poglavlje 4

Poglavlje 4

Korisnost

Preferencije - podsetnikx y: x je striktno preferirano u odnosu na y.

x y: x i y su podjednako preferirani.

x y: x je preferirano najmanje toliko koliko je preferirano y.

~

Potpunost: Za bilo koje dve korpe dobara x i y ovek je moguće reći da je y x

ili

x y

~

~

Refleksivnost: Za svaku korpu x uvek važi da je u najmanju ruku preferirana koliko i ona sama; tj.

x x.~

Tranzitivnost: Ukoliko je

x slabo preferirano u odnosu na y, iy slabo preferirano u odnosu na z, tada je

x slabo preferirano u odnosu na z; tj.

x y i y z x z.~ ~ ~

Funkcije korisnosti

Relacije preferencija koje su kompletne, refleksivne, tranzitivne i neprekidne mogu biti predstavljene neprekidnom funkcijom korisnosti.

Neprekidnost znači da male promene u korpama dobara izazivaju samo male promene nivoa preferencija.

Funkcija korisnosti U(x) predstavlja relaciju preferencija ako i samo ako:

x’ x” U(x’) > U(x”)

x’ x” U(x’) < U(x”)

x’ x” U(x’) = U(x”).

~

Korisnost je ordinalan koncept

(uspostavlja se poredak prema korisnosti različitih korpi dobara)

Npr. ukoliko je U(x) = 6 i U(y) = 2 tada je korpa x striktno preferirana u odnosu na korpu y. Ali korpa x nije tri puta više preferirana u odnosu na korpu y.

Funkcije korisnosti & krive indiferentnosti

Posmatrajmo korpe (4,1), (2,3) i (2,2).

Pretpostavimo (2,3) (4,1) (2,2).

Pripišimo ovim korpama brojeve koji čuvaju rangiranje korpi prema preferencijama;npr. U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4.

Nazovimo ove brojeve nivoima korisnosti.

Na jednoj krivi indiferentnosti nalaze se korpe koje su podjejdnako preferirane od strane potoršača.

Jednaka preferencija isti nivo korisnosti

Zbog toga sve korpe na istoj krivi indiferentnost imaju isti nivo korisnosti.

Prema tome, korpe (4,1) i (2,2) nalaze se na istoj krivi idiferentnosti i imaju korisnost UAli korpa (2,3) nalazi se na krivi indiferentnosti i ima korisnost U 6.Na dijagramu krivih indiferentnosti ovu informaciju o preferencijama prikazujemo na sedeći način:

U 6U 4

(2,3) (2,2) (4,1)

x1

x2

Drugi način da istu informaciju prikažemo grafički jeste da nanesemo nivo korisnosti na vertikalnoj osi.

U(2,3) = 6

U(2,2) = 4 U(4,1) = 4

x1

x2

Korisnost

Ova vizualizacija preferencija u 3D može biti još jasnija ako unesemo cele krive indiferentnosti.

U

U

Više krive indiferentnosti sadržekorpe koje su više preferirane

Korisnost

x2

x1

Poređenjem više korpi dolazimo do većeg skupa svih krivih indiferentnosti i boljeg opisa potrošačevih preferencija.

U 6U 4U 2

x1

x2

Kao i ranije, ovo može biti predstavljeno u 3D unošenjem svake krive indiferentnosti na visini njenog indeksa korisnosti.

U 6

U 5U 4

U 3U 2

U 1x1

x2

Korisnost

Poređenjem svih mogućih korpi dobijamo familiju krivih indiferentnosti potrošača, od kojih svaka ima odgovarajući indeks korisnosti.

Ovakav potpun skup krivih indiferentnosti odražava potrošačeve preferencije.

x1

x2

x1

Kolekcija svih krivih indiferentnosti za zadate Kolekcija svih krivih indiferentnosti za zadate relacije preferencija predstavlja relacije preferencija predstavlja mapu mapu indiferentnostiindiferentnosti..

Mapa indiferentnosti ekvivalentna je funkciji Mapa indiferentnosti ekvivalentna je funkciji korisnosti; svaka predstavlja onu drugu.korisnosti; svaka predstavlja onu drugu.

Ne postoji jedinstvena funkcija korisnosti kojom su predstavljene relacije preferencija.

Neka funkcija U(x1,x2) = x1x2 reprezentuje relacije preferencija.

Ponovo posmatrajmo korpe (4,1),(2,3) i (2,2).

U(x1,x2) = x1x2, pa imamo

U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4;

tj., (2,3) (4,1) (2,2).

U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).

Definišimo V = U2.

Tada je V(x1,x2) = x12x2

2 iV(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16pa opet imamo(2,3) (4,1) (2,2).

V čuva isti poredak koji daje U pa zbog toga predstavlja iste preferencije.

U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).

Definišimo W = 2U + 10.

Tada je W(x1,x2) = 2x1x2+10 pa imamo W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18. Ponovo imamo,(2,3) (4,1) (2,2).

W čuva isti poredak koji daju U i V pa zbog toga predstavlja iste preferencije.

Ukoliko – U je funkcija korisnosti kojom su predstavljene relacije

preferencija

i– f je striktno rastuća funkcija,

tada je V = f(U) takođe funkcija korisnosti kojom su predstavljene ove preferencije.

Normalna, neželjena i neutralna dobra

Normalno dobro je ono koje sa svakom dodatnom jedinicom tog dobra povećava korisnost (daje korpu dobara koju potrošač više preferira).

Neželjeno dobro je ono koje sa svakom dodatnom jedinicom tog dobra smanjuje korisnost (daje korpu dobara koju potrošač manje preferira).

Neutralno dobro je ono koje sa svakom dodatnom jedinicom tog dobra ne menja korisnost (daje korpu dobara koju potrošač jednako preferira).

Korisnost

Vodax’

Jedinicevode sunormalnadobra

Jedinicevode suneželjenadobra

U okolini x’ jedinica, mala količina ekstra vode je neutralna.

Funkcijakorisnosti

Neke druge funkcije korisnosti i njihove krive

indiferentnosti

Umesto U(x1,x2) = x1x2 posmatrajmo

V(x1,x2) = x1 + x2.

Kako izgledaju krive indiferentnosti u slučaju funkcije korisnosti kod “savršenih supstituta”?

5

5

9

9

13

13

x1

x2

x1 + x2 = 5

x1 + x2 = 9

x1 + x2 = 13

V(x1,x2) = x1 + x2.

Sada posmatrajmo

W(x1,x2) = min{x1,x2}.

Kako izgledaju krive indiferentnosti u slučaju funkcije korisnosti kod “savršenih komplemenata”?

x2

x1

45o

min{x1,x2} = 8

3 5 8

35

8

min{x1,x2} = 5

min{x1,x2} = 3

Sve predstavljaju prav ugao koji leži na zraku koji polazi iz koordinatnog početka

W(x1,x2) = min{x1,x2}

Kvazilinearne funkcije korisnosti i njihove krive indiferentnosti

Funkcija korisnosti oblika

U(x1,x2) = f(x1) + x2

koja je linearna samo po x2 , naziva se kvazilinearnom funkcijom korisnosti.

Npr. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.

x2

x1

Svaka kriva predstavlja vertikalnopomerenu kopiju drugih krivih

Neke druge funkcije korisnosti i njihove krive indiferentnosti

Svaka funkcija korisnosti oblika

U(x1,x2) = x1a x2

b

gde je a > 0 i b > 0 naziva se Kob-Daglasovom funkcijom korisnosti.

Npr. U(x1,x2) = x11/2 x2

1/2 (a = b = 1/2)

V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)

x2

x1

Sve krive su hiperbole koje kao asimptote imaju koordinatne ose

Granična korisnost

Granična znači “dodajna”.

Granična korisnost dobra i predstavlja stopu promene ukupne korisnosti sa promenom potrošnje dobra i :

i

i

UGK

x

Npr., ukoliko je U(x1,x2) = x11/2 x2

2 , tada je

1/ 2 21 1 2

1

1

2

UGK x x

x

Npr., ukoliko je U(x1,x2) = x11/2 x2

2 , tada je

1/ 22 1 2

2

2U

GK x xx

DakleDakle,, ukoliko jeukoliko je U(x1,x2) = x11/2 x2

2 , onda je, onda je

1/ 2 21 1 2

1

1/ 22 1 2

2

1

2

2

UGK x x

x

UGK x x

x

Granične korisnosti i granična stopa supstitucije

Opšta jednačina krive indiferentnosti glasi

U(x1,x2) k, kde je k konstantno.

Tatalan diferencijal ovog izraza daje:

Uxdx

Uxdx

11

22 0

Uxdx

Uxdx

11

22 0

Uxdx

Uxdx

22

11

pa preuređujući imamo

što daje

d xd x

U xU x

2

1

1

2

//

.

Ovo je izraz za GSS.

Primer

Neka je U(x1,x2) = x1x2. Tada

Ux

x x

Ux

x x

12 2

21 1

1

1

( )( )

( )( )

2 1 2

1 2 1

/.

/

d x U x xG S S

d x U x x

pa je

2

1

xGSS

x

GSS(1,8) = - 8/1 = -8 GSS(6,6) = - 6/6 = -1.

x1

x2

8

6

1 6U = 8

U = 36

U(x1,x2) = x1x2;

GSS i kvazilinearne funkcije korisnosti

Kvazilinearna funkcija korisnosti je oblika

U(x1,x2) = f(x1) + x2.

Dakle,

Ux

f x1

1 ( )Ux2

1

2 11

1 2

/'( ).

/

d x U xG S S f x

d x U x

GSS = - f ‘ (x1) ne zavisi od x2 pa je nagib krivih indiferentnosti za kvazilinearnu funkciju korisnosti konstantan za svaku liniju za koju je vrednost x1 konstantna.

Kako izgleda mapa indiferentnosti za jednu kvazilinernu funkciju korisnosti?

x2

x1

Svaka kriva je verikalno pomerena kopija ostalih krivih.

GSS je konstantna duž svake linije za koju je x1 konstantno

GSS =- f(x1’)

GSS = -f(x1”)

x1’ x1”

Monotone transformacije & GSS

Primenjujući monotononu transformaciju funkcije korisnosti kojom su izražene relacija preferencija jednostavno dobijamo drugu funkciju korisnosti kojom su izražene iste relacije preferencija.

Šta se dešava sa GSS kada se primenjuje monotona transformacija?

ZaZa U(x1,x2) = x1x2 važi GSS = - x2/x1..Neka jeNeka je V = U2; ; tj.tj. V(x1,x2) = x1

2x22. .

Koja će biti GSS za V?

21 1 2 2

22 11 2

/ 2

/ 2

V x x x xG S S

V x xx x

što je isti izraz kao i GSS za U.

Opštije, ukoliko je V = f(U) gde je f striktno rastuća funkcija, tada je

1 1

2 2

/ ' ( ) /- -

/ ' ( ) /

V x f U U xG S S

V x f U U x

U xU x//

.12

Dakle, prilikom monotone transformacijefunkcije korisnosti GSS ostaje nepromenjena.