naoya tsuruta
Post on 14-Jan-2017
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自己紹介 (1/2)
• 名前: 鶴田直也
• 研究内容: – コンピュータグラフィックス
– インタラクティブアプリケーション
–形状モデリング
–計算折紙
• 略歴: – 2012.4-2015.3: 筑波大学博士課程
– 2015.3-:東京工科大学 助手
2
計算機上での形状設計
• CG(コンピュータグラフィックス)
–視覚的な画像、映像用途
–自由なモデリングが可能
• CAD(コンピュータ支援設計)
–現実の物体をモデリング
–物理的な制約を考える 必要がある
Autodesk, Inc.
Blender Foundation
5
計算機上での折紙の形状設計
• 紙の折り曲げによる形のデザイン
• 計算機上で扱う利点:
–手作業による試行錯誤の軽減
–平坦に折り畳めるように形状を自動修正
–折り畳み方のシミュレーション
[Mitani 2011] 6
計算機によって設計された折紙
[Tachi 2008] [Mitani 2009] [Lang 2004]
Air bag simulation [Lang 1999] [Mitani, Issey Miyake 2010] Solar sail [JAXA]
7
関連分野 - 折紙の世界
2D 平坦に折り畳み可能
1D 細長い紐や帯の折り畳み
3D 立体的な形状
[Douglas et al.] ユニット折り紙
[Huffman]
テセレーション[Gjerde]
一般的な折り紙作品
剛体折り [Tachi]
[Umesato et al.]
10
本発表の「折紙」の指す範囲について
• 糊付けによる接着は不可
–ペーパクラフトは含まない
• 切り込みの可否は?
–まだ十分に議論されていない新しい領域
切り込みなし 切り込みあり 複数部品の接着あり
古典折紙 切り起こし 折り紙建築 ポップアップ・カード 紙工作
12
最近の話題 (1/2)
• 2方向に折りたたみ可能な構造
–建築物や構造物への応用
13
世界のORIGAMIはすごい。超頑丈で伸縮自在の折り紙構造物 : ギズモード・ジャパン http://www.gizmodo.jp/2015/09/origami.html @gizmodojapanさんから
最近の話題 (2/2)
• 衣類のデザインやトラスコアへの応用
14
“Origami” から生まれる世界的な技術革新 | nippon.com: http://www.nippon.com/ja/currents/d00161/#.Vhdfo-Ozec4.twitter
Stamp Folding と Map Folding
• Stamp Folding (1D)
–等間隔に配置された山谷の折り線
–紙の重なり順が異なる折り方は何通りあるか
• Map Folding (2D)
–グリッド上に配置された山谷の折り線
–平坦に折り畳めるかどうかの判定はNP完全[Arkin et al. 2004]
Map Folding のイメージ 17
折り畳み形状列挙 [Tsuruta et al. 2012]
• 本研究の貢献
– 紙を折る操作や折る回数を制限することで、 4回以下の折りで可能な形状を列挙
– 紙を折り畳んだ形状を自動生成する アルゴリズムの考案
–得られた形状群からコンピュータで自動生成された新しい折紙作品を発見
自動生成した形状のリストと発見した鳥のモデル 18
列挙アルゴリズム概要
• 全7通りの折り紙の公理 (折り紙のカドや辺を参照要素とする折り方)のうち3つを使用 – 残りの折り方は一般に用いられないため除外
• 3通りの折り方について、可能な参照要素の組み合わせをすべて試行
19 (A) 2点を通る (B) 2点を重ねる (C) 2辺を重ねる
列挙された形状 [Tsuruta et al. 2012]
1回折り
2回折り
3回折り 4回折り
21 PDF is available on my web -> http://grusfield.com/tsuruta/origami/lists/
背景
• 平板素材を用いた 設計の利点
素材の無駄を減らす
接続部材が少ない
設計の自由度が低い
[Flux Furniture B.V. 2010]
[FUCHS+FUNKE Industrial Design 2007]
23
対話的な可展面の設計
平面曲線での折り曲げ [Mitani and Igarashi 11]
帯状の曲げ [Bo and Wang 08]
展開図と立体形状の同時編集 [Solomon et al. 12]
折りの鋭さの調整 [Zhu et al. 13]
24
折り曲げの幾何的なモデリング
• 平面四辺形メッシュによる可展面の 離散表現 [Liu et al. 06]
• 平板の集合による形状モデリング [Pottmann 08]
可展面の離散表現 [Liu et al. 08]
平板の折り曲げによる実際の建築物と それを模したCG [Pottmann et al. 08] 25
平面四辺形メッシュ
• 平面四辺形(Planar Quads)メッシュ
– 4つの頂点が同一平面に乗るような四辺形集合
• 各頂点座標が満たすべき拘束条件の関数をGauss-Newton法(など)で最小化
–行列の大きさはメッシュサイズに依存
𝑓𝑝𝑞 ≔ 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑔 𝑎0, 𝑏1 , 𝑠𝑒𝑔 𝑎1, 𝑏02= 0
𝑠𝑒𝑔 𝑎, 𝑏 : 𝑎𝑏 間の線分 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑠, 𝑣 : 𝑠𝑣 間の距離
26
スリット入り素材の折り曲げ [Tsuruta et al. 2013]
• 本手法の貢献
–スリットを含む素材の折り曲げに着目
–対話的な設計システムを提案
–幾何拘束を自動的に満たすための最適化手法の実現
開発したシステムの実行画面 27
概要
• 対象とする形状: 複数のスリットを含む左右対称な長方形素材
• 曲げ形状を対話的に編集するシステムの提案
– 幾何的な拘束は最適化によって自動的に満たされる
対称平面
素材の展開図と曲げ形状のイメージ 28
ストリップの折り曲げ
• ストリップは 𝑀 + 1 個の折り線E を持つ
• 折り線E は平面上の位置と角度からなる 𝑬= { 𝒙𝑳, 𝒙𝑹, 𝜽}
平面上の折り線 逐次的に曲げることで3次元形状を計算
31
最適化
• 勾配法で 𝐹𝑝𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦 を最小化
𝐹𝑝𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦 = 𝑤1𝐹𝑛𝑜_𝑔𝑎𝑝 +𝑤2𝐹𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ+ 𝑤3𝐹𝑓𝑎𝑖𝑟 + 𝑤4𝐹𝑢𝑠𝑒𝑟_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙
1. 素材の位置拘束 2. 曲げの滑らかさ
3. 四辺形の縮退 4. ユーザ指定の位置拘束
初期状態の折り線と最適化後の折り線 33
1. 終端の位置拘束
• 全体形状が左右対称であり、鏡像と連結することで得られるため、対称平面との距離
𝐹𝑛𝑜_𝑔𝑎𝑝 ≔ (𝑣𝐿,𝑛)𝑥2+ (𝑣𝑅,𝑛)𝑥
2
をゼロにする
終端と対称平面との距離 34
2. 曲げの滑らかさ
• 折り角度の差分を少なくし、対称面と直交するように
𝐹𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ ≔ −𝜃𝑖−1 + 2𝜃𝑖 − 𝜃𝑖+12 + 𝐹𝑒𝑛𝑑_𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
𝐹𝑒𝑛𝑑_𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ≔ 𝑣𝐿,𝑛−1 − 𝑣𝐿,𝑛 ∙ 𝑣𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒_𝑜𝑓_𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦2
隣接する折り線の角度差と対称平面に接する角度を制御 35
4. ユーザ指定の頂点位置拘束
• 対称面上の位置と各頂点の位置を指定
𝐹𝑢𝑠𝑒𝑟_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 ≔ 𝑣𝐿,𝑖 − 𝑣′𝐿,𝑖2+ 𝑣𝑅,𝑖 − 𝑣
′𝑅,𝑖2
+ 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣𝐿,𝑛, 𝑐𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦 + 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣𝑅,𝑛, 𝑐𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦
ユーザによる位置指定 37
妥当性の検証
• 伸縮しない紙を設計した形状に一致させられることの確認
–厚みの考慮をしていないため、長さがわずかに 足りなかった
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3Dプリントした型と画用紙を張り合わせた様子 寸法(W/H/D): 247 × 233 × 179mm
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