osnovi algoritama i struktura dsp 1...• furijeovi redovi i furijeova transformacija se definišu...
Post on 12-Mar-2021
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Odsek za računarsku tehniku i računarske komunikacije 2020
Osnovi algoritama i struktura DSP 1
Spektralna analiza signala i sistemaPeriodični signali i Furijeovi redovi
Aperiodični signali i Furijeova transformacijaSpektar sistema
Linearni invarijantni sistemi
• Osobine trigonometrijskih funkcija
• Periodični signali
• Fourijeovi redovi
• Spektar periodičnih signala
2
3
Osobine trigonometrijskih funkcija
Osnovni oblici: sin(x) i cos(x) / periodičan signal sa periodom 2p
transformacije:
parametri:perioda: T [s] / trajanje osnovnog signala koji se periodično ponavlja
učestanost: f [Hz = 1/s] / broj perioda u sekundi / kružna učestanost w = 2pf
amplituda: A [V ili A]
faza: j / perioda 2p
)sin()cos(
)sin()sin()cos()cos()cos(
)sin()2/cos()cos()2/sin(1)(cos)(sin 22
xjxe
xxxxxx
jx
pp
ftjjftjj eeA
eeA
ftAftAftA pjpjpjpjjp 22
22)2sin()sin()2cos()cos()2cos(
4
Spektar trigonometrijskih funkcija
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
T
2A
amplituda
vreme
f
A
A/2A/2
amplituda
amplituda
fizički
opseg
frekvencija
matematički
opseg
vremenski domen
signal
frekvencijski domen
spektar
frekvencijaf-f
5
Parametri:
Perioda: T
Učestanost (frekvencija): f = 1/T
Osobine:
Srednja vrednost (DC):
Opseg:
Snaga:
Variansa (AC):
T
Tt
t
2s
0
0
dt)t(sT
1P
)t(sminS)t(smaxSt
mt
M
Tt
ta
0
0
dt)t(sT
1S
Tt
t
2a
2v
0
0
dt)S)t(s(T
1S
SM
Sm
Periodični signali: s( t + T ) = s(t)
6
Periodični signali - Fourijeovi redovi
sin(2p kf t) i cos(2p kf t)
elementarni periodični signali
f=1/T osnovna učestanost
s(t + T) = s(t)
periodični signal
T perioda
k
kk
2k
2kk00
1kkk0
1kkk0
a
barctanφbaAaA
φtkfπ2cosAA)t(s
tkfπ2sinbtkfπ2cosaa)t(sFourijeov red
kf : učestanosti harmonika (sinusni signali čije su učestanosti celobrojni
umnošci osnovne učestanosti)
{ak, bk} ili {Ak, jk} : koeficijenti Fourier-ovog reda (težinski faktori harmonika)
7
Periodični signali - Fourijeovi redovi
,....2,1ke2
ACe
2
AC
0φAC
kk φjkk
φjkk
000
kkkkkk
00
kkkkkk
00
φsinAbφcosAa
Aa
,.....2,1kCargCargφC2C2A
AC
dte)t(sT
1C
eC)t(s
tkfπj2Tt
tk
k
tkfπj2k
0
0
8
vremenski domen: signal frekvencijski domen: spektar
|Ck| : amplitudni spektar
arg{Ck} : fazni spektar
tfrekvencija
frekvencija
Parseval-ova teorema :
2T
0 kk
2 Cdt)t(sT
1P
Učešće k-tog harmonika
u ukupnoj snazi signala
dBP
C2log10a
2k
k
Periodični signali - spektar
osobine:
parnost amplitudnog spektra:
neparnost faznog spektra:
spektar parnog signala:
spektar neparnog signala:
kk CC
kk CC argarg
realCtsts k )()(
imagCtsts k )()(
9
1
2 2cos2111
)(1
)()(kk
tkfj
k k
k tkfT
eT
TktT
CTktts p p
Periodični signali - primeri
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
-100 -50 0 50 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
-100 -50 0 50 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
-100 -50 0 50 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• Aperiodični signali - Furijeova transformacija
• Osobine Furijeove transformacije
• Spektar aperiodičnih signala
• Relacija neodređenosti vremensko-frekvencijskogdomena
10
11
Aperiodični signali - Fourijeova transformacija
:T Periodični
signali
Aperiodični
signali
dte)t(sT
1C
eC)t(s
tkfπj2Tt
tk
k
tkfπj2k
0
0
dte)t(s)f(S
dfe)f(S)t(s
tfπj2
tfπj2
)f(φje)f(A)f(S
f
)f(φ
π2
1)f(τ
)f(φ)f(φ
)f(S)f(S
grupno
kašnjenje
12
0tfπj20 e)f(S)tt(s
pomeraj u vremenu
modulacioni zakon
j2
)ff(S)ff(Stfπ2sin)t(s
)ff(Se)t(s
2
)ff(S)ff(Stfπ2cos)t(s
000
0tfπj2
000
0
diferencijali i integrali
fj
fSdttsfSfj
t
ts
pp
2
)()()(2
)(
)()()()()()()()( 21212121 tstsdfSSfSfSdtss
konvolucija
2122121 )()()(/)()()()( fStstsfSfSdtss
korelacija
fkSkck
tsc
skaliranje
Osobine Furijeove transformacije
13
Spektar aperiodičnih signala
t f
s(t)S(f)
Df
j(f)
)()(
)()(
)()( *
ff
ff
fSfS
jj
simetrija
Parsevalova teorema:222 )()()()()(;)0()()( fSfRdtsstrrdffSdttsE
14
Spektar aperiodičnih signala - primeri
0tfπj20 e)f(Δttδ1)f(Δ)t(δ
000000 ffδffδj2
1tfπ2sinffδffδ
2
1tfπ2cos
Tfπ
Tfπsin)f(H
else02
Tt
2
T1
)t(h
delta impuls
kosinus i sinus
pravougaoni impuls
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t/T f.T
15
0
)(1
)(1
)()(
2222
22
22
constft
fffttt
dffSfE
fdttstE
t
dtfSdttsE
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
Relacija neodređenosti vremensko-frekvencijskog domena
p
p
p
p
p
4
1
22
1
2)(
2)(
22
2
4/1
4/1
ft
ft
efS
ets
f
t
Gaborov princip neodređenosti
16
Relacija neodređenosti vremensko-frekvencijskog domena
• Spektar sistema
• Frekvencijski opsezi signala i sistema
17
18
h(t)
H(f)
x(t) y(t)
Spektar sistema – prenosna funkcija
Y(f)X(f)
19
Elementarni primeri
T
x(t) y(t) = x(t-T)
Kolo za kašnjenje
Tfπj2e)f(H)Tt(δ)t(h
Idealni sistem
Tfπj2ec)f(H
)Tt(δc)t(h
)Tt(xc)t(y
f
A(f)=|H(f)|
f
j(f)=arg{H(f)}
20
Elementarni primeri
Idealni nisko-frekventni filter
21
L C
Rx(t) y(t)
2
0
tα
tα
tα
00
0
Q41αβ
Q
fπα
2
1Qe
β
)tβsin()tβcos(α2
2
1Qetα1α2
2
1Qe
β
)tβsinh()tβcosh(α2
)t(h
R
Lfπ2Q
LCπ2
1f
f
f
f
fQj1
1)f(H
Cfπj2
1Lfπj2R
R)f(H
RLC kolo
Impulsni
odziv h(t)
Amplitudni
spektar |H(f)|
Fazni spektar
arg{H(f)}
t (s)
f (Hz)
f (Hz)
22
Frekvencijski opsezi signala i sistema
muzika
video
podaci
govor
100 101 102 103 104 105 106 107Hz
AM radio
FM
rad
io
Mo
biln
i
Mo
biln
i
ISM
ISM
TV Sat TV
standardni kablovi optički kablovi
10-1 100 101 102 103 104 105 106MHz
23
Vremenski domen – konvolucija:
Frekvencijski domen – proizvod:
Prenosna karakteristika sistema:
Amplitudna karakteristika:
Fazna karakteristika:
Grupno kašnjenje:
)()()()(;)()()( thtyttxdtxhty
dtethfHfXfHfY ftj
p2)()(;)()()(
)(
)()(
fX
fYfH
)()(;)()( fAfAfHfA
)()(;)(arg)( fffHf jjj
)()(;)(
2
1)( ff
f
ff
j
p
Linearni invariantni sistemi - prenosna funkcija
24
Treba zapamtiti:
• Analiza signala uključuje analizu u vremenskom domenu (signali) i analizu u
frekvencijskom domenu (spektri)
• Spektar signala je razlaganje jednog vremenski zavisnog signala na elementarne,
periodične funkcije funkcije različitih učestanosti
• Spektar periodičnog signala je definisan koeficijentima kompleksnog Furijeovog
reda. Njihovi moduli (apsolutne vrednosti) definišu amplitudni spektar a njihovi
argumenti definišu fazni spektar. Spektri periodičnih signala su linijski, sastoje se
samo od umnožaka osnovne učestanosti (harmonici)
• Spektar aperiodičnih signala definisan je Furijeovom transformacijom, kompleksnom
funkcijom učestanosti. Njen modul definiše spektralnu gustinu amplituda (amplitudni
spektar) a argument spektralnu gustinu faza (fazni spektar). Spektar aperiodičnih
signala je kontinualna funkcija učestanosti – elementarni periodični signali svih
učestanosti mogu učestvovati u formiranju analiziranog signala.
• Furijeovi redovi i Furijeova transformacija se definišu za negativne i pozitivne
učestanosti ali fizičko značenje imaju samo pozitivne učestanosti. I Furijeovi redovi i
Furijeova transformacija imaju osobine simetrije bazirane na činjenici da su
koeficijenti reda, kao i transformacija, za negativne učestanosti jednaki konjugovanim
vrednostima za pozitivne učestanosti. Zato je amplitudni spektar parna a fazni spektar
neparna funkcija učestanosti.
25
Treba zapamtiti:
• U dualnoj predstavi signal-spektar (vremenski-frekvencijski domen) važi princip
neodređenosti: što je signal u vremenskom domenu kraći to je njegov spektar u
frekvencijskom domenu širi i obrnuto.
• Linearni, vremenski nepromenjivi sistem je opisan impulsnim odzivom, izlazni
signal sistema kada je na ulazu Dirakov impuls.
• Prenosna karakteristika sistema je Furijeova transformacija impulsnog odziva.
Njen moduo se naziva amplitudna karakteristika i govri o amplitudnim
promenama koje unosi sistem na različitim učestanostima. Argument prenosne
karakteristike se naziva fazna karakteristika i govori o faznim promenama koje
unosi sistem. Izvod fazne karakteristike se naziva karakteristika grupnog kašnjenja
i govori kolika kašnjenja unosi sistem na raznim učestanostima. Amplitudna
karakteristika je parna a fazna karakteristika neparna funkcija učestanosti.
Karakteristika grupnog kašnjenja je parna funkcija učestanosti.
• Izlazni signal sistema u vremenu je konvolucija ulaznog signala i impulsnog
odziva.
• Spektar izlaznog sistema u frekvencijskom domenu je proizvod spektra ulaznog
signala i prenosne karakteristike.
• Upotrebljiv frekvencijski opseg od nekoliko Hz do stotinak GHz je ograničen
prirodni resurs.
top related