miloš cvetković - "dirihleov princip"

Милош Цветковић

Природно-математички факултет,

Ниш

20. мај 2016.

1. Доказати да међу било којих 6 природних бројева

постоје 2 чија је разлика дељива са 5.

2. У поља квадрата 3×3 распоређени су бројеви 1, 2 и 3.

Да ли је могућ такав распоред при којем би збир

бројева у свакој врсти, колони и дијагонали био

различит?

3. Бела раван је на произвољан начин попрскана

плавом бојом. Доказати да у тој плаво-белој равни

постоје две тачке исте боје (плаве или беле) чије је

растојање 1 cm.

Одакле почети са решавањем?

Јохан Петер Густав Лежен Дирихле

(1805-1859) Рођен је на територији данашње

Немачке (Dϋren). Студирао је у

Паризу. Био је професор у Берлину и

Гетингену. Његов први научни рад се

односи на Фермаову велику

теорему:

𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛,

𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0 и 𝑛 ≥ 3.

𝑛 = 5 Дирихле и Лежандр 𝑛 = 14 Дирихле

Бавио се углавном теоријом бројева

и математичком анализом.

У доказу једног свог резултата

користио је принцип који је касније

назван по њему.

ГОЛУБОВИ И КАВЕЗИ

У бар једном кавезу се налазе

бар 2 голуба!

ГОЛУБОВИ И КАВЕЗИ

И опет се у бар једном кавезу налазе бар 2

голуба!

ФОРМУЛАЦИЈА ДИРИХЛЕОВОГ ПРИНЦИПА

Ако имамо n кавеза и n+1 голубова, онда се у бар једном кавезу налазе бар 2 голуба.

Доказ: Претпоставимо да је сваки кавез или празан или садржи највише 1 голуба. Тада би укупан број голубова био мањи или једнак од n. Како је укупан број голубова n+1 онда се у бар једном кавезу налазе 2 голуба.

• Дирихлеов принцип није применљив само на голубове и кавезе!

• The Pigeonhole Principle

• У сваком задатку треба открити шта су „голубови“, а шта „кавези“.

.

1. Доказати да су од 8 особа бар две рођене истог

дана у недељи.

РЕШЕЊЕ: У недељи има 7 дана и они играју улогу

„кавеза“. Особа има 8 и оне су „голубови“ у овом задатку.

Дакле, овде је n=7. На основу Дирихлеовог принципа

закључујемо да су бар 2 особе рођене истог дана (не

може се утврдити који је то дан).

2. Доказати да међу 13 ученика увек постоје бар 2

ученика који су рођени у истом месецу?

РЕШЕЊЕ: Ученици су „голубови“, месеци су „кавези“,

n=12.

3. У сваком скупу од 3 природна броја, бар 2 броја су

исте парности.

РЕШЕЊЕ: Сваки природан број може бити паран или

непаран.

Први кавез: својство бити паран;

Други кавез: својство бити непаран.

Бројеви су голубови. Имамо 3 голуба и 2 кавеза...

4. Доказати да од 3 природна броја постоје 2 чији је

збир дељив са 2.

РЕШЕЊЕ: Претходни задатак нам каже да постоје 2

броја исте парности: 2 парна или 2 непарна. Који год

случај да је у питању збир та 2 броја је паран, тј. дељив

са 2.

5. Доказати да међу било којих 6 природних бројева

постоје 2 чија је разлика дељива са 5.

РЕШЕЊЕ: Природан број приликом дељења бројем 5

може да да следеће остатке: 0, 1, 2, 3, 4. На пример,

10=5•2+0 (количник 2 и остатак 0), 23=5•4+3 (количник 4

и остатак 3). Остаци су „кавези“, а бројеви су „голубови“

(n=5). Дирихлеов принцип нам омогућава да закључимо

да постоје два броја, означимо их са А и В, са истим

остатком:

А=5m+r, B=5s+r, r-остатак.

А-В=(5m+r)-(5s+r)=(5m-5s)+(r-r)=5(m-s)+(r-r)=5(m-s).

Закључак: разлика A-B је дељива са 5.

6. У поља квадрата 3×3 распоређени су бројеви 1, 2 и

3. Да ли је могућ такав распоред при којем би збир

бројева у свакој врсти, колони и дијагонали био

различит?

РЕШЕЊЕ: Различити збирови од бројева 1,2 и 3:

3=1+1+1, 4=1+1+2, 5=1+2+2,

6=2+2+2, 7=2+2+3, 8=2+3+3,

9=3+3+3.

Укупан број врста, колона и дијагонала је 8, а број

различитих збирова је 7.

ОДГОВОР: Такав распоред бројева није могућ.

7. Бела раван је на произвољан начин попрскана

плавом бојом. Доказати да у тој плаво-белој равни

постоје две тачке исте боје (плаве или беле) чије је

растојање 1 cm.

РЕШЕЊЕ: Нацртајмо у равни произвољан једнакострани-

чан троугао странице 1 cm.

Свако теме троугла АВС је или

плаве или беле боје.

Имамо 3 темена („голубови“) и

две боје („кавези“).

Дирихлеов принцип: постоје 2 темена исте боје, па

самим тим постоје две тачке исте боје чије међусобно

растојање износи 1 cm.

ДИРИХЛЕОВ ПРИНЦИП – ЈАКА ФОРМА

Ако је m објеката смештено у n кутија и m>nr, тада се у

бар једној кутији налази бар r+1 објеката.

Доказ: Нека у свакој кутији има највише r објеката. Тада

укупан број објеката није већи од r+r+…+r=nr, што је

мање од укупног броја објеката. Дакле, у бар једној

кутији се налази бар r+1 oбјеката.

Tреба 13 објеката да сместимо у 3 кутије. Тада је

m=13, n=3, 13=3•4+1, 13>3•4, r=4, r+1=5. У бар једној

кутији се налази 5 објеката.

8. У једној осмогодишњој школи у сваком разреду има

по 4 одељења, а укупан број ученика је 1111. Доказати

да постоји одељење у коме учи бар 35 ученика.

РЕШЕЊЕ: Укупан број одељења у школи је 8•4=32.

Ученици су „објекти“, одељења су „кутије“. Дакле, m=1111 и

n=32. Како је 1111=32•34+23, 1111>32•34, онда је r=34.

Закључак: постоји одељење са r+1=35 ученика.

9. Сваки од 30 ученика једног одељења поклонио је

школској библиотеци по неку књигу. Највише, 8 књига,

поклонио је Иван. Доказати да постоје бар 5 ученика

који су поклонили исти број књига.

РЕШЕЊЕ: Сваки од осталих 29 ученика је поклонио

1,2,...или 7 књига, значи m=29, n=7. Како је 29=7•4+1, онда

је 29>7•4. Закључак: r=4 и бар 5 ученика је поклонило исти

број књига.

10. Може ли се тврдити да у одељењу од 34 ученика

сигурно постоје бар 2 ученика чија презимена почињу

истим словом?

РЕШЕЊЕ: Азбука има 30 слова и она представљају „кутије“

у које треба да сместимо 34 ученика („предмета“). Како је

34=30•1+4, онда следи да постоје бар 2 ученика чија

презимена почињу истим словом.

А ако би у одељењу било 29 ученика?

11. Свака од страница и дијагонала конвексног

шестоугла на произвољан начин је обојена плавом или

црвеном бојом. Доказати да постоји троугао чија су

темена темена шестоугла и чије су све странице исте

боје. РЕШЕЊЕ:

А

С B

E

D

F

5 дужи и 2 боје, 5=2•2+1: бар 3 дужи су

исте боје (рецимо црвене). Ако је нека

од дужи ВС, СЕ или ВЕ црвена онда је

то ΔАСВ, ΔАЕС или ΔАЕВ. Ако су све

ове дужи плаве боје, онда је то ΔВЕС.

ЈОШ НЕКОЛИКО ЗАДАТАКА

12. У квадрату странице 1 на случајан начин је

распоређена 51 тачка. Доказати да постоји круг

полупречника 1/7 који садржи бар 3 тачке датог скупа.

РЕШЕЊЕ: Поделимо дати квадрат на 5 ∙ 5 = 25 мањих

квадрата чија је страница 1

5= 0,2. Тада је 51 тачка

распоређена у тих 25 квадрата.

Дирихлеов принцип: бар 1 од тих мањих квадрата

садржи бар 3 од датих тачака. Опишимо круг 𝑘

око тог квадрата. Његов полупречник је 𝑟 =0,2 2

2=

2

10. Како је

𝑟2 =2

10

2

=2

100=

1

50<

1

49=

1

7

2

,

то је 1

7> 𝑟. Према томе круг полупречника

1

7 који је

концентричан са кругом 𝑘 покрива уочени квадрат

и садржи бар 3 од датих тачака.

• • •

𝑘

𝑟

𝑎 = 0.2

𝑟

𝑟2+𝑟2 = 𝑎2

13. Доказати да у сваком скупу од n особа постоје

бар 2 особе са истим бројем познаника. (Ако особа

А познаје особу В, онда и особа В познаје особу А.)

РЕШЕЊЕ: Случај 1: Постоји особа која никога не

познаје.Тада је број познаника за сваку особу најмање

0, а највише n-2 (ако би постојала особа која познаје

све преостале особе, тј. која има n-1 познаника, онда би

и сви познавали њу, па не би постојала особа која

никога не познаје).

Случај 2: Свака особа има бар 1 познаника. Тада је број

познаника за сваку особу најмање 1, а највише n-1.

У оба случаја постоји n-1 могућности за број познаника

(„кутије“), а имамо n особа („предмета“). На основу

Дирихлеовог принципа добијамо да постоје бар 2 особе

са истим бројем познаника.

14. Доказати да у групи од 6 људи увек постоје 3

особе које се међусобно познају или које су

међусобно странци.

РЕШЕЊЕ:

Случај 1 Случај 2

Тачке представљају особе. Ако су тачке спојене онда се

те две особе познају, у супротном особе су странци.

Издвојимо особу А. Остало је 5 особа и за сваку од њих

постоје 2 могућности: познавати А или не познавати А.

Дирихлеов принцип: бар 3 особе познају А или бар 3

особе не познају А.

А А

ДИРИХЛЕОВ ПРИНЦИП И МАЛИ ТРИК СА КАРТАМА

• Свака карта има једну од следећих боја: лист, срце, каро, треф.

• Дирихлеов принцип: у скупу од 5

карата бар 2 карте су исте боје!

• Учесници: мађионичар, његов

асистент и особа из публике.

Опис трика: особа из публике одабере 5 произвољних

карата из шпила и покаже их само асистенту. Асистент

уочава 2 карте са истом бојом и једну од њих одваја од

преосталих карата. Мађионичар треба да погоди боју

одвојене карте. Асистент ређа преостале 4 карте пред

мађионичарем. Карта коју прво ставља на сто има исту

боју као и одвојена карта!

ДИРИХЛЕОВ ПРИНЦИП И КОМПРЕСИЈА ПОДАТАКА

• Битстринг је коначан низ састављен од цифара 0 и 1.

• Број цифара битстринга представља његову дужину.

• Пример: 11011100; дужина битстринга је 8.

• Компресија података: постоји алгоритам који сваком

битстрингу додељује „нови“ битстринг.

11011100 10110 компресија

Претпоставке:

• Различити битстрингови не могу бити компресовани у

исти битстринг.

• Сваки битстринг се компресује у битстринг мање

дужине.

А шта на ово каже Дирихлеов принцип?

• Број битстрингова дужине 𝑛 је 2𝑛.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 1 0 1 0 1 0 1

1. 2. 3. n.

• Сваки битстринг дужине n компресује се у неки

битстринг дужине 0, 1, 2,...или n-1.

цццккккк 2𝑛 битстрингова дужине 𝑛

𝑆 = 2𝑛 − 1 битстрингова

дужине мање од 𝑛

компресија

𝑆 = 20 + 21 + 22 + ⋯ + 2𝑛−1 = 2𝑛 − 1

Дирихлеов принцип: 2 битстринга се компресују у исти!

Контрадикција!

Не могу се сви битстрингови компресовати у битстрингове

краће дужине!

ДИРИХЛЕОВ ПРИНЦИП И КОМПРЕСИЈА ПОДАТАКА

ХВАЛА ВАМ НА ПАЖЊИ!