perbandingan metode kuadrat terkecil … perbandingan metode kuadrat terkecil dan metode kemungkinan...
Post on 08-May-2018
263 Views
Preview:
TRANSCRIPT
i
PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE
KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER
DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Roswita Putri Arcelia Hede
NIM: 123114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2016
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
COMPARISON OF LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM
LIKELIHOOD METHOD FOR ESTIMATING THE TWO PARAMETER
WEIBULL DISTRIBUTION
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Roswita Putri Arcelia Hede
Student Number: 123114005
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTEMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
2016
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
''' "1:;-
.+'
PERBAIIDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE
KEMT]NGKINAIY MAKSIMTIM DALAM PNIYDUGAAFI PARAMETER
Dgsen Pembimbing
6rrh^/./*'q(Ir. Ig.Aris Dwiatmoko, M. Sc.) Tanggal: Juni 2016
lll
A}TDUAPARAMETER
fl** m*{d **@-gg
"'%*fi***d
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PERBANDINGAI\I METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE
KEMUNGKINAI{ NNA(SNVTUM DALAM PENDUGAAI\ PARAMETER
DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER
Disiapkan dan ditulis oleh:
Roswita Putri Arcelia Hede
NIM:123114005
Telah dipertahankan dihadapan Panitia Penguj i
Pada tanggal 22 Juni 20 | 6
Dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama lengkap
Ketua: Y. G. Hartono Ph.D.
Sekretaris: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan
Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Se.
Yogyakarta, lJ J u /i 2o 1 6Fakultas Sains dan Teknoloei
,/'oL
tv
Yg
frTT^'{9A
fr#i Mungkasi, Ph.D.)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Bagi Tuhan tak ada yang mustahil
Lukas 1:37
Skripsi ini dipersembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai dan memberkatiku
dengan berkatNya yang melimpah
Kedua orang tua Yohanes Hede dan Elisabet M. Adat
Nenek Lusia D. Bunga
Adik-adik tercinta Marry Grace Florensia Hede dan Alm. Hendrikus Alvian Hede
Serta almamater yang kubanggakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 16 Mei 2016
Penulis
Roswita Putri Arcelia Hede
VI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti
distribusi probabilitas lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan
momen. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan
parameter. Metode yang digunakan dalam menduga parameter distribusi Weibull
dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan
Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat
Terkecil menduga parameter distribusi Weibull yang meminimumkan Jumlah
Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Metode kemungkinan Maksimum adalah
metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood . Pemilihan
metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata Kuadrat
Galat (Mean Square Error). Metode yang lebih baik adalah metode yang memiliki
Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode diterapkan pada data
rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dan Sumenep.
Kata kunci: distribusi Weibull, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil,
Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Weibull distribution is one of the continuous probability density function. Similar to
other continuous probability function, Weibull distribution characterized by mean,
variance, and moment. The most important thing in analyzing a distribution is
parameter estimation. The method used in estimation of the two Weibull distribution
parameters is Least Square Method and Maximum Likelihood Method. Least Square
Method estimate the Weibull parameter distribution that minimizes the Sum of
Square Error. Maximum Likelihood Method is a estimation method that maximizes
the likelihood function . Choosing the best method of the two is done by
comparising the mean square error. The better method has the minimum Mean Square
Error. The comparison of the two method is applied to the monthly average data of
wind velocity in Enugu and Sumenep.
Keyword: Weibull distribution, parameter estimation, Least Square Method,
Maximum Likelihood Method, Mean Square Error
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERTANYAAN PERSETUJUAN PT]BLIKASI KARYA ILMIAIIUNTTiK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:Nama : R0swita Putri Arcelia Hede
Nomer Mahasiswa ;123114005Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:
PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODEKEMUNGKINAI\ MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER
DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER
Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikankepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkandalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,mendistribusikannya secara tetbatas, dan mempublikasikannya di intemet atau medialain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikanroyalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di YogyakartaPadatanggal: 16 Mei 2016
Yang menyatakan
(Roswita Putri Arcelia Hede)
lx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala
berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.
Skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode
Kemungkinan Maksimum Dalam Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan
Dua Parameter” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya
penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari berbagai
pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan trima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko. M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan
penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada
penulis.
2. Bapak Hartono Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan
banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.
3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan
kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.
4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam
perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini.
5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains
dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran,
serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
6. Bapa dan Mama yang penulis cintai dan banggakan, nenek Lusia D. Bunga,
serta adik Marry Grace Florensia Hede yang telah banyak memberikan
dukungan dan pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi
dengan baik.
7. Teman-teman angkatan 2012 Program Studi Matematika yaitu Sila, Risma,
Happy, Bobi, Tika, Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum, Ilga, Lia, Noni, Dewi,
Manda , Anggun, Budi, Rian, Ega, yang telah memberikan dukungan dan
semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.
8. Teman-Teman kos Cintia: Archa, Lisa, Nova, Tia, Mb. Ela, Mb. Ria, Mb
Ketrin, Mb. Intan, Awang, Hera, Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu
memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini.
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi ini dapat
terselesaikan.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka
saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi
penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua
pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.
Yogyakarta, 16 Mei 2016
Penulis
(Roswita Putri Arcelia Hede)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...................................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................................. ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. vi
HALAMAN ABSTRAK ............................................................................................. vii
HALAMAN ABSTRACT ......................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI....................................... ix
KATA PENGANTAR .................................................................................................. x
DAFTAR ISI ............................................................................................................... xii
DAFTAR TABEL ....................................................................................................... xv
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................. xvi
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1
Latar Belakang Masalah ................................................................................................ 1
A. Rumusan Masalah ............................................................................................... 3
B. Pembatasan Masalah .......................................................................................... 4
C. Tujuan Penulisan ................................................................................................. 4
D. Manfaat Penulisan ............................................................................................... 4
E. Metode Penulisan ................................................................................................ 5
F. Sistematika Penulisan .......................................................................................... 5
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 9
A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 9
1. Variabel Random .............................................................................................. 9
2. Fungsi Probabilitas ............................................................................................ 9
a. Distribusi Probabilitas Diskrit ....................................................................... 9
b. Distribusi Probabilitas Kontinu ................................................................... 10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
3. Fungsi Distribusi Kumulatif .................................................................................. 10
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ............................................................... 10
a. Mean .......................................................................................................... 10
b. Variansi ..................................................................................................... 11
c. Momen ...................................................................................................... 11
d. Fungsi Pembangkit Momen ...................................................................... 12
B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya ................................................................ 13
1. Mean ........................................................................................................... 18
2. Variansi ....................................................................................................... 19
3. Fungsi Pembangkit Momen ......................................................................... 20
C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ........................................................ 21
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter .................. 23
a. Mean ...................................................................................................... 24
b. Variansi ................................................................................................. 24
c. Momen .................................................................................................. 25
2. Grafik Distribusi Weibull ............................................................................ 26
D. Pendugaan Parameter ........................................................................................ 32
1. Penduga Titik ............................................................................................... 33
2. Penduga Interval .......................................................................................... 33
E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik ...................................... 33
F. Metode Kuadrat Terkecil ................................................................................... 35
1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil .......................................................... 38
G. Uji Kolmogorov Smirnov .................................................................................. 53
H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov ..................... 56
I. Metode Kemungkinan Maksimum .................................................................... 58
J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana .............. 63
K. Metode Newton Raphson .................................................................................. 67
BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN
METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN
MAKSIMUM .............................................................................................................. 72
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ........................................................ 72
B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil ....... 72
C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan
Maksimum ......................................................................................................... 85
BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER ..... 95
A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu ............. 95
1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull ........................................ 96
2. Estimasi Parameter ...................................................................................... 97
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan
Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di
Enugu ................................................................................................................. 98
C. Uji Distribusi Weibull ..................................................................................... 101
D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum
......................................................................................................................... 103
E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep ....... 104
F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan
Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di
Sumenep .......................................................................................................... 106
G. Uji Distribusi Weibull ..................................................................................... 108
H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum
......................................................................................................................... 110
BAB V PENUTUP .................................................................................................... 112
A. Kesimpulan ...................................................................................................... 112
B. Saran ............................................................................................................... 113
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 114
LAMPIRAN .............................................................................................................. 116
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku ................................................................ 52
Tabel 2.2 Data Contoh 2.2 .......................................................................................... 56
Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (
) Di Kolkata .................... 80
Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (
) Di Enugu ...................... 95
Tabel 4.2 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan Di Sumenep, Jawa Timur .. 104
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan dan ......... 27
Gambar 3.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan
dan ...................................................................................................... 81
Gambar 3.2 Grafik ( ) dan ( ) ......................................................................... 83
Gambar 3.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
................................................................................................................. 91
Gambar 4.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
............................................................................................................ 98
Gambar 4.2 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
............................................................................................................. 101
Gambar 4.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
........................................................................................................... 106
Gambar 4.4 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
............................................................................................................... 108
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan
dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empi-
ris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari statistik adalah menggunakan
informasi yang terkandung dalam sampel untuk membuat kesimpulan tentang
populasi dari mana sampel tersebut di ambil. Parameter adalah suatu konstanta
yang mencirikan (merupakan karakteristik) populasi. Penduga berupaya untuk
mengaproksimasi parameter yang diketahui tersebut menggunakan pengukuran.
Dalam mengkaji suatu distribusi hal yang paling penting adalah masalah
menduga parameternya. Dalam teori probabilitas, distribusi Weibull adalah distri-
busi probabilitas kontinu dan merupakan satu dari distribusi yang digunakan pada
praktek ilmu teknik. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh ilmuwan dari
Swedia yang bernama Waloddi Weibull. Walodi Weibull menemukan distribusi
Weibull pada tahun 1937 dan disampaikan pada jurnal Hallmark Amerika pada
tahun 1950 meskipun pertama kali diidentifikasi oleh Fréchet (1927) dan pertama
kali diterapkan oleh Rosin dan Rammler (1933) untuk menggambarkan distribusi
ukuran partikel. Weibull mengklaim bahwa distribusi ini dapat diaplikasikan pada
berbagai masalah. Distribusi ini pada awalnya mendapat tanggapan negatif dari
para ahli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Selama lebih dari setengah abad distribusi Weibull telah menarik perhatian
para ahli statistika yang mempelajari teori dan metode dalam berbagai bidang
penerapan statistika. Ditribusi Weibull akhirnya menjadi orientasi dari ahli statis-
tika karena kelebihannya yakni dapat digunakan dalam berbagai bidang mulai dari
uji hidup (life testing), peramalan cuaca, serta observasi antara lain dalam bidang
ekonomi, administrasi bisnis, hidrologi, biologi, dan ilmu-ilmu rekayasa.
Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull bila fungsi
probabilitasnya :
{
( )
dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter
skala (scale parameter).
Distribusi Weibull termasuk dalam keluarga distribusi Eksponensial, hal
itu dapat dilihat dari persamaan di atas. Jika maka fungsi densitas
probabilitas tersebut menjadi :
{
(
)
Dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter,
penulis menggunakan Metode Pendugaan Kuadrat Terkecil (Least Square
Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).
Metode Kuadrat Terkecil adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk
mendapatkan nilai-nilai penduga dalam pemodelan regresi yang meminimumkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
jumlah kuadrat galat. Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah
metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood .
Sesuai dengan uraian diatas, maka penulis ingin mempelajari lebih jauh
tentang distribusi Weibull dan sifat-sifatnya dan membandingkan pendugaan pa-
rameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.
Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean
Square Error) untuk menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distri-
busi Weibull dengan dua parameter. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran ke-
akuratan dari penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi
Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah
1. Bagaimana sifat-sifat statistis distribusi Weibull?
2. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter
menggunakan Metode Kuadrat Terkecil?
3. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter
menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum?
4. Bagaimana membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi parameter
distribusi Weibull dengan dua parameter?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
C. Pembatasan Masalah
Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah
1. Dalam mengestimasi parameter distribusi, penulis hanya akan membahas
pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan
Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.
2. Penulis tidak membahas pendugaan interval dari distribusi Weibull dengan
dua parameter.
3. Penulis tidak akan mengkaji generalisasi dan modifikasi dari distribusi
Weibull.
4. Penulis tidak mencantumkan semua teori yang digunakan, tetapi hanya diba-
tasi oleh teori yang digunakan secara langsung.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan ini adalah ingin meng-
estimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter dengan Metode
Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum
(Maximum Likelihood Method) serta membandingkan kedua metode tersebut
untuk menentukan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi
Weibull dengan dua parameter.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat
mempelajari sifat-sifat distribusi Weibull dan metode pendugaan distribusi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Weibull dengan dua parameter serta menentukan metode terbaik dalam menduga
parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir adalah studi
pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku atau jurnal yang berkaitan dengan
estimasi parameter distribusi Weibull.
G. Sistematika Penulisan
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Perumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisa
BAB II. LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas
1. Variabel Random
2. Fungsi probabilitas
a. Distribusi Probabilitas Diskret
b. Distribusi Probabilitas Kontinu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
3. Fungsi Distribusi Kumulatif
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas
a. Mean
b. Variansi
c. Momen
d. Fungsi Pembangkit Momen
B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya
1. Mean
2. Variansi
3. Fungsi Pembangkit Momen
C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
a. Mean
b. Variansi
c. Momen
2. Grafik Distribusi
D. Estimasi Parameter
E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat Galat dari Penduga Titik
F. Metode Kuadrat Terkecil
1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil
G. Uji Kolmogorov-Smirnov
H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov
I. Metode Kemungkinan Maksimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear
Sederhana
K. Metode Newton Raphson
BAB III. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN
METODE KUADRAT TERKECIL
A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat
Terkecil
C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode
Kemungkinan Maksimum
BAB IV. APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL
A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat
Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di
Enugu
1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull
2. Estimasi Parameter
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode
Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-
tan Angin di Enugu
C. Uji Distribusi Weibull
D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-
nan Maksimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat
Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Su-
menep
F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode
Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-
tan Angin di Sumenep
G. Uji Distribusi Weibull
H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-
nan Maksimum
BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas
1. Variabel Random
Definisi 2.1
Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang
sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan
nilainya.
Definisi 2.2
Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskret jika himpunan dari
kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas
maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
2. Fungsi Probabilitas
Fungsi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit
dan distribusi probabilitas kontinu.
a. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.3
Himpunan pasangan terurut )) adalah fungsi probabilitas dari variabel
random diskrit jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
1) ) untuk setiap
2) ∑ )
b. Distribusi Probabilitas Kontinu
Definisi 2.4
Fungsi ) adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel
random kontinu , jika
1) )
2) ∫ )
3. Fungsi Ditribusi Kumulatif
Definisi 2.5
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-
riabel random diskret dan kontinu didefinisikan sebagai berikut
) )
{
∑ )
∫ )
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas
a. Mean
Definisi 2.6
Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random dinota-
sikan sebagai atau ) didefinisikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
)
{
∑ )
∫ )
b. Variansi
Definisi 2.7
Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis ) didefinisikan
sebagai
) [ )) ]
Teorema 2.1
) ) ( ))
Bukti
) [ )) ]
) ))
) ) ) ( ))
) ) ( ))
c. Momen
Definisi 2.8
Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan dengan
didefinisikan sebagai
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
d. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Definisi 2.9
Fungsi pembangkit momen ) dari sebuah variabel random Y didefinisikan
sebagai ) ). Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan ada jika
terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t) berhingga untuk | |
.
Teorema 2.2
Diberikan ) dan ) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel
random dan . Jika ) ) maka dan mempunyai distribusi
yang sama.
Bukti
Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi
Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan
menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu
) )
dengan adalah bilangan kompleks
Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti
dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi
kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu
∫ )
∫ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Maka ) ) (skripsi hal 54).
Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara
fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya
Distribusi probabilitas (fungsi densitas) merupakan representasi dari populasi yang
dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter.
Definisi 2.10
Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik
populasi.
Definisi 2.11
Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak
bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya ∑
Definisi 2.12
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai
) ∫
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat di-
gunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit
momen, variansi, mean dan momen.
Teorema 2.3
Fungsi Gamma memiliki sifat
1. ) ) ) untuk setiap
Bukti
Berdasarkan definisi 2.12
) ∫
Misalkan
maka ) dan maka
) ∫
[ ] ∫ )
[ ] )∫
[ ] )∫ )
.
/ ) )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
0 ( ) )
1 ) )
[ ( ) )] ) )
{ [ ) (
)]} ) )
) )
2. ) ) dengan n bilangan bulat positif
Bukti
Berdasarkan sifat Gamma
) ) )
Sehingga diperoleh
) ) )
) ) )
) ) ) )
) ) ) ) ) ) )
Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh
) ∫
∫
[ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
diperoleh
) ) ) ) ) ) )
)
3. (
) √
Bukti
Akan di buktikan bahwa (
) √
Berdasarkan definisi 2.12
) ∫
Misalkan
) ∫
∫
Ketika maka
Sehingga diperoleh
(
) ∫
[ (
)]
[ (
)] [ (
)]
. ∫
/. ∫
/
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
∫ ∫ )
Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi
integral polar.
Misalkan maka
)
[ (
)]
∫ ∫
∫ ∫
(∫
).∫
/
Misalkan
(
) .
∫
/
[ ]
)
(
) √
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Definisi 2.13
Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter
jika dan hanya jika fungsi probabilitas adalah
) {
)
dengan ) ∫
1. Mean
Jika berdistribusi Gamma dengan parameter , maka
)
Bukti
Berdasarkan definisi 2.6
) ∫ )
∫
)
Berdasarkan definisi fungsi probabilitas
∫
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
∫
) (2.1)
) ∫
)
)∫
) )
Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1
Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka ) ), maka diperoleh
) )
)
2. Variansi
Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter , maka variansi dari
distribusi Gamma adalah
)
Bukti
Berdasarkan teorema 2.1
) ) ( ))
) ∫
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
∫
)
)∫
Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh
)
) )
) )
)
) )
)
)
Maka
) ) ( ))
) )
)
3. Fungsi Pembangkit Momen
Berdasarkan definisi 2.9, maka
) )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∫ [
)]
)∫
)∫
( )
)∫
(
)
)∫
Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh
)
)(
)
)
)
C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
Definisi 2.14
Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter
, bila fungsi probabilitasnya:
{
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala
(scale parameter).
Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan
fungsi probabilitas. Jelas bahwa ) untuk setiap . Selanjutnya akan
ditunjukkan bahwa ∫ )
Misalkan (
)
maka
∫ )
∫
( )
∫
[ ]
)
Jadi terbukti bahwa ) adalah fungsi probabilitas
Definisi 2.15
Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan
pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat
ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka
) ∫ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
) ∫
[
]
Misalkan (
)
)
∫
)
∫ )
[ )]
[ (
)
]
( (
)
)
Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah
( (
)
)
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
Sifat-sifat statistis dari distribusi Weibull antara lain adalah rata-rata
(mean), variansi dan fungsi pembangkit momen (moment generating function)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
a. Mean
Berdasarkan definisi 2.6
) ∫ )
∫
( )
Misalkan (
)
maka
dan
∫
∫
∫
berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh
) (
)
b. Variansi
Berdasarkan teorema 2.1
) ) ( ))
) (
)
) ∫ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
∫
( )
Misalkan (
)
maka
∫
∫ ( )
∫
Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh
) (
)
) ) ( ))
(
) [ (
)]
(
) (
)
0 (
) (
)
1
c. Momen (Moment)
Berdasarkan definisi 2.8 momen ke- didefinisikan sebagai
)
Maka, momen ke- dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
) ∫
)
∫
( )
Misalkan (
)
maka
dan
∫
( )
∫
Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh
(
)
2. Grafik Distribusi Weibull
Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Grafik distribusi Weibull
bergantung pada nilai parameter dan yang dipilih, sehingga grafik akan
memiliki berbagai macam bentuk. Jika parameter yang akan diubah-ubah adalah
parameter skala dengan menganggap parameter bentuk konstan, maka akan
diperoleh grafik fungsi probabilitas ) . Hal ini juga terjadi ketika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f(x)
a=0.5a=1a=1.5
a=5
grafik fungsi distribusi Weibull
f(x)
parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter
skala konstan.
Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan
Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa nilai yang berbeda-beda akan
membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Ketika maka akan diperoleh
grafik dari distribusi Eksponensial. Gambar 2.1 diproduksi dari program R pada
lampiran A.1.
Teorema 2.4
Misalkan ), jika maka berdistribusi Chi Squre dengan derajat
bebas .
Bukti
Fungsi probabilitas dari adalah )
√
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
) )
)
( √ )
( √ √ )
(√ ) ( √ )
)
[ (√ ) ( √ )]
(√ )
( √ )
√
(√ )
√
( √ )
√
√
√
)
(
)
Sehingga diperoleh ) adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma
dengan
dan dan ) juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi
Square dengan derajat bebas . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah
) )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Teorema 2.6
Misalkan variabel random independen berdistribusi Normal dengan
) dan ) untuk dan misalkan adalah
konstanta. Jika ∑ maka variabel random
berdistribusi Normal dengan
) ∑
dan
) ∑
Bukti
Karena berdistribusi Normal dengan ) dan ) , fungsi
pembangkit momen adalah
) .
/
Maka fungsi pembangkit momen dari adalah
) )
)
.
/
Karena variabel random independen, maka variabel random juga independen
untuk , maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
) )
) )
.
/
.
/ .
/
( ∑
∑
)
) merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata ∑
dan variansi ∑
Maka berdasarkan teorema ketunggalan berdistribusi Normal dengan rata-rata
∑ dan variansi ∑
Teorema 2.6
Misalkan adalah variabel random independen dengan ). Jika
∑
, maka berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
Bukti
Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari adalah )
Karena independen, maka
) )
) )
) )
)
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
) )
adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma
dengan
dan atau (
) dan juga fungsi pembangkit momen dari
distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Sehingga menurut teorema ketunggalan
)
Teorema 2.7
Jika ) dan adalah matriks simetri idempoten dengan rank maka
)
Bukti
Karena simetri maka dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal maka
diperoleh
[
]
Selanjutnya, karena idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah dan ,
maka dapat dipilih sedemikian sehingga
*
+
Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari , karena banyaknya akar
tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar,
maka dimensi juga sama dengan trace dari .
Misalkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
) ) )
) )
Maka berdasarkan teorema 2.5 )
Misalkan distribusi dari menggunakan transformasi dari . Karena matriks
ortogonal, maka invers dari sama dengan transpose dari
)
Maka diperoleh
*
+
∑
∑ (
)
∑ (
)
adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema
2.6 maka
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas
D. Pendugaan Parameter
Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan
pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empiris yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
berasal dari sampel random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk
menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel.
Definisi 2.16
Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang
memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengu-
kuran yang termuat di dalam sampel.
Pendugaan dibagi menjadi dua yaitu penduga titik (point estimation) dan
penduga selang (interval estimation).
1. Penduga Titik (Point Estimator)
Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya
menduga parameter yang sebenarnya.
2. Penduga Interval (Interval Estimator)
Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang
besar akan memuat parameter yang sebenarnya.
E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik
Definisi 2.17
Misalkan adalah penduga titik dari parameter , maka adalah penduga tak bias
jika ( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Definisi 2.18
Bias dari penduga titik didefinisikan sebagai ( ) ( )–
Definisi 2.19
Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik adalah
( ) *( ) +
Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga adalah fungsi dari variansi dan
biasnya.
Teorema 2.8
( ) ( ) * ( ) +
Bukti
( ( )) ( ( ) )
( ) *( ( )) ( ( ) )+
( ) ( ( ))
( ( )) ( ( ) ) ( ( ) )
*( ) + [( ( ))
] * ( ( )) ( ))+ [ ( )]
*( ) + ( ) [ ( )]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
F. Metode Kuadrat Terkecil
Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui
hubungan antara variabel terikat (dependen; ) dengan satu atau lebih variabel bebas
(independen; ).
Definisi 2.20
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
dengan pengamatan ke- variabel dependen
= intersep (intercept)
= parameter regresi (slope)
= pengamatan ke- variabel independen
= galat (error) dari pengamatan ke-
Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu metode
yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam
pemodelan regresi. Misalkan ) sampel random berukuran n dari sebuah
populasi, berdasarkan definisi 2.20 maka persamaan garis regresinya adalah
Metode Kuadrat Terkecil bertujuan menentukan penduga dari yaitu
. Dengan asumsi ) persamaan regresi akan di duga oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
.
Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan penduga dari
yang akan meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).
Definisi 2.21
Jumlah kuadrat galat (Sum of Squares Error) didefinisikan sebagai
∑ )
∑[ ( )]
Jumlah Kuadrat Galat minimum diperoleh dengan menggunakan turunan parsial
terhadap maka
,∑ [ ( )]
-
∑ [ ( )]
(∑ ∑
)
∑ ∑
∑
∑
(2.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
,∑ [ ( )]
-
∑ {[ ( )] }
(∑
∑ ∑
)
∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
(2.3)
Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.2 dan persamaan 2.3
maka diperoleh
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ )
(2.4)
∑
∑ ∑
∑
∑ )
(2.5)
Penduga dan pada persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 adalah penduga yang
memiliki jumlah kuadrat galat paling minimum, karena
dan
dan
dan
maka dan adalah titik minimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil
Sifat dari penduga Metode Kuadrat Terkecil dalam Regresi Linear Sederhana
adalah
a. Penduga dan tak bias, yaitu ( ) untuk .
Bukti
Sebuah penduga dikatakan merupakan penduga tak bias jika ( ) . Dan
mengunakan fakta bahwa ) .
Berdasarkan persamaan 2.4
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ )
) ∑
∑ ) ∑ ∑
)
∑
∑ )
∑
∑
) ∑ (∑
))
∑
∑ )
∑
∑
∑
∑
) ∑
∑
∑
∑ )
∑
∑
)
∑
∑ )
∑
∑
) )
∑
∑ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Maka adalah penduga tak bias bagi .
Berdasarkan persamaan 2.5
∑
∑ ∑
∑
∑ )
) ∑ ) ∑ ∑ )
∑
∑ )
∑ ) ∑ ∑ )
∑
∑ )
∑ ∑
∑
∑
)
∑
∑ )
∑
∑
)
∑
∑ )
∑
∑
) )
∑
∑ )
Maka adalah penduga tak bias bagi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
b. ( ) dengan
∑ )
dan adalah parameter yang tidak
diketahui.
Bukti
Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk seperti dibawah ini
∑
∑ ∑
∑
∑ )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Berdasarkan lampiran A.2, bentuk alternatif dari adalah
Jika ∑ ) , maka diperoleh
∑ ) )
∑ )
∑ ) )
∑ )
∑ )
∑ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
c. ( ) dengan
∑
∑ )
dan adalah parameter yang
tidak diketahui.
Bukti
Berdasarkan persamaan 2.3
) .∑ )
∑ )
/
.
∑ )
/
(∑ )
)
.
∑ )
/
∑ )
)
∑ )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(2.6)
) (∑
∑ ( )
∑ ( )
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Karena dan independen dimana , maka ( )
)
dari persamaan 2.6 diperoleh
∑ ∑( )
( )
( )
) )
) ( ) )
) ( ) )
∑ )
)
∑ )
∑ )
∑ )
∑ )
∑ )
∑
∑ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
d. ( ) dengan
∑ )
dan adalah parameter yang
tidak diketahui.
Bukti
Berdasarkan persamaan 2.6, diperoleh
∑ )
( )
( )
maka
( ) [ ) )]
[( ( ) ) )]
* ( ) ( ) +
karena [ ]
* ( ) +
( )
∑ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
e. Penduga tak bias dari adalah
dengan ∑ [
( )] .
Bukti
Akan dibuktikan
adalah penduga tak bias dari
) [(
) ]
(
) )
) [∑[ ( )]
]
[∑[ ]
]
[∑( ) ))
]
[∑ ) )
) )]
karena ∑ ) ) ∑ )
, maka diperoleh
) [∑ ) )
]
∑ [ ) ]
∑ )
)
karena ∑ ) ∑
, maka diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
) ∑ )
) ∑ )
)
Untuk sebarang variabel random berlaku ) ) [ )] , maka
diperoleh
) ∑[ ) [ )] ]
[ ) [ )] ]
∑ )
* ( ) [ ( )] +
∑[ ) ]
0
) 1
∑ )
0
∑ )
1
∑[
] 0
1
∑ )
∑
∑
∑ )
) ∑
∑ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Karena ∑ ) ∑
, maka diperoleh
) ∑
[∑
]
) ∑
∑
)
) )
)
Maka adalah penduga tak bias dari .
Jika untuk berdistribusi Normal, maka
f. dan berdistribusi Normal.
Bukti
Pada model regresi linear sederhana , bentuk galat
tidak bergantung pada dengan rata-rata ) dan variansi )
. Bentuk dari distribusi sampling untuk dan bergantung pada distri-
busi dari galat . Maka jika berdistribusi Normal, maka berdistribusi
Normal dengan rata-rata dan variansi , karena dan adalah
fungsi linear dari , maka berdistribusi Normal dengan rata-rata
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
dan variansi ∑
∑ )
dan berdistribusi Normal dengan rata-rata
dan variansi ∑
∑ )
.
g. Variabel random )
berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas .
Bukti
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
Jika ditulis ke dalam bentuk matriks, maka model regresi linear sederhana
dapat ditulis sebagai
[
] [
] [
] [
]
Bentuk lain dari model regresi linear sederhana adalah
dengan [
] [
] [
] dan [
]
Penduga kuadrat terkecil dari yaitu , dapat dinotasikan dengan notasi
matriks
)
Penduga dari regresi linear sederhana adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Galat dari model regresi linear sederhana adalah
)
) )
dengan ) )
adalah matriks simetri idempoten.
Akan dibuktikan adalah matriks simetri dan idempoten
Bukti
) )
) [ ) ]
)
Jadi adalah matriks simetri.
) ) ) ) )
) ) ) ) )
) ) ) )
) ) )
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Jadi adalah matriks idempoten.
Akan dibuktikan
) ) )
) ) )
) )
)
)
Akan dibuktikan
) )
) ) )
) ) )
) ) )
) )
Statistik didefinisikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
∑
Akan dibuktikan )
berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
)
)
0
1 *
+
Variabel random *
+ berdistribusi normal standar dengan rata-rata nol dan
variansi . Karena matriks adalah matriks simetri dan idempoten, maka
berdasarkan teorema 2.7 *
+ *
+ berdistribusi Chi Square dengan derajat
bebas .
Jadi )
berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
h. Statistik tidak bergantung pada dan
Bukti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
∑ [ ( )]
∑ [ ( )]
∑ [ ]
∑ [ ) )]
∑ ) ) )
)
∑ ) ) ) ) )
∑ ) ) )
karena ∑ )
∑ )
, maka diperoleh
∑ ) ∑ )
∑ )
) )
∑ ) ) ∑ )
∑ ) )
∑ ) )
Jadi, tidak bergantung pada dan
Contoh 2.1
Auditor sering diminta untuk membandingkan hasil audit dari item penyimpanan
buku (atau terdaftar). Jika sebuah perusahaan selalu memperbaharui penyimpanannya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
dan buku up to date, maka pasti terdapat hubungan linear antara nilai audit dan nilai
buku. Sebuah perusahaan mengambil sampel sepuluh item inventori dan memperoleh
nilai audit dan buku yang diberikan pada tabel di bawah ini.
Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku
Item Nilai Audit
( ) Nilai Buku
( ) 1 9 10
2 14 12
3 7 9
4 29 27
5 45 47
6 109 112
7 40 36
8 238 241
9 60 59
10 170 167
Gunakan model untuk data di dalam tabel tersebut.
Jawab
Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 diperoleh
∑
∑ ∑
∑
∑ )
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ )
)
Jadi, penduga kuadrat terkecil dari dan adalah dan
Sehingga diperoleh model persamaan regresi
Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.
G. Uji Kolmogorov Smirnov
Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi
yang mendasari suatu kumpulan data (atau variabel random). Uji kecocokan
(goodness of fit test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa
distribusi yang tidak diketahui untuk menguji hipotesis nol bahwa fungsi distribusi
yang tidak diketahui sebenarnya dikenal atau diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu.
Kecocokan (goodness of fit) dapat di uji dengan berbagai metode, diantaranya uji
Kolmogorov Smirnov, uji Chi Square dan uji Anderson Darling. Pada tugas akhir ini,
hanya akan dibahas uji kecocokan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov.
Pada dasarnya uji kecocokan berdasarkan pada salah satu dari dua elemen
distribusi, yaitu fungsi distribusi kumulatif (Cumulative Ditribution Function) atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
fungsi probabilitas (Probability Density Function). Uji Chi Square berdasarkan pada
fungsi probabilitas sedangkan uji Kolmogorov Simirnov dan uji Anderson Darling
berdasarkan pada fungsi distribusi kumulatif. Uji Kolmogorov Smirnov disarankan
pertama kali oleh Kolmogorov pada tahun 1933.
Misalkan variabel random berasal dari distribusi yang tidak
diketahui ), dan misalkan ) ) ) adalah statistik terurut. akan
diuji hipotesis bahwa ) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu ).
Definisi 2.22
Statistik uji Kolmogorov Smirnov didefinisikan sebagai
) (2.7)
[ ) ( ))]
[ ( )) )]
dengan , ) adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris
berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui ).
Definisi 2.23
Misalkan adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris ) di
definisikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
)
{
)
) )
)
Hipotesis uji Kolmogorov Smirnov adalah
) )
untuk setiap dengan ) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan
) )
Jika lebih dari yang diberikan oleh tabel Kolmogorov Smirnov maka
ditolak pada tingkat signifikansi .
H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov
Uji Kolmogorov Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data
berdistribusi Weibull atau tidak. Uji distribusi Weibull dengan Kolmogorov Smirnov
dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Weibull.
Langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov untuk distribusi Weibull adalah sebagai
berikut
1. ))
2. Tentukan tingkat signifikansi
3. Statistik uji
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
4. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar
5. Hitunglah ) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull
6. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah fungsi distribusi empiris )
7. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah nilai dan , dan tentukan maksimum
dari ( )
8. Daerah keputusan :
ditolak jika
9. Kesimpulan
Contoh 2.2
Diberikan data dalam tabel 2.2 di bawah ini. Ujilah apakah data tersebut berdistribusi
Weibull dengan .
Tabel 2.2 Data Contoh 2.2
No 1 2 3 4 5 6
1.43 4.115 7.578 8.02 10.429 11.722
Jawab
1.
2.
3. Statistik uji
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
)
4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull
adalah
) ( (
)
)
5. Daerah keputusan :
di tolak jika
6. Perhitungan
) ) )
1 1.43 0.091 0.167 0.000 0.075 0.091
2 4.115 0.315 0.333 0.167 0.019 0.148
3 7.578 0.566 0.500 0.333 -0.066 0.233
4 8.02 0.593 0.667 0.500 0.073 0.093
5 10.429 0.718 0.833 0.667 0.115 0.051
6 11.722 0.771 1.000 0.833 0.229 -0.062
Maksimum 0.229 0.233
)
7. Kesimpulan
Karena maka diterima. Data tersebut berdistribusi
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
I. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method)
Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam
suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola.
Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak
diketahui banyaknya bola untuk setiap warna.
Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel
random menghasilkan dua bola merah. Dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah
pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak,
maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel
tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak,
peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah
( ) (
)
( )
Jika terdapat tiga bola merah pada kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara
acak adalah
( )
( )
Oleh karena itu dipilih tiga sebagai penduga dari banyaknya bola merah pada
kotak karena tiga merupakan penduga yang memaksimumkan probabilitas dari
sampel yang diamati bandingkan dengan dua yang probabilitasnya
(lebih kecil).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Kemungkinan terdapat dua bola merah pada kotak juga benar, tetapi hasil yang
diamati memberikan kepercayaan lebih untuk tiga bola merah dalam kotak. Contoh
ini mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat
diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini disebut Metode
Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).
Metode Kemungkinan Maksimum pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher
pada tahun 1912. Metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi untuk
sampel yang sangat besar.
Definisi 2.24
Misalkan adalah variabel random kontinu berukuran dengan fungsi
probabilitas ) dan adalah parameter yang tidak diketahui, fungsi likelihood
dari sampel random adalah densitas bersama dari variabel random dan adalah
fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan dengan
) dan didefinisikan sebagai
) ∏ )
Definisi 2.25
Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator) dari
memaksimumkan likelihood | ) atau ekuivalen dengan memaksimumkan log-
likelihood | ) dengan ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka
yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi
likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood
dapat ditulis dalam bentuk :
)
Nilai parameter dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-
likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi
log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE merupakan
penyelesaian dari persamaan berikut :
Misalkan terdapat parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter
dengan Metode Kemungkinan Maksimum
dengan )
Contoh 2.3
Misalkan adalah sampel random berdistribusi Normal dengan mean
dan variansi . Temukan dan dengan menggunakan Metode Kemungkinan
Maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Jawab
adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan mean dan
variansi maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai
)
√ [(
)] )
berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh
) | )
| ) |
) | )
0
√ .
)
/1
√ .
)
/
(
)
[
∑ )
]
Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah
[ )] {(
)
[
∑ )
]}
[ (
)]
∑ )
∑ )
Penduga kemungkinan maksimum dari dan adalah penduga yang memaksimum-
kan [ )], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap dan , maka
diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
[ )]
∑ )
[ )]
∑ )
Jika turunan parsial terhadap dan disamakan dengan nol, maka akan diperoleh
∑ )
∑ )
∑
∑
∑ )
∑ )
∑ )
∑ )
dengan subsitusi ke persamaan maka diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
∑ )
Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk dan adalah
dan
∑ )
.
J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
Tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana adalah
untuk menduga vektor parameter
[ ]
Untuk mencari Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dengan meng-
gunakan asumsi bahwa galat ( ) independen dan berdistribusi Normal
( ). Misalkan variabel random independen dan berdistribusi
Normal ) untuk .
Fungsi probabilitas dari distribusi Normal dengan mean dan variansi
adalah
)
√ [
)
]
Berdasarkan definisi 2.24 diperoleh
) ∏
√
[
)
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
(
√ )
∏ [
)
]
(
√ )
[
∑ )
]
Maka diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut
[ )] {(
√ )
[
∑ )
]}
(√ )
∑ )
∑ )
∑ )
Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dapat diperoleh dengan mencari
turunan parsial [ )] terhadap , dan dan menyamakan dengan
nol, maka diperoleh
[
∑ )
]
∑ )
∑ )
(2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
[
∑ )
]
∑ ) )
(
)
∑ )
(2.10)
[
∑ )
]
∑ )
(2.11)
Berdasarkan persamaan 2.9 diperoleh
∑ )
∑ )
∑
∑
(2.12)
Berdasarkan persamaan 2.10 diperoleh
∑ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
∑
∑ ∑
(2.13)
Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.12 dan 2.13, maka
diperoleh
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ )
(2.14)
∑
∑ ∑
∑
∑ )
(2.15)
Berdasarkan persamaan 2.11 diperoleh
∑ )
∑ )
∑ )
∑ )
(2.16)
Persamaan 2.14 dan 2.15 menunjukkan bahwa Pendugaan Kemungkinan Maksimum
dari regresi linear sederhana menghasilkan penduga (estimator) yang sama dengan
penduga yang dihasilkan dengan Metode Kuadrat Terkecil. Penduga Kemungkinan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Maksimum dari yang ditulis dalam persamaan 2.16 adalah rata-rata kuadrat galat
sampel.
K. Metode Newton Raphson
Metode Newton Raphson adalah salah satu metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan non linear. Dalam menduga parameter menggunakan
Metode Kemungkinan Maksimum menghasilkan fungsi log-likelihood yang non
linier, maka penyelesaian dari fungsi tersebut diselesaikan dengan menggunakan
metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson merupakan penerapan dari deret
Taylor.
Misalkan mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai
pendekatan akarnya. Deret Taylor disekitar adalah
) ) ) ) )
)
Untuk yang cukup dekat dengan maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan,
maka akan diperoleh pendekatan
) ) ) )
Jika adalah akar dari maka )
) ) )
) ) )
)
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
)
)
Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke metode Newton Raphson adalah
)
)
Contoh 2.34
Tentukan akar persamaan nonlinear ) dengan metode Newton Raphson
jika diketahui nilai awal dengan toleransi
Jawab
Diketahui ) maka )
Diketahui skema iterasi metode Newton Raphson adalah
)
)
Ketika maka diperoleh
)
)
)
Ketika maka diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
)
)
)
Ketika maka diperoleh
)
)
)
Ketika maka diperoleh
)
)
)
Ketika maka diperoleh
)
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
)
Karena ) , maka akar persamaan fungsi ) adalah
Di bawah ini adalah program menghitung akar persamaan ) menggu-
nakan R.
> newton<-function(f,tol=1e-7, x0 = 1, N = 100){
+ h <-1e-7
+ i = 1; x1 = x0
+ p = numeric(N)
+ while (i <= N) {
+ df.dx = (f(x0 + h) - f(x0))/h
+ x1 = (x0 - (f(x0) / df.dx))
+ p[i] = x1
+ i = i + 1
+ if (abs(x1 - x0) < tol) break
+ x0 = x1
+ }
+ return(p[1 : (i-1)])
+ }
> f <- function(x){x^2-3}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
> h <-1e-7
> df.dx <- function(x){(f(x + h) - f(x)) / h}
> df.dx(1);df.dx(2)
[1] 2
[1] 4
> app <- newton(f, x0 = 1)
> app
[1] 2.000000 1.750000 1.732143 1.732051 1.732051
> f(app[length(app)])
[1] 4.440892e-16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
BAB III
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE
KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
Definisi 3.1
Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter
bila fungsi probabilitasnya
{
( )
,
, selainnya
dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala
(scale parameter)
B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Pendugaan parameter distribusi Weibull dapat dilakukan dengan berbagai
metode, diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method).
Metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk
mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi linear.
Model regresi linear didefinisikan sebagai
(3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
dengan
pengamatan ke- variabel dependen
= intersep (intercept)
= gradien (slope)
= pengamatan ke- variabel independen
galat (error) dari observasi ke- di mana memuat setiap faktor selain yang
mempengaruhi
Metode kuadrat terkecil akan menentukan penduga dari
yang akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan
adalah sampel random dengan ukuran dari distribusi dan
misalkan adalah nilai dari sebuah sampel random. Untuk menduga para-
meter distribusi Weibull, perlu diketahui fungsi distribusi kumulatifnya. Berdasarkan
definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter
adalah
( (
)
)
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull merupakan fungsi non linear.
Transformasi logaritma dilakukan untuk mendekati Metode Kuadrat Terkecil.
( (
)
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
( (
)
)
[ (
)
]
(
) [ ((
)
)]
(
) (
)
[ (
)] [(
)
]
[ (
)] (3.2)
Persamaan 3.2 dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear sederhana yaitu:
(3.3)
dengan * (
)+, ,
Diasumsikan bahwa nilai harapan galat dari populasi sama dengan nol
sehingga diperoleh penduga regresi linear sederhana adalah
(3.4)
dengan
= penduga model (estimator)
= penduga dari
= penduga dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Misalkan adalah statistik terurut dari
dan misalkan adalah observasi terurut. pada persa-
maan 3.2 tidak diketahui, maka menurut Ivana Pobocikova (Pobocikova, I., and
Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull
distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149), nilai dari
di estimasi dengan mean rank yaitu
( )
(3.5)
dengan adalah x urutan ke-i.
Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 penduga dari
dan dari parameter regresi dan adalah
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
Selanjutnya nilai * (
)+ dan disubsitusikan ke persamaan
2.4 dan persamaan 2.5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
∑
∑ ( (
)) ∑ ∑ (
)
∑
∑
(3.6)
∑ (
) ∑ ∑ (
)
∑
∑
(3.7)
Karena adalah penduga maka
(3.8)
Karena adalah penduga dari maka penduga dari adalah
[
∑ ∑ ( (
)) ∑ ∑ (
)
∑
∑
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
[ ∑
∑ ( (
)) ∑ ∑ (
)
[ ∑
∑
]
]
[
∑ ∑ ( (
)) ∑ ∑ (
)
∑ (
)
∑ ∑ (
)
∑
∑
∑
∑
]
[
∑ ∑ ( (
)) ∑ ∑ (
)
∑ (
)
∑ ∑ (
)
]
[ [ ∑
∑ ( (
)) ∑ ∑ (
)
]
∑ (
)
∑ ∑ (
)
]
Misalkan ∑ (
)
∑ ∑ (
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
[ ∑
∑ (
) ∑
∑ (
)
∑ ∑ (
)
∑ ∑ (
)
]
[ ∑ (
) [ ∑
∑
]
( ∑ (
) ∑ ∑ (
)
)∑
]
[ ∑ ( (
))
∑ (
)
∑ ∑ (
)
∑
∑
∑
∑
∑
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
[ ∑ ( (
))
∑ (
)
∑ ∑ (
)
∑
∑
∑
∑ (
)
∑ ∑ (
)
∑
∑
]
[
∑ ( (
))
∑
] (3.9)
Dengan diduga dengan dari persamaan 3.5
Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull
( (
)
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Contoh 3.1
Tabel di bawah ini adalah data rata-rata kecepatan angin per bulan dalam satuan
pada daerah Kolkata. Data ini di ambil mulai pada tanggal 1 Maret 2009 sampai 31
Maret 2009 (Bhattacharya, P. (2010). A Study On Weibull Distribution For
Estimating The Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 5(2):234:241).
Dugalah parameter distribusi Weibull dan ujilah apakah data tersebut berdistribusi
Weibull dengan uji Kolmogorov-Smirnov
Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (m/s) di Kolkata
Maret, 2009 Kecepatan angin
(m/s) Maret, 2009
Kecepatan angin
(m/s)
1 0.56 17 0.28
2 0.28 18 0.83
3 0.56 19 1.39
4 0.56 20 1.11
5 1.11 21 1.11
6 0.83 22 0.83
7 1.11 23 0.56
8 1.94 24 0.83
9 1.11 25 1.67
10 0.83 26 1.94
11 1.11 27 1.39
12 1.39 28 0.83
13 0.28 29 2.22
14 0.56 30 1.67
15 0.28 31 2.22
16 0.28
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Jawab
Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9
a.
∑ (
) ∑ ∑ (
)
∑
∑
[
∑ (
)
∑
]
(
)
Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull
[ (
)
]
Penyelesaian Contoh 3.1 dengan program R pada lampiran A.4.
Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Gambar 3.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan
dan (diproduksi dengan program R pada
lampiran A.5)
b. Akan di uji apakah data kecepatan angin tersebut berdistribusi Weibull
dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
Langkah- langkah pengujian
1. dengan dan
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
3. Statistik uji
4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull
adalah
( (
)
)
5. Daerah keputusan :
ditolak jika
6. Perhitungan
0.28 1 0.08 0.03 0.00 -0.05 0.08
0.28 2 0.08 0.06 0.03 -0.02 0.05
0.28 3 0.08 0.10 0.06 0.01 0.02
0.28 4 0.08 0.13 0.10 0.05 -0.01
0.28 5 0.08 0.16 0.13 0.08 -0.05
0.56 6 0.25 0.19 0.16 -0.05 0.08
0.56 7 0.25 0.23 0.19 -0.02 0.05
0.56 8 0.25 0.26 0.23 0.01 0.02
0.56 9 0.25 0.29 0.26 0.04 -0.01
0.56 10 0.25 0.32 0.29 0.08 -0.04
0.83 11 0.43 0.35 0.32 -0.07 0.10
0.83 12 0.43 0.39 0.35 -0.04 0.07
0.83 13 0.43 0.42 0.39 -0.01 0.04
0.83 14 0.43 0.45 0.42 0.03 0.01
0.83 15 0.43 0.48 0.45 0.06 -0.03
0.83 16 0.43 0.52 0.48 0.09 -0.06
1.11 17 0.60 0.55 0.52 -0.05 0.08
1.11 18 0.60 0.58 0.55 -0.02 0.05
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
0.5 1.0 1.5 2.0
0.2
0.4
0.6
0.8
xi
F0
grafik F0(xi)
grafik Fn(xi)
1.11 19 0.60 0.61 0.58 0.01 0.02
1.11 20 0.60 0.65 0.61 0.05 -0.01
1.11 21 0.60 0.68 0.65 0.08 -0.05
1.11 22 0.60 0.71 0.68 0.11 -0.08
1.39 23 0.74 0.74 0.71 0.00 0.03
1.39 24 0.74 0.77 0.74 0.04 0.00
1.39 25 0.74 0.81 0.77 0.07 -0.04
1.67 26 0.84 0.84 0.81 0.00 0.03
1.67 27 0.84 0.87 0.84 0.03 0.00
1.94 28 0.91 0.90 0.87 0.00 0.04
1.94 29 0.91 0.94 0.90 0.03 0.00
2.22 30 0.95 0.97 0.94 0.02 0.01
2.22 31 0.95 1.00 0.97 0.05 -0.02
maksimum 0.11 0.10
Gambar 3.2 grafik dan
(diproduksi dengan program R dilampirkan pada lampiran A.6)
7. Kesimpulan
Karena maka diterima. Data tersebut
berdistribusi dengan dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum
Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah Metode Kemungkinan
Maksimum (Maksimum Likelihood Estimation). Prinsip dasar dari metode ini adalah
menentukan penduga parameter , yang memaksimumkan fungsi likelihood. Metode
ini dapat dilakukan karena distribusi data diketahui. Untuk itu sebagai langkah awal
perlu diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull dengan dua parameter.
Berdasarkan definisi 3.1, fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dua parameter
adalah
{
( )
,
, selainnya
berdasarkan definisi 2.24 fungsi likelihood adalah
∏
Dengan demikian fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter
dapat dituliskan sebagai berikut:
( )
(
)
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
(
)
∏ [ ∑(
)
]
Oleh karena itu diperoleh
∏
(
)
∏ [ ∑(
)
]
(3.10)
Metode Kemungkinan Maksimum mengestimasi dan untuk parameter dan
yang memaksimumkan fungsi dalam persamaan 3.10 atau ekuivalen dengan
memaksimumkan logaritma dari fungsi dalam persamaan 3.10 yang biasa disebut
dengan fungsi log-likelihood dan didefinisikan sebagai berikut
[(
)
∏ [ ∑(
)
]
]
[(
)
] [∏
] [ [ ∑(
)
]]
∑
∑(
)
(3.11)
Dengan mencari turunan parsial terhadap dan dari persamaan 3.11 dan nilai dari
kedua turunan disamakan dengankan nol, maka akan diperoleh
[ ∑
∑(
)
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
∑
∑(
)
(
)
∑
∑(
)
[ ]
∑
∑
∑
[ ∑
∑(
)
]
∑
Jika turunan parsial pada persamaan 3.13 diselesaikan maka akan diperoleh
∑
∑
∑
∑
∑
(∑
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
persamaan 3.14 disubsitusikan kedalam persamaan 3.12 maka akan diperoleh
∑
∑
∑
(
∑
)
∑
∑
∑
(
∑
)
∑
( ∑
) ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Persamaan 3.15 tidak dapat diselesaikan secara analitik, oleh karena itu harus
diselesaikan secara numerik terhadap . Dalam hal ini, digunakan metode Newton
Raphson untuk memperoleh solusi numerik dari . Rumus iterasi untuk metode
Newton Raphson di definisikan sebagai
Misalkan
∑
∑
∑
Maka diperoleh
(∑
∑
∑
)
∑
∑
∑
∑
Berdasarkan rumus iterasi Newton Raphson, maka diperoleh
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Misalkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
∑
∑
∑
∑
Maka, rumus iterasi di atas dapat ditulis menjadi
Nilai awal yang digunakan pada pendugaan parameter distribusi Weibull
dengan dua parameter adalah bilangan Real tak negatif yang tidak sama dengan nol.
Dalam skripsi ini, penulis menggunakan nilai yang diperoleh dalam pendugaan
menggunakan Metode Kuadrat Terkecil sebagai nilai awal (Pobocikova, I., and
Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull
distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149).
Contoh 3.2
Berdasarkan data pada Contoh 3.1, carilah penduga dari parameter dengan menggu-
nakan Metode Kemungkinan Maksimum.
Jawab
Pendugaan parameter dari data pada Contoh 3.1 menggunakan program R. Berikut
ini adalah hasil pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Maksimum yang diperoleh dari program R pada lampiran A.7 dengan nilai awal
dan dan dengan 3 iterasi.
Maximum Likelihood estimation
Newton-Raphson maximisation, 3 iterations
Return code 1: gradient close to zero
Log-Likelihood: -23.45415
2 free parameters
Estimates:
Estimate Std. error t value Pr(> t)
[1,] 1.9228 0.2776 6.927 4.29e-12 ***
[2,] 1.1720 0.1173 9.988 < 2e-16 ***
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Penduga dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum adalah
dan , maka diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull
[ (
)
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
0.5 1.0 1.5 2.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
xi
fML
E
dist Weibul
data asli
Gambar 3.3 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan
(diproduksi dengan program R pada lampiran A.8)
Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean
Square Error) dalam membandingkan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode
Kuadrat Terkecil untuk menduga parameter distribusi Weibull (Lei,Y. (2008). Eva-
luation of The Three Methods For Estimating The Weibull Distribution Parameters of
Chinese pine. Journal of Forest Science. 54(12):566-571). Rata-Rata Kuadrat Galat
adalah ukuran keakuratan dari penduga dan didefinisikan sebagai
∑[ ]
(3.17)
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
( (
)
)
Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode
yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat paling minimum.
Berdasarkan pendugaan pada data Contoh 3.1 menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil, diperoleh dan , dan menggunakan Metode
Kemungkinan Maksimum diperoleh dan . MSE digunakan
untuk membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi data pada Contoh 3.1.
Berdasarkan persamaan 3.17, maka MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah
∑[ ]
MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah
∑[ ]
Perhitungan MSE dengan program R pada lampiran A.9.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (MSE), MSE yang paling
minimum adalah MSE dari Metode Kuadrat Terkecil. Maka metode yang terbaik
dalam menduga parameter distribusi Weibull dari data pada Contoh 3.1 adalah
Metode Kuadrat Terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
BAB IV
APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER
Pada BAB IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Weibull
dengan dua parameter pada kasus data kecepatan angin. Terdapat dua data yang
digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Weibull, yaitu data rata-rata
kecepatan angin per bulan di Enugu, Nigeria dan data rata-rata kecepatan angin di
Sumenep, Jawa timur. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu merupakan
data yang dikutip dari jurnal “Weibull Distribution Based On Model For Prediction
Of Wind Potential in Enugu, Nigeria”. Sedangkan data rata-rata kecepatan angin per
bulan di Sumenep dikutip dari jurnal “Permodelan Kecepatan Angin Rata-Rata di
Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS”.
A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least
Square Method) Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu
Tabel di bawah ini menyajikan data rata-rata kecepatan angin per bulan di
Enugu. Data yang dipakai adalah data rata rata kecepatan angin dalam periode 13
tahun (1995-2007) dengan jumlah sampel .
Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan ( ) (1995-2007)
Tahun Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agst Sep Okt Nov Des
1995 2.4 3.0 2.8 3.3 3.0 3.0 2.7 2.7 2.7 2.5 2.0 2.0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
1996 2.7 3.0 3.1 2.7 2.3 2.6 2.2 2.6 2.1 2.1 1.5 2.7
1997 3.2 2.6 2.3 2.1 1.9 2.0 2.5 3.2 2.3 2.1 2.5 2.6
1998 3.0 2.3 3.2 3.0 2.4 2.3 2.8 2.4 2.1 2.1 2.1 2.6
1999 2.7 1.7 3.1 2.6 2.2 2.4 2.6 2.7 2.3 1.9 2.2 3.2
2000 2.6 2.1 2.8 2.5 2.1 2.4 2.4 2.1 2.1 2.0 2.5 2.0
2001 2.1 2.6 2.9 2.8 2.8 2.5 2.6 2.5 2.4 2.2 2.5 1.8
2002 2.3 3.5 2.5 2.5 1.9 2.3 2.9 2.5 2.4 2.1 1.7 2.2
2003 3.2 2.6 2.8 3.1 2.6 2.3 2.8 2.5 2.5 2.1 1.7 2.4
2004 2.6 2.7 3.6 2.9 2.6 2.3 2.6 2.7 2.3 2.1 1.7 2.5
2005 2.5 3.0 2.9 3.3 2.5 2.4 2.7 2.7 2.5 2.0 1.9 2.8
2006 2.6 2.9 2.9 2.9 2.5 2.5 2.6 2.8 2.5 2.0 1.8 2.1
2007 3.2 2.8 3.0 3.0 2.5 2.5 2.4 2.5 2.3 1.8 1.8 2.7
1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter
adalah fungsi non linear, oleh karena itu dilakukan transformasi ke fungsi linear
dengan menggunakan transformasi logaritma.
Berdasarkan persamaan 3.2, transformasi logaritma dari distribusi
Weibull dengan dua parameter adalah
[ (
( ))]
Data kecepatan angin yang mengikuti distribusi Weibull akan ditransformasikan
dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh
dengan
rata-rata kecepatan angin
* (
( ))+, , ( )
,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
misalkan untuk
[ (
)]
Dengan langkah yang sama, maka di dapatkan dan sampai dengan
dan
2. Estimasi Parameter
Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 penduga dari dan adalah
∑ (
( )
) ∑ ∑ (
( )
)
∑ ( )
(∑
)
[
∑ (
( ))
∑
]
maka diperoleh
( )
( )
[
]
Penyelesaian dengan program R pada lampiran A.10.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xi
fLS
data asli
dist. Weibull
Jadi penduga dan adalah dan
Dengan demikian fungsi probabilitas dari distribusi Weibull adalah
( )
( ) [ (
)
]
Gambar 4.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan
dan (diproduksi dengan program R yang pada
lampiran A.11)
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum
Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu.
Prinsip dasar dari Metode kemungkinan Maksimum adalah menduga parame-
ter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.10,
fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
( ) (
)
∏ [ ∑(
)
]
Berdasarkan persamaan 3.16 dan persamaan 3.14 penduga dari diperoleh dengan
metode Newton Raphson dengan menggunakan rumus iterasi
dengan
∑
∑
∑
∑
( )
dan penduga dari adalah
(∑
)
Pendugaan parameter dari data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dengan
Metode Kemungkinan Maksimum dilakukan dengan menggunakan program R. Nilai
awal yang digunakan pada iterasi Newton Raphson adalah nilai dan yang
diperoleh dengan menduga data yang sama tetapi menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil, yaitu dan .
Berikut ini adalah hasil pendugaan parameter dari data kecepatan angin per bulan di
Enugu yang diperoleh dengan program R pada lampiran A.12.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Maximum Likelihood estimation
Newton-Raphson maximisation, 4 iterations
Return code 2: successive function values within tolerance limit
Log-Likelihood: -81.64383
2 free parameters
Estimates:
Estimate Std. error t value Pr(> t)
[1,] 6.79310 0.41311 16.44 <2e-16 ***
[2,] 2.67009 0.03338 79.98 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Maka diperoleh penduga dari dan adalah dan .
Jadi fungsi probablitas dari distribusi Weibull adalah
( )
[ (
)
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
xi
fMLE
data asli
dist. Weibull
Gambar 4.2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan
(diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.13)
C. Uji Distribusi Weibull
Pengujian ini dilakukan untuk meyakinkan bahwa model yang telah diduga
sungguh-sungguh berdistribusi Weibull. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di
Enugu akan diuji apakah berdistribusi Weibull atau tidak. Uji yang digunakan adalah
uji Kolmogorov Smirnov. Berikut ini adalah perhitungan dan langkah-langkah dalam
melakukan uji Kolmogorov Smirnov.
1. Data rata-rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan
dan
Data rata-rata kecepatan angin tidak berdistribusi Weibul
2. Tingkat signifikansi
Tingkat signifikansi yang digunakan adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
3. Statistik uji
( )
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
dengan
( )
( )
( ) ( )
4. Daerah keputusan
ditolak jika
5. Perhitungan
Proses perhitungan dilakukan dengan menggunakan Microsoft exel pada
lampiran B.1
Berdasarkan lampiran B.1, diperoleh
dan
Maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
6. Kesimpulan
Karena maka diterima. Data rata-rata
kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan dan
.
D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum
Pendugaan parameter pada data rata-rata kecepatan angin di Enugu dengan
Metode Kuadrat Terkecil diperoleh dan dan menggu-
nakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh dan .
Berdasarkan persamaan 3.17, MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah
∑[ ( ) ( )]
MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah
∑[ ( ) ( )]
Perhitungan MSE dengan program R dilampirkan pada lampiran A.14.
Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (MSE), MSE yang paling
minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum. Maka metode yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull pada data rata-rata kecepatan
angin di Enugu adalah Metode Kemungkinan Maksimum.
E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep
Tabel dibawah ini menyajikan data rata-rata kecepatan angin dalam dua
periode (2009-2010) dengan jumlah sampel di Sumenep. Data ini merupakan
data yang dikutip dari jurnal “Permodelan Kecepatan Angin Rata-rata di Sumenep
menggunakan Mixture of ANFIS” (Permai, S.D., et all. (2013). Permodelan Kecepa-
tan Angin Rata-Rata di Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS. Statistika.
1(2):48-58)
Tabel 4.2 Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Sumenep, Jawa Timur
Bulan Tahun
2009 2010
Jan 7.097 6.065
Feb 7.143 2.929
Mar 2.093 2.871
Apr 3.867 2.533
Mei 4.387 3.871
Jun 6.467 4.800
Jul 7.742 5.935
Ags 8.355 6.645
Sep 7.100 5.233
Okt 7.258 4.516
Nov 5.767 3.800
Des 3.613 5.452
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 penduga dari dan adalah
∑ (
( )
) ∑ ∑ (
( )
)
∑ ( )
(∑
)
[
∑ (
( ))
∑
]
Maka diperoleh
( ) ( )
( )
* ( )
+
(
)
Penyelesaian dengan program R pada lampiran A.15.
Penduga dari dan adalah dan , maka fungsi
probabilitas dari distribusi Weibull adalah
( )
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Gambar 4.3 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan
(diproduksi dengan program R pada lampiran A.16)
F. Pendugaan Paramater Distribui Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum
Menggunakan Data Kecepatan Angin di Sumenep
Berdasarkan persamaan 3.16 dan persamaan 3.14 penduga dari didapat-
kan dengan metode Newton Raphson dengan rumus iterasi
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
∑
∑
∑
∑
( )
dan penduga dari adalah
(∑
)
Metode Kemungkinan Maksimum menggunakan program R dalam menduga
parameter distribusi Weibull. Nilai awal yang digunakan pada iterasi Newton
Raphson adalah nilai dan yang diperoleh pada pendugaan parameter dengan
Metode Kuadrat Terkecil, yaitu dan Berikut ini adalah
pendugaan parameter dari data kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur
yang diperoleh dengan program R pada lampiran A.17.
Maximum Likelihood estimation
Newton-Raphson maximisation, 4 iterations
Return code 1: gradient close to zero
Log-Likelihood: -47.09017
2 free parameters
Estimates:
Estimate Std. error t value Pr(> t)
[1,] 3.3923 0.5596 6.062 1.34e-09 ***
[2,] 5.8419 0.3703 15.774 < 2e-16 ***
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
2 3 4 5 6 7 8
0.0
50
.10
0.1
50
.20
xi
fML
E
data asli
dist. Weibull
Diperoleh penduga dari dan adalah dan , maka fungsi
probabilitas dari distribusi Weibull adalah
( )
(
)
Gambar 4.4 Grafik fungsi probablitas distribusi Weibull dengan dan
(diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.18)
G. Uji Distribusi Weibull
Pengujian ini dilakukan untuk meyakinkan bahwa model yang telah diduga
sungguh-sungguh berdistribusi Weibull. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di
Sumepen, Jawa Timur akan diuji apakah berdistribusi Weibull atau tidak. Uji yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov. Berikut ini adalah perhitungan dan
langkah-langkah dalam melakukan uji Kolmogorov Smirnov.
1. Data rata-rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengsn
dan
Data rata-rata kecepatan angin tidak berdistribusi Weibull
2. Tingkat signifikansi
Tingkat signifikansi yang digunakan adalah
3. Statistik uji
( )
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
dengan
( )
( )
( ) ( )
4. Daerah keputusan
ditolak jika
5. Perhitungan
Proses perhitungan dilakukan dengan menggunakan Microsoft exel dilampir-
kan pada lampiran B.2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Berdasarkan lampiran B.2, diperoleh
dan
Maka
6. Kesimpulan
Karena maka diterima. Data rata-
rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan dan
.
H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Penduga Kemungkinan
Maksimum
Pendugaan parameter pada data rata-rata kecepatan angin di Sumenep, Jawa
Timur dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh dan
dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh dan
.
Berdasarkan persamaan 3.17, MSE dari metode kuadrat Terkecil adalah
∑[ ( ) ( )]
MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
∑[ ( ) ( )]
Perhitungan MSE dengan program R dilampirkan pada lampiran A.19.
Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat, MSE yang paling minimum
adalah MSE dari Metode Kuadrat Terkecil. Maka metode yang terbaik dalam
menduga parameter distribusi Weibull dari data kecepatan rata-rata angin di Sumenep
adalah Metode Kuadrat Terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama
seperti distribusi probabilitas kontinu lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean,
variansi dan momen yang diperoleh dengan menggunakan fungsi Gamma. Hal yang
paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode
yang digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter
adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan
Maksimum (Maximum Likelihood Method).
Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull dengan dua
parameter yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).
Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang
memaksimumkan fungsi likelihood .
Dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter
digunakan data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu, Nigeria dan data rata-
rata kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur.
Pendugaan parameter menggunakan data rata-rata kecepatan angin per bulan
di Enugu dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh dan
sedangkan pendugaan parameter dengan menggunakan Metode
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
Kemungkinan Maksimum diperoleh dan Pada data rata-
rata kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur pendugaan parameter dengan
dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh dan
sedangkan pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksi-
mum diperoleh dan .
Dalam membandingkan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi
Weibull dengan dua parameter digunakan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat
(Mean Square Error). Metode yang terbaik adalah metode yang memiliki Rata-Rata
Kuadrat Galat minimum. Metode terbaik dalam pendugaan menggunakan data rata-
rata kecepatan angin di Enugu adalah Metode Kemungkinan Maksimum. Sedangkan
pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Sumenep, metode terbaik adalah
Metode Kuadrat Terkecil.
B. Saran
Penulis menyarankan beberapa hal sebagai berikut
1. Menduga selang kepercayaan dari distribusi Weibull dengan dua parameter.
2. Membahas lebih lanjut tentang distribusi Weibull, misalnya distribusi Weibull
dengan tiga parameter.
3. Menggunakan metode lain dalam menduga parameter distribusi Weibull.
4. Membahas lebih lanjut tentang aplikasi distribusi Weibull.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
DAFTAR PUSTAKA
Bhattacharya, P. (2010). A Study On Weibull Distribution For Estimating The
Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 5(2):234:241
Castro, R. (2013). Goodness of Fit (GOF) Test. Lecture Note
Evans, D.L, et all. (2008). The Distribution of The Kolmogorov-Smirnov, Cramen-
Von Mises, and Anderson-Darling Test Statistics For Exponential Populations
With Estimated Parameters. Communications In Statistics-Simulation and
Computation 37:1396-1421
Gustavsson, S.M, et all. (2012). Linear Maximum Likelihood Regression Analysis
for Unstransformed Log-Normally Distributed Data. Open Journal of
Statistics 2:389-400
Lai, C.D. (2014). Generalized Weibull Distribution. Palmerston North: Springer
Larson, H.J. (1982). Introduction to Probability Theory and Statistical Inference,
Third Edition. New York: John Wiley and Sons, Inc
Lei,Y. (2008). Evaluation of The Three Methods For Estimating The Weibull
Distribution Parameters of Chinese pine. Journal of Forest Science.
54(12):566-571
Nwobi, F. N., and Ugomma, C.A. (2014). A Comparison of Method for the
Estimation of Weibull Distribution Parameter. Metodoski Zwezki. 11(1):65-78
Odo, F.C., et all. (2012). Weibull Distribution Based Model for Prediction of Wind
Potential In Enugu, Nigeria. Advanced in Applied Science Research.
3(2):1202-1208
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Permai, S.D., et all. (2013). Permodelan Kecepatan Angin Rata-Rata di Sumenep
menggunakan Mixture of ANFIS. Statistika. 1(2):48-58
Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For
Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical
Science. 8(83):4137-4149
Rinne, H. (2009). The Weibull Distribution. A Handbook. Boca Raton: CRC Press.
Steenbergen, M.R. (2012). A Primer of Maximum Likelihood Programming in R.
lecture Note
Van De Geer, S.A. (2005). Least Squares Estimation. Ensyclopedia of Statistic in
Behavioral Science 2: 1041-1045
Wackerly, D.D., et all. (2008). Mathematical Statistics with Application. Duxbury:
Thompson Brooks
Zhao, Y. (2014). Newton Raphson in R. Lecture Note
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
LAMPIRAN
Lampiran A.1: Program R untuk Gambar 2.1
> par(mar=c(3,3,1,1))
> x<-seq(0,2.5,length.out=1000)
>plot(x,dweibull(x,0.5),type="l",col="blue",xlab="x",ylab="f(x)",xlim=c(0,2.5),yli
m=c(0,2.5),xaxis="l",yaxis="l",title="distribusi Weibull")
There were 18 warnings (use warnings() to see them)
> lines(x,dweibull(x,1),type="l",col="red")
> lines(x,dweibull(x,1.5),type="l",col="magenta")
> lines(x,dweibull(x,5),type="l",col="green")
>legend("topright",c("α=0.5","α=1","α=1.5","α=5"),cex=0.8,col=c("blue","red","m
agenta","green"),pch=21:22,lty=1:2)
> title("grafik fungsi distribusi Weibull",xlab="x",ylab="f(x)")
Lampiran A.2: bentuk lain dari pembilang dan penyebut untuk rumus
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Lampiran A.3: Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R
> A<-read.csv(file.choose(),header=T)
> B<-lm(A$Y~A$X)
> B
Call:
lm(formula = A$Y ~ A$X)
Coefficients:
(Intercept) A$X
0.7198 0.9914
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
Lampiran A.4: Penyelesaian contoh 3.1 dengan program R
> data<-read.delim(file.choose(),header=T)
> x<-data[,1]
> X<-log(x)
> F<-data[,3]
> Y<-log(log(1/(1-F)))
> lm(Y~X)
Call:
lm(formula = Y ~ X)
Coefficients:
(Intercept) X
-0.2702 1.7162
> LSE<-lm(Y~X)
> lin.mod.coef <- coefficients(LSE)
> alpha<- lin.mod.coef[2]
> alpha
X
1.716205
> beta<-exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2])
> beta
(Intercept)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
1.170502
Lapiran A.5: Program untuk Gambar 3.1
> data<-read.delim(file.choose(),header=T)
> data
> xi<-data[,1]
>fLS=(1.716205394/(1.170502)^1.716205394)*xi^(0.716205)*exp(-
(xi/1.170502)^1.716205394)
> plot(xi,fLS,col="magenta",type="o")
> x<-seq(0,2.5,length.out=31)
>f=(1.716205394/(1.170502)^1.716205394)*x^(0.716205)*exp(-
(x/1.170502)^1.716205394)
> lines(x,f,type="l",col="blue")
>legend("topright",c("distWeibul","data
asli"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)
Lampiran A.6: Program untuk gambar 3.2
> data<-read.delim(file.choose(),header=T)
> Fn<-data[,4]
> F0<-data[,3]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
> xi<-data[,1]
> plot(xi,F0,type="l",col="blue")
> lines(xi,Fn,type="l",col="magenta")
>legend("topleft",c("grafik F0(xi)","grafik
Fn(xi)"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)
Lampiran A.7: Program R untuk menyelesaian contoh 3.2
>data=read.delim(file.choose())
> xi<-data[,2]
> n<-length(xi)
> lnl<-function(pars,xi){
+ alpha<-pars[1]
+ beta<-pars[2]
+ n*(log(alpha)-alpha*log(beta))+(alpha-1)*sum(log(xi))-sum((xi/beta)^alpha)}
> MLE<-maxLik(lnl,start=c(1.716205394,1.170502),method="NR",xi=xi)
> summary(MLE)
Lampiran A.8: Program untuk gambar 3.3
>data=read.delim(file.choose())
> xi=data[,1]
> fMLE=(1.9228/(1.1720)^1.9228)*xi^(1.9228-1)*exp(-(xi/1.1720)^1.9228)
> plot(xi,fMLE,col="magenta",type="o")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
> x<-seq(0,2.5,length.out=31)
> f1=(1.9228/(1.1720)^1.9228)*x^(1.9228-1)*exp(-(x/1.1720)^1.9228)
> lines(x,f1,type="l",col="blue")
>legend("topright",c("dist Weibul","data
asli"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)
Lampiran A.9: Perhitungan MSE contoh 3.2 dengan R
> data=read.delim(file.choose())
> xi=data[,1]
> i=data[,2]
> beta=1.170502
> alpha=1.716205
> Fxi=i/32
> A=(xi/beta)^alpha
> Fx_MKT=1-exp(-A)
> B=(Fx_MKT-Fxi)^2
> MSE_MKT=sum(B)
> MSE_MKT
[1] 0.05993449
> alpha1=1.9228
> beta1=1.172
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
> C=(xi/beta1)^alpha1
> Fx_MLE=1-exp(-C)
> D=(Fx_MLE-Fxi)^2
> MSE_MLE=sum(D)
> MSE_MLE
[1] 0.07762
Lampiran A.10: Program Metode Kuadrat Terkecil untuk data rata-rata kecepatan
angin per bulan di Enugu
> data=read.delim(file.choose())
> xi=data[,1]
> F<-data[,2]
> X=log(xi)
> Y<-log(log(1/(1-F)))
> LSE<-lm(Y~X)
> summary(LSE)
Call:
lm(formula = Y ~ X)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
-1.03335 -0.08430 0.01996 0.12681 0.41358
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -7.25190 0.09052 -80.11 <2e-16 ***
X 7.40359 0.09862 75.07 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.2014 on 154 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9734, Adjusted R-squared: 0.9732
F-statistic: 5635 on 1 and 154 DF, p-value: < 2.2e-16
> lin.mod.coef <- coefficients(LSE)
> alpha<- lin.mod.coef[2]
> alpha
X
7.403585
> beta
(Intercept)
2.663155
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
Lampiran A.11: program untuk Gambar 4.1
> data=read.delim(file.choose())
> xi=data[,1]
> fLS=(7.403585 /(2.663155 )^7.403585 )*xi^(6.403585 )*exp(-(xi/2.663155
)^7.403585 )
> plot(xi,fLS,col="magenta",type="o")
> x<-seq(0,3.5,length.out=156)
> f=(7.403585 /(2.663155 )^7.403585 )*x^(6.403585 )*exp(-(x/2.663155
)^7.403585 )
> lines(x,f,type="l",col="blue")
>legend("topright",c("data asli","dist.
Weibull"),cex=0.8,col=c("magenta","blue"),pch=21:22,lty=1:2)
Lampiran A.12: Program Metode Kemungkinan Maksimum untuk data rata-rata
kecepatan angin per bulan di Enugu
> data=read.delim(file.choose())
> library(maxLik)
> xi=data[,1]
> n<-length(xi)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
> lnl<-function(pars,xi){
+ alpha<-pars[1]
+ beta<-pars[2]
+ n*(log(alpha)-alpha*log(beta))+(alpha-1)*sum(log(xi))-sum((xi/beta)^alpha)}
> MLE<-maxLik(lnl,start=c(7.403585,2.663155),method="NR",xi=xi)
> summary(MLE)
Lampiran A.13: program untuk Grafik 4.2
> data=read.delim(file.choose())
> xi=data[,1]
>fMLE=(6.79310/(2.67009)^6.79310)*xi^(6.79310-1)*exp(-
(xi/2.67009)^6.79310)
> x<-seq(0,3.5,length.out=156)
> f=(6.79310/(2.67009)^6.79310)*x^(6.79310-1)*exp(-(x/2.67009)^6.79310)
> plot(xi,fMLE,col="green",type="o")
> lines(x,f,type="l",col="red")
> legend("topright",c("data asli ","dist.
Weibull"),cex=0.8,col=c("green","red"),pch=21:22,lty=1:2)
Lampiran A.14: Perhitungan MSE data rata-rata kecepatan angin di Enugu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
> data1=read.delim(file.choose())
> i=data1[,1]
> xi=data1[,2]
> Fxi=i/157
> beta=2.67009
> alpha=6.79310
> A=(xi/beta)^alpha
> F_MLE=1-exp(-A)
> B=(F_MLE-Fxi)^2
> MSE_MLE=sum(B)
> MSE_MLE
[1] 0.1897452
> alpha1=7.403585
> beta1=2.6631553
> C=(xi/beta1)^alpha1
> Fx_MKT=1-exp(-C)
> D=(Fx_MKT-Fxi)^2
> MSE_MKT=sum(D)
> MSE_MKT
[1] 0.1943771
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
Lampiran A.15: Program Metode Kuadrat Terkecil untuk data rata-rata kecepatan
angin per bulan di Sumenep
> data=read.delim(file.choose())
> xi=data[,1]
> F=data[,2]
> X=log(xi)
> Y<-log(log(1/(1-F)))
> LSE<-lm(Y~X)
> summary(LSE)
Call:
lm(formula = Y ~ X)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.21322 -0.09312 -0.03852 0.09720 0.26944
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -5.11543 0.12101 -42.27 <2e-16 ***
X 2.88400 0.07408 38.93 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
Residual standard error: 0.1357 on 22 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9857, Adjusted R-squared: 0.985
F-statistic: 1516 on 1 and 22 DF, p-value: < 2.2e-16
> lin.mod.coef <- coefficients(LSE)
> alpha<- lin.mod.coef[2]
> beta<-exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2])
> alpha
X
2.883996
> beta
(Intercept)
5.892787
Lampiran A.16: program untuk Gambar 4.3
>data=read.delim(file.choose())
>xi=data[,1]
> fLS=(2.883996 /(5.892787)^2.883996 )*xi^(2.883996-1)*exp(-(xi/5.892787
)^2.883996 )
> plot(xi,fLS,col="green",type="o")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
> x<-seq(2,8.5,length.out=24)
> f=(2.883996 /(5.892787)^2.883996 )*x^(2.883996-1)*exp(-(x/5.892787
)^2.883996 )
> lines(x,f,type="l",col="blue")
> legend("topright",c("data asli","dist.
Weibull"),cex=0.8,col=c("green","blue"),pch=21:22,lty=1:2)
Lampiran A.17: Program Metode Kemungkinan Maksimum untuk data rata-rata
kecepatan angin per bulan di Sumenep
> data=read.delim(file.choose())
> library(maxLik)
> xi=data[,1]
> n<-length(xi)
> lnl<-function(pars,xi){
+ alpha<-pars[1]
+ beta<-pars[2]
+ n*(log(alpha)-alpha*log(beta))+(alpha-1)*sum(log(xi))-sum((xi/beta)^alpha)}
> MLE<-maxLik(lnl,start=c(2.883996,5.892787),method="NR",xi=xi)
> summary(MLE)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
Lampiran A.18: program untuk Grafik 4.4
> fMLE=(3.3923/(5.8419)^3.3923)*xi^(3.3923-1)*exp(-(xi/5.8419)^3.3923)
> x<-seq(2,8.5,length.out=24)
> f=(3.3923/(5.8419)^3.3923)*x^(3.3923-1)*exp(-(x/5.8419)^3.3923)
> plot(xi,fMLE,col="orange",type="o")
> lines(x,f,type="l",col="magenta")
> legend("topright",c("data asli ","dist.
Weibull"),cex=0.8,col=c("orange","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)
Lampiran A.19: Perhitungan MSE untuk data kecepatan angin di Sumenep
> data=read.delim(file.choose())
> xi=data[,1]
> i=data[,2]
> Fxi=i/25
> alpha=2.883996
> beta=5.892787
> A=(xi/beta)^alpha
> Fx_MKT=1-exp(-A)
> B=(Fx_MKT-Fxi)^2
> MSE_MKT=sum(B)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
> MSE_MKT
[1] 0.0247503
> alpha1=3.3923
> beta1=5.8419
> C=(xi/beta1)^alpha1
> Fx_MLE=1-exp(-C)
> D=(Fx_MLE-Fxi)^2
> MSE_MLE=sum(D)
> MSE_MLE
[1] 0.06035996
Lampiran B1: Uji Kolmogorov-Smirnov pada data rata-rata kecepatan angin per
bulan di Enugu
1 1.5 0.014 0.014 0.006 0.000 -0.008 0.014
2 1.7 0.036 0.035 0.013 0.006 -0.023 0.029
3 1.7 0.036 0.035 0.019 0.013 -0.016 0.023
4 1.7 0.036 0.035 0.026 0.019 -0.010 0.016
5 1.7 0.036 0.035 0.032 0.026 -0.003 0.010
6 1.8 0.055 0.054 0.038 0.032 -0.015 0.021
7 1.8 0.055 0.054 0.045 0.038 -0.009 0.015
8 1.8 0.055 0.054 0.051 0.045 -0.002 0.009
9 1.8 0.055 0.054 0.058 0.051 0.004 0.002
10 1.9 0.082 0.079 0.064 0.058 -0.015 0.021
11 1.9 0.082 0.079 0.071 0.064 -0.008 0.015
12 1.9 0.082 0.079 0.077 0.071 -0.002 0.008
13 1.9 0.082 0.079 0.083 0.077 0.005 0.002
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
14 2 0.120 0.113 0.090 0.083 -0.023 0.030
15 2 0.120 0.113 0.096 0.090 -0.017 0.023
16 2 0.120 0.113 0.103 0.096 -0.011 0.017
17 2 0.120 0.113 0.109 0.103 -0.004 0.011
18 2 0.120 0.113 0.115 0.109 0.002 0.004
19 2 0.120 0.113 0.122 0.115 0.009 -0.002
20 2 0.120 0.113 0.128 0.122 0.015 -0.009
21 2.1 0.172 0.158 0.135 0.128 -0.024 0.030
22 2.1 0.172 0.158 0.141 0.135 -0.017 0.024
23 2.1 0.172 0.158 0.147 0.141 -0.011 0.017
24 2.1 0.172 0.158 0.154 0.147 -0.004 0.011
25 2.1 0.172 0.158 0.160 0.154 0.002 0.004
26 2.1 0.172 0.158 0.167 0.160 0.008 -0.002
27 2.1 0.172 0.158 0.173 0.167 0.015 -0.008
28 2.1 0.172 0.158 0.179 0.173 0.021 -0.015
29 2.1 0.172 0.158 0.186 0.179 0.028 -0.021
30 2.1 0.172 0.158 0.192 0.186 0.034 -0.028
31 2.1 0.172 0.158 0.199 0.192 0.041 -0.034
32 2.1 0.172 0.158 0.205 0.199 0.047 -0.041
33 2.1 0.172 0.158 0.212 0.205 0.053 -0.047
34 2.1 0.172 0.158 0.218 0.212 0.060 -0.053
35 2.1 0.172 0.158 0.224 0.218 0.066 -0.060
36 2.1 0.172 0.158 0.231 0.224 0.073 -0.066
37 2.2 0.243 0.216 0.237 0.231 0.021 -0.015
38 2.2 0.243 0.216 0.244 0.237 0.028 -0.021
39 2.2 0.243 0.216 0.250 0.244 0.034 -0.028
40 2.2 0.243 0.216 0.256 0.250 0.041 -0.034
41 2.2 0.243 0.216 0.263 0.256 0.047 -0.041
42 2.3 0.338 0.287 0.269 0.263 -0.017 0.024
43 2.3 0.338 0.287 0.276 0.269 -0.011 0.017
44 2.3 0.338 0.287 0.282 0.276 -0.005 0.011
45 2.3 0.338 0.287 0.288 0.282 0.002 0.005
46 2.3 0.338 0.287 0.295 0.288 0.008 -0.002
47 2.3 0.338 0.287 0.301 0.295 0.015 -0.008
48 2.3 0.338 0.287 0.308 0.301 0.021 -0.015
49 2.3 0.338 0.287 0.314 0.308 0.027 -0.021
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
50 2.3 0.338 0.287 0.321 0.314 0.034 -0.027
51 2.3 0.338 0.287 0.327 0.321 0.040 -0.034
52 2.3 0.338 0.287 0.333 0.327 0.047 -0.040
53 2.3 0.338 0.287 0.340 0.333 0.053 -0.047
54 2.4 0.463 0.371 0.346 0.340 -0.024 0.031
55 2.4 0.463 0.371 0.353 0.346 -0.018 0.024
56 2.4 0.463 0.371 0.359 0.353 -0.012 0.018
57 2.4 0.463 0.371 0.365 0.359 -0.005 0.012
58 2.4 0.463 0.371 0.372 0.365 0.001 0.005
59 2.4 0.463 0.371 0.378 0.372 0.008 -0.001
60 2.4 0.463 0.371 0.385 0.378 0.014 -0.008
61 2.4 0.463 0.371 0.391 0.385 0.020 -0.014
62 2.4 0.463 0.371 0.397 0.391 0.027 -0.020
63 2.4 0.463 0.371 0.404 0.397 0.033 -0.027
64 2.4 0.463 0.371 0.410 0.404 0.040 -0.033
65 2.5 0.626 0.465 0.417 0.410 -0.049 0.055
66 2.5 0.626 0.465 0.423 0.417 -0.042 0.049
67 2.5 0.626 0.465 0.429 0.423 -0.036 0.042
68 2.5 0.626 0.465 0.436 0.429 -0.029 0.036
69 2.5 0.626 0.465 0.442 0.436 -0.023 0.029
70 2.5 0.626 0.465 0.449 0.442 -0.017 0.023
71 2.5 0.626 0.465 0.455 0.449 -0.010 0.017
72 2.5 0.626 0.465 0.462 0.455 -0.004 0.010
73 2.5 0.626 0.465 0.468 0.462 0.003 0.004
74 2.5 0.626 0.465 0.474 0.468 0.009 -0.003
75 2.5 0.626 0.465 0.481 0.474 0.015 -0.009
76 2.5 0.626 0.465 0.487 0.481 0.022 -0.015
77 2.5 0.626 0.465 0.494 0.487 0.028 -0.022
78 2.5 0.626 0.465 0.500 0.494 0.035 -0.028
79 2.5 0.626 0.465 0.506 0.500 0.041 -0.035
80 2.5 0.626 0.465 0.513 0.506 0.047 -0.041
81 2.5 0.626 0.465 0.519 0.513 0.054 -0.047
82 2.5 0.626 0.465 0.526 0.519 0.060 -0.054
83 2.5 0.626 0.465 0.532 0.526 0.067 -0.060
84 2.5 0.626 0.465 0.538 0.532 0.073 -0.067
85 2.5 0.626 0.465 0.545 0.538 0.079 -0.073
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
86 2.5 0.626 0.465 0.551 0.545 0.086 -0.079
87 2.5 0.626 0.465 0.558 0.551 0.092 -0.086
88 2.6 0.837 0.567 0.564 0.558 -0.003 0.009
89 2.6 0.837 0.567 0.571 0.564 0.003 0.003
90 2.6 0.837 0.567 0.577 0.571 0.010 -0.003
91 2.6 0.837 0.567 0.583 0.577 0.016 -0.010
92 2.6 0.837 0.567 0.590 0.583 0.023 -0.016
93 2.6 0.837 0.567 0.596 0.590 0.029 -0.023
94 2.6 0.837 0.567 0.603 0.596 0.035 -0.029
95 2.6 0.837 0.567 0.609 0.603 0.042 -0.035
96 2.6 0.837 0.567 0.615 0.609 0.048 -0.042
97 2.6 0.837 0.567 0.622 0.615 0.055 -0.048
98 2.6 0.837 0.567 0.628 0.622 0.061 -0.055
99 2.6 0.837 0.567 0.635 0.628 0.068 -0.061
100 2.6 0.837 0.567 0.641 0.635 0.074 -0.068
101 2.6 0.837 0.567 0.647 0.641 0.080 -0.074
102 2.6 0.837 0.567 0.654 0.647 0.087 -0.080
103 2.6 0.837 0.567 0.660 0.654 0.093 -0.087
104 2.6 0.837 0.567 0.667 0.660 0.100 -0.093
105 2.7 1.107 0.669 0.673 0.667 0.004 0.003
106 2.7 1.107 0.669 0.679 0.673 0.010 -0.004
107 2.7 1.107 0.669 0.686 0.679 0.016 -0.010
108 2.7 1.107 0.669 0.692 0.686 0.023 -0.016
109 2.7 1.107 0.669 0.699 0.692 0.029 -0.023
110 2.7 1.107 0.669 0.705 0.699 0.036 -0.029
111 2.7 1.107 0.669 0.712 0.705 0.042 -0.036
112 2.7 1.107 0.669 0.718 0.712 0.048 -0.042
113 2.7 1.107 0.669 0.724 0.718 0.055 -0.048
114 2.7 1.107 0.669 0.731 0.724 0.061 -0.055
115 2.7 1.107 0.669 0.737 0.731 0.068 -0.061
116 2.7 1.107 0.669 0.744 0.737 0.074 -0.068
117 2.7 1.107 0.669 0.750 0.744 0.081 -0.074
118 2.8 1.449 0.765 0.756 0.750 -0.009 0.015
119 2.8 1.449 0.765 0.763 0.756 -0.002 0.009
120 2.8 1.449 0.765 0.769 0.763 0.004 0.002
121 2.8 1.449 0.765 0.776 0.769 0.010 -0.004
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
122 2.8 1.449 0.765 0.782 0.776 0.017 -0.010
123 2.8 1.449 0.765 0.788 0.782 0.023 -0.017
124 2.8 1.449 0.765 0.795 0.788 0.030 -0.023
125 2.8 1.449 0.765 0.801 0.795 0.036 -0.030
126 2.8 1.449 0.765 0.808 0.801 0.042 -0.036
127 2.8 1.449 0.765 0.814 0.808 0.049 -0.042
128 2.9 1.879 0.847 0.821 0.814 -0.027 0.033
129 2.9 1.879 0.847 0.827 0.821 -0.020 0.027
130 2.9 1.879 0.847 0.833 0.827 -0.014 0.020
131 2.9 1.879 0.847 0.840 0.833 -0.008 0.014
132 2.9 1.879 0.847 0.846 0.840 -0.001 0.008
133 2.9 1.879 0.847 0.853 0.846 0.005 0.001
134 2.9 1.879 0.847 0.859 0.853 0.012 -0.005
135 3 2.415 0.911 0.865 0.859 -0.045 0.052
136 3 2.415 0.911 0.872 0.865 -0.039 0.045
137 3 2.415 0.911 0.878 0.872 -0.032 0.039
138 3 2.415 0.911 0.885 0.878 -0.026 0.032
139 3 2.415 0.911 0.891 0.885 -0.020 0.026
140 3 2.415 0.911 0.897 0.891 -0.013 0.020
141 3 2.415 0.911 0.904 0.897 -0.007 0.013
142 3 2.415 0.911 0.910 0.904 0.000 0.007
143 3 2.415 0.911 0.917 0.910 0.006 0.000
144 3.1 3.079 0.954 0.923 0.917 -0.031 0.037
145 3.1 3.079 0.954 0.929 0.923 -0.024 0.031
146 3.1 3.079 0.954 0.936 0.929 -0.018 0.024
147 3.2 3.895 0.980 0.942 0.936 -0.037 0.044
148 3.2 3.895 0.980 0.949 0.942 -0.031 0.037
149 3.2 3.895 0.980 0.955 0.949 -0.025 0.031
150 3.2 3.895 0.980 0.962 0.955 -0.018 0.025
151 3.2 3.895 0.980 0.968 0.962 -0.012 0.018
152 3.2 3.895 0.980 0.974 0.968 -0.005 0.012
153 3.3 4.891 0.992 0.981 0.974 -0.012 0.018
154 3.3 4.891 0.992 0.987 0.981 -0.005 0.012
155 3.5 7.561 0.999 0.994 0.987 -0.006 0.012
156 3.6 9.315 1.000 1.000 0.994 0.000 0.006
Maksimum 0.100 0.055
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
Lampiran B.2: Uji Kolmogorov-Smirnov pada data kecepatan angin perbulan di
Sumenep
2.093 1 0.051 0.049 0.042 0.000 -0.008 0.049
2.533 2 0.088 0.084 0.083 0.042 -0.001 0.042
2.871 3 0.126 0.118 0.125 0.083 0.007 0.035
2.929 4 0.133 0.125 0.167 0.125 0.042 0.000
3.613 5 0.244 0.216 0.208 0.167 -0.008 0.050
3.8 6 0.282 0.246 0.250 0.208 0.004 0.038
3.867 7 0.297 0.257 0.292 0.250 0.035 0.007
3.871 8 0.298 0.257 0.333 0.292 0.076 -0.034
4.387 9 0.427 0.348 0.375 0.333 0.027 0.014
4.516 10 0.464 0.371 0.417 0.375 0.045 -0.004
4.8 11 0.553 0.425 0.458 0.417 0.033 0.008
5.233 12 0.710 0.508 0.500 0.458 -0.008 0.050
5.452 13 0.799 0.550 0.542 0.500 -0.009 0.050
5.767 14 0.940 0.609 0.583 0.542 -0.026 0.068
5.935 15 1.021 0.640 0.625 0.583 -0.015 0.056
6.065 16 1.087 0.663 0.667 0.625 0.004 0.038
6.467 17 1.308 0.730 0.708 0.667 -0.021 0.063
6.645 18 1.414 0.757 0.750 0.708 -0.007 0.049
7.097 19 1.710 0.819 0.792 0.750 -0.027 0.069
7.1 20 1.712 0.819 0.833 0.792 0.014 0.028
7.143 21 1.742 0.825 0.875 0.833 0.050 -0.009
7.258 22 1.824 0.839 0.917 0.875 0.078 -0.036
7.742 23 2.197 0.889 0.958 0.917 0.069 -0.028
8.355 24 2.737 0.935 1.000 0.958 0.065 -0.023
maksimum 0.078 0.069
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
top related