physique 3 vibrations linéaires et ondes mécaniques
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Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques
Leçon n° 9 :
Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté
Plan de la leçon : Oscillations libres d’un système non-amorti à
deux degrés de liberté
• Equations du mouvement• Equation caractéristique et solutions• Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de
vibration• Système de torsion à deux degrés de liberté• Termes de couplage et coordonnées principales
Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équations du mouvement
• Energies cinétique et potentielle et Lagrangien
• les équations de Lagrange s’écrivent :
Ce qui nous donnent les équations du mouvement.
2122232
2121
222
211
223
2212
211
222
211
xxkxkk2
1xkk
2
1xm
2
1xm
2
1VTL
xk2
1xxk
2
1xk
2
1V;xm
2
1xm
2
1T
0x
L
x
L
dt
d;0
x
L
x
L
dt
d
2211
Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique
• Les équations du mouvement sont :
• Supposons que m1 et m2 peuvent osciller avec la même pulsation et la même phase mais avec des amplitudes différentes :
• Une substitution dans les équations du mouvement donne :
0txktxkktxm
0txktxkktxm
1223222
2212111
tcosXtx
tcosXtx
22
11
0tcosXkkmXk
0tcosXkXkkm
2322
212
221212
1
Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite)
• Pour une solution non triviale de X1 et de X2, le déterminant suivant des coefficients de X1 et de X2 doit être égal à zéro :
• qui donne l’équation caractéristique :
0
kkmk
kkkmdet
322
22
2212
1
0kkkkkmkkmkkmm 223221
2132221
421
Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite)
• Les pulsations propres, fréquences naturelles ou valeurs caractéristiques du système s’écrivent :
• Ces solutions 1 et 2 montrent qu’il est possible que le système ait comme mouvement les équations de x1(t) et de x2(t) avec la même pulsation, la même phase mais avec des amplitudes différentes.
21
21
223221
2
21
132221
21
13222122
21
mm
kkkkk4
mm
mkkmkk
2
1
mm
mkkmkk
2
1,
Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite)
• Il y’aura deux groupes de valeurs (X1, X2), un correspondant à 1 que l’on notera
(X1(1), X2
(1)), et l’autre correspondant à 2 que l’on notera (X1(2), X2
(2)).
• Puisque les équations qui donnent X1 et X2 sont homogènes, nous ne pouvons
déterminer que les rapports :
32212
2
2
21211
11
12
1 kkm
k
k
kkm
X
Xr
21
22
211
12
1 X
Xret
X
Xr
32222
2
2
21221
21
12
2 kkm
k
k
kkm
X
Xr
Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite)
• Les vecteurs propres ou directions propres correspondant aux valeurs propres 1 et 2 peuvent s’écrire
• Ces vecteurs dénotent les modes normaux des vibrations.
1
11
11
12
111
Xr
X
X
XX
2
12
21
22
212
Xr
X
X
XX
Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration
• Le système aura deux modes de vibration que l’on écrira :
où les constantes X1(1), X1
(2), 1 et 2 sont déterminées par les conditions initiales.
modepremiertcosXr
tcosX
tx
txx
111
11
111
1
12
111
modedeuxièmetcosXr
tcosX
tx
txtx
222
12
222
1
22
212
Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite)
• Chaque équation du mouvement de chacune des masses demande deux conditions initiales. Le système peut être excité pour vibrer dans son ième mode (i=1,2) c’est à dire à la pulsation i , il suffit de prendre :
• Pour d’autres conditions initiales générales, les deux modes seront excités. Le mouvement résultant est obtenu en superposant les deux modes normaux :
00tx,Xr0tx
00tx,onstantecX0tx
2i
1i2
1i
11
txtxtx 21
Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite)
• Ce qui veut dire que le mouvement général s’écrit :
• Si les conditions initiales sont données par :
• Les constantes X1(1), X1
(2), 1 et 2 peut être trouvées en résolvant les quatre équations algébriques suivantes :
22
21211
111
22
122
222
1111
12
11
11
tcosXrtcosXrtxtxtx
tcosXtcosXtxtxtx
0x0tx,0x0tx
0x0tx,0x0tx
2222
1111
2
21221
111122
2121
1112
22
1211
11122
111
11
sinXrsinXr0x,cosXrcosXr0x
sinXsinX0x,cosXcosX0x
Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite)
• Il est plus facile de calculer d’abord les valeurs X1(1) cos 1, X1
(2) cos 2, X1(1)
sin1, X1(2) sin2 que l’on écrit
12
2112
21
12
2121
11 rr
0x0xrcosX,
rr
0x0xrcosX
122
2112
21
121
2121
11 rr
0x0xrsinX,
rr
0x0xrsinX
Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite)
• A partir desquels on obtient les solutions :
21
21
22122
21212
21
2
11
1
2
11
11
1
0x0xr0x0xr
rr
1
sinXcosXX
21
22
2112211
12
21
2
22
1
2
22
12
1
0x0xr0x0xr
rr
1
sinXcosXX
0x0xr
0x0xrarctg
cosX
sinXarctg
0x0xr
0x0xrarctg
cosX
sinXarctg
2112
211
22
1
22
12
2121
212
11
1
11
11
Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (1)
Solution :
• Si on mesure x1 et x2 des positions d’équilibre statique, les équations que nous venons de développer sont valables avec m1=m2=m, k1=k2=k3=k, on trouve les équations de mouvement suivantes :
0kx2kxxm
0kxkx2xm
212
211
Enoncé : Trouver les fréquences naturelles et les
modes de vibration du système masse-ressort de la figure qui est contraint de se déplacer dans la direction verticale. Prenez n=1
Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (2)
• On supposera une solution harmonique de la forme :
• En substituant dans les équations du mouvement, on obtient l’équation des fréquences :
0k3km4m
ou
0k2mk
kk2m
2242
2
2
2,1i,tcosXtx ii
Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (3)
• Les fréquences naturelles du système sont :
• Les rapports d’amplitude sont donnés par :
1k2m
k
k
k2m
X
Xr
1k2m
k
k
k2m
X
Xr
22
22
21
22
2
21
21
11
12
1
m
k3
m2
km12mk16km4
m
k
m2
km12mk16km4
2
21
2222
2
2
21
2222
1
Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (4)
• Les modes naturels de vibration sont donnés par :
22
1
22
12
11
1
11
1
1
tm
k3cosX
tm
k3cosX
txmode deuxième
tm
kcosX
tm
kcosX
txmodepremier
Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (5)
• Quand les masses vibrent dans le premier mode, les amplitudes des deux masses restent les mêmes, ce qui implique que la longueur du ressort du milieu reste la même et les deux masses sont en phase.
• Quand les masses vibrent dans le deuxième mode, leurs déplacements ont la même amplitude mais sont en opposition de phase. Dans ce cas, le centre du ressort central reste stationnaire quelque soit t. un tel point est appelé un nœud.
• En général, le mouvement du système s’écrit :
22
111
12
22
111
11
tm
k3cosXt
m
kcosXtx
tm
k3cosXt
m
kcosXtx
Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (6)
Les deux modes de vibrations
Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique
Enoncé : Trouver les conditions initiales que l’on doit appliquer au système précédent pour le faire vibrer dans son (a) premier mode, (b) deuxième mode :
• Nous avons vu que pour des conditions initiales arbitraires, le mouvement des masses est décrit : où nous avons trouvé que :
• Dans notre cas, r1=1 et r2=-1, les équations se réduisent à :
txtxtx 21
22
)2(1211
)1(11
)2(2
)1(22
22)2(
111)1(
1)2(
1)1(
11
tcosXrtcosXrtxtxtx
,ettcosXtcosXtxtxtx
2)2(
11)1(
12
2)2(
11)1(
11
tm
k3cosXt
m
kcosXtx
,ettm
k3cosXt
m
kcosXtx
Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique
• Les constantes X1(1), X1
(2), 1 et 2 d’intégration qui sont déterminées à partir des conditions initiales s’écrivent pour r1=1 et r2=-1 :
0x0xk3
0x0xmtg
0x0xk
0x0xmtg
0x0xk3
m0x0x
2
1X
0x0xk
m0x0x
2
1X
21
2112
21
2111
21
221
221
21
21
221
221
11
Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique (3)
(a) Le premier mode normal du système est donné par :
En comparant avec les équations du mouvement du système trouvées dans l’exercice précédent, on voit que cela est possible si X1
(2)=0. Ce qui donne d’après l’équation de X1
(2) en fonction des conditions initiales :
11
1
11
1
tm
kcosX
tm
kcosX
tx
0x0xet0x0x 2121
Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique (4)
(b) Le deuxième mode normal du système est donné par :
En comparant avec les équations du mouvement du système trouvées dans l’exercice précédent, on voit que cela est possible si X1
(1)=0. Ceci implique que :
22
1
22
1
2
tm
k3cosX
tm
k3cosX
tx
0x0xet0x0x 2121
Systèmes de torsion à deux degrés de liberté
Système de torsion composé de deux disques montés sur une barre. Les disques ont les moments d’inerties J1 et J2 et les degrés de liberté de rotation θ1 et θ2. Les trois segments de l’arbre ont les constantes de torsion kt1 , kt2, kt3
Systèmes de torsion à deux degrés de liberté(2)
• Les énergies cinétiques et potentielles s’écrivent :
• L’application de l’équation de Lagrange donne :
22t
212t
21t
222
211
321k
2
1k
2
1k
2
1V
J2
1J
2
1T
0kkkJ
0kkkJ
23t2t12t22
22t12t1t11
Exemple 3 : Fréquences naturelles d’un système de torsion
Enoncé : trouver les fréquences naturelles et les modes de vibration du système de torsion de la figure avec J1=J0, J2=2J0 et kt1=kt2=kt
Solution : Les équations du mouvement de réduisent à :
0kkJ2
0kk2J
2t1t20
2t1t10
Exemple 3 : Fréquences naturelles d’un système de torsion (suite)
• En substituant la solution harmonique :
• On trouve l’équation des fréquences, après des arrangements simples :
• la solution de l’équation donne les fréquences propres :
• Les rapports d’amplitude sont données par :
2,1i;tcosti
0kkJ5J2 2tt0
240
4
175J4
ket175
J4
k
0
t2
0
t1
4
1752ret
4
1752r
21
22
211
12
1
Termes de couplages et coordonnées principales
• Les équations différentielles d’un système à deux ou plusieurs degrés de liberté sont en général couplées. Dans le cas des équations que nous avons vu, la première contient un terme en x2, et la seconde un terme en x1. Ces termes sont appelés termes de couplage ou termes rectangles.• Le mouvement général du système a est donné précédemment dans des équations donnant x1(t) et x2(t) avec les constantes obtenues à partir des conditions initiales. Par exemple, nous avons vu que pour le système horizontale de trois ressorts et deux masses :
•Ces équations nous permettent d’écrire :
où
tqrtqrtx
tqtqtx
22112
211
222
12
111
11
tcosXtq
tcosXtq
22
)2(1211
)1(112
22)2(
111)1(
11
tcosXrtcosXrtx
tcosXtcosXtx
Termes de couplages et coordonnées principales (suite)
• Ces nouvelles coordonnées q1(t) et q2(t) sont des fonctions harmoniques qui satisfont donc les équations du mouvement suivantes :
• Ces équations représentent le même système à deux degrés de liberté mais sans les termes de couplage. Ces nouvelles coordonnées sont appelées les coordonnées principales du système. Les équations de x1(t) et x2(t) nous permettent d’écrire :
0qq
0qq
2222
1211
txtxrrr
1tq
txtxrrr
1tq
21112
2
21212
1
Termes de couplages et coordonnées principales (suite)
• Les équations différentielles du mouvement écrites sous forme matricielle montrent le type de couplage présent dans le choix des cordonnées. Un couplage existe si une ou plus des matrices masse, amortisseur et raideur possèdent un terme non diagonal.
• Le système vibre suivant sa nature sans relation avec les coordonnées utilisées.
• Il est toujours possible de choisir un système de coordonnées (q1(t), q2(t)) qui donne des équations de mouvement sans couplage.
0
0
x
x
kk
kk
x
x
x
x
mm
mm
2
1
2212
1211
2
1
2212
1211
2
1
2212
1211
Exemples 4 : Coordonnées principales d’un système masse ressort
Enoncé : déterminer les coordonnées principales du système de la figure qui comprend deux masses et trois ressorts.
Solution : le mouvement général du système est donné par :
où B1=X1(1), B2=X1
(2), 1 et 2 sont des constantes.
• On définit les nouvelles coordonnées q1(t) et q2(t) telles que
22112
22111
tm
k3cosBt
m
kcosBtx
tm
k3cosBt
m
kcosBtx
222
111
tm
k3cosBtq
tm
kcosBtq
Exemples 4 : Coordonnées principales d’un système masse ressort (suite)
• Puisque q1(t) et q2(t) sont des fonctions harmoniques, leurs équations du mouvement correspondantes s’écrivent :
• On peut écrire
qui donnent
0qm
k3q
0qm
kq
22
11
tqtqtx
tqtqtx
212
211
txtx2
1tq
txtx2
1tq
212
211
Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture
Enoncé : Déterminez les fréquences et les localisations des nœuds de vibration, des mouvements angulaire et linéaire d’une voiture avec les données suivantes :
Masse m=1000kg,
Rayon de giration r=0,9m,
Distance entre l’axe frontal et le centre de gravité ℓ1=1m,
Distance entre l’axe arrière et le centre de gravité ℓ2=1,5m,
Raideur des amortisseurs avant kf=18kN/m,
Raideur des amortisseurs arrières kr=22kN/m.
Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite)
Réponse : l’énergie cinétique, potentielle et le lagrangien s’écrivent :
L’équation de Lagrange
donne :
2
0
22r
21f
20
2
22r
21f
20
2
mrJoù
lxk2
1lxk
2
1J
2
1xm
2
1L
lxk2
1lxk
2
1V
,J2
1xm
2
1T
,xq,0q
L
q
L
dt
di
ii
0llxkllxkJ
0lxklxkxm
2221110
2211
Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite)
• Nous supposons une solution harmonique de la forme
On obtient :
en utilisant les données, on trouve :
tcost,tcosXtx
0
0X
lklkJlklk
lklkkkm222
211
202211
2211212
0
0X
6750081015000
150004000010002
2
Exemple 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite)
• On en déduit, l’équation des fréquences qui s’écrit :
• Les fréquences naturelles du système sont :
• Avec ces valeurs, le rapport des amplitudes est calculé à partir de l’équation
0247509991,8 24
s/rad4341,9,s/rad8593,5 21
3061,0X
,6461,2X
2
2
1
1
Exemple 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite)
• Les nœuds de vibration sont localisés aux points -2,646m pour 1 et 0,3061m pour 2. Les modes de vibration sont montrés en pointillés sur la figure :
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