operator del
Post on 26-Dec-2015
583 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
OPERATOR DEL
Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
dengan ∇(nabla), yang didefinisikan dalam bentuk turunan parsial, yaitu:
Operator del ini bermanfaat untuk mencari gradien, divergensi, dan curl.
GRADIEN
Definisi Gradien
Misalkan Ф( x , y , z ) terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik(x , y , z)
dalam ruang R3 , maka gradien Ф atau grad Ф atau ∇Ф didefinisikan oleh
Sifat-sifat gradien
Misalkan Ф( x , y , z )dan ѱ (x , y , z ) adalah fungsi-fungsi skalar yang
diferensiabel pada setiap titik (x , y , z) dan c adalah bilangan real, maka berlaku:
Bukti:
Turunan Berarah
Rumus gradien dikembangkan untuk mendefinisikan turunan berarah, yaitu
Misalkan Ф diferensiabel di (x,y,z). Maka Ф memiliki turunan berarah di (x,y,z) pada
arah vektor satuan u = u1i + u2j + u3k, yang diberikan oleh DuФ =∇Ф .u
Dari definisi perkalian titik vektor, diperoleh:
θ adalah sudut antara ∇ ϕ dengan n.
Karena u vektor satuan, maka |u| = 1, sehingga Duϕ = |∇ ϕ∨cosθ
Nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0o, yaitu jika u searah dengan ∇ ϕ,
sehingga diperoleh :
Jadi, harga maksimum dari turunan berarah sama dengan besar gradien.
DIVERGENSI
Definisi Divergensi
Misalkan vektor V ( x, y, z ) = V1i + V2j + V3k terdefinisi dan diferensiabel pada
setiap titik ( x, y, z ). Divergensi dari V atau div V (∇ .V ¿, didefiinisikan oleh:
Sifat-sifat divergensi:
Misalkan F (x, y, z) dan G (x, y, z) adalah vektor-vektor yang kontinu dan
diferensiabel terhadap x, y dan z, ϕ (x, y, z) adalah fungsi skalar yang kontinu dan
diferensiabel terhadap x, y dan z, serta a dan b adalah bilangan real, maka berlaku:
Bukti:
CURL
Curl suatu vektor adalah limit angka banding antara integral perkalian silang vektor
itu dengan normal yang berarah ke luar di seluruh permukaan tertutup terhadap
volum yang terlingkup oleh permukaan tersebut untuk harga volum yang mendekati
nol.
Definisi Curl
Jika vektor V (x, y, z) = V1i + V2j + V3k, terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik
(x, y, z) maka curl dari V atau rot V (∇ xV ), didefinisikan oleh:
Sifat-sifat curl:
Misalkan F (x, y, z) dan G (x, y, z) adalah fungsi vektor-vektor yang kontinu dan
diferensiabel terhadap x, y dan z, ϕ (x, y, z) adalah fungsi skalar yang kontinu dan
diferensiabel terhadap x, y dan z, dan a adalah bilangan real, maka berlaku:
Medan Vektor Konservatif
Sebuah medan vektor yang dapat diturunkan dari sebuah medan scalar ϕ sehingga V
= ∇ ϕ disebut sebuah medan vektor konservatif dan ϕ disebut potensial skalar. Jika V
= ∇ ϕ, maka ∇ x V=0
top related