pi 8 convolucao fourier
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Processamento de Imagem
Convoluo Filtragem no Domnio da Frequncia (Fourier)
Professora Sheila Cceres
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Lembrando Filtragem
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Correlao A correlao e a convoluo sos dois conceitos
relacionados a filtragem. Basicamente so a expresso formal da filtragem.
A correlao de um sinal unidimensional f com um filtro (ou mscara) w pode ser expressa como
Para o caso bidimensional (imagem e filtro possuem agora duas dimenses).
Seleciona-se um filtro com um nmero impar de elementos tal que o centro do filtro esteja localizado sobre o pixel sob considerao na imagem.
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Convoluo
similar a correlao com a diferena de que o filtro w deve sofrer uma reflexo (ou uma rotao de 180 graus) antes de ser aplicado imagem.
Por exemplo, o resultado da convoluo de uma imagem unidimensional com o filtro (2,7,8) exatamente o mesmo que a correlao com o filtro (8, 7, 2).
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Convoluo
A convoluo de um sinal unidimensional f com um filtro w pode ser expressa como
Na convoluo bidimensional, os pesos do filtro devem ser refletidos tanto na horizontal quanto na vertical
Deve-se notar que a correlao e a convoluo so idnticas quando o filtro simtrico
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Convoluo
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Correlao e Convoluo
Na operao de filtragem, deve;se calcular os pontos pertencentes borda de modo diferente dos demais, j que estes no dispem de todos os vizinhos.
Por questes de simetria, tipicamente so utilizadas janelas quadradas de n x n pixels em que n um nmero impar.
Por questes de eficincia computacional, normalmente so selecionados valores pequenos para n.
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Exerccio
Seja a imagem e o filtro de correlao mostrado a direita:
Calcule o resultado da correlao e convoluo para o pixel da regio em destaque
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FourierDominio da frequencia
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O matemtico francs Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em 1768.
Fourier lembrado pela teoria desenvolvida em 1807 e publicada em 1822 no livro, La Thorie Analitique de la Chaleur (A Teoria Analtica do Calor).
A contribuio de Fourier: qualquer funo peridica pode ser expressa como soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequncias, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente.
A Fig. 4.1 mostra uma funo composta pela soma de quatro funes.
BREVE HISTRIA DAS SRIES E TRANSFORMADAS DE FOURIER
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Essa funo a soma das quatro funes acima.
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Mesmo funes no peridicas, mas cuja rea sob a curva finita, podem ser expressas como integral de senos e /ou cossenos multiplicados por uma funo peso. A formulao neste caso a transformada de Fourier.
Ambas as representaes compartilham uma importante caracterstica de que podem ser reconstrudas completamente usando um processo inverso.
O advento dos computadores digitais e a formulao do algoritmo de transformada rpida de Fourier (FFT) no incio dos anos 1960 revolucionaram o campo de processamento de imagens e sinais.
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CONCEITOS PRELIMINARES Nmeros complexos: Um nmero complexo C definido como
C = R + jI onde R e I so nmeros reais e j um nmero imaginrio igual a raiz
quadrada de -1, ou seja, .
O conjugado de um nmero complexo C, denotado C*, definido como
C* = R jI As vezes representamos os nmeros complexos em coordenadas
polares C = |C| (cos + j sen ) onde
Usando a frmula de Euler
temos a representao familiar em coordenadas polares
jsene j += cos
1=j
22|| IRC +=
jeCC =
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Como anteriormente descrito, uma funo f(t) de uma varivel contnua t que peridica com perodo T, pode ser expressa como a soma de senos e cossenos multiplicados por coeficientes apropriados. Essa soma, chamada srie de Fourier, tem a forma
onde
so os coeficientes.
==2
2
2
,...2,1,0)(1T
T
tTnj
n nparadtetfTc
pi
=
=
n
tTnj
nectfpi2
)(
SRIE DE FOURIER
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Transformada de Fourier Unidimensional
A transformada de Fourier de uma funo continua unidimensional f(x) denotada por:
A partir de F(u) pode se obter f(x) a travs da transformada inversa
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Transformada de Fourier Bidimensional
A transformada de Fourier de uma funo bidimensional f(x,y) denotada por:
A partir de F(u,v) pode se obter f(x,y) a travs da transformada inversa
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Transformada de Fourier
Nos permite ter uma viso da imagem a ser analisada no domnio da frequncia, facilitando sobremaneira esta anlise e o seu processamento, normalmente, aplicando-se tcnicas de filtragem digital.
Na prtica, a utilizao de algoritmos para execuo rpida das transformadas de Fourier (FFT) juntamente com os teoremas de convoluo e da correlao permitem, de maneira simplificada, a implementao das tcnicas de filtragens para eliminao de rudos e interferncias das imagens (ou de uma maneira geral, sinais) em anlise.
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Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier (FT) decompe um sinal em suas componentes elementares seno e cosseno.
Quando a FT aplicada a uma imagem no domnio espacial gera uma informao no domnio da frequncia.
No h perda de informao durante a mudana de domnios, apenas a informao esta representada de outra forma no domnio da frequncia
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Exemplos
Funes bidimensionais (esquerda) e seus espectros de Fourier (direita)
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Frequencias altas e baixas
Lembrando Altas frequncias: Variaes abruptas na imagem.
Ex:detalhes de imagens, bordas, rudos. Quando aplicamos um filtro passa altas, as bordas,
detalhes e rudos so acentuados Baixas frequncias: Restante da imagem (que no
contem as variaes abruptas da imagem). Quando aplicamos um filtro passa baixas, obtemos
uma imagem menos ntida ou suavizada(perda de detalhes)
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Espectro de Fourier
No espectro de Fourier, a presena de componentes em regies prximas ao origem indica baixas frequncias
Consequentemente, informaes em regies afastadas da origem representam a presena de altas frequncias
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Process. de Imagem - Prof. Sheila Cceres 23A e b img sem ruido e seu espectro de Fourierc e d img com ruido (salt and pepper) e seu espectro de Fourier.
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Espectro de Fourier
Observando o espectro de Fourier das duas imagens fcil perceber a presena dos rudos representados pelas altas frequncias na imagem, ou seja, as informaes que esto mais afastadas da origem.
As baixas frequncias esto na origem do espectro Podemos realizar operaes no espectro de Fourier
para tratarmos as imagens.
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Processamento de Imagens no domnio da Frequncia1.a imagem transformada do domnio espacial para o
domnio da frequncia usando a transformada de Fourier;
2.operaes so realizadas nessa imagem (por exemplo convoluo com um operador linear);
3.para que a imagem possa ser exibida e vista por olhos humanas, ocorre o processo inverso, onde a imagem no domnio da frequncia transformada para o domnio espacial
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Filtragem no Domnio da Frequncia A base matemtica das tcnicas de filtragem no
domnio de frequncia o teorema da convoluo. Seja g(x,y) a imagem formada pela convoluo (*) da
imagem f(x,y) com um operador linear h(x,y)
No domnio da frequncia, a relao a seguir satisfeita pelo teorema da convoluo,
ONDE G , F e H so os resultados obtidos pela aplicao da transformada de Fourier nas imagens g, f e h, respectivamente.
Na terminologia de sistemas lineares, a transformada H(u, v ) denominada funo de transferncia do filtro.
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Filtragem no Domnio da Frequncia
O problema consistem em definir uma funo H(u,v) que conduza obteno da imagem desejada G(u,v)
A transformada inversa, F1 {G (u, v)}, define a imagem filtrada no domnio espacial g(x, y ).
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Filtros
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Filtro Passa Baixas
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Filtro Passa-Baixas Deixa passar as baixas frequncias e reduze os componentes
de alta frequncia. Quando aplicamos um filtro passa baixas, obtemos uma
imagem menos ntida ou suavizada (perda de detalhes) Um filtro passa-baixa ideal pode ser representado por:
Esse filtro ideal pois todas as frequncias dentro do crculo de raio D
0 so passadas sem atenuao e todas as
frequncias fora do crculo so retidas completamente. O ponto de transio entre dentro do circulo e fora do circulo
chamado de frequncia de corte.
Onde:D
0 define a frequencia de corte medida desde a origem
D(u,v) a distncia do ponto (u,v) at a origem:
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Filtro Passa-Baixas
Os filtros considerados aqui so radialmente simtricos com respeito origem.
A especificao de filtros radialmente centrados baseada na hiptese de que a origem da transformada de Fourier est centrada.
O grfico em perspectiva e a seo transversal de um filtro passa-baixa so:
s
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Filtro Passa-Baixas O filtro passa-baixa de Butterworth de ordem n
dado pela funo de transferncia
Essa funo define um filtro que no apresenta transio abrupta na frequencia de corte como ocorre com o filtro passa baixa ideal
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Filtro Passa-Altas Deixa passar as altas frequncias (transies abruptas). Quando aplicamos um filtro passa altas, os componentes de
alta frequncia da transformada de Fourier no so alterados, enquanto os de baixa frequncia so removidos. Isto faz com que os detalhes finos (bordas, rudos, etc) da imagem sejam enfatizados.
Operao contrria filtragem passa baixas. Um filtro passa-alta ideal pode ser representado por:
Onde:D
0 define a frequncia de corte medida desde a origem
D(u,v) a distncia do ponto (u,v) at a origem:
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Filtro Passa Altas
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Filtro Passa-Altas O filtro passa-baixa de Butterworth de ordem n
dado pela funo de transferncia
Essa funo define um filtro que no apresenta transio abrupta na frequncia de corte como ocorre com o filtro passa baixa ideal
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Filtro Passa-Faixa
Um filtro passa-faixa permite a passagem das frequncias localizadas em uma faixa ou banda especfica, enquanto atenua ou completamente suprime todas as outras frequncias.
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O filtro passa-faixa de Butterworth de ordem n representado pela figura a seguir:
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Bibliografia PEDRINI, H. e SCHWARTZ, W. R., "Anlise de
Imagens Digitais", So Paulo, Thomson, 2008, 508p e slides.
FALCO, A. (http://www.ic.unicamp.br/~afalcao/mo443/)
Wilhelm BURGER e Mark James BURGE. Digital Image Processing, An Algorithmic Introduction using Java.
GONZALEZ e WOODS. Processamento de Imagens Digitais, Segunda edio.Vrias imagens foram extradas do material mencionado acima com fines didticos.
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