modul matematika subruang pada vektor
Post on 20-Oct-2015
52 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Gagasan penggunaan pasangan bilangan untuk
meletakkan titik-titik pada dan penggunaan tripec bilangan
untuk meletakkan titik-titik di ruang 3 mula-mula diungkapkan
secara jelas dalam pertengahan abad ke 17 menjelang akhir
abad ke 19 para ahli matematika dan ahli fisika mulai menyadari
bahwa tidak perlu diberhenti dengan tripec. Pada waktu itu
dikenal bahwa kuadrupel bilangan (a1, a2, a3, a4) dapat ditinjau
sebagai titik pada ruang ‘berdemensi’ (a1, a2, …….a5) sebagai
titik diruang 3, namun kita mungkin memperluas gagasan yang
dikenal hingga melebihi ruang 3 dengan bekerja bagi sifat
analetik atau sifat numeris titik dan vektor serta bukan bekerja
dengan sifat geometrik.
B. Tujuan
Adapun tujuan yaitu :
- Untuk mengetahui subruang pada vektor
- Mengetahui kebebasan linear pada vektor
- Mengetahui basis dan dimensi pada vektor
- Mengetahui baris dan kolom matriks, rank, penerapan
terhadap pencarian basis.
iii
BAB II
PEMBAHASAN
A. Subruang
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan
subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di
bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan
pada V.
Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari
sebuah ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan
hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku
1) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak
di W
2) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor
pada W, ku berada di W
Kondisi-kondisi (1) dan (2) sering kita jelaskan dengan
menyatakan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan
tertutup di bawah perkalian skalar. Bukti jika W adalah subruang
dari V, maka semua aksioma ruang vektor dipenuhi; khususnya
Aksioma 1 dan Aksioma 6 berlaku. Tetapi dalam hal ini persis
merupakan kondisi (1) dan kondisi (2).
Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua
subruang. V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0}
yang terdiri dari vektor nol saja pada V yang merupakan sebuah
subruang yang kitanamakan subruang nol (zero subspace).
Contoh :
Misalkan W sebarang bidang yang melalui titik asal dan
misalkan u serta V sebarang vektor pada W. maka u + v harus
terletak pada W karena u + v adalah diagonal jajaran genjang
yang ditentukan oleh u dan v (gambar 1) dan k u harus terletak
iii
pada W untuk sebarang skalar k karena ku terletak pada garis
yang melalui u. jadi W adalah subruang dari R3.
Contoh
Perlihatkan bahwa himpunan W dari semua matriks 2 x 2
yang mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya adalah
subruang dari ruang vektor M22 dari semua matriks 2 x 2
Pemecahan.
Adalah seberang dua matriks pada W dan K adalah
sebarang skalar. Maka
Oleh karena kA dan A + B mempunyai bilangan nol pada
diagonal utama, maka kA dan A + B terletak pada W. Jadi, W
adalah subruang dari M22.
Contoh
Vektor-vektor i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1)
merentang R3 karena setiap vektor (a, b, c) pada R3 dapat kita
tuliskan sebagai :
(a, b, c) = ai + bj + ck
Teorema jika v1, v2, ……….vr adalah vektor–vektor pada ruang
vektor V, maka:
(1) Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2, …….vr
adalah subruang V
iii
(2) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2,
…….vr, adalah arti bahwa setiap subruang lain dari V yang
mengandung v1, v2,…….,vr harus mengandung W
Kombinasi linear vi, v2, ……..vr, maka kita dapatkan
subruang V. subruang tersebut kita namakan ruang linear
terentang oleh {v1, v2, …….vr}, atau dengan lebih sederhana
kita namakan ruang terentang oleh {v1, v2,…….vr}
Bukti
(a) Untuk memperlihatkan bahwa W adalah subruang V, kita harus
membuktikan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan
perkalian skalar. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W,
maka
u = c1v1 + c2v2 + …………… + crvr
dimana c1, c2, …….cr, k1, k2,…………kr adalah skalar. Maka,
u + v = (c1k1)v1 + (c2 + k2)v2 + …………… + (cr+kr)vr
dan, untuk sebarang skalar k,
ku = (kc1) v1 + (kc2) v2 + ………..+ (kcr) vr
jadi u + v dan ku adalah kombinasi-kombinasi linear v1, v2,
……… vr, dan sebagai konsekuensinya maka u + v dan ku
terletak di W sehingga W tertutup di bawah penambahan dan
perkalian skalar.
(b) Setiap vektor vi adalah kombinasi-kombinasi v1, v2, ……..vr,
karenanya dapat kita tulis
vi = 0v1+0v2 + ………..+ 1vi + …………..0vr
oleh karena itu, subruang w mengandung setiap vektor v1, v2,
…….vr misalkan W1 adalah sebarang subruang lain yang
mengandung v1, v2, …….vr. karena W-1 tertutup di bawah
penambahan dan perkalian skalar, maka W-1 harus mengundang
semua kombinasi linear.
iii
c1v1 + c2v2 dari v1,v2……,vr
jadi, W1 mengandung setiap vektor W.
B. Kebebasan Linear
Ketahui bahwa ruang vektor V direntang oleh himpunan
vektor S = [v1, v2……..vr] jika setiap vektor pada V adalah
kombinasi linear, v1, v2……..vr. dengan merentang himpunan
tersebut akan berguna dalam berbagai soal, karena mungkin kita
sering menelaah ruang vektor V dengan menelaah terlebih
dahulu vektor-vektor dengan merentang himpunan S. dan
kemudian dengan memperluas hasil-hasil tersebut pada bagian
selebihnya dari V. maka, kita perlu mempertahankan
perentangan himpunan S sekecil mungkin. Permasalahan untuk
mendapatkan peretangan himpunan terkecil untuk ruang vektor
bergantung pada pengertian kita mengenai kebebasan linear.
Definisi. Jika S = {v1, v2……..vr} adalah himpunan vektor, maka
persamaan vektor.
k1v1 + k2v2 + …………..krvr = 0
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni
k1 = 0, k2 = 0, ………….kr = 0
jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan
himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada
pemecahan lain, maka S kita namakan himpunan tak bebas
linear (linearly dependent).
Contoh :
Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1)
pada R3 ruas komponen persamaan vektor
Kii + 1 + k2v2 + ………..krvr = 0
Menjadi
iii
k1 = (1, 0, 0), + k2 (0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
atau secara ekivalen menjadi
(k1, k2, k3) = (0, 0, 0)
Jadi, k1 = 0, k2 = 0, k3 =0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas
linear. Uraian serupa dapat digunakan untuk memperlihatkan
bahwa vektor-vektor e1 = (1, 0, 0,……..0), e2 = (0, 1, 0, …..0),
…….,cn = (0, 0, 0,……..1) membentuk himpunan bebas linear
pada Rn.
Teorema 6. Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah
(a) Tak bebas linear jika dan hanya paling tidak satu diantara
vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
vektor S lainnya
(b)Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang
dapat dinyatakan sebagai kombinasi dalam linear dalam
vektor S lainnya .
Teorema 27
(a) Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka
himpunan itu takbebas linear
(b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak
bebas jika bebas satu dari vektor itu adalah perkalian dari
skalar lainnya.
Contoh 27.
Dalam R2 atau R3 satu vektor adalah kelipatan skalar dari vektor
lainnya jika hanya jika kedua vektor yang terletak pada garis
yang sama yang melalui titik asal ditempatkan pada titik
awalnya melalui titik asal. Jadi, berikutnya dari bagian (b) dari
teorema 7 bahwa dalam R2 dan R3 dua vektor yang berbentuk
himpunan tak bebas linear adalah jika dan hanya jika vektor itu
iii
terletak pada garis yang sama melalui titik asal yang
ditempatkan pada titik awalnya melalui titik asal itu sendiri.
Teorema 8. misalkan S = {v1, v2, ……….vr) adalah himpunan
vektor-vektor pada Rn jika r > n, maka S tak bebas linear.
Bukti.
v1 = (v11, v12, ……….v1n)
v2 = (v21, v22, ……….v2n)
vr = (vr1, vr2, ……….vrn)
tinjaulah persamaan
kiv1 + k2v2 + ………..krvr = 0
C. Basis dan Dimensi
Definisi. Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {V1,
V2,.....Vr} merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor
pada V, maka S kita namakan basis untuk V jika
(i) S bebes linear;
(ii) S merentang V
Contoh 32
Misalkan
Himpunan S = {M1, M2, M3, M4} adalah sebuah basis untuk
ruang vektor M22 dari matriks-matriks 2x2. Untuk melihat bahwa
iii
S merentang M22, perhatikan bahwa sebuah vektor khas
(matriks).
Dapat ditulis sebagai
= aM1 + bM2 + cM3 + dM4
Untuk melihat bahwa S bebas linear, anggaplah bahwa
aM1 + bM2 + cM3 + dM4 = 0
yakni
Jadi, a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linear.
Definisi. Sebuah ruang vektor taknol V dinamakan berdimensi
berhingga (finite dimensional) jika ruang fektor tersebut
mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor
{V1,V2,...Vn} yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada
himpunan seperti itu, maka V dinamakan dimensi tak berhingga
(infinite dimensional), tambahan lagi, kita akan menganggap
ruang vektor nol sebagai ruang vektor berdimensi berhingga
walaupun ruang vektor tersebut tidak mempunyai himpunan
bebas linearm sehingga basispun tidak ada.
Teorema 9. Jika S = {V1,V2,….Vn} adalah basis untuk ruang vektor
V, maka setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak
terbebas linear
iii
Bukti. Misalkan S= {W1, W2,….Wm} adalah sebarang himpunan m
vektor pada V, dimana m>n. Kita ingin memperlihatkan bahwa S
tak bebas linear. Karena S = {V1,V2….Vn} adalah sebuah basis
maka setiap w dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
vektor-vektor S, katakanlah,
w1 = a11v1 + a21v2 +………an1vn
w1 = a12v1 + a22v2 +………an1vn
wm = a1mv1 + a2mv2 +………anmvn
Untuk memperlihatkan bahwa S tak bebas linear, maka kita
harus cari skalar-skalar K1,K2…Km, yang tidak semuanya nol,
sehingga
k1w1 + k2v2 +….………kmwm = 0
Teorema 10. Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi
berhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.
Bukti. Misalkan S = {V1,V2….Vn} dan S {W1, W2,….Wm} adalah dua
basis untuk sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga.
Karena S adalah sebuah basis dan S adalah himpunan basis
linear, maka teorema 9 menunjukkan bahwa mn. Demikian
juga, karena S adalah sebuah basis dan S bebas linear, kita juga
memperoleh nm. maka m=n.
Definisi. Dimensi sebuah ruangan vektor V yang berdimensi
berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis
untuk V. Tambahan lagi, kita mendefinisikan ruang vektor nol
mempunyai dimensi nol.
Contoh 37
Tentukanlah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari
sistem homogen.
2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0
iii
- x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0
x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
Pemecahan. Pada contoh
x1 = – s – 1, x2 = s, x3 = -t, x4 = 0, x5 = t,
Sehingga vektor-vektor pemecahan tersebut dapat dituliskan
sebagai
Yang memperlihatkan bahwa vektor-vektor
Teorema 11
(a)Jika S = {V1,V2….Vn} adalah sebuah himpunan n vektor bebas
linear pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S
adalah sebuah basis untuk V.
(b)Jika S = {V1,V2….Vn} adalah sebuah himpunan n vektor yang
merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah basis
untuk V
(c) Jika S = {V1,V2….Vr} adalah sebuah himpunan bebas linear
pada ruang V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapat
diperbesar menjadi basis untuk V, yakni vektor-vektor
{Vr,1….Vn} sehingga {V1,V2….{Vr,Vr +1,…Vn} adalah sebuah
basis untuk V.
iii
iii
D. Ruang Baris Dan Kolom Matriks, Rank, Penerapan
Terhadap Pencarian Basis
Definisi. Tinjauan matriks m x n
Vektor-vektor
Bentuk dari baris-baris A yang kita namakan vektor-vektor baris
A, dan vektor-vektor
Terbentuk dari kolom-kolom A. Subruang Rn yang direntang oleh
vektor-vektor baris yang kita namakan ruang baris (row space) A
dan Subruang Rm yang direntang oleh vektor-vektor kolom kita
namakan ruang kolom (column space)A
Contoh
Misalkan
Vektor-vektor baris A adalah
r1 = (2,1,0) dan r1 = (3,-1,4)
Teorema berikutnya akan membantu kita mencari basis-basis
untuk ruang vektor.
Teorema 12. operasi baris elementer tidak mengubah ruang
baris sebuah matriks
iii
Jelaslah bahwa dari teorema ini bahwa sebuah matriks dan
semua bentuk eselon barisnya mempunyai ruang baris yang
sama. Akan tetapi, vektor-vektor baris taknol dari matriks
berbentuk eselon baris selalu bebas linear. Sehingga vektor-
vektor baris taknol ini membentuk basis untuk ruang baris
tersebut. Jadi, kita peroleh hasil berikut.
Teorema 13. Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris
dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A.
Contoh 40
Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-
vektor
v1 = (1,-2,0,0,3,), v2 = (2,-5,-3,-2,6) v3 = (0,5,15,10,0)
v4 = (2,6,18,8,6)
Pemecahan. Ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah
ruang baris dari matriks
Dengan meredekusi matriks ini menjadi bentuk eselon baris, kita
dapatkan (buktikan):
Vektor-vektor baris taknol pada matriks ini adalah
w1 = (1,-2,0,0,3), w2 = (0,1,3,2,0) w3 = (0,0,1,1,0)
iii
Vektor-vektor ini membentuk basis bagi ruang baris tersebut dan
sebagai konsekuensinya maka akan membentuk basis untuk
ruang yang direntang oleh v1, v2, v3 dan v4
Teorema 14. Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris
dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama.
Contoh
Mempunyai ruang kolom berdimensi dua. Jadi teorema 14
menyatakan bahwa ruang baris tersebut juga berdimensi dua.
Untuk melihat bahwa kasusnya memang demikian, maka kita
reduksi A terhadap bentuk eselon baris, yang menghasilkan
(buktikan).
Karena matriks ini mempunyai dua baris taknol, maka ruang
baris A berdimensi dua. Definisi. Dimensi ruang baris dan ruang
kolom matriks A dinamakan rank A dan ditanyakan dengan rank
(A)
Teorema
Jika A adalah matriks n x n, maka pertanyaan-pertanyaan berikut
ekivalen satu sama lain.
(a)A dapat dibalik
(b)Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial
(c) A ekivalen baris dengan In
(d)Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x
1
iii
(e)Det (A) 0
(f) A mempunyai rank n
(g)Vektor-vektor baris A bebas linear
(h)Vektor-vektor kolom A bebas linear
Bukti. Kita akan perlihatkan bahwa (c), (f), (g) dan (h)
ekivalen satu sama lain membuktikan urutan implikasi (c) => (f)
=> (g) => (c). ini akan melengkapkan bukti tersebut karena kita
sudah mengetahui bahwa (c) ekivalen dengan (a), (b), (d) dan
(e).
(c) => (f) karena A ekivalen baris dengan In, dan In baris taknol,
maka ruang baris dari A berdimensi n menurut Teorema 13. jadi,
A mempunyai rank n.
(f) => (g) karena A mempunyai rank n, maka ruang baris dari A,
maka jelaslah dari teorema 11 dalam bagian 4.5 bahwa vektor-
vektor baris A bebas linear.
(g) => (h) anggaplah vektor-vektor baris A bebas linear. Jadi,
ruang baris A berdimensi n. Menurut teorema 14 maka ruang
kolom. A juga berdimensi n. karena vektor-vektor kolom A
merentang ruang kolom, maka vektor-vektor kolom A bebas
linear menurut teorema 11 pada bagian 4.5.
(h) => (c) anggapalah vektor-vektor kolom A bebas linear. Jadi,
ruang kolom A berdimensi n dan sebagai konsekuensinya, maka
menurut Teorema 14 ruang baris A berdimensi n. ini berarti
bahwa bentuk eselon baris tereduksi A mempunyai n baris
taknol, yakni bahwa semua barisnya taknol. Seperti yang
disajikan pada contoh 24 bagian 2.3 maka ini berarti bahwa
bentuk eselon baris tereduksi A adalah In. jadi, A ekivalen baris
dengan In.
iii
Teorema 16. Sebuah sistem persamaan linear Ax = b adalah
konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom A
Contoh 44.
Misalkan Ax = b adalah sistem linear
Pecahkan sistem tersebut dan gunakan hasil untuk menyatakan
b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom A.
Pemecahan. Dengan memecahkan sistem menggunakan
eliminasi Gauss akan menghasilkan ( buktikan ):
x1 = 2 x2 = 1 x3 = 3
Jadi, dari persamaan ( 4. 16,
Teorema 18 jika Ax= b adalah sistem linear konsisten dari
m persamaan n bilangan tak diketahui dan A mempunyai rank r,
maka pemecahan sistem tersebut mengandung n-r parameter.
Jika A adalah mertiks 5x7 dengan rank 4, dan jika Ax=b
adalah sistem linear konsisten maka pemecahan tersebut
mengandung sistem 7-4=3 parameter.
iii
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan ini
adalah :
1. Subhimpunan w dari sebuah ruang vektor dinamakan
subruang (subspace) v jika w itu sendiri adalah ruang vektor
di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan
pada v
2. Kebebasan linear jika s (v1, v2, ….v5) adalah himpunan
vektor, maka persamaan vektor kiv1 + kiv2 + ……… + krvr = 0
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan yakni :
Ki = 0, K2 = 0, Kr = 0
Jika ini adalah satu-satunya pemecahan maka, s kita namakan
himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada
pemecahan lain maka S kita namakan himpunan tak bebas
linear (linearly dependent)
3. Ke basis dan dimensi dimana jika v adalah sebarang ruang
vektor dan s = (v1, v2………vr) merupakan himpunan
sehingga dari vektor-vektor pada v maka s dinamakan basis
untuk v jika:
(i) S bebas linear
(ii) S merentang v
4. Ruang garis dan kolom matriks, rank, penerapan terhadap
pemecahan basis
Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan
rank A dan dinyatakan dengan rank (A)
iii
B. Saran
Dalam menentukan ruang-ruang dalam vektor diperlukan
ketelitian yang tinggi dan dilandaskan dengan definisi-definisi
yang telat ada, sehingga mendapatkan hasil yang maximal.
iii
DAFTAR PUSTAKA
Anton Howard, 1987. Aljabar Linear Erlementer, Edisi Ketiga Jakarta.
Erlangga.
iii
top related