
=
y(x)dxa=x0
b=xn
∫ =12yi +yi+1( )Δxi
i=0
n−1
∑
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y(x)dxa=x0
b=xn
∫ =12yi +yi+1( )Δxi
i=0
n−1
∑
Si todos los xi son iguales: Δxi =h
y(x)dxa=x0
b=xn
∫ =h12yi +yi+1( )
i=0
n−1
∑
y(x)dxa=x0
b=xn
∫ =h12y0 +yn( )+ yi
i=0
n−1
∑⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
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Obtener la siguiente integral por el método de los trapecios con 4cifras significativas correctas:
= xlnx−x[ ]13
=3ln3−3+1≈1.2958369
Si tomamos h = 1 (3 puntos):
x0 =1; x1 =2; x3 =3
ln(x)dx1
3
∫ =h12
ln(x0)+ln(x2)( )+ln(x1)⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
ln(x)dx1
3
∫ =12
ln(1) +ln(3)( )+ln(2) ≈1.2424533
lnx dx1
3
∫
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Si tomamos h = 1/2 (5 puntos):
x0 =1; x1 =1.5; x2 =2; x3 =2.5; x4 =3
ln(x)dx1
3
∫ =h12
ln(x0)+ln(x4)( )+ ln(xi )i=1
3
∑⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
ln(x)dx1
3
∫ =12
12
ln(1) +ln(3)[ ]+ln(1.5) +ln(2)+ln(2.5)⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
ln(x)dx1
3
∫ ≈1.2821046
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Si tomamos h = 1/4 (9 puntos):
x0 =1; x1 =1.25; x2 =1.5; x3 =1.75; x4 =2;
x5 =2.25; x6 =2.5; x7 =2.75; x8 =3
ln(x)dx1
3
∫ =h12
ln(x0)+ln(x8)( ) + ln(xi)i=1
7
∑⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
ln(x)dx1
3
∫ =14
[12
ln(1)+ln(3)[ ]+ln(1.25)+ln(1.5)+ln(1.75)+
+ln(2) +ln(2.25) +ln(2.5) +ln(2.75)]
ln(x)dx1
3
∫ ≈1.2923749
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Si tomamos h = 1/8 (17 puntos):
x0 =1; x1 =1.125; x2 =1.25; x3 =1.375; x4 =1.5; x5 =1.625;
x6 =1.75; x7 =1.875; x8 =2; x9 =2.125;x10 =2.25; x11 =2.375;
x12 =2.5; x13 =2.625; x14 =2.75; x15 =2.875; x16 =3
ln(x)dx1
3
∫ =h12
ln(x0)+ln(x16)( )+ ln(xi)i=1
15
∑⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
ln(x)dx1
3
∫ ≈1.2949695
Si tomamos h = 1/16 (33 puntos): ln(x)dx1
3
∫ ≈1.2956199
Si tomamos h = 1/32 (65 puntos): ln(x)dx1
3
∫ ≈1.2957826
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xn-1
xn
xn+1
yn+1
yn-1
yn
Interpolación por parábolas:
h h
= xn+hxn-h =
y x( ) =yn +yn+1 −yn−1
2h(x−xn)+
yn+1 +yn−1 −2yn2h2 (x−xn)
2
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El polinomio de interpolación que pasa por los puntos (xn-1, yn-1),(xn, yn), (xn+1, yn+1) lo podríamos calcular sustituyendo dichos valoresen la expresión general:
y(x) =a0 +a1x+a2x2
Sin embargo resulta más sencillo tomar la siguiente expresión :y(x) =a+b(x−xn)+c(x−xn)
2
yn−1 =a−bh+ch2
yn =a
yn+1 =a+bh+ch2
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
y tener en cuenta que xn-1 = xn - h, y que xn+1 = xn + h :
c=yn+1 +yn−1 −2yn
2h2
b=yn+1 −yn−1
2h
y x( ) =yn +yn+1 −yn−1
2h(x−xn)+
yn+1 +yn−1 −2yn2h2 (x−xn)
2
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Las primeras derivadas en los puntos intermedios x, xn-1<x<xn+1 ahora no son constantes:
y' x( )=yn+1 −yn−1
2h+yn−1 +yn+1 −2yn
h2 (x−xn) ; xn −h<x<xn +h
Sí es constante la 2ª derivada y, por tanto, nulas todas las demásderivadas de orden superior:
y'' x( ) =yn−1 +yn+1 −2yn
h2 para xn −h<x<xn +h
y(n) x( )=0 ; (con n≥3) para xn −h<x<xn +h
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Fórmula para la integración con interpolación por parábolas:Regla de Simpson :
y x( )xn −h
xn +h
∫ dx= yn +yn+1 −yn−1
2h(x−xn) +
yn−1 +yn+1 −2yn2h2 (x−xn)
2⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
xn −h
xn +h
∫ dx
El valor de la integral de la parábola de interpolación desde xn-hhasta xn-h es:
y x( )xn −h
xn +h
∫ dx=yn2h+yn−1 +yn+1 −2yn
2h2
2h3
3=h3yn−1 +yn+1 +4yn( )
Si queremos integrar desde a ( = x0) hasta b (=xn):
x0, x1, x2, x3, x4, x5, …, xn-2, xn-1, xn,
(x0, x1, x2), (x2, x3, x4), …, (xn-2, xn-1, xn)
h3yn−2 +yn +4yn−1( )
=
h3y0 +y2 +4y1( )
=
h3y2 +y4 +4y3( )
=
+ +…+ =
y x( )a=x0
b=xn
∫ dx=h3
y0 +yn +2 yi +4 yii=1
impares
n−1
∑i=2pares
n−2
∑⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
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Obtener la siguiente integral por el método de Simpson con 4cifras significativas correctas:
= xlnx−x[ ]13
=3ln3−3+1≈1.2958369
Si tomamos h = 1 (3 puntos)(1 intervalo):
x0 =1; x1 =2; x3 =3
ln(x)dx1
3
∫ =h3
ln(x0)+ln(x2)+4ln(x1)[ ]
ln(x)dx1
3
∫ =13
ln(1)+ln(3) +4ln(2)( ) ≈1.2904003
lnx dx1
3
∫
con trapecios y h=1→≈1.2424533
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Si tomamos h = 1/2 (5 puntos)(2 intervalos):
x0 =1; x1 =1.5; x2 =2; x3 =2.5; x4 =3
ln(x)dx1
3
∫ =h3
ln(x0) +ln(x4)+2ln(x2)+4 ln(xi)i=1impar
3
∑⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
ln(x)dx1
3
∫ =16
ln(1)+ln(3)+2ln(2) +4 ln(1.5)+ln(2.5)( )[ ]
ln(x)dx1
3
∫ ≈1.2953217
con trapecios y h=12
→≈1.2821046
valor exacto≈1.2958369
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Si tomamos h = 1/3 (7 puntos)(3 intervalos):
x0 =1; x1 =43
; x2 =53; x3 =2; x4 =
73
; x5 =83; x6 =3
ln(x)dx1
3
∫ =h3
ln(x0) +ln(x6) +2 ln(xi )i=2par
4
∑ +4 ln(xi )i=1impar
5
∑⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
ln(x)dx1
3
∫ =19
[ln(1)+ln(3)+2 ln(53)+ln(
73)
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ +
+4 ln(43)+ln(2)+ln(
83)
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ ]
ln(x)dx1
3
∫ ≈1.2957215
valor exacto≈1.2958369
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Si tomamos h = 1/4 (9 puntos) (4 intervalos):
x0 =1; x1 =1.25; x2 =1.5; x3 =1.75; x4 =2;
x5 =2.25; x6 =2.5; x7 =2.75; x8 =3
ln(x)dx1
3
∫ =h3
ln(x0) +ln(x8)+2 ln(xi)i=2par
6
∑ +4 ln(xi )i=1impar
7
∑⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
ln(x)dx1
3
∫ =1
12[ln(1)+ln(3) +2(ln(1.5) +ln(2)+ln(2.5))
+4(ln(1.25)+ln(1.75)+ln(2.25)+ln(2.75))]ln(x)dx
1
3
∫ ≈1.2957983
con trapecios y h=14
→≈1.2923749
valor exacto≈1.2958369
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Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios(con 7 puntos en ambos casos) el valor de las siguientes integrales:
cos( 1+x2 )dx0
3
∫
x 1+x2dx0
3
∫
x2exdx−1
2
∫
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Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios(con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral:
cos( 1+x2 )dx0
3
∫Si tomamos h = 1/2 (7 puntos):
x0 =0; x1 =0.5; x2 =1; x3 =1.5; x4 =2; x5 =2.5; x6 =3Por trapecios:
cos( 1+x2 )dx0
3
∫ =h12
cos( 1+x02 )+cos( 1+x6
2)( ) + cos( 1+xi2 )
i=1
5
∑⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
=12
[12
cos( 1+02 )+cos( 1+32 )( )+cos( 1+0.52 ) +cos( 1+12 )
+cos( 1+1.52 )+cos( 1+22 )+cos( 1+2.52 )]≈−0.692201¡¡¡EN R
ADIANES!!!
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cos( 1+x2 )dx0
3
∫ =h3
[cos(1+x02 )+cos( 1+x6
2) +
+2 cos( 1+xi2 )
i=2par
4
∑ +4 cos( 1+xi2 )
i=1impar
5
∑ ]
Por Simpson:
=16{cos(1+02) +cos( 1+32 )+2[cos(1+12 ) +cos( 1+22 )]+
+4[cos(1+0.52 )+cos( 1+1.52 )+cos( 1+2.52 )]}≈−.692577
con trapecios→≈−.692201
valor exacto≈−.692603
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Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios(con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral:
x 1+x2dx0
3
∫Si tomamos h = 1/2 (7 puntos):
x0 =0; x1 =0.5; x2 =1; x3 =1.5; x4 =2; x5 =2.5; x6 =3Por trapecios:
x( 1+x2 )dx0
3
∫ =h12x0( 1+x0
2 )+x6( 1+x62)( ) + xi( 1+xi
2 )i=1
5
∑⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
=12
[12
0( 1+02 )+3( 1+32 )( ) +0.5( 1+0.52) +1( 1+12 )
+1.5( 1+1.52 )+2( 1+22 )+2.5( 1+2.52 )]≈10.3122
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x( 1+x2 )dx0
3
∫ =h3
[x0( 1+x02 ) +x6( 1+x6
2 )+
+2 xi( 1+xi2 )
i=2par
4
∑ +4 xi( 1+xi2 )
i=1impar
5
∑ ]
Por Simpson:
=16{0( 1+02 )+3( 1+32 )+2[1( 1+12 )+2( 1+22 )]+
+4[0.5( 1+0.52 )+1.5( 1+1.52 )+2.5( 1+2.52 )]}≈10.2063
con trapecios→≈10.3122
valor exacto≈10.2076
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Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios(con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral:
x2exdx−1
2
∫Si tomamos h = 1/2 (7 puntos):
x0 =−1; x1 =−0.5; x2 =0; x3 =0.5; x4 =1; x5 =1.5; x6 =2Por trapecios:
x2exdx−1
2
∫ =h12x0
2ex0 +x62ex6( )+ xi
2exi )i=1
5
∑⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
x2exdx−1
2
∫ ≈14.164
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x2exdx0
3
∫ =h3[x0
2ex0 +x62ex6 +
+2 xi2exi
i=2par
4
∑ +4 xi2exi
i=1impar
5
∑ ]
Por Simpson:
con trapecios→≈14.164
valor exacto≈12.9387
x2exdx−1
2
∫ ≈12.9919