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2º ESOSoluciones de tareas 14/04/2020 - 24/04/2020

Página 170:

1. Resuelve gráficamente.

a) x+ y=1x−2 y=−5}

b) x−2 y=43 x−y=−3}

Solución:

a) x+ y=1x−2 y=−5}

Como ya sabemos, tenemos dos rectas de las cuales tenemos que obtener dos

puntos en cada una para poder representarlas. Vamos a hacer la siguiente

asignación:

r 1 : x+ y=1

r 2 : x−2 y=−5

Calculemos dos puntos de la recta r 1 :

Si x = 0 → 0+ y=1 ⇔ y=1 . Por tanto, el punto (0, 1) es un punto de la

recta r 1 .

Si y = 0 → x+0=1 ⇔ x=1 . Por tanto, el punto (1, 0) es otro punto de la

recta r 1 .

Representamos estos puntos y la recta gráficamente:

Calculamos dos punto de la recta r 2 :

Si x=1 → 1−2 y=−5 ⇔ −2 y=−5−1 ⇔ −2 y=−6 ⇔

⇔ y=−6−2

⇔ y=3 . Por tanto, el punto (1, 3) es un punto de la recta r 2 .

Si x=−1 → −1−2 y=−5 ⇔ −2 y=−5+1 ⇔ −2 y=−4 ⇔

⇔ y=−4−2

⇔ y=2 . Por tanto, el punto (-1, 2) es un punto de la recta r 2 .

Representamos estos puntos y la recta gráficamente:

Finalmente, representamos el sistema (que no es más que colocar ambas rectas

dentro de una misma gráfica):

El ejercicio sólo nos pide la representación gráfica, pero como comentario adicional

vemos que la solución del sistema es el punto (-1, 2).

b) x−2 y=43 x−y=−3}

Hacemos la siguiente asignación:

r 1 : x−2 y=4

r 2 :3 x−y=−3

Calculemos dos puntos de la recta r 1 :

Si x = 0 → 0−2 y=4 ⇔ y=4

−2⇔ y=−2 . Por tanto, el punto (0, -2)

es un punto de la recta r 1 .

Si y = 0 → x−2⋅0=4 ⇔ x=4 . Por tanto, el punto (4, 0) es otro punto de

la recta r 1 .

Representamos estos puntos y la recta gráficamente:

Calculemos dos puntos de la recta r 2 :

Si x = 0 → ⇔ 3⋅0−y=−3 ⇔ −y=−3 ⇔ y=3 . Por tanto, el punto

(0, 3) es un punto de la recta r 2 .

Si y = 0 → ⇔ 3⋅x−0=−3 ⇔ x=−1 . Por tanto, el punto (-1, 0) es un

punto de la recta r 2 .

Representamos estos puntos y la recta gráficamente:

Finalmente, representamos el sistema.

Como comentario adicional decimos que podemos intuir a través de la

representación gráfica que la solución será (-2, -3).

2. Observa el gráfico y responde.

a) Escribe un sistema cuya solución sea x=2, y=4.

b) Escribe un sistema cuya solución sea x=0, y=5.

c) Escribe un sistema sin solución.

Solución:

Para la resolución de este ejercicio, vamos a presentar dos métodos. El primero, el

método gráfico, el cual consistirá en seleccionar aquellas rectas que se cortan en el punto

que nos pidan. El segundo método será un método analítico, en el que evaluaremos las

diferentes ecuaciones en los puntos que nos pida cada apartado.

a) Método gráfico

Buscamos aquellas rectas que se cortan en el punto (2, 4).

Como podemos comprobar, las rectas que nos proporcionan el sistema que

buscamos son la recta roja y la recta azul. Por tanto, el sistema es

3 x−y=2x+2 y=10}

Método analítico:

Evaluamos en el punto (2, 4) las diferentes ecuaciones:

◦ x+2 y=10 → (2)+2(4)=2+8=10=10 La ecuación se verifica. Por

tanto, esta ecuación estará en el sistema. ✔

◦ 2 x−3 y+15=0 → 2(2)−3(4)+15=4−12+15=−8+15=7≠0 La

ecuación no se verifica. Por tanto, esta ecuación no estará en el sistema. ✘

◦ 2 x−3 y+1=0 → 2(2)−3(4)+1=4−12+1=−7≠0 La ecuación no se

verifica. Por tanto, esta ecuación no estará en el sistema. ✘

◦ 3 x−y=2 → 3(2)−(4)=6−4=2=2 La ecuación se verifica. Por tanto,

esta ecuación estará en el sistema. ✔

Como vemos, tanto el método analítico como el método gráfico nos apuntan a la

misma solución, que no es más que

3 x−y=2x+2 y=10}

Representación gráfica del sistema:

b) Método gráfico:

Buscamos aquellas rectas que se cortan en el punto (0, 5).

Vemos, por tanto, que las ecuaciones que verifican esta condición son la recta azul

y la recta violeta. Por tanto, el sistema de ecuaciones que buscamos es

x+ 2 y=102 x−3 y+15=0}

Método analítico

Evaluamos en el punto (0, 5) las diferentes ecuaciones:

◦ x+2 y=10 → (0)+2(5)=0+10=10=10 La ecuación se verifica. Por

tanto, esta ecuación estará en el sistema. ✔

◦ 2 x−3 y+15=0 → 2(0)−3(5)+15=0−15+15=−15+15=0=0 La

ecuación se verifica. Por tanto, esta ecuación estará en el sistema. ✔

◦ 2 x−3 y+1=0 → 2(0)−3(5)+1=0−15+1=−14≠0 La ecuación no se

verifica. Por tanto, esta ecuación no estará en el sistema. ✘

◦ 3 x−y=2 → 3(0)−(5)=0−5=−5≠2 La ecuación no se verifica. Por

tanto, esta ecuación no estará en el sistema. ✘

Como vemos, tanto el método analítico como el método gráfico nos apuntan a la

misma solución, que no es más que

x+ 2 y=102 x−3 y+15=0}

Representación gráfica del sistema:

c) Para este caso particular, sólo vamos a contemplar el método gráfico, puesto que

el método analítico implicaría contenidos de cursos posteriores.

Método gráfico

Como explicamos en los vídeos, un sistema no tiene solución cuando las rectas

que representan las ecuaciones son paralelas. Vemos, entonces, que las rectas

que verifican esto son la violeta y la verde. Es decir, que el sistema que buscamos

es

2 x−3 y +1=02 x−3 y+15=0}

Representación gráfica del sistema:

3. Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada.

c) x+ 4 y=12 x−y=−7}

d) 5 x−2 y=−54 x−3 y=3 }

Solución:

Para resolver este ejercicio, vamos a realizar los pasos que hemos explicado en los

vídeos.

c) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro

caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:

x+4 y=12x−y=−7} → x=1−4 y

Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:

x+4 y=12x−y=−7} → x=1−4 y

2(1−4 y )−y=−7⇔2−8 y−y=−7⇔

⇔2−9 y=−7⇔−9 y=−7−2⇔−9 y=−9⇔ y=−9−9

⇔ y=1

Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la

"incógnita inicial".

x=1−4 y → x=1−4(1)⇔ x=1−4⇔x=−3

Paso 4: Agrupamos la solución: (-3, 1).

Representación gráfica del sistema:

d) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro

caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:

5 x−2 y=−54 x−3 y=3 } → x=

−5+2 y5

Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:

5 x−2 y=−54 x−3 y=3 } →

x=−5+2 y

5

4 (−5+2 y

5)−3 y=3

⇔−20+8 y

5−3 y=3⇔

⇔−20+8 y−15 y=15⇔−20−7 y=15⇔−7 y=15+20⇔−7 y=35⇔ y=35−7

⇔ y=−5

Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la

"incógnita inicial".

x=−5+2 y

5→ x=

−5+2(−5)

5⇔x=

−5−105

⇔ x=−15

5⇔ x=−3

Paso 4: Agrupamos la solución: (-3, -5).

Representación gráfica del sistema:

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2. Resuelve por sustitución y comprueba las soluciones que se ofrecen.

a) x+2 y=113 x− y=5 }

b) 2 x−y=15 x−3 y=0}

c) x+2 y=12 x+3 y=4 }

d) x−y=37 x−3 y=5 }

Solución:

a) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro

caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:

x+2 y=113 x−y=5 } → x=11−2 y

Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:

x+2 y=113 x−y=5 } → x=11−2 y

3(11−2 y )−y=5⇔33−6 y−y=5⇔33−7 y=5⇔

⇔−7 y=5−33⇔−7 y=−28⇔ y=−28−7

⇔ y=4

Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la

"incógnita inicial".

x=11−2 y → x=11−2(4)⇔x=11−8⇔ x=3

Paso 4: Agrupamos la solución: (3, 4).

Representación gráfica del sistema:

b) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro

caso, escogemos la variable y de la primera ecuación:

2 x−y=15 x−3 y=0} → y=2 x−1

Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:

2 x−y=15 x−3 y=0} → y=2 x−1

5 x−3(2 x−1)=0⇔5 x−6 x+3=0⇔−x+3=0⇔

⇔−x=−3⇔x=3

Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la

"incógnita inicial".

y=2 x−1 → y=2(3)−1⇔ y=6−1⇔ y=5

Paso 4: Agrupamos la solución: (3, 5).

Representación gráfica del sistema:

c) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro

caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:

x+2 y=12x +3 y=4} → x=1−2 y

Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:

x+2 y=12x +3 y=4} → x=1−2 y

2(1−2 y )+3 y=4⇔2−4 y +3 y=4⇔2−y=4⇔−y=2⇔

⇔ y=−2

Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la

"incógnita inicial".

x=1−2 y → x=1−2(−2)⇔ x=1+4⇔ x=5

Paso 4: Agrupamos la solución: (5, -2).

Representación gráfica del sistema:

d) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro

caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:

x−y=37x−3 y=5} → x=3+ y

Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:

x−y=37x−3 y=5} → x=3+y

7(3+ y )−3 y=5⇔21+7 y−3 y=5⇔21+4 y=5⇔

⇔4 y=5−21⇔4 y=−16⇔ y=−4

Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la

"incógnita inicial".

x=3+ y → x=3+(−4)⇔ x=3−4⇔ x=−1

Paso 4: Agrupamos la solución: (-1, -4).

Representación: