planification et analyse d’expériences numériques,...
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Laboratoire national de métrologie et d’essais
STROH Rémi(a,b)
BECT Julien(a)
VAZQUEZ Emmanuel(a)
DEMEYER Séverine(b)
FISCHER Nicolas(b)
MARQUIS Damien(b)
(a) Laboratoire des Signaux et Systèmes (L2S)
(b) Laboratoire National de métrologie et d’Essais
(LNE)
Planification et analyse d’expériences numériques,
appliquées à la sécurité incendie
Contexte
• Objectif de la thèse : développer une méthodologie, pour
évaluer la conformité d’une sortie d’un code complexe +
incertitude associée;
• Exemple : étude de sécurité incendie, avec utilisation de
codes CFD (FDS, OpenFOAM, …) ;
• Ici : évaluer la conformité d’un bâtiment, et en particulier
son système de désenfumage.
29 janvier 2016 2 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Cas d’étude
• Expérience sur un bâtiment du LNE :
• Structure réelle;
• 2 portes ouvertes, 2 exutoires naturels;
• Capteurs hors du panache de fumée;
• 8 paramètres physiques variables : • Conditions climatiques:
• 𝑇𝑒𝑥𝑡 : température extérieure;
• 𝑃𝑎𝑡𝑚 : pression atmosphérique;
• 𝑇𝑎𝑚𝑏 : température ambiante;
• Paramètres du feu :
• 𝛼 : accélération au démarrage;
• 𝐴𝑓 : surface du feu;
• 𝑄 ′′: chaleur surfacique dégagée maximale;
• 𝑞𝑓𝑑 : énergie surfacique dégagée totale;
• 𝑌𝑠𝑜𝑜𝑡 : taux de production de fumée.
29 janvier 2016 3 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
𝐴𝑓
𝐴𝑓𝑚𝑎𝑥
𝑇𝑒𝑥𝑡 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑇𝑎𝑚𝑏
𝛼, 𝑄 ′′, 𝐴𝑓
Grandeurs de sortie étudiées : enjeux
• Problématique :
• conditions aux entrées qui rendent le système de désenfumage inefficace?
• Durant cette présentation, seul sera montré l’impact de la
puissance, 𝑄 ′′, sur la température des gaz, 𝑇𝐶.
29 janvier 2016 4 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Nom Signification
HF (kW/m²) Flux radiatif des fumées
Conformité : HF < 2.5 kW/m²
TC (°C) Température des gaz
Conformité : TC < 60 °C
VI (m) Visibilité
Conformité : VI > 5 m
Méthode de calcul : 1) Résultats de FDS
• Evolution temporelle de la température des gaz en
chaque point :
• Récupération de résultats 𝑇𝐶 𝑡; 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 1≤𝑘≤𝑛𝑐,
𝑛𝑐, nombre de capteurs; 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , leurs positions.
• Estimation de la conformité ?
29 janvier 2016 5 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
1
Méthode de calcul : 2) Moyenne spatiale
• Une méthode possible (utilisée par le LNE) :
• 𝑇𝐶(𝑡) = 1
𝑛𝑐 𝑇𝐶 𝑡; 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘𝑛𝑐𝑘=1 ;
• Moyenne spatiale (hors panache).
29 janvier 2016 6 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
1 2 Moyenne
Méthode de calcul : 3) Maximum temporel
• On a choisi de prendre le maximum sur toute la simulation
:
• Résultat : 𝑇𝐶 = max𝑡
𝑇𝐶(𝑡) ;
• Pour ces entrées, le système de désenfumage est non
conforme : 𝑇𝐶 = 82.8 °𝐶 > 𝑆𝑒𝑢𝑖𝑙 = 60 °𝐶.
29 janvier 2016 7 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
1 2 Moyenne
3
Résultat
Plan
29 janvier 2016 8 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Utilisation d’une
caractéristique de FDS
Autre méthode
d’estimation de la
probabilité
2 3
Combinaison des deux
méthodes
4
Evaluation de la
conformité:
Probabilité de
défaillance
1
Point de vue du statisticien
Loi des entrées Loi de la sortie
29 janvier 2016 9 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
𝑋 = (𝑋1, 𝑋2, …, 𝑋8)
= (𝑇𝑒𝑥𝑡, …, 𝑄 ′′)
𝑌 = 𝑓 𝑋 = 𝑇𝐶
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎 𝑌 > 𝑆𝑒𝑢𝑖𝑙
Température en fonction de la puissance du feu
• Exemple: 𝑇𝐶 = 𝑓 𝑄 ′′ .
• 1 point = 1 simulation.
• Sur le graphique, 120 simulations (maille de 20 cm).
29 janvier 2016 10 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Seuil
Evaluation de la conformité
• Pour une simulation donnée :
• conformité = en-dessous du seuil;
• défaillance = au-dessus du seuil.
Conformité d’une étude = proportion de cas conformes.
29 janvier 2016 11 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Simulations
conformes
Simulations
défaillantes
25% 75%
Zone d’incertitude
Seuil
Probabilité de dépassement de seuil
• Conformité = proportion de simulations conformes
= probabilité d’être en-dessous du seuil.
• Tous les feux ne sont pas équiprobables : certains feux
sont plus fréquents que d’autres loi de probabilité.
29 janvier 2016 12 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
18% 82% 25 % 75%
Méthode de Monte-Carlo
• Estimation de probabilité : méthode de Monte-Carlo;
• Choix aléatoire des feux (taille, puissance, cinétique, …), et des conditions
environnementales (températures, pression, …) selon leurs probabilités
d’occurrence proportion de cas conformes :
𝒑 =𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆𝒔
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔=𝒎
𝒏 ± 𝝈
avec 𝜎 = 𝑝⋅(1 −𝑝)
𝑛
𝜎
𝑝=
(1 −𝑝)
𝑛⋅𝑝 𝒏 =
𝟏−𝒑
𝒑⋅𝝈
𝒑
𝟐 ;
Pour estimer une probabilité de 𝑝 ≈ 20%, avec une précision relative de 𝜎
𝑝≈ 10%, il faut 𝑛 ≈ 400 simulations.
La méthode de Monte-Carlo n’est pas adaptée à FDS.
2 alternatives.
29 janvier 2016 13 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Plan
29 janvier 2016 14 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Utilisation d’une
caractéristique de FDS :
Approche multi-
fidélité
Autre méthode
d’estimation de la
probabilité
2 3
Combinaison des deux
méthodes
4
Evaluation de la
conformité:
Probabilité de
défaillance
1
Approche multi-fidélité
• FDS a un paramètre de maille dans ses entrées 𝑡𝑥𝑦𝑧;
• Plus on détériore la résolution (𝑡𝑥𝑦𝑧 grand), plus on réduit
le temps de calcul;
• Compromis fiabilité-calcul:
• Utiliser des simulations rapides, pour prévoir des simulations précises.
29 janvier 2016 15 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Taille de maille 100 cm 50 cm 25 cm 20 cm 12.5 cm 10 cm
Temps de calcul 5 min. 1 heure 1 jour 2 jours 2 sem. 1 mois
Méthodologie de l’approche multi-fidélité
1. Calcul des simulations :
• 120 simulations à 100 cm;
• 8 simulations à 20 cm.
• Courbes de la température en
fonction du terme source, en haute
et basse fidélité.
29 janvier 2016 16 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Méthodologie de l’approche multi-fidélité
1. Calcul des simulations;
2. Analyse de la relation entre
haute fidélité et basse fidélité.
29 janvier 2016 17 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Méthodologie de l’approche multi-fidélité
1. Calcul des simulations;
2. Analyse de la relation entre
haute fidélité et basse fidélité;
3. Estimation de la relation.
29 janvier 2016 18 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Méthodologie de l’approche multi-fidélité
1. Calcul des simulations;
2. Analyse de la relation entre
haute fidélité et basse fidélité;
3. Estimation de la relation;
4. Application de la relation.
𝑃𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒 𝐹𝑖𝑑é𝑙𝑖𝑡é
= 𝑓 𝐵𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑓𝑖𝑑𝑒𝑙𝑖𝑡é .
29 janvier 2016 19 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Bilan de la méthodologie
• Méthode rapide :
• Résolution spatiale moindre plus rapide;
• Questions :
• Pertinence des résultats ? Validité de la relation ?
• Comment faire le calcul d’incertitude ?
• Que faire si la relation est plus complexe? Si il y a plus que 2 niveaux ?
• Peut-on voir apparaître un effet avec la taille de maille ? Comment le
traiter ? Peut-on alors extrapoler ?
29 janvier 2016 20 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Plan
29 janvier 2016 21 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Utilisation d’une
caractéristique de FDS :
Approche multi-
fidélité
Autre méthode
d’estimation de la
probabilité:
krigeage
2 3
Combinaison des deux
méthodes
4
Evaluation de la
conformité:
Probabilité de
défaillance
1
Présentation du krigeage
• Méthode de Monte-Carlo directe inutilisable
changement de méthode pour calculer la probabilité
krigeage;
• Krigeage = méthode statistique d’estimation et prédiction
de la sortie
𝑓 𝑥 , Δ𝑓 𝑥 = 𝑘𝑟𝑖𝑔𝑒𝑎𝑔𝑒 𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖 1≤𝑖≤𝑛𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠;
Prédiction Incertitude Résultats
par krigeage associée du simulateur
• Procède par moyenne pondérée des résultats.
29 janvier 2016 22 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Krigeage sur le haut niveau de fidélité
1. 8 simulations à haut niveau de fidélité (20 cm);
2. Définitions et calibration d’un modèle de krigeage;
3. Prédiction et incertitudes;
• Comparaison avec 120 simulations hautes fidélités.
29 janvier 2016 23 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Zone d’incertitude
Avantages et inconvénients du krigeage
• Intérêts :
• avec peu de simulations, on obtient une prédiction et une incertitude;
application du Monte-Carlo sur cette prédiction;
probabilité avec incertitude;
• ne nécessite pas la connaissance des modèles du code de calcul;
• fonctionne même sur des cas non-linéaires, plus complexe.
• Limitations :
• dans le cas de FDS, reste trop coûteux en nombre de simulations, donc en
temps;
• nécessite des connaissances en statistiques (notions « d’incertitudes »,…);
• implique un développement informatique (Matlab, …).
• Référence : C. E. Rasmussen. Gaussian processes for machine learning. MIT Press, 2006.
29 janvier 2016 24 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Plan
29 janvier 2016 25 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Utilisation d’une
caractéristique de FDS :
Approche multi-
fidélité
Autre méthode
d’estimation de la
probabilité:
krigeage
2 3
Combinaison des deux
méthodes :
co-krigeage
4
Ma thèse
Evaluation de la
conformité:
Probabilité de
défaillance
1
Comparaison krigeage/co-krigeage
• Une exemple simple d’estimation de relation entre haute
fidélité et basse fidélité :
Krigeage Co-krigeage
• Meilleure estimation de l’incertitude.
29 janvier 2016 26 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Origines des incertitudes
• Des incertitudes apparaissent lors de l’estimation d’une
probabilité de défaillance, qui peuvent provenir :
• de la loi des entrées;
• du bruit de FDS;
• de l’estimation de la valeur du bruit;
• de la calibration du modèle statistique (co-krigeage);
• de l’utilisation du modèle statistique;
• de la méthode d’estimation de la probabilité (Monte-Carlo, …).
• Si une comparaison entre les résultats et des données
expérimentales est faite, des incertitudes s’ajoutent :
• liées à la validité des modèles utilisés;
• liées aux choix d’utilisateur;
• liées au bruit de l’expérience.
29 janvier 2016 27 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Notions de plan d’expériences
• Importance du choix des simulations
Points Pas de points
dans la zone de défaillance dans la zone de défaillance
29 janvier 2016 28 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Importance du plan d’expériences
• Une bonne estimation un bon choix des simulations à
faire.
• Beaucoup de résultats n’implique pas forcément une bonne estimation.
• Problème du choix des points.
• Ici: recherche une probabilité de dépassement de seuil
recherche de points proche du seuil.
• Multi-fidélité Choix du niveaux de fidélité des
simulations:
• Points rapides, mais peu fidèle (100 cm)
• Points lents, mais précis (20 cm/10 cm)
29 janvier 2016 29 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Compromis à faire.
Conclusion
• Développement d’une méthodologie pour évaluer la
conformité d’une sortie d’un code complexe.
• Sortie = choix d’une valeur résumé d’une simulation.
• La validité de cette valeur n’est pas justifiée dans cette présentation
• Conformité = probabilité que la sortie dépasse son seuil
règlementaire + incertitude associée.
• Simulations coûteuses développement d’un modèle
statistique: co-krigeage (krigeage à plusieurs niveaux).
• Fonctionne avec des relations non-linéaires; en plus
grande dimension, et avec plus de niveaux.
29 janvier 2016 30 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Perspectives
• Perspectives de la thèse :
• Calcul de probabilité de défaillance et son incertitude associée;
• Planification = construction d’une méthode pour choisir automatiquement
la meilleure simulation à lancer;
• Développement informatique : intégration sur le package Small
(Octave/Matlab) Toolbox for Kriging (STK);
• Autres pistes étudiées :
• Question de l’aléa de FDS;
• Calcul en parallèle;
• Combinaison de plusieurs sorties de FDS.
29 janvier 2016 31 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Avez-vous des questions?
Merci de votre attention.
29 janvier 2016 32 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Annexe : le co-krigeage
1. Faire des simulations aux niveaux basses et hautes fidélités;
2. Définir une relation entre les niveaux;
3. En déduire un modèle de co-krigeage;
4. Calibrer le modèle de co-krigeage;
5. Prédire le niveau haute fidélité et son incertitude;
• Les niveaux sont estimés simultanément, mais seul le niveau haute
fidélité est retenu.
29 janvier 2016 33 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Multi-fidélité
Krigeage
Le krigeage : introduction
• Prenons un exemple avant de commencer :
• Soit un simulateur/code/fonction, 𝑦 = 𝑓(𝑥).
• Cette fonction est inconnue, mais, par des « connaissances extérieures »,
le nombre de possibilité est limité :
il y a 50% de chance d’avoir 𝑓𝑎 𝑥 ,
30% de chance d’avoir 𝑓𝑏 𝑥 ,
et 20% de chance d’avoir 𝑓𝑐 𝑥 .
• Notons que les possibilités
ne sont pas toutes égales.
• Définition : l’ensemble
𝑓𝑎 𝑥 ; 𝑃𝑎 , 𝑓𝑏 𝑥 ; 𝑃𝑏 , 𝑓𝑐 𝑥 ; 𝑃𝑐 s’appelle un processus aléatoire.
29 janvier 2016 34 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
𝑃𝑎 = 50%
𝑃𝑐 = 20%
𝑃𝑏 = 30%
Le krigeage : fonctions moyenne et écart-type
• De ces courbes, une fonction moyenne peut être calculée
𝑓𝑚 𝑥 = 𝑃𝑎 ⋅ 𝑓𝑎 𝑥 + 𝑃𝑏 ⋅ 𝑓𝑏 𝑥 + 𝑃𝑐 ⋅ 𝑓𝑐 𝑥 ,
ainsi qu’une fonction écart-type
𝑣 𝑥 = 𝑃𝑎 ⋅ 𝑓𝑎 𝑥 − 𝑓𝑚 𝑥 2
+ 𝑃𝑏 ⋅ 𝑓𝑏 𝑥 − 𝑓𝑚 𝑥 2
+ 𝑃𝑐 ⋅ 𝑓𝑐 𝑥 − 𝑓𝑚 𝑥 2
,
𝜎 𝑥 = 𝑣 𝑥 .
• Sur le graphique
en noir continue, 𝑓𝑚;
en noir pointillé, 𝑓𝑚 ± 2𝜎.
29 janvier 2016 35 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Le krigeage : « observations »
• Supposons que, en plus de savoir que cela ne peut-être
qu’une de ces 3 fonctions, une « observation » de notre
fonction a été effectuée : 𝑥1, 𝑦1 .
• On sait désormais, que
𝑓 𝑥1 = 𝑦1.
• Comme la courbe rouge
ne passe pas par ce point,
notre fonction ne peut pas
être la courbe rouge
on peut donc la supprimer
de la liste des courbes
possibles.
29 janvier 2016 36 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
𝑥1
𝑦1
Le krigeage : probabilités sachant observations
• Les probabilités se redéfinissent:
𝑃𝑎| 𝑥1, 𝑦1 = 0% (il est impossible que cela puisse être la
courbe rouge) ;
𝑃𝑏 (𝑥1, 𝑦1 =𝑃𝑏
𝑃𝑏+𝑃𝑐= 60% ;
𝑃𝑐| 𝑥1, 𝑦1 =𝑃𝑐
𝑃𝑏+𝑃𝑐= 40%.
• 𝑃𝑎| 𝑥1, 𝑦1 : probabilité que ce soit
la fonction 𝑎,
sachant l’observation 𝑥1, 𝑦1 .
• Les fonctions
moyenne et écart-type
se recalculent avec ces nouvelles probabilités.
29 janvier 2016 37 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
𝑃𝑐 = 40%
𝑃𝑏 = 60%
Le krigeage : fin de l’exemple
• Il y a une évolution de la fonction moyenne et de la fonction écart-type.
Avant Après
• Le krigeage repose exactement sur ce principe, sauf que la liste des
fonctions possibles sera infinie :
Modélisation par processus aléatoire gaussien.
29 janvier 2016 38 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Le krigeage : principe
• Utiliser le krigeage repose sur l’algorithme suivant:
1. Construire un modèle de krigeage Faire une modélisation par
processus gaussien définir la liste (infinie) des fonctions possibles,
ainsi que leurs probabilités associées.
2. Faire des observations 𝑦𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 .
3. Appliquer directement les formules du krigeage pour recalculer les
nouvelles probabilités.
29 janvier 2016 39 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Ensemble des fonctions
définies par le modèle
de krigeage
Ensemble des fonctions
passant par les points
𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 1≤𝑖≤𝑛𝑜𝑏𝑠
3. Ensemble des fonctions
possibles restantes/
Résultat du krigeage/A posteriori
1. Hypothèses/
Modélisation/A priori
2. Observations/
Vraisemblance
Le krigeage : exemple
• 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 2 2 ⋅ sin 12𝑥 − 4 + 10, sur 0; 1 .
• Modélisation: (définition du processus gaussien)
• Choix d’une covariance de Matérn de régularité 𝜈 = 5/2;
• Moyenne constante;
• Observations : 6 points sur l’intervalle [0; 1].
L’application de la
formule du krigeage donne
la prédiction en rouge,
et l’incertitude en gris.
(Figure générée sous Matlab
à l’aide de Small Toolbox
for Kriging (S.T.K.)).
29 janvier 2016 40 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
Le krigeage : exemple avec bruit
• 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 2 2 ⋅ sin 12𝑥 − 4 + 10, sur 0; 1 , avec un
bruit d’écart-type 𝑠 = 3.
• Modélisation : (définition du processus gaussien)
• Choix d’une covariance de Matérn de régularité 𝜈 = 5/2;
• Moyenne constante;
• Bruit supposé identique non nul
sur la totalité de l’intervalle.
• Observations : 20 points sur
l’intervalle 0; 1 .
On constate que la prédiction
tient compte de la présence
du bruit et ne passe plus
forcément par les observations.
29 janvier 2016 41 Planification d’expériences numériques - G.D.R. Feux
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