parcijalni ispit iz predmeta matematika...parcijalni ispit iz predmeta matematika i grupa 1....

Univerzitet u Zenici Ekonomski fakultet Zenica, 30.11.2010.

Parcijalni ispit iz predmeta Matematika

I grupa

1. Dokazati matematičkom indukcijom da važi:

( ) ( ) ( )22 2

9 9 9 3 21 1 ... 1 .2 5 2 3 13 1

n nnn

⎡ ⎤ +⎛ ⎞⎛ ⎞− − − = − ∈⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠ −⎢ ⎥⎣ ⎦

2. Naći sve vrijednosti korjena 3 ,z ako je ( ) ( )5 131 3 3 .z i i= − +

3. Diskutovati rang matrice

1 2 1 11 1 2 2

2 3 12 4 2 1 1

Mm mm m

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

u zavisnosti od parametra.

4. Izračunati limese ( ) 2 3 2

1 22 2

1 3 5 ... 2 1 4 1lim i lim .2 1 5 3 10n n

n n n n n nL Ln n n n n→∞ →∞

+ + + + + ⎛ ⎞+ + −= = −⎜ ⎟+ + − − −⎝ ⎠

II grupa

1. Izračunati x ako u binomnom razvoju 8

16

16

2 328 2

x

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠dobijemo 56 kad oduzmemo šesti od

četvrtog člana. 2. Riješiti jednačinu u skupu kompleksnih brojeva: 4 22 9 0.z z− + = 3. Riješiti matričnu jednačinu ( ) ( )1 113 ,X B AX− −−+ = ako je

6 1 4 1 1 21 3 2 , 1 2 1 .6 0 5 4 4 1

A B− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4. Izračunati limese ( ) ( ) ( )2

84 21 2

3 4lim 2 2 2 2 , lim .1 2 ... 2

n

nn

n nL Ln n n→∞→∞

+ += ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ =

+ + + + +

III grupa

1. Dokazati matematičkom indukcijom da važi:

( ) ( ) ( )2 3 11 2 2 2 3 2 2 2... 1 .

3! 4! 5! 2 ! 2 !

n nn nn n

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + + + = − ∈

+ +

2. Napisati u trigonometrijskom obliku broj ,a b ib azb a ai b

+=

− pri čemu su a i b pozitivni realni

brojevi i zatim izračunati .z

3. Riješiti matričnu jednačinu ( ) 1 ,AX A BA−+ = ako je 2 2 3 2 5 31 1 0 , 1 2 0 .1 2 1 1 3 2

A B−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4. Izračunati limese 2 1

1 2 2 2 2 2

1 5 5 ... 5 2 4 6 4lim , lim ... .25 1 1 1 1 1

n

nn n

nL Ln n n n

−

→∞ →∞

+ + + + ⎛ ⎞= = + + + +⎜ ⎟− + + + +⎝ ⎠

IV grupa

1. Izračunati x ako u binomnom razvoju 6

13

3

2 4 22

xx

−⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠važi: 3 59 240.T T− =

2. Izračunati vrijednost determinante 2

2

1 11 1 ,

1D

εε

ε ε= ako je 1 3 .

2 2iε = − +

3. Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) ( )

( )

1 2 2 22 2 2

1 1.

m x y m z mx my z

m x y z m

+ − + + =

− + − = −

− − + = −

4. Izračunati limese ( ) ( )32 4 61 2

1 4 7 ... 3 2lim , lim .

3 1 2n n

n nL n n n Ln→∞ →∞

+ + + + −⎛ ⎞= + − = −⎜ ⎟+⎝ ⎠