modélisation numérique non linéaire -...
Post on 11-Sep-2018
237 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Modélisation Numérique Non Linéaire
Déformations
Elastiques (instantanées - réversibles)
E
Visqueuses (fct du temps)
Plastiques (irréversibles - non linéaire)
S
Rappels Aspects physiques
E .
.
.
.
Essais
EcrouissageA
B
t
imposé A
B
mesuré
Fluage - recouvrance
A
t
A
t
imposé
mesuré
A
t
B
Relaxation
mesuréA
t
B
imposé
Rappels Aspects physiques
4
Rappels
Un problème non-linéaire est un problème pour lequel la matrice de rigidité de la structure varie avec sa déformation.
Force
Allongement
F = k(x) x
Ressort non-linéaire raideur variable
Force
Allongement
F = k x
Ressort linéaire raideur constante
• Au cours d’une analyse non-linéaire, la matrice de rigidité de la structure non-linéaire doit être assemblée et inversée à chaque incrément de temps, ce qui rend ce type d’analyse souvent très longue.
• On ne peut pas appliquer de principe de superposition et chaque cas de charge doit faire l’objet d’une analyse.
Aspects physiques
Modèles « linéaires » ==> solides visco-élastiques
Ressort : E
E
Amortisseur :
Modèle de Maxwell : 11 E
Modèle de Kelvin-Voigt : E
Le ressort ou de l’amortisseur peuvent être non linéaire
Rappels Aspects physiques
Modèles non linéaires
Analogie mécanique
Modèles de comportement Essai d’écrouissage
S
Rigide Plastique Parfait
RPP
S
plastique
Élasto-Plastique Parfait EPP
S
p e
Rigide Plastique avec Écrouissage
RPE
S
E1
E2
Élasto-Plastique avec Écrouissage
EPE
S E2
E1 E2+ Modèles de base de la plasticité
Rappels Aspects physiques
Types de non-linéarités des problèmes:
• Contact-frottement et Conditions aux Limites
• Géométriques (grands déplacements et grandes rotations)
• Matériaux (comportement non linéaire- endommagement))
Traitement des problèmes non-linéaires à l’aide d’algorithmes robustes et paramétrables (Newton-Raphson standard à pas adaptatif)
Rappels Aspects physiques
8
Non-linéarités matérielles
• Hyper-élasticité : Comportement non linéaire réversible (élastique linéaire) de certains matériaux de type caoutchouc.
• Plasticité : Ce type de non linéarité concerne aussi les matériaux viscoplastiques ainsi que les comportements avec rupture ou endommagement.
• Viscoplasticité •Endommagement
Aspects physiques
9
Description de la courbe d’écrouissage au-delà de la zone linéaire
- Pour la plupart des métaux l’écoulement plastique correspond à 0,05-0,1% de .- Acier (E = 210 GPa ; Re0,2 = 500 MPa e = 2,4.10-3)
Contrainte d’écoulementRe0,2
Écrouissage
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
10
Notion de contrainte et déformation nominale et vraie
0AFnom
00 lllnom
- Contrainte nominale
- Déformation nominale (allongement par unité de longueur).
(force par unité de surface non déformée),
00
0
0
1lnlnln0 l
ll
llll
ldll
l
Mesure adaptée aux hypothèses de petites déformations.
Nouvelle mesure de la déformation par passage à la limite à partir de la définitionprécédente
ldld
ll
0
Après intégration, nous trouvons :
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
11
Notion de contrainte et déformation nominale et vraie
- Déformation vraie : nom 1ln
nomnom 1
- Contrainte vraie :
0
0
0
0
0
lll
ll
AA
AF
AF
nomvraie
nomvraie
De même, on définit la contrainte vraie ou force par unité de surface déformée à partirde l’hypothèse de déformation à volume constant, on montre :
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
12
Partition de la déformation totale
y
p e
pe
Ee
On mesure la déformation totale
On calcule la déformation élastique
Puis la déformation plastique
Etetp
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
13
Différents types de modèles de comportement plastique
Loi de comportement élasto-plastique parfait (acier doux)
Loi de comportement élasto-plastique avec écrouissage linéaire)
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
Différents types de modèles de comportement plastique
Loi de comportement élasto-plastique avec écrouissage (isotrope) non linéaire
np K
1
n
KE
1
- Loi d’Hollomon
- Loi de Ramberg-Osgood
naaa KE
1
1
0
n
E
ou
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
Sensibilité de l’écrouissage à la vitesse de déformation et à la température.
- Loi thermo-élasto-viscoplastique Johnson-Cook
m
melt
pnp
V TTTT
CBA0
0
0
1ln1
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
Endommagement plastique ductile des métaux (J-C).
Intégration d’un critère d’endommagement à la loi de comportement.
0
05
04321 1ln1exp
TTTTDDDDD
f
mf
0
00
0
0
si
siavec
Df
16
Écrouissage isotrope / cinématique
- Écrouissage isotrope : l’écrouissage acquis en traction reste valable en compression (satisfaisant dans les calculs à chargement monotone ; mauvaise représentation des phénomènes cycliques).
- Écrouissage cinématique : l’écrouissage cinématique linéaire représente assez bien l’effet Bauschinger (adoucissement en compression suite à un écrouissage en traction), mais mal les effets de consolidation cyclique.
Écrouissage isotrope Écrouissage cinématique
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
B
oA
C
O O'
Ce n ’est pas si simple !!
1er passage
2ème passage
Il faut connaître l ’historique du chargement
Écrouissage isotrope / cinématiqueNon-linéarités matérielles Aspects physiques
Ecrouissage monotone
Ecrouissage ISOTROPE
Même augmentation en traction et compression
Wdef élastique
Ecrouissage CINEMATIQUEEffet Baushingerdurcissement dans un sensadoucissement dans l’autre
2o
Écrouissage isotrope / cinématique
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
Critère
Y p( ) 0
E
ET
Y(E)
Etat actuel (,E
Etat présumé
Etat réel
Loi d ’écoulement plastique
ep
1 Ee
) )(( 1
EH Sp
)1( /E
EE T
TH
p
Écrouissage isotrope / cinématique
Non-linéarités matérielles Aspects physiques
20
Plasticité numérique
Fondements de la plasticité « numérique »
- Partition de la déformation totale
- Déformation plastique volume constant
- Décomposition du taux de déformation
pe ddd
0pmoyd
pe La loi de Hooke pilote le changement de volume
Suite au constatations expérimentales
eE La loi de Hooke pilote la déformation élastique
Le chargement est défini par un tenseur de comportement tangent
dEd
dEd Le déchargement est toujours élastique linéaire
Non-linéarités matérielles
21
Plasticité numérique
Fondements de la plasticité « numérique »
Il existe un critère de plasticité F(,k), qui permet de définir le comportement élastoplastique.
élastiqueementdéchdFetFplastiqueécoulementdFetF
élastiquentcomportemeF
arg0000
0
Dans le cas de l’écoulement plastique, celui-ci s’effectue normal à la surface de charge (loi de normalité ; direction qui rend maximal le travail plastique)
p Fd d
Se traduit par le fait que l’incrément de déformation plastique est perpendiculaire à la surface d’écoulement : Condition de normalité
Non-linéarités matérielles
22
Plasticité numérique
Formulation de la matrice de rigidité
F FdF( , k) d dk 0k
- différentielle de la fonction d’écoulement :
pe ddEdEd - application de la loi de comportement :
- calcul de l’incrément de contrainte :
dFdEd
Cond. de normalité- Évaluation de l’incrément du critère de plasticité :
F F F F FE d E d d 0k
F E dd F F F FE
k
Non-linéarités matérielles
23
Plasticité numérique
Formulation de la matrice de rigidité
- Reportons le résultat précédent dans la loi de comportement matrice de comportement élasto-plastique telle que : dEd ep
F
kFFEF
EFFEEE
TT
T
ep
V tT dVBEBK
EEt
ept EE
EEt
Ainsi, la matrice de rigidité tangente prend la forme :avec suivant la nature du comportement :
- comportement élastique :- écoulement plastique :- décharge plastique :
Non-linéarités matérielles
24
Plasticité numérique
Implémentation dans un code de calcul éléments finis
Le traitement numérique de la plasticité s’effectue généralement par des méthodesincrémentales. Nous cherchons à résoudre :
FuK
pe v
epT
v
eT
vt
T BEBBEBdvBEBK
Partie élastique Partie élasto-plastique
ii 1 iK u u n F
i 1 2 3n n , n , n ...n avec n F F
Non-linéarités matérielles
Incrément de charge donné F
FKU 1Calcul élastique ==>
Pour chaque élément ee uB e
Élastique ou non ? ALGORITHME DE PROJECTION ==>
Assemblage et calcul du résidu {R} = {Fext}-{Fint}
Si R RKU 1Il faut itérer
Plasticité numériqueNon-linéarités matérielles
Implémentation dans un code de calcul éléments finis
FSolution cherchée
U
F
F = K(u) U
•Maillage éléments finis
•Définition de l ’historique du chargement (incréments F)
•Définition des lois de comportement o ,E ,ET
•Calcul de [K]
Pour chaque incrément {F}
Initialisation du résidu {R} <== {F}
Tant que || {R} || >
Calcul de {U} = [K]-1 {R}
Pour chaque élément
déformation ==> projection {Fint}e
fin pour
Nouveau résidu {R} = {R} - {Fint}
fin tant que
Impression des résultats de l ’incrément
fin pour
Convergence lente
{R1} Convergence la plus rapide
Plasticité numériqueNon-linéarités matérielles
Implémentation dans un code de calcul éléments finis
27
Plasticité numérique
Méthode d’intégration explicite
Une fois la fonction de charge choisie on évalue le multiplicateur plastique
FkFFEF
dEF
dT
T
T
pt t t t td ; d ,d ,d ; dr On évalue au temps t les quantités :
Actualisation à t+t grâce à un schéma explicite :
tttt d p
tp
tp
tt d tttt drrr
- Conditionnellement stable- Précision dépendant de la taille de l’incrément de temps- Le multiplicateur plastique d vérifie la condition d’écoulement au temps t,- L’intégration ne garantie plus cette condition au temps t+t !!!- La solution peut diverger
- Intégration simple
Non-linéarités matérielles
28
Plasticité numérique
Méthode d’intégration implicite (retour radial)
- Évaluation pour un incrément de chargement impliquant une déformation plastique, d’une solution au-delà de la surface limite donnée par le critère d’écoulement (prédicteur élastique)- Calcul du correcteur plastique permettant de revenir sur la surface d’écoulement,
pet
eet
e
plastiquecorrecteur
p
élastiqueprédicteur
et
et GITrG 22
ITrG ee 2- Loi de Hooke
- Déformation élastique en fin d’incrément
- La méthode implicite permet de remédier au problème du schéma explicite, en ayant de plus l’avantage d’être inconditionnellement stable.
- La précision reste tout de même dépendante de taille de l’incrément de temps.
Non-linéarités matérielles
En élasticité linéaire, on considère une structure de volume soumise à des charges de volume F, des charges de tractions répartie sur une surface , des déplacements imposés sur une surface
Modèle réel
Modèle approché
e
t tu u
Schémas numériques d’intégration
Equilibre – méthode des éléments finis
Non-linéarités matérielles
La méthode des éléments finis englobe trois domaines principaux.
1. Les méthodes de discrétisation qui permettent de transformer un problème continu en une approximation discrète
2. Les méthodes variationnelles qui permettent de transformer une équation aux dérivées partielles (EDP) en une forme approchée variationnelle,
3. Les méthodes numériques qui permettent de résoudre les systèmes d'équations linéaires, non linéaires ..., recherche de valeurs propres
Résolutions numériques des équations d’équilibre
Comment les chargements externes (températures, forces et moments) et internes(poids) et leurs variations dans le temps et dans l'espace affectent-ils :
1. les déplacements de chaque point de la structure (3 inconnues)2. les déformations internes en tout point de la structure (6 inconnues)3. les contraintes en tout point de la structure (6 inconnues)4. le gradient de température en chaque point de la structure (1 inconnue)
Non-linéarités matérielles
1. Les 6 équations liant les déplacements de la structure auxdéformations
uBuGrad.uGraduGraduGrad TT
21
2. Les 6 équations traduisant le comportement du matériau de lastructure
Te:D
3. trois équations traduisant l’équilibre dynamique de la structure et uneéquation traduisant l’équation de la chaleur
TCrTgrad.kdiv
ufdiv
v
v
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
Non-linéarités matérielles
L'ÉDP qui régit ce problème est obtenue en combinant ces quatre ensembles derelations :
Objectif :Il faut trouver une solution pour {u(x,y,z,t)} et pour T qui satisfasse cette ÉDP et auxconditions aux limites spécifiques de chaque problème.
vfuB:Ddivu
Déplacements Déformations Contraintes
Géométrie Matériau
Chargements
rTBkdivTC v
Non-linéarités matérielles
dvW21
S
sv udSfudvfT
S
sv udSfudvfdvTWU21
L’équation de l’énergie potentielle U = W-T
Énergie de déformation Travail des efforts extérieurs
k
n
k
k u),,(Nu 1
Approximation du déplacement
Approximation de la déformation
uBuuuu TT 21
Approximation de la contrainte
uBD:D
Approximation de l’énergie potentielle
S
sTT
vTTTT
Ssv dSfNudvfNuDBudvBuudSfudvfdvU
21
21
Approximation de l’énergie potentielle
0dudUEquilibreMinU
0
Ss
Tv
TT dSfNdvfNuDBdvB
Équilibre statique
DBdvBK T S
sT
vT dSfNdvfNF
Matrice de rigidité Vecteur des forces
FuK
0dudUEquilibreMinU
T T T Tv s
S
N Ndv u B DBdv u N f dv N f dS 0
Équilibre dynamique
M u K u F
Matrice masse
TM N Ndv
T T T T T T T Tv s
S
1U u B DBudv u N Nudv u N f dv u N f dS2
Énergie potentielle totale :
S
sv
vv
travailDéfo/Energie dSufdvufdvTUV21
Théorème du Principe des Travaux virtuels à l’équilibre : Parmi tous lesdéplacements cinématiquement admissibles, la solution (déplacement quisatisfont les conditions d’équilibre) est caractérisée par la stationnarité(extremum) de l’énergie potentielle totale
0TUV travailDéfo/Energie
Energie / Défo travail v sv v S
1V U T dv f u dv f u dS2
M u C u K u F
Équilibre dynamique
0
0
0 txx
t)t,x(fdtdx
Soit un système dynamique compose d'une équation d'évolution (ODE 1er ordre)
t
tdt)t),t(x(fx)t(x
0
0
Problème aux limites, contraintes, variabilité, …
m)t,v,x(F
dt)t(dv
)t(vdt
)t(dx
vx
xÉquation de degré 1 :– 2 dimensions– Remplacer équation de degré 2 à une dimension
)t(vm
)t,v,x(Ff
Exemple : soit un système dynamique 2eme ordre, on se ramène à une ODE d’ordre 1 :
État courant x donné :
• Calculer f(x,t) à l’état courant • Avancer d’un pas• Prendre nouvelle valeur x
Pour résoudre le problème qui est décrit par un modèle continu dans le temps, ondécompose la durée d’observation en intervalles de temps de durée égale ou non et onprogresse numériquement dans le temps de façon discrète.
Comment passer d'une valeur approchée xk connue à la valeur suivante xk+1? Comment remplacer le système dynamique en temps continu par un système dynamique discret (xk)?
1. Un schéma mono pas s’il ne couple que deux stations de temps successives.
2. Un schéma multi pas s’il couple (K+1) stations temporelles successives.
Un schéma mono pas est dit explicite lorsque seul l’état du système au temps tn-1est utilisé pour calculer l’état de ce système au temps tn.
Le schéma mono pas est implicite lorsque l’état du système au temps tn-1 et uneprévision de l’état à l’instant tn sont utilisés pour calculer l’état de ce système au tempstn.
L'idée de base pour construire un schéma numérique est d'intégrer la relationdynamique par rapport au temps (remplacer la relation différentielle par une relationintégrale):
1111
i
i
t
tii dt))t(x(f
txx
t
• La plus simple• La plus intuitive• Pas de temps donné h• Étant donné X0=X(t0), avancer d’un pas t1 = t0 + h : X1 = X0 + h x f(X0,t0)• La taille des pas : Contrôle la précision par des petits pas pour suivre la courbe de plus près
Schéma d’intégration d’Euler
•Comment choisir le pas h ?– Trop large : erreurs, instabilité, divergence…– Trop petit : on n’avance pas, long temps de calcul
•On veut un pas idéal :– Aussi grand que possible sans trop d’erreur– Lié aux raideurs des équations– Le pas idéal peut varier au cours du temps
•Le pas idéal peut varier :– grand pas dans les endroits « faciles »– petit pas dans les endroits « difficiles »
•Adapter la taille du pas aux difficultés– Automatiquement– En cours de résolution, en fonction des calculs
Pas variable automatique :•On part avec un pas h– On fait une itération,– On estime l’erreur commise– Erreur grande :• On diminue h,• On recommence– Erreur petite :• On accepte le résultat,• Éventuellement on augmente h
Comment décider ?
Comment estimer l’erreur?•On calcule l’itération par deux méthodes :– Euler avec un pas h– Euler avec deux pas h/2– Erreur estimée = différence des deux valeurs • Ce n’est qu’une estimation :– Facile à calculer– Peut être prise en défaut– Raisonnablement efficace
43
Méthodes numériques pas à pas
Méthodes pas à pas en dynamique FqKqCqM
Ce système ne peut être découplé que dans quelques cas :
- [M] et [K] indépendants du déplacement et [C] nul (syst. linéaires non amortis),- [M] et [K] indépendants du déplacement et [C] combinaison linéaire de [M] et [K] nul(syst. linéaires à amortissement linéaire),Il est alors possible les résoudre par la méthode de superposition modale…
Système d’équations couplés en dynamique
Dans le cas général, on accède à la solution à un instant donné, en déterminantl’histoire de cette solution.On génère la solution à l’instant suivant à partir de la solution aux instantsprécédents, d’où le nom de « méthodes de résolution pas à pas ».
Méthode de résolution pour les pb non-linéaires ou à amortissement quelconque.
44
Schéma d’intégration numérique
Schéma d’intégration numérique façon d’approcher les vecteurs inconnus
En général, une relation de différences finies
Utilisation d’un développement en série de Taylor
- / +
Approximation de l’accélérationet de la vitesse en fonction des déplacements
Méthodes numériques pas à pas
45
Formulation explicite
Écrivons le système à l’instant t+t à l’aide du schéma d’intégration numérique :
FqKqCqM
Le terme de droite n’utilise que des quantités connues à t+t explicite
La solution est obtenue par le produit .Si ne dépend pas du déplacement, une seule inversion => itérations très rapides.
RK 1
K
Problème : méthode non conditionnellement stable
Méthodes numériques pas à pas
Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de temps est petit.Un schéma d’intégration explicite permet de rendre compte des phénomènes locaux et d’assurer untransfert numérique des efforts au sein de la structure.
),,(1 nnnn uuugu
Pour ce cas la matrice [K’] obtenue ne dépend pas de la matrice de raideur [K], mais uniquement de la matrice de masse [M], soit : )(K' Mf
2
222
ttttttt
tttttttt
utuu
uttuu
Schéma d’intégration explicitedes différences centrales :
Le schéma explicite n’est pas inconditionnellement stable. Une condition de stabilité liele pas de temps au pas d’espace et s’exprime :
structureladansondesdescéléritégrandeplusélémentpetitplusdulongueurtt stable
Modélisation des phénomènes de dynamique rapide - (choc ou explosion)
Formulation expliciteMéthodes numériques pas à pas
47
Formulation implicite
Si on utilise une relation de différences finies décentrée à droite, on obtient l’algorithmequi est implicite.
Le système doit être résolu à chaque itérationLe schéma est inconditionnellement stableItérations moins nombreuses, mais plus longues à effectuer
),,,,( 111 nnnnnn uuuuufu
Méthodes numériques pas à pas
48
Le vecteur déplacement du pas suivant est fonction des caractéristiques du pas précédent et du pas suivant (algorithme de type déplacement).
Algorithmes généralement inconditionnellement stable
Si calcul élastique linéaire
aucune condition sur le pas de temps.
un seul calcul de la matrice de raideur d’où un seul assemblage et une seule inversion de [K’]
Une force locale appliquée a un effet immédiat sur le reste de la structure. Pas de traitement dynamique local, mais rendu à l’échelle de la structure d’une force transitoire appliquée.
Formulation implicite
),,,,( 111 nnnnnn uuuuufu
Méthodes numériques pas à pas
49
Formulation mixte : algorithme de Newmark
On exprime les vecteurs vitesses et déplacement en fonction des vecteursaccélérations et des anciens vecteurs vitesse et accélération :
Il existe des variantes selon les valeurs de a et b utilisées, (a = 0 ; b = 0) schéma purement explicite(a = ½ ; b = ½) schéma mixte
Le schéma est conditionnellement stable !
Méthodes numériques pas à pas
50
Dynamique rapide
Domaine :Forces d’inertie (liées à la masse et à la vitesse) supérieures aux efforts internes(liés à la rigidité)
Difficultés auxquelles il faut faire face :- distorsion du maillage en raison des très grands déplacements,- lois de comportement extrêmes, pl forte élévation locale de température,- traitement explicite des équations très faible pas de temps (nombre d’itérationsélevé, 104-106) (ici 6.10-6s tcrit 10-9 à 10-10s),- gestion délicate des zones de contact.
Méthodes numériques pas à pas
51
Dynamique rapide - (ou explicit dynamic)
C’est une méthode efficace pour résoudre une large variété de problèmes nonlinéaires en mécanique du solide et des structures.
- Étude des événements survenant à grande vitesse sur des temps très courts(explosion…)
- Problèmes complexes de contact (en raison d’une formulation plus simple) gestiondu contact entre différentes pièces indépendantes… étude du transitoire dans lesproblèmes d’impact et des variations rapides de surfaces de contact
- Problèmes d’évolution post-flambement (traitement d’instabilités)
- Problèmes quasi-statiques fortement non-linéaires (pb. de contact & de mise enforme ; forgeage, filage, étirage…)
- Problèmes avec prise en compte d’endommagement et de ruine des matériaux(fissuration fragile dans les bétons et les céramiques, endommagement ductile desmétaux avec gestion de la disparition des éléments totalement endommagés…)
Méthodes numériques pas à pas
52
Méthode éléments finis dynamique explicite
- Un schéma d’intégration explicite est construità l’aide des différences finis centrés pourl’intégration temporelle de la cinématique
),,(1 nnnn uuugu
Pour ce cas la matrice [K’] obtenue ne dépend pas de la matrice de raideur [K], mais uniquement de la matrice de masse [M], soit :
)(K' Mf
Au début d’un incrément, on doit résoudre l’équilibre dynamique tel que la matrice de masse nodale [M] par l’accélération nodale , soit égale aux forces nodales (différence entre les forces extérieures P et les forces internes I.
IPuM u
L’accélération au début de l’incrément courant (temps t) sera : tt IPMu 1
La matrice de masse utilisée étant diagonale (lumped mass matrix), ce calcul est trivial et très rapide.
Méthodes numériques pas à pas
53
Méthode éléments finis dynamique explicite
L’intégration temporelle de l’accélération par différences finis centrés donne :
t
ttttttt
uttuu 222
L’intégration temporelle de la vitesse, ajoutée au déplacement au temps t, permet lecalcul du déplacement en fin d’incrément
2ttttttt
utuu
On constate bien que le déplacement en fin d’incrément s’exprime uniquement enfonction des quantités (déplacement, vitesse, accélération) calculées au début del’incrément.
Méthodes numériques pas à pas
54
Méthode éléments finis dynamique explicite
1 – résolution aux nœuds ttt IPMu 1
2 – Calcul sur les éléments
b – intégration temporelle explicite
2
22 2
ttttttt
tttt
tttt
utuu
utt
uu
a – équilibre dynamique
a – évaluer l’incrément de déformation à partir du taux desdéformationsb – calcul des contraintes à partir de loi constitutive
c – assemblage des forces internes aux nœuds
3 – Actualiser t à t+t puis aller à l’étape 1.
Dynamique Rapide
55
Méthode éléments finis dynamique explicite
Le schéma explicite n’est pas inconditionnellement stable. Le critère de stabilité faitintervenir la plus grande fréquence propre du système et vaut en l’absenced’amortissement :
D’une façon pratique la condition de stabilité lie le pas de temps au pas d’espace par larelation :
max
2
stablet
d
estable C
Ltt Le : longueur du plus petit élémentCd : plus grande célérité des ondes dans lastructure
ECd
Acier : (210 GPa ; 7800 kg.m-3) Cd ≈5200 m/sSi Le = 5mm alors Dt ≈ 1.10-6 s
Dynamique Rapide
• Pour le plus petit élément, la relation suivante doit être vérifiée:
• Facteur d'échelle:Pour assurer la stabilitéPour introduire la non-linéarité de l'état du Courant
Cas particuliers:Un élément de maille [ Sf = 0.1Mousses (non-linéarité élevée) [ Sf = 0.67
clSt c
fe Sf est le facteur d'échelle
[ et[ [
c
Ec
ellt
Dynamique Rapide
l
lcl cl
l
l
lD
el A Dle = 0.707 l le = 0.866 l
Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de temps est petit.Un schéma d’intégration explicite permet de rendre compte des phénomènes locaux et d’assurer untransfert numérique des efforts au sein de la structure.
Distorsion / mass scaling ?
Dynamique Rapide
Vitesse
Non linéarité
Statique Dynamique
Rupture
Damage
Flambage
Plasticité
Elasticité
Explicite
Implicite
Explicite ↔ Implicite
Dynamique Rapide
Complexité
Temps (CPU)
Statique / Elastique Non Linéaire Dynamique
Implicite
Explicite
Explicite ↔ Implicite
Dynamique Rapide
Explicit Implicit
(-) Conditional stability (+) Always stable
(-) Small (+) Large
(+) Precision (+) Precision
(+) [M]-1 (diagonal matrix) (-) ([M]+a[K])-1 (non diagonal)
(+) Low memory (10 MW) (-) High memory (6000 MW)
(+) Dynamic and Shock problems (+) Dynamic and Static problems
(+) « Element-by-Element » methodLocal treatment
(-) Global resolutionNeed of convergence at each step
(+) High RobustnessHigh and Coupled nonlinearities
(-) Low RobustnessNull pivots, Divergence, …
(+) Relatively low cost« Low » CPU, « Low » Memory
(-) Too expensiveHigh CPU, High Memory
ctt
t t)( s )(ms
2t 2t
Explicite ↔ Implicite
Dynamique Rapide
Dans de nombreux systèmes mécaniques, les liaisons mécaniques, les
transmissions des efforts, les procédés de transformation des matériaux
(emboutissage, découpage, usinage, forgeage), sont assurés par des
conditions de contact.
Le contact peut avoir lieu entre des solides déformables ou entre solides
déformables et contacteurs rigides.
Contact et frottement
1 - Forgeage 3D d’un cardonHigher punch
Wokpiece
Die
Lower punch
Contact et frottement
2 - Découpage des tôles
Poin
çon
Contact et frottement
3 - Emboutissage des tôles
Tôle déformableMatrice rigide
Poinçon rigide
Serre-flanc rigide
Contact et frottement
4 - Matriçage d ’une bielleLopin déformable
Outil rigide
Contact et frottement
( , , )Rigide
Déformable
1t
cn
C
M
h
2
1
2t
Cinématique du mouvement
Repère local au point de contact
cn
1t
2t
2u
1u
Déplacement du solide 1
Déplacement de l’outil 2
Contact et frottement
Déplacement des obstacles
Gestion de contact
h1 h2h3
Points tangents
Points intérieurs Points tangents
Projection orthogonale sur la surface
Obstacle
Obstacle
CiblePoint tangent
tc
n un.uu
cn n.uu
c21 n.uuh
cnt n.uuu
Vecteur déplacement Déplacement normal Déplacement tangentiel
tc
n Rn.RR
cn n.RR
c
nt n.RRR
Vecteur réaction Réaction normale Réaction tangentielle
Distance entre pièce 1 et pièce 2
cn.R
Contrainte normale de la pièce déformable
Contact et frottement
Contact unilatéral et bilatéral
Contact peut avoir lieu :1. Entre solide déformable et contacteur rigide2. Entre deux solides déformables3. Entre deux parties du même solide
Contact peut être :1. Purement glissant (sans frottement)2. Avec frottement
Contact est :1. Bilatéral (zone de contact reste fixe au cours de la déformation)2. Unilatéral (zone de contact varie au cours de la déformation)
1 (sec) 0 (glissant ou lub rifiant)
Contact et frottement
1. Contact bilatéral :
Le contact est bilatéral si la condition de contact suivante est maintenue
0n.uuh c12
2. Contact unilatéral (ou de SIGNIORI) :Les deux solides sont libres de se décoller si les réactions extérieuresvont dans ce sens (perte de contact) :
0hR0R0n.uuh nnc
21
Contact et frottement Contact unilatéral et bilatéral
1. Impénétrabilité : condition de contact cinématique
2. Non adhésion : condition de contact statique, le point M ne doit pascoller au solide (réaction toujours positive)
3. Non contact : condition de décollement cinématique, le point M setrouve à l’extérieur du solide décollement
0h
0R0h n
0R0h n
Contact et frottement Contact unilatéral et bilatéral
Lois de frottement
1. Loi de Coulomb
: coefficient de frottement de Coulomb entre la cible et le contacteur
nt RR
t
tnt u
uRR
Remarque : Il existe un seuil de déclenchement d’un phénomène irréversible
0u t
si glissement
0u t
si adhérence
nt RR
1,0 22t2
1tt RRR
Contact et frottement
tR
tu
nRglissement
adhérence
nR glissement
Contact et frottement Lois de frottement
tR
tu
0p
1p
10 p
Dans le cas ou p= 0, on retrouve la loi de Coulomb. Lorsque 0 < p < 1, la loi donne une relation biunivoque entre les efforts tangentiels et la vitesse de glissement. Lorsque est faible, elle reste proche de la loi de Coulomb.
y : Contrainte d’écoulement et coefficient de Tresca
2. Loi de Tresca
3. Loi de Coulomb-Orowan
t
t
Py
t
tnt u
u3
m,uuRMinR
t
tt u
u3
mR
: Contrainte équivalent de von - Mises
4. Loi de Critescu
t
tP
yt u
u3
mR
1,0m
Contact et frottement Lois de frottement
ntt R)u(fR
Remarque :1. Fonction de régularisation f(u) (discontinuité du déplacement au voisinage de 0)
1uf tulimt
avec
5. Loi de Norton-Hoff ptt uR
1p0 et a est le coefficient de frottement de Norton-Hoff (en Pa)
0
tt u
uarctan2)u(f
Exemple de fonction de régularisation :
Contact et frottement Lois de frottement
2. Loi de Norton-Hoff est très pratique pour les calculs en viscoplasticité
3. Loi de Coulomb-Orowan est difficile d’emploi, elle dépend de Rn et dela déformation plastique cumulée (inconnues du problème)
4. Loi de Tresca se prête bien aux calculs simples de plasticité
5. Loi de Critescu se prête bien aux matériaux écrouissables
6. Loi de Coulomb se prête bien aux calculs simples d’élasticité isotrope
Contact et frottement Lois de frottement
77
012 n.uuh
x1
x2
n
2
1
n.xxh
120
Condition cinématique sans distance initial (gap initial)
Condition cinématique avec distance initial
0012 hn.uuh
contacth 0 contactnonh 0
0h
Équilibre des solidesContact et frottement
Équilibre des solides
Corps rigide (contacteur)
Corps déformable
cn t
u
sf
u
Surface de contactc
M
1
2
Contact et frottement
cc
s
c
u
v
surRn.surfn.sur0hsuruusur0fdiv
a. Équations d’équilibre (contact solide déformable – outil rigide):
Équilibre des solidesContact et frottement
b. Action de contact sans frottement :
V
sV
vsolide dSu.fdVu.fdV:21W
Action des efforts de outil 2 sur le solide 1
cc
dSnRdSn.n.Rf cn
cccont
Equilibre du solide 1 sans contact :
Travail des actions de contact sur le solide 1
c
dSu.fW ncontcont
cc12n n.n.uuu
Équilibre des solidesContact et frottement
c. Action de contact avec frottement
Action des efforts du contacteur 2 sur le solide 1
c
dSRnRf tc
ncont
Travail des actions de contact sur le solide 1
c
dSu.Ru.nRW ttnc
ncont
cn12t n.uuuu
contV
sV
vsolide WdSu.fdVu.fdV:21W
Equilibre du solide 1 avec contact + frottement
Équilibre des solidesContact et frottement
Discrétisation par éléments finis de l’équilibre
:C Loi de comportement
uB
u N u k
interpolation des déformations
interpolation des déplacements
FuuKu
21W TT
solide
sous forme matricielle
K B C BdVT
V
dSfNdVfNF sT
Vv
T Matrice de rigidité
Vecteur efforts extérieures
contV
sV
vsolide WdSu.fdVu.fdV:21W
Contact et frottement
contact0uGn.n.uuhéquilibre0Wdiv
nTcc
12
solide
L’équilibre du système avec contact revient à minimiser l’équation de l ’énergie sous la contrainte suivante:
1. Méthode de pénalisation
2. Méthode de multiplicateur de Lagrange
3. Méthode du lagrangien augmenté
4. Méthode du lagrangien perturbé
Méthodes de résolution du contact :
Discrétisation par éléments finis de l’équilibreContact et frottement
Gestion numérique du contact
1. Un tri des nœuds esclaves (appartenant au solide déformable)susceptibles d’être en contact
2. Chaque nœud esclave sélectionné est projeté orthogonalement surles facettes de la surface maîtresse (obstacle)
3. Les fonctions de forme et les normales extérieuresdes obstacles sont utilisées pour déterminer la position du point P
4. La position relative h du nœud esclave et sa projection orthogonalesont données par :
Node
1k
kkc
Node
1k
kCP nhX,NhnXX
PX
,N k cn
h
cX
Contact et frottement
5. Le point est jugé concerné par la facette de l ’obstacle si la distance hpar rapport aux autres facettes est minimale :
11 1 D : +1-1
)hmin(h i6. La position du point concerné sur la facette est calculé par ses coordonnées dans le repère de référence :
11et11
2 D :Quadrangle
+1
+1
-1
-1
,
7. Le point est concerné par la facette si :
Gestion numérique du contactContact et frottement
8. La position par rapport à cette facette est déterminée par le signe de h
1. h = 0 point tangent2. h > 0 pénétration 3. h <0 pas contact
9. Pour chaque point on connaît :a. distance au contacteur : h
b. position de son projeté sur la surface du contacteur
c. normale de son projeté
d. déplacement à imposer :
110et10et10
Triangle
+1
+1
Node
1k
kk n,N
,
Node
1k
ckk n,Nhu
Gestion numérique du contactContact et frottement
1. Méthode de pénalisation :Il faut traduire la condition de non-pénétration h = 0 pour calculer les déplacementsde contact. La méthode est de remplacer le problème avec contrainte par larésolution d’une suite de problème sans fonction contrainte en introduisant la notionde multiplicateurs de pénalité. Cette méthode consiste à ajouter un terme très granda à l’expression de l’énergie du système
uFuGGu2
uKu21uW TTT
solide
FuGGKu
W0W Tsolide
FuGGK T
Méthodes de résolution du contact
contact0uGn.n.uuhéquilibre0Wdiv
nTcc
12
solide
Contact et frottement
2. méthode des multiplicateurs de Lagrange :
L’inconvénient de la méthode de pénalisation est que la solution dépend du choix ducoefficient de pénalisation a. La méthode des multiplicateurs de Lagrange peut palierà ce problème en introduisant une inconnue l (avec un sens physique). Contrairementà la méthode des pénalisation, la taille du problème est augmentée dans cetteméthode.
uFuGuKu21,uW TTT
solide
0uG
FGuK
0W
0u
W
0),u(W Tsolide
0Fu
0GGK
T
Méthodes de résolution du contactContact et frottement
3. méthode du lagrangien perturbé :Pour éviter les problèmes de zéro sur la diagonale de la matrice deraideur, on a remplacé la contrainte de la méthode des multiplicateursde Lagrange par
uF21uGuKu
21,uW TTTT
solide
021uG T
0uG T
01uG
FGuK
0W
0u
W
0,uW Tsolide
0
Fu1GGK
T
Méthodes de résolution du contactContact et frottement
kTk1k
kkT
solide uGFGuGGK
0W
0uW
0),u(W
4. méthode du lagrangien augmenté :1 - La solution (ou précision) dépend directement du coefficient a dans la méthode duLagrangien perturbé et de pénalisation.
2 - La méthode des multiplicateurs de Lagrange fournit une solution exacte mais lataille du système du problème augmente.
3 - La présence de zéros sur la diagonale des matrices nécessite des précautionsnumériques.
4 - La méthode lagrangien augmenté peut être comme une technique restant simpleet permettant de minimiser les inconvénients précédents.
uFuGGu2
uGuKu21,uW TTTTT
solide
Méthodes de résolution du contactContact et frottement
Exemple d’application
Obstacle
Déformable
Avant
Après
Contact et frottement
Déformable
1
2 3
4
1
2
(0,20)
(10,10) (20,10)
(30,20)
3
(5,0) (15,0) (25,0)A B C
A0 A1
(35,0)(-5,0)
Obstacle
Condition Avant
Contact et frottement Exemple d’application
(5,0) (15,0) (25,0)
A’
B’
C’
(10,-10) (20,-10)
(30, 0)h1h2
h3
A B C
A0A1
(-5,0) (35,0)
(0, 0)
1
2 3
4
Déplacement de l ’obstacle: u=0 et v=-20
Condition Après
Exemple d’application
cccc2
cc1c
cccc2
cc1c
2121
2121
y121y1
21yNyNy
x121x1
21xNxNx
-1 +1
21
Élément obstacle 1D linéaire
11
0,020,020,0v,uy,xy,x c10
c10
c1
c1
Pt 1 :
10,1020,010,10v,uy,xy,x c20
c20
c2
c2
Pt 2 :
10,2020,010,20v,uy,xy,x c30
c30
c3
c3
Pt 3 :
0,3020,020,30v,uy,xy,x c40
c40
c4
c4
Pt 4 :
Exemple d’application
151012101
21y1
21y1
21y
151012101
21x1
21x1
21x
c2
c1
1c
c2
c1
1c
Élément obstacle 1
(5,0)1
2
A’ 1
h1n1
n2
(15,0) (25,0)
h1
h1
A B C
(10,-10)
(0,0)
22,
22n1
22,
22n2
0y
5x
p
p
Coordonnées des point du solide déformable :
Coordonnées de l’obstacle 1 :
0y
15x
p
p
0y
25x
p
pA B C
Exemple d’application
11c
y1
11c
x1
h22nh
h22nh
1cy1
1cp
1cx1
1cp
nhyx
nhxx
22
221
21
221
21hn1
21n1
21n
22
221
21
221
21n1
21n1
21n
1y2y11c
y
x2x11c
x
Système à résoudre :
Calcul de la normale de élément 1 de l’obstacle : Exemple d’application
21
2215h
0h2215
15h2215
1
1
1
11015
2225h
0h2215
25h2215
1
1
1
21
522h
0h2215
5h2215
1
1
1
Impossible
Point C
Point B
Point A
225
2215,
225minh1
21
25
22
225
25
22
225
1
1
v
uDéplacement pt A:
Exemple d’application
1010121101
21y1
21y1
21y
3520121101
21x1
21x1
21x
c3
c2
2c
c3
c2
2c
Élément obstacle 2
1112111
21n1
21n1
21n
0012101
21n1
21n1
21n
3y
2y
2cy
3x
2x
2cx
(5,0)
2 3B’2
(10,-10)
h2
n2 n3
(15,0) (25,0)
(20,-10)
h2 h2
A B C 1,0n1
1,0n2
Calcul de la normale de élément 2 de l’obstacle :
Coordonnées de l’obstacle 2 :
Exemple d’application
1210h
0h105035 2
2
010h
0h101535 2
2
Point C
Point B
Point A
Impossible
1210h
0h102535 2
2
Impossible
10v
0u2
2
Déplacement pt B:
Exemple d’application
150121101
21y1
21y1
21y
5530121201
21x1
21x1
21x
433c
433c
Élément obstacle 3
22
221
21
221
21n1
21n1
21n
22
221
21
221
21n1
21n1
21n
y4y33c
y
x4x33c
x
(5,0)
3
4
C’3
(20,-10)
h3 n4
n3
(15,0) (25,0) (30,0)
h3
h3
22,
22n1
22,
22n2
Calcul de la normale de élément 3 de l’obstacle :
Coordonnées de l’obstacle 3 :
Exemple d’application
21
522h
0h2215
25h2255
3
3
3
Point C
Point B
Point A
Impossible
1015
2522h
0h2215
5h2255
3
3
3
21
1522h
0h2215
15h2255
3
3
3
225
2215,
225minh 3
Déplacement pt C:
25
22
225
25
22
225
3
3
v
u
Exemple d’application
Soit deux barres de longueur L et soumises à un effort de traction F. L’extrémité 0 estencastrée et on impose la condition de contact
FL,E,S L,E,S
U2=u1 = constant0 1 2
1u 2u21 uu
Solution analytique :
ESFLu
LuEE
SF
22
ESFLuu 21
Exemple d’application
K K ESL1 2
1 11 1
Matrice de rigidité (élément de barre)
Vecteur des efforts extérieurs
F FF1 2
00
0
Assemblage :
K ESL
1 1 01 2 1
0 1 1 F
F
00
Exemple d’application
comme on ne considère que les ddl : et u10u 0 u2 , le système s’écrit :
F0
uu
1112
LES
2
1
Condition de contact h = 0 :
0uGuu
11uuh T
2
112
11G T
F00
uu0
110121
011
LES
2
1
Ce système est équivalent à :
1111
GG T
Exemple d’application
a. méthode de pénalisation :
FuGGK T
F0
uu
LES
LES
LES
LES2
2
1
uu
FLES
ES LES L
1
2
12
Solution exacte si :
11
ESFL
uu
2
1
Solution du système :
Exemple d’application
b. méthode des multiplicateurs de Lagrange :
0
0
011
1
12
2
1
Fuu
LES
LES
LES
LES
L/ES11
ESFLu
u
2
1Solution du système
F représente la force de réaction
0Fu
0GGK
T
Multiplicateur de Lagrange est la réaction normale
Exemple d’application
c. méthode du lagrangien perturbé :
Fuu
LES
LES
LES
LES
00
/111
1
12
2
1
LESLES2
1
ESFL
uu
2
1
F
Solution exacte si
11
ESFL
uu
2
1
0
Fu1GGK
T
LESFL
Solution du système
et
et
Exemple d’application
uu
F LE S
E S LE S L
10
20
12
00
k k
k
kk k k
uu u u
1 1
21 21 1 ( )
d. méthode du lagrangien augmenté :
k
k
k2
k1
Fuu
LES
LES
LES
LES2
FGuGGK kkT
Remarque : La première itération de la méthode du lagrangien augmenté correspond à la solution de la pénalisation
Étape 1 :
Exemple d’application
le calcul de solution du ce système : u u11
21,
LESFL)uu( 0
201
01
1
1
12
11
Fuu
LES
LES
LES
LES2
Étape 2 :
212
11
LESESLES2LES
1
ESFL
uu
Solution du système :
Exemple d’application
k
k1k
FLES
ES1LES
FL)uu( 21
11
12
1n2
n
kk
kk
kk
kk1
kF
F
Étape 3 :
Étape n :
11
ESFL
uu
2
1
Exemple d’application
top related