p81-var

VAR model

Predavanje 8

1

Sistem linearnih jednadžbi

Do sada – analiza samo jedne jednadžbe

y je endogena i stohastička

x su endogene i ne-stohastičke

uzročnost slijedi od x prema y (x “uzrokuje” y)

x su određene izvan modela

2

uXy

uxy ttt

Strukturni i reducirani oblik modela

Ovo nije uvijek “dobar” prikaz stvarnosti

Često je primjerenije definirati sistem simultanih jednadžbi → “strukturni model”

(1)

cijene (P) i količine (Q) su endogene, obje “određene” simultano

S i T su egzogenih faktori

3

vTPQ

uSPQ

S

D

Strukturni i reducirani oblik modela

Model ponude i potražnje (1):

4

ponudefunkcija

potraznjefunkcija

vTPQ

uSPQ

S

D

Strukturni i reducirani oblik modela

Klasifikacija varijabli:

endogene – određene modelom

egzogene – određene “izvan” modela

5

Strukturni i reducirani oblik modela

“strukturni oblik modela”

Opisuje strukturu ekonomskog sistema

6

vTPQ

uSPQ

S

D

Strukturni i reducirani oblik modela

Željeli bismo znati vrijednosti parametara (grčka slova), posebno koeficijente uz

varijablu cijene u svakoj jednadžbi ( i

7

vTPQ

uSPQ

S

D

Strukturni i reducirani oblik modela

Pretpostavimo da svaku jednadžbu procjenjujemo OLS- metodom

Pretpostavljamo da je P egzogena iako je ona u stvari endogena

Kako bi to vidjeli, preformulirajmo jednadžbe u njihov “reducirani oblik”

8

vTPQ

uSPQ

S

D

Strukturni i reducirani oblik modela

Izjednačimo Q:

Izjednačimo P:

9

vTPuSP

vTQuSQ

vTPQ

uSPQ

S

D

Strukturni i reducirani oblik modela

Izjednačimo Q:

Izjednačimo P:

Sređivanjem, dobivamo “reducirani oblik”

10

vTPuSP

vTQuSQ

vuSTQ

uvSTP

Strukturni i reducirani oblik modela

Sada se egzogene varijable nalaze samo na desnoj strani jednadžbi (RHS)

Uočimo da je P stohastička varijabla

Ovisi o greškama relacija i u

11

uvSTP

Strukturni i reducirani oblik modela

“reducirani oblik modela”

odnosno:

parametri reduciranog modela

12

vuSTQ

uvSTP

2654

1321

STQ

STP

Strukturni i reducirani oblik modela

Pristranost simultanih jednadžbi (1)

Procjena i OLS metodom?

Pretpostavka OLS je da su regresori (varijable s desne strane) nezavisni s greškama relacije

U (1) P nije nezavisna (iako S i T jesu)

OLS su pristrane i ne-konzistentne, zaključivanje pogrešno

13

vTPQ

uSPQ

S

D

Strukturni i reducirani oblik modela

Reducirani sistem

Procjena parametara

Parametri reduciranog modela procjenjuju se OLS metodom

OLS procjene su konzistentne

No oni nas ne interesiraju

Zamimaju nas i i ostali parametri strukturnog

modela

14

2654

1321

STQ

STP

Strukturni i reducirani oblik modela

Kako iz parametara reduciranog modela dobiti parametre strukturnog modela?

Je li to uvijek moguće?

Jedinstvenost?

Problem identifikacije?

Kako dobiti konzistentne procjene parametara?

15

Strukturni i reducirani oblik modela

Procjenjivanje parametara sistema

Indirektna metoda najmanjih kvadrata (ILS)

Dvoetapna metoda najmanjih kvadrata, 2SLS (Two Stage Least Squares)

Metoda instrumentalnih varijabli, IV

16

Vektorski AutoRegresijski model, VAR

Strukturno modeliranje

zahtjeva poznavanje velikog broja informacija o endogenosti i egzogenosti varijabli

postavlja striktne uvjete za identifikaciju sistema ako se žele dobiti parametri strukturnog modela

17

Vektorski AutoRegresijski model, VAR

VAR metodologija “smatra” da teorija često ne omogućava takvu podjelu i sve varijable tretiraju se kao endogene.

Tako se “zaobilazi” izračunavanje strukturnih koeficijenata

18

VAR model

Osnovni VAR model s dvije varijable i jednim pomakom (lagom) varijabli:

uit su nezavisne jednako distribuirane

E(uit)=0, i=1,2;

E(u1t u2t)=0.

19

tttt

tttt

uyyy

uyyy

212221121202

112121111101

VAR model

Varijable s desne strane su sve egzogene s pomacima (OLS dobra)

Sve varijable s desne strane mogu se pojaviti i na lijevoj strani

Model se lako “proširuje”, ali velik broj parametara za procijeniti, 3 jednadžbe, 3 laga = 30 parametara

20

tttt

tttt

uyyy

uyyy

212221121202

112121111101

VAR model

Prednosti

Jednostavnost pristupa (ne temelji se na teoriji??)

Jednostavnost procjenjivanja, OLS- metoda

''dobre'' statističke karakteristike procjena

''dobre'' prognoze

Najveći nedostatak

Ne temelji se na teorijskim (ekonomskim) pretpostavkama, sve varijable tretiraju se jednako

21

Problemi s VARom

Koje varijable?

Ovdje (implicitno) uključujemo teoriju

Odabir varijabli pri definiranju (reduciranog) VAR sistema?

Jesu li neke egzogene i ne trebaju biti na lijevoj strani?

22

Problemi s VARom

Koliko pomaka (lagova)?

Informacijski kriteriji (IC)

Želimo minimalnu sumu kvadrata rezidualnih odstupanja bez dodavanja “previše” parametara (parsimonija)

IC različito “kažnjavaju” dodavanje parametara (varijabli) u model

23

Problemi s VARom

Informacijski kriteriji – najčešći

Schwarz-Bayes-ov (SC) je “stroži” od

Hannan-Quinn (HQC) ... “stroži” od

Akaike (AIC) ... “stroži” od

Korigirani R2

SC će dati “točan” model u slučaju beskonačnog broja podataka (tj; konzistentan je)

AIC nije konzistentan (dopušta preveliki broj varijabli u modelu) ali efikasniji

Ne postoji jedinstvena “najbolja” metoda

24

Problemi s VARom

sistem je u reduciranom obliku, pa procijenjeni parametri nisu interesantni

Kako je struktura modela kompleksna, koeficijente je teško interpretirati

Umjesto toga, primjenjuju se tri metode testiranja hipoteza (ispitivanje teoretskih pretpostavki) Granger- ova uzročnost

Analiza funkcije impulsnog odziva (IRF)

Dekompozicija varijance

25

Primjer 1:

VAR model s dvije varijable

Promjena u kanadskim državnim obveznicama (Canadian T-bill rate) - DBILL

Promjena tečaja (CAND – USD) - ER

2 pomaka (lag-a)

Kvartalni podaci

26

Primjer 1:

Procijenjene 2 jednadžbe

27

tttttt

tttttt

uDERDERDBILLDBILLCDER

uDERDERDBILLDBILLCDBILL

22241232221211

12141132121111

Primjer 1: procjena I jednadžbe

28

VAR/System - Estimation by Least Squares

Dependent Variable DBILL

Centered R**2 0.119539 R Bar **2 0.086929

Variable Coeff T-Stat Signif

******************************************************

1. DBILL{1} 0.27782539 2.78864 0.00625686

2. DBILL{2} -0.19024240 -1.84375 0.06796123

3. DEX{1} 3.23709307 0.40568 0.68578071

4. DER{2} 10.39730282 1.33562 0.18448231

5. Constant 0.10100216 1.03698 0.30206315

Primjer 1: procjena II jednadžbe

29

Dependent Variable DER

Centered R**2 0.176776 R Bar **2 0.146287

Variable Coeff T-Stat Signif

*****************************************************

1. DBILL{1} 0.003482243 2.72142 0.00757917

2. DBILL{2} 0.000164100 0.12383 0.90168170

3. DER{1} 0.389468317 3.80028 0.00023948

4. DER{2} 0.019394666 0.19398 0.84655507

5. Constant -0.000792912 -0.63384 0.52752592

VAR analiza

Uzročnost

promjene u jednoj varijabli uzrokuju promjene u drugoj varijabli

Grangerova uzročnost

mogućnost jedne varijable da predvidi dinamiku druge varijable.

30

Grangerova uzročnost

....”je li pojava X uzrokuje pojavu Y???” Problem se svodi na ispitivanje: koliki se dio dinamike varijable Y u tekućem

periodu može objasniti dinamikom same varijable u prethodnim periodima i

da li će se dinamika pojave Y bolje objasniti ako se u analizu dodaju prethodne vrijednosti varijable X

31

Grangerova uzročnost

Naime, kažemo da X uzrokuje Y ako varijabla X poboljšava predikciju varijable Y.

Sa statističkog stanovišta gornja tvrdnja je ekvivalentna statističkoj značajnosti lagiranih vrijednosti varijable X u jednadžbi dinamike varijable Y.

32

Grangerova uzročnost

Korelacija između tekućih vrijednosti jedne varijable i lagova druge varijable

Grangerova uzročnost sugerira uzročnost

Uzročnost u (nepoznatom) strukturnom modelu koji je “osnova” reduciranog VAR modela, rezultira Grangerovom uzročnošću u VAR-u

33

Grangerova uzročnost

H0#1: lag-ovi od y1 ne objašnjavaju trenutnu

vrijednost od y2

β21 = β22 = 0

H0#2: lag-ovi od y2 ne objašnjavaju trenutnu

vrijednost od y1

β13 = β14 = 0

Testiraj restrikcije koristeći t ili F-test

34

tttttt

tttttt

uyyyyy

uyyyyy

22224122321221121202

12214121321121111101

Grangerova uzročnost

Pretpostavimo da se H0#1 odbacuje i da se H0#2 ne odbacuje

odbacivanje H0#1 znači da y1 uzrokuje y2 u “Grangerovom smislu”

ne odbacivanje H0#2 znači da y2 ne uzrokuje y1 u “Grangerovom smislu”

35

Primjer 1:

VAR model s dvije varijable

Promjena u kanadskim državnim obveznicama (Canadian T-bill rate)

Promjena tečaja (CAND – USD)

2 pomaka (lag-a)

Kvartalni podaci

36

Primjer 1:

37

VAR/System - Estimation by Least Squares

Dependent Variable DBILL

Centered R**2 0.119539 R Bar **2 0.086929

Variable Coeff T-Stat Signif

******************************************************

1. DBILL{1} 0.27782539 2.78864 0.00625686

2. DBILL{2} -0.19024240 -1.84375 0.06796123

3. DER{1} 3.23709307 0.40568 0.68578071

4. DER{2} 10.39730282 1.33562 0.18448231

5. Constant 0.10100216 1.03698 0.30206315

Primjer 1:

38

Dependent Variable DER

Centered R**2 0.176776 R Bar **2 0.146287

Variable Coeff T-Stat Signif

*****************************************************

1. DBILL{1} 0.003482243 2.72142 0.00757917

2. DBILL{2} 0.000164100 0.12383 0.90168170

3. DER{1} 0.389468317 3.80028 0.00023948

4. DER{2} 0.019394666 0.19398 0.84655507

5. Constant -0.000792912 -0.63384 0.52752592

Primjer 1:

39

F-Tests, Dependent Variable DBILL

Variable F-Statistic Signif

DBILL 4.3617 0.0150781

DER 1.4936 0.2291677

F-Tests, Dependent Variable DER

Variable F-Statistic Signif

DBILL 4.2962 0.0160217

DER 9.3313 0.0001828

Funkcija impulsnog odziva, IRF (Impulse Response Function)

analiza “reakcije” (odgovora) svake zavisne varijable u VAR-u na “šok” u svakoj varijabli model šok u y1 (u1) u trenutku t utječe jedino na y1 u t

ali direktno utječe i na y1 i y2 u t+1 preko prvih lagova

direktno utječe na y1 i y2 u t+2 preko drugih lagova

indirektno utječe na y1 u t+2 preko t+1 utjecaja na y2

i tako dalje…

40

tttttt

tttttt

uyyyyy

uyyyyy

22224122321221121202

12214121321121111101

Funkcija impulsnog odziva, IRF

To podrazumijeva da je u1 > 0 dok je u2=0

u realnosti, u1 i u2 su korelirane

pa je uobičajeno da se “red” varijabli određuje na bazi teorije

Npr. kretanja u y1 prethode kretanjima u y2

i izračunavaju se ortogonalizirane vrijednosti IRF

One ovise o poretku varijabli,

oprez! ........potrebno eksperimentiranje ako nije očito iz teorije

41

Funkcija impulsnog odziva, IRF

42

Plot of Responses To Exchange Rate

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T Bill Rate

Exchange Rate

Funkcija impulsnog odziva, IRF

43

Plot of Responses To T Bill Rate

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T Bill Rate

Exchange Rate

Dekompozicija varijance, DVC

IRF prikazuje efekt jediničnog povećanja, ''šoka'' jedne endogene varijable na ostale varijable VAR modela.

Istu informaciju, ali prezentiranu na drugačiji način, daje i dekompozicija varijance.

44

Dekompozicija varijance, DVC

Dekompozicija varijance predočuje

particiju varijance (kovarijance) prognostičke pogreške varijable

na dijelove pridružene svim varijablama sistema (uključujući i samu varijablu).

45

Dekompozicija varijance, DVC

Na temelju dobivenih rezultata moguće je analizirati:

utjecaj pojedinačnih ''šokova'' u varijablama modela na ostale varijable,

relativni udio svake od varijabli modela u ''objašnjavanju'' varijacije određene varijable u narednim periodima.

46

Dekompozicija varijance, DVC

Dekompozicije varijance raščlanjuje proporciju varijabliteta svake varijable na:

dio varijabiliteta koji je posljedica šoka u samoj varijabli i

na dio koji je posljedica šokova u ostalim varijablama modela.

47

Dekompozicija varijance, DVC

Naime, ako se vrijednosti varijable mogu ''optimalno'' prognozirati na bazi lagova same varijable tada će

varijanca prognostičke pogreške varijable biti ''objašnjena'' prognostičkim pogreškama same varijable, a

ne i utjecajem prognostičkih pogrešaka ostalih varijabli, (Sims, 1982).

48

VAR model - općenito

Opći oblik VAR modela s n-varijabli i duljinom pomaka k

49

ttktktt eDZAZAZ 11

nt

t

t

t

Z

Z

Z

Z2

1

n

2

1

VAR model - općenito

A1,...,Ak su (nxn) matrice koeficijenata

Dt je vektor ne-stohastičkih egzogenih varijabli s matricom koeficijenata .

dummy varijable, sezonske komponente.....

k je duljina pomaka

et je vektor inovacija

50

ttktktt eDZAZAZ 11

VAR model - općenito

pretpostavke

51

nt

t

t

t

e

e

e

e2

10teE

st

steeE st

0