operacion de funciones
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Función Compuesta
Sean :f A C y :g B D funciones tales que ,f A B
Entonces se llama función compuesta de g y f y lo denotamos por
g f x g f x A la función definida por para cada valor de A,
tal que su imagen este en el conjunto B
Gráficamente podemos expresar la función compuesta de g y f de la siguiente manera
Euler - Matemáticas ITema:
12 2Operaciones con funciones. Acotación
Rec(g)
Final
Composición de funcionesLa función h(x) = (2x - 1)2 es la composición de dos funciones: g(x) = 2x-1 y f(t) = t2
x 2x-1 = t t2 = (2x-1)2
R Rg
Rf
x (2x-1)2
h(x) = f(g(x)) = f(2x-1) = (2x - 1)2 = (f o g)(x)
R R R
Dom
(g)
Rec(f)
g f
Dominio de la composición de funciones
El dominio de fog está formado por los x tales que• x está en el dominio de g• g(x) está en el dominio de fDom
(f)
Dom
(fog)
Rec(fog)
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
• Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.• Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones:
• (f o g)(x) = f [ g (x) ]
• (g o f)(x) = g [ f (x) ]
• Ejemplo_1
• Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1
• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1)
• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2
• Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)
• Ejemplo_2
• Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2
• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x
• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x
• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)
• Ejemplo_3• • Sea f(x) = √ x ,, g(x) = √ x2 • 3 6 3• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x2 ) = √ x2 = √ x• 3 3• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x)2 = √ x
• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)
Para cada uno de los pares de funciones determine
22 xxf 2g x x
g f x
22 6f x x 7 2g x x
2 1f x x x 1g x x
2
1f x
x
2 3g x x
1
1
xf x
x
1
1
xg x
x
a)
b)
c)
d)
e)
Operaciones con funciones
Suma de f y g xgxfxgf
f g x f x g x
f g x f x g x
0f xf
x g xg g x
Sean :f A C :g B D
Resta de f y g
Producto de f y g
Cociente de f y g
dos funciones tal que
Dom f Dom g y
Euler - Matemáticas ITema:
12 7Operaciones con funciones. Acotación
Final
Suma y diferencia de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g)• Diferencia: (f - g) (x) = f(x) - g(x). Por tanto: Dom(f - g) = Dom(f) Dom(g)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
x
f(x) f(x) + g(x)f(x) =
x 1 + x2 : Dom(f) = R
g(x) = 1 x : Dom(g) = R – {0}
(f + g) (x) = f(x) + g(x) =
= x
1 + x2 + 1 x :
Dom(f + g) = R – {0}
g(x)
1
Euler - Matemáticas ITema:
12 8Operaciones con funciones. Acotación
Final
Producto y cociente de dos funciones
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x). •Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f) Dom(g)
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x) 0 se define:• Cociente: (f / g) (x) = f(x) / g(x). Por tanto: • Dom(f / g) = Dom(f) Dom(g) - {x R : g(x) 0}
4
Ejemplo de operaciones
Función fórmula dominio
f f(x) = x2 (–, )
g g(x) = 1 + x [-1, )
3f 3f(x) = 3x2 (–, )
f – g (f – g)(x) = x2 – 1 + x [-1, )
f g (fg)(x) = x21 + x [-1, )
f /g (f / g)(x) = x2 / 1 + x (-1, )
g /f (g / f)(x) = 1 + x / x2 [-1, 0) (0, )
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