određivanje ubrzanja slobodnog padanja (2) · 2019-10-12 · •fizičko klatno - telo koje...
Post on 22-Feb-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 1
Određivanje ubrzanja
slobodnog padanja (2)
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 2
• Ubrzanje slobodnog padanja se definiše kao ubrzanje koje ima telo
kada na njega deluje samo sila zemljine teže.
• Zavisi od više faktora – nadmorske visine, geografske širine, lokalne
geološke strukture...
• Fizička jedinica je m/s2.
• Metoda za određivanje ubrzanja slobodnog padanja u okviru
laboratorijske vežbe:
– matematičko klatno (specijalni slučaj fizičkog klatna).
Ubrzanje slobodnog padanja
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 3
• Fizičko klatno - telo koje osciluje u gravitacionom polju oko vertikalne
ose/tačke oslonca.
• Gravitaciona sila u težištu tela stvara moment koji teži da vrati telo u
ravnotežni položaj. Drugi Njutnov zakon za rotaciono kretanje:
𝐼𝑑2𝜃
𝑑𝑡2= −𝑚𝑔𝑠 sin 𝜃
– 𝐼 je moment inercije fizičkog klatna u odnosu na tačku oslonca,
– 𝑠 je rastojanje između tačke oslonca (O) i centra mase (C).
• Za male ugaone pomeraje sin 𝜃 ≈ 𝜃 pa:
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+𝑚𝑔𝑠
𝐼 𝜃 = 0
• Rešenje jednačine su harmonijske oscilacije: 𝜃 𝑡 = 𝜃0sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)
• Kružna učestanost i period oscilacija iznose:
𝜔 =𝑚𝑔𝑠
𝐼, 𝑇 =
2𝜋
𝜔= 2𝜋
𝐼
𝑚𝑔𝑠
Fizičko klatno
𝑠
𝜃
O
C
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 4
• Matematičko klatno - najjednostavniji oblik fizičkog klatna. Predstavlja
ga mala kuglica obešena o tanak dugačak neistegljiv i elastičan konac.
Poluprečnik kuglice 𝑟 trebalo bi da bude zanemarljiv u odnosu na
dužinu klatna.
• Moment inercije kuglice u odnosu na tačku oslonca je:
𝐼 = 𝑚𝑙2 +2
5𝑚𝑟2 ≈ 𝑚𝑙2
• Ubrzanje slobodnog padanja nalazi se kao:
𝑇 = 2𝜋𝐼
𝑚𝑔𝑠= 2𝜋
𝑚𝑙2
𝑚𝑔𝑙= 2𝜋
𝑙
𝑔 𝑔 =
4𝜋2𝑙
𝑇2
Matematičko klatno
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 5
Slučajna greška
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 6
• Aritmetička sredina skupa od 𝑛 ponovljenih merenja:
• Srednje kvadratno odstupanje jednog u nizu merenja:
– 𝑒𝑖 su prividne apsolutne greške
• Kriterijum Šovenea služi za odbacivanje grubih grešaka kada broj
merenja nije veliki:
– za svako u nizu merenja definiše se parametar Šovenea:
– odbacuje se ono merenje za koje je parametar Šovenea najveći ako je veći od
granične vrednosti za posmatrani broj merenja:
– za merenja koja ostanu nakon odbacivanja ponovo se određuju artimetička sredina,
prividne greške, srednje kvadratno odstupanje i parametri Šovenea i primenjuje
kriterijum za odbacivanje,...
– procedura se završava kad više nema merenja koje treba odbaciti.
Kriterijum Šovenea
n
iiT
nT
1
1
2
1
1,
1
n
i i ii
e e T Tn
/ii eq
ni qq g
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 7
• Primer: merenje periode oscilovanja matematičkog klatna
• 1. korak:
• 2. korak:
Primena kriterijuma Šovenea
04,2
s0,049828
s445,1
12g
q
T
n N i Ti ei qi
1 20 28.57 1.4285 0.016708 0.335323
2 20 29.98 1.499 0.053792 1.079555
3 20 31 1.55 0.104792 2.103083
4 20 28.77 1.4385 0.006708 0.134631
5 20 28.43 1.4215 0.023708 0.475807
6 20 28.52 1.426 0.019208 0.385496
7 20 29.02 1.451 0.005792 0.116234
8 20 28.88 1.444 0.001208 0.02425
9 20 26.72 1.336 0.109208 2.191722
10 20 29.13 1.4565 0.011292 0.226615
11 20 29.05 1.4525 0.007292 0.146338
12 20 28.78 1.439 0.006208 0.124596
n N i Ti ei qi
1 20 28.57 1.4285 0.026636 0.704379
2 20 29.98 1.499 0.043864 1.159941
3 20 31 1.55 0.094864 2.508598
4 20 28.77 1.4385 0.016636 0.439936
5 20 28.43 1.4215 0.033636 0.889488
6 20 28.52 1.426 0.029136 0.770489
7 20 29.02 1.451 0.004136 0.109383
8 20 28.88 1.444 0.011136 0.294493
9 20 29.13 1.4565 0.001364 0.03606
10 20 29.05 1.4525 0.002636 0.069717
11 20 28.78 1.439 0.016136 0.426714
00,2
s0,037815
s455,1
11g
q
T
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 8
• 3. korak:
• Nakon trećeg koraka uočava se da nema više rezultata koje bi trebalo
odbaciti i procedura se završava.
Primena kriterijuma Šovenea (2)
96,1
s0,024269
s44565,1
10g
q
T
n N i Ti ei qi
1 20 28.57 1.4285 0.026636 0.704379
2 20 29.98 1.499 0.043864 1.159941
3 20 28.77 1.4385 0.016636 0.439936
4 20 28.43 1.4215 0.033636 0.889488
5 20 28.52 1.426 0.029136 0.770489
6 20 29.02 1.451 0.004136 0.109383
7 20 28.88 1.444 0.011136 0.294493
8 20 29.13 1.4565 0.001364 0.03606
9 20 29.05 1.4525 0.002636 0.069717
10 20 28.78 1.439 0.016136 0.426714
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 9
• Greške preostalih rezultata mogu se modelovati pomoću Gausove
(𝑛 10) ili Studentove (𝑛 < 10) raspodele.
• Primer Gausove raspodele:
• Sa verovatnoćom pouzdanosti može se reći da će greška rezultata
biti manja od , gde predstavlja parametar raspodele.
– npr. kod Gausove raspodele, sa verovatnoćom pouzdanosti P(1)=0,68 može se reći
da je očekivana greška , a sa verovatnoćom pouzdanosti P(3)=0,997 može se reći
da je očekivana greška 3
Raspodela grešaka
t
t
t tetP0
2/ d2
2)(
2
)(tPt
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 10
• Srednja vrednost za niz ponovljenih merenja prati takođe Gausovu ili
Studentovu raspodelu, s tim što se za srednje kvadratno odstupanje
srednje vrednosti uzima:
• Granična slučajna greška se može sa odgovarajućom verovatnoćom
pouzdanosti kvantifikovati kao:
Kvantifikacija slučajne greške
nT
/
TTte
)g,sl(
)(tP
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 11
Određivanje Jungovog modula
elastičnosti (3)
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 12
• Prilikom delovanja spoljnih sila, telo menja dimenzije – dominantno u
pravcu sile, a nekad i oblik. Promena dimenzija naziva se
deformacijom. Makro-promene posledica su mikro-promena u
međusobnom položaju čestica tela (atomi, molekuli, joni, itd.).
• Deformacija može biti:
– elastična – pri prestanku delovanja sile, telo se vraća u prvobitno stanje,
– plastična – trajna deformacija.
• U slučaju elastične deformacije međumolekularne sile odupiru se
delovanju spoljnih sila.
• Kada je spoljna sila dovoljno veća od mogućnosti odupiranja, nastaje
plastična deformacija (u krajnjem ishodu moguć je i lom).
• Kod metala, elastična deformacija predstavlja udaljavanje molekula
unutar kristalne rešetke (u malim granicama), a plastična deformacija
predstavlja dislokaciju molekula unutar kristalne rešetke.
Deformacije
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 13
• Aksijalna deformacija predstavlja deformaciju u pravcu napadne linije
sile. Karakteristična je za tela u obliku štapa/žice (jedna dimenzija
izraženija od drugih). Posmatramo normalni napon 𝜎,Pa – intezitet sile
po jediničnoj površini poprečnog preseka (𝜎 = 𝐹/𝑆n).
• Hukov zakon: (relativna) deformacija 𝛿 (𝛿 = ∆𝑙/𝑙0≈ ∆𝑙/𝑙) proporcionalna je normalnom naponu (𝜎), a koeficijent proporcije je
koeficijent elastičnosti 𝑒, odnosno 𝛿 = 𝑒𝜎. Hukov zakon važi za
elastične deformacije.
• Jungov modul elastičnosti obrnuto je proporcionalan koeficijentu
elastičnosti 𝐸𝑦 = 1 𝑒 = 𝜎 𝛿 . Predstavlja svojstvo materijala. Jedinica je
Pa, a red veličine G ≡ 109.
• Ako je uzorak žica prečnika 𝑑:
𝐸𝑦 =𝐹 𝑆
∆𝑙 𝑙 =𝐹𝑙
𝑆∆𝑙=4𝐹𝑙
𝜋𝑑2∆𝑙
Hukov zakon
𝑙0 ∆𝑙
𝐹
𝑙
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 14
Torziona konstanta, modul
torzije i aksijalni moment
inercije (4)
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 15
• Uvijanje je deformacija tela učvršćenog na jednom kraju pod dejstvom
momenta sile. Pri uvijanju dolazi do ugaonog pomeranja slojeva tela
koji su paralelni ravni u kojoj deluju sile, odnosno do smicanja.
• Posmatrajmo slučaj kada uvijanje vrše dve sile (𝐹) istog inteziteta koje
deluju na podjednakom rastojanju (𝑅) od ose tela, u suprotnom smeru
jedna u odnosu na drugu, na drugom kraju tela koji nije učvršćen.
• Intenzitet momenta sprega sila jednak je: 𝑀 = 2𝑅 ∙ 𝐹, gde je 𝑅
rastojanje sile od ose tela.
• Ako je ugao uvijanja obeležen sa 𝜃, tada je prema Hukovom zakonu
𝜃 = 𝑘𝑀, gde je 𝑘 konstanta koja izražava torziona svojstva tela.
• Torziona konstanta je recipročna vrednost konstante 𝑘:
𝑐 =𝑀
𝜃=𝐷 ∙ 𝑚𝑔
𝜃
– 𝐷 je prečnik cilindra preko koga se vrši uvijanje, 𝑚 masa upotrebljenih tegova (sa
jedne strane),
– predstavlja moment sprega spoljašnjih sila koji telo uvije za 1 rad,
– jedinica je N ∙m/rad,
– zavisi od dimenzija tela i materijala od koga je načinjeno telo.
Torziona konstanta
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 16
• Torziona konstanta je torziono svojstvo posmatranog tela, dok su
torziona svojstva supstancije od koje je telo izrađeno izražena
modulom smicanja/torzije 𝐸𝑠 ≡ 𝐺.
• Jedinica za modul torzije je Pa, a red veličine G ≡ 109. Nalazi se (bez
izvođenja) da je modul torzije žice moguće odrediti kao:
𝐸𝑠 =2𝑙𝑐
𝜋𝑟4=32𝑙𝑐
𝜋𝑑4
– 𝑟 је poluprečnik, 𝑑 prečnik žice koja se uvija, 𝑙 je dužina žice, a 𝑐 torziona konstanta.
Modul smicanja
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 17
• Torziono klatno – telo okačeno (u centru mase) o vertikalnu žicu čiji je
jedan kraj fiksiran. Prilikom rotiranja tela u horizontalnoj ravni, uvija se
žica. Posledično, javlja se povratni moment proporcionalan uglu
uvijanja.
• Drugi Njutnov zakon za rotaciono kretanje torzionog klatna:
𝐼𝑑2𝜃
𝑑𝑡2= −𝑐𝜃
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+𝑐
𝐼𝜃 = 0
• Ova jednačina ima za rešenje funkciju: 𝜃 𝑡 = 𝜃0sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)
• Kružna učestanost i period oscilacija iznose:
𝜔 =𝑐
𝐼 𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝑐
• Aksijalni moment inercije tela može se odatle naći kao:
𝐼 =𝑐𝑇2
4𝜋2
– moment inercije odgovara vertikalnoj osi koja prolazi kroz centar mase,
– jedinica za moment inercije je kgm2,
– zavisi od dimenzija tela i materijala od koga je telo načinjeno.
Torziono klatno
top related