modelos de ecuaciones simultÁneas luis miguel galindo
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MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
LUIS MIGUEL GALINDO
INTRODUCCIÓN
IDENTIFICACIÓN
Problema de identificación: Pueden existir varias estructuras que generan la misma forma reducida o que dan pie a la observación del mismo conjunto de datos. Esto es, existe un conjunto de parámetros estructurales que generan la misma forma reducida o las mismas observaciones
El problema de la identificación se resuelve cuando una sola hipótesis o estructura es consistente con los datos y la teoría
Formulación inversa: Un conjunto de datos permite formular diversas hipótesis. Estas hipótesis se reducen utilizando ceros
Problema de identificación: ¿los valores numéricos de los parámetros estructurales se pueden desprender de la forma reducida?
Estructura admisible con respecto a los datos es el conjunto de estructuras que son compatibles con respecto a los datos observados
Una ecuación es compatible con respecto a los datos en el caso en que los datos y los valores obtenidos por la ecuación en forma reducida satisfagan exactamente a la ecuación
Estructura admisible con respecto al modelo cunado satisface las restricciones impuestas por la teoría económica
Una estructura esta identificada si existe únicamente una estructura que sea admisible respecto a los datos y al modelo.
Existe un solo conjunto de valores numéricos de los parámetros estructurales que corresponden a la forma reducida dada por los datos y que satisfacen las restricciones impuestas por el modelo
En algunos casos los parámetros de la forma estructural no pueden obtenerse de la forma reducida
La identificación no es un problema de estimación sin de obtener estimadores con significado económico en los parámetros estructurales
La identificación revisa si cualquier combinación lineal de las ecuaciones estructurales contiene exactamente las mismas variables que la ecuación estructural
La ecuación esta exactamente identificada cuando los parámetros de la forma estructural están determinados únicamente
La ecuación no esta identificada implica que el modelo no puede estimarse
Ejemplo 1: Modelo de oferta y demanda
(1) D: Qt = 0 + 1Pt 1 < 0
(2) O: Qt = 0 + 1Pt 1 > 0
Ambas ecuaciones estructurales tienen la misma forma reducida
Multiplicando por (3/5) a (1) y por (2/5) a (2) y sumando se obtiene:
(3)
Multiplicando por (1/3) a (1) y por (2/3) a (2):
(4)
tt PQD5
23
5
23:' 1100
tt PQO3
2
3
2:' 1100
En el uso donde se cumple las restricciones que:
Las ecuaciones (1) y (2) no están identificadas ya que tienen la
misma forma reducida ya que las ecuaciones derivadas se
obtuvieron de una combinación lineal de (1) y (2)
Los datos y las restricciones del modelo también son satisfechas
por O’ y D’
Ejemplo 2: Modelo de oferta y demanda ampliado
(1) D: qt = 0 + 1Pt + 2Yt
(2) O: qt = 0 + 1Pt + 2Wt
Variables endógenas: Pt y qt
Forma reducida:
(3) Pt = 11 + 12Yt + 13Wt
(4) qt = 21 + 22Yt + 23Wt
Los coeficientes de la forma reducida:
12
221
11
3122
11
312
11
3123
11
1222
11
011021
11
313
11
212
11
0011
:
como
Los parámetros estructurales son:
Las ecuaciones están identificadas.
En otro caso existen infinitos valores de las ’s.
11
2112222
11
21110
11
21200
12
2211212
12
22110
12
22200
,,
,,
Una ecuación estructural esta identificada si existen valores únicos de sus parámetros que corresponden a la forma reducida dada y que satisfacen además las restricciones impuestas a priori
Una ecuación no esta identificada en el caso donde las
combinaciones lineales de las ecuaciones estructurales contienen
exactamente las mismas variables que la ecuación estructural
La combinación lineal implica que no agrega información y por tanto
existen menos ecuaciones que variables endógenas
Ejemplo 3: Modelo de oferta y demanda de dos bienes
(1) D1: q1t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt
(2) Si q1t = 0 + 1P1t + 4Wt
(3) D2: O = (0 - q2t) + 1P1t + 2P2t + 3Yt
Variables endógenas: q1t, P1t, P2t
Variables exógenas: Yt, Wt
La ecuación (2) está identificada si no existe ninguna combinación lineal de las otras ecuaciones que excluya simultáneamente a P2t, Yt.
¿Se puede eliminar P2t utilizando las ecuaciones (1) y (3)?Multiplicando a (1) por 2 y a (3) por 2 y restando (D1 – D2):Para eliminar Yt se multiplica (1) por 3 y a (3) por 3 y se restan.
Para hacer el proceso simultáneo se requiere que los coeficientes sean los mismos:
La ecuación (1) no está identificada:
Condición de orden: Un modelo con ecuaciones requiere para identificar una ecuación que excluya al menos - 1 variables - 1 = 3 – 1 = 2 excluye Wt y q1t
0
0:
0
32
32
2332
23323
3
2
2
Condición
CONDICIONES DE ORDEN Y DE RANGO
Condición de orden:
Ecuación exactamente identificada: En un modelo de G ecuaciones lineales entonces una ecuación esta identificada cuando faltan al menos G-1 de las variables incluidas del modelo
Ecuación sobreidentificada: Faltan más de G-1 variables incluidas en el modelo
Ecuación no identifica: No se excluyen al menos G-1 variables que están en el modelo
La condición de orden (o de conteo) es necesaria pero no suficiente
La condición de orden asegura que existe al menos una solución pero no asegura que la solución es única
Condición de rango: en un modelo lineal de G ecuaciones entonces
una ecuación esta identificada si y solo si existe al menos una
matriz de dimensión (G-1)X(G-1) no singular que esta contenida en
la matriz de coeficientes correspondientes a las variables
eliminadas de la ecuación cuya posible identificabilidad se está
estudiando y que aparecen en las otras ecuaciones del modelo
Ejemplo 4: Modelo de oferta y demanda de bienes ampliado
(1) D1: q1t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt
(2) Si q1t = 0 + 1P1t + 4Wt
(3) D2: q2t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt
(4) Si q2t = 0 + 2P2t
Variables endógenas: q1t, q2t, P1t, P2t
Variables exógenas: Yt, Wt q1t q2t 1 P1t P2t Yt Wt
D1 1 0 0 1 2 3 0 S1 1 0 0 1 0 0 4 D2 0 1 0 1 2 3 0 S2 0 1 0 0 2 0 0
Ecuación Número de ceros Condición de orden D1 2 No identificada S1 3 Justamente identificada D2 2 No identificada S2 4 Sobre identificada
- 1 = 4 – 1 = 3
Las ecuaciones (1) y (3) no pueden tener condición de rango
Condición de rango de la ecuación (2):
Excluyendo (q2t, P2t, Yt):
Determinante: 23 + 3(2 - 2) 0
01
1
0
2
32
32
Condición de rango para la ecuación (4):
0 (determinante 3x3)
0
0
0
01
1
4
31
1
31
Identidades (2 métodos):
1. Sustituir en las ecuaciones del sistema (reduciendo el número de
ecuaciones y variables)
2. Dejar las identidades. No tienen problema de identificación
porque los parámetros satisfacen las restricciones. Se incluyen en
la cuenta de G ecuaciones al contar le número de ecuaciones y
variables
Condición de orden equivalente:
H = variables endógenas
G – H = Variables endógenas que han sido eliminadas de la ecuación respectiva
J = variables predeterminadas
K – J = Variables predeterminadas eliminadas del modelo
Condición de orden: El número de variables eliminadas debe ser al menos igual que el número de ecuaciones menos una:
(G - H) + (K - J) >= G - 1
Simplificación: el número de variables predeterminadas que han sido eliminadas de la ecuación es mayor o igual que el número de variables endógenas que quedan en la ecuación menos una K – J >= H - 1
No se necesita G
Variables instrumentales
Identificación en forma reducida
Ejercicios:
Pindyck pp. 329Johnston pp. 608Griffits pp. 610Wooldrige pp. 485.
PRUEBA DE ENDOGENEIDAD
Los estimadores en dos etapas son menos eficientes que los MCO
cuando las variables explicativas son exógenas (Los MC2E
pueden tener errores estándar muy grandes)
Y1t = 0 + 1Y2t + 2Z1t + 3Z2t + ut
Z1t, Z2t son exógenas
Hausman (1978): Estimar por MCO y MC2E y comparar
Diferentes Y2t es endógena
Estimar:
Y2t = 0 + 1Z1t + 2Z2t + 3Z3t + 4Z4t + v2t
Regresión:
Y1t = 0 + 1Y2t + 2Z1t + 3Z2t + v2t + et
Rechazo de Ho Y2t es endógena
Prueba de restricciones sobre identificadas:
(1) Estimar la ecuación estructural por MCO y obtener los residuos
de MC2E
(2) Regresión de sobre las variables exógenas
(3) R21 2q, donde q es el número de VI fuera del modelo menos
el número total de variables explicativas endógenas
Rechazo de Ho al menos alguna de las VI no es exógena
Ejercicio 1: Modelo macroeconómico
(1)Ct = 1 + 2Yt + 3rt + u1t
(2) It = 1 + 2rt + 3Yt + u2t
(3) rt = 1 + 2It + 3Mt + u3t
(4) Yt = Ct + It + t
1. Determinar las condiciones de identificación de las ecuaciones
2. Qué procedimiento de estimación se puede utilizar con las ecuaciones identificadas
Solución:
Variables endógenas = 4
Variables predeterminadas = 2
Condición de orden: - 1 = 4 – 1 = 3
Se requiere excluir a 3 o más variables
Puede estimarse por mínimos cuadrados indirectos
Ct It rt Yt 1 Mt t (1) -1 0 3 2 1 0 0 (2) 0 -1 2 3 1 0 0 (3) 0 2 -1 0 1 3 0 (4) -1 -1 0 -1 0 0 1
Ecuación Número de ceros Condición de orden
(1) 3 Exactamente identificada
(2) 3 Exactamente identificada
(3) 3 Exactamente identificada
(4) Identidad
Ejercicio 2: Modelo econométrico
(1) Ct = 11 + 12Yt + e1t
(2) It = 12 + 22rt + e2t
(3) Yt = Ct + It + t
Variables endógenas: Ct, It, Yt
Variables exógenas: t, rt
1. Identifique los signos esperados de los coeficientes
2. Derive algebraicamente la forma reducida
3. Determine las condiciones de orden de identificación del modelo
Solución:
1.
(1) 11 > 0 12 > 0
(2) 21 > 0 22 < 0
2. Ct = (Ct + It + t) + 11 + e1t
Ct - 12Ct = 12It + 12t + 11 + e1t
12
12
12
12
12
12
12
2212
12
1112
12
1
12
11
12
1222121
12
12
12
1
12
11
12
12
12
12
11111
111)(
1
1111
ttttt
ttttt
tttt
eerC
eerC
eIC
Ct It Yt 1 rt t (1) -1 0 12 11 0 0 (2) 0 -1 0 21 22 0
Condición de orden: - 1 = 3 – 1 = 2
Las ecuaciones están exactamente identificadas
MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
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