poglavlje 4 - pune ab ploce - draft

163

4. PUNE ARMIRANOBETONSKE PLOE

4.1.4.1.4.1.4.1. UVODUVODUVODUVOD

Pod armiranobetonskim ploama podrazumevaju se ravni povrinski nosai male debljine u

odnosu na ostale dve dimenzije, optereene dominantno upravno na svoju ravan savijane.

Pune su one ploe koje su bez upljina ili razgranatih delova u poprenom preseku. Pod

dejstvom optereenja, deformaciju ploe prate sile u preseku, dominantno momenti savija-

nja, momenti uvijanja i transverzalne sile, a kao posledica optereenja u srednjoj ravni ploe

mogu se javiti i aksijalne sile.

Ploe su, u optem sluaju, dvoosno napregnuti elementi kod kojih napone zatezanja prima

armatura najee postavljena u dva ortogonalna pravca.

Optereenje se moe pojaviti u povrinskom, linijskom ili koncentrisanom (mada se koncen-

trisano dejstvo uvek prenosi preko neke povrine) obliku. Povrina koju ploa pokriva je naj-

ee pravougaonog oblika, ali moe biti i drugih, proizvoljnih, oblika. Ploa moe biti oslo-

njena linijski na zid ili gredu, takasto na stub ili moe imati slobodnu, neoslonjenu, ivicu.

Linijsko oslanjanje moe biti slobodno, kada nije spreena rotacija na osloncu, ili ploa moe

biti kruto ili elastino ukljetena, kada je rotacija potpuno ili delimino spreena. Na Sl. 269

data je konvencija obeleavanja uslova oslanjanja ivica ploe. Pri tome, kod pravougaonih

ploa, kraa strana e biti obeleavana sa lx, a dua sa ly.

Sl. 269. Uslovi oslanjanja ivica ploe (konvencija obeleavanja)

Ploe kod kojih je odnos debljine i krae strane manji od 0.2 se smatraju (proraunavaju)

tankima, a statiki uticaji se odreuju primenom teorije elastinosti ili plastinosti. Za ove

odnose vee od 0.2, ploe se proraunavaju kao debele, po teoriji debelih ploa. U inenjer-

skim konstrukcijama se primenjuju uglavnom tanke ploe. Debele ploe se mogu pojaviti

potrebnim kod temeljnih konstrukcija ili kod specifinih objekata poput sklonita.

Ploa moe biti pojedinana, sa rasponima lx i ly, ili kontinualna u jednom ili oba smera, sa

istim ili razliitim rasponima u odgovarajuim pravcima x i y.

Pune ploe su minimalne debljine 7cm u sluaju kada su optereene povrinskim opteree-

njem, 10cm ako je re o ploama po kojima se kreu putnika vozila, odnosno 12cm za plo-

e optereene teretnim vozilima. Minimalna debljina krovnih ploa je 5cm. Minimalna deblji-

na ploe je, dodatno, odreena i sledeim uslovom:

0min 35d l= , ........................................................................................................................... (4.1)

gde je l0 razmak nultih momentnih taaka po kraem rasponu. Za kontinualne ploe moe

biti priblino usvojen jednakim 4/5 kraeg raspona. Navedene minimalne debljine ploe se

ne odnose na ploe rebrastih i kasetiranih tavanica.

Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 14. januar 2013

164

Raspon ploa se usvaja jednakim osovinskom rasponu oslonakih elemenata (grede, zidovi),

a u sluajevima kada su oslonaki elementi velike irine (vee od 0.1lo) ili kada ne postoji

jasno definisan oslonaki element, teorijski raspon, u oba smera, se odreuje 5%-nim uve-

anjem svetlog raspona (raspona svetlog otvora) - Sl. 270a.

Sl. 270. Teorijski raspon i redukcija momenta savijanja nad osloncima

Dimenzionisanje preseka nad osloncima se moe sprovesti u odnosu na redukovane vredno-

sti oslonakih momenata, kako je prikazano na Sl. 270.

Najee, ploe se projektuju konstantne debljine, a retko, zbog komplikovanijeg izvoenja,

ploe se zadebljavaju u oslonakim zonama formiranjem vuta. Vute se projektuju uobiajeno

u nagibu 1:4 do 1:3, a ovaj poslednji je i maksimalni nagib koji proraunski moe biti usvo-

jen, bez obzira na stvarni. Visina vute se obino projektuje uporediva sa debljinom ploe.

Prilikom odreivanja statikih uticaja, doprinos vuta krutosti se zanemaruje.

Sl. 271. Vute kod punih ploa

Ploe se najee dimenzioniu prema momentima savijanja i aksijalnim silama (ukoliko ih

ima). Transverzalne sile kod tankih ploa su redovno dovoljno male da bi kontrola glavnih

napona zatezanja rezultovala potrebom za osiguranjem.

4. Pune armiranobetonske ploe

165

4.2.4.2.4.2.4.2. PLOE KOJE OPTEREENPLOE KOJE OPTEREENPLOE KOJE OPTEREENPLOE KOJE OPTEREENJE PRENOSE U JEDNOM JE PRENOSE U JEDNOM JE PRENOSE U JEDNOM JE PRENOSE U JEDNOM PRAVCUPRAVCUPRAVCUPRAVCU57575757

Pravougaone ploe (Sl. 272) koje su oslonjene samo na dve naspramne strane (pojedinane

ili kontinualne) i ploe koje su ukljetene samo na jednoj strani (slobodne na ostale tri) pre-

nose optereenje osloncima samo u jednom pravcu.

Sl. 272. Ploe fiziki jednog pravca

Razmatramo li ravnomerno podeljeno optereenje ovakvih ploa, dovoljno je analizirati traku

jedinine irine (uobiajeno 1m) kao gredni element, a sraunati uticaji vae za svaku sused-

nu traku. Deformaciona povr (Sl. 273) ploe je priblino prizmatina (cilindrina). Glavna

armatura se odreuje dimenzionisanjem izdvojenog grednog elementa i postavlja u pravcu

raspona.

Sl. 273. Prizmatina deformaciona povr i momenti savijanja ploa jednog pravca

U drugom pravcu (pravac paralelan osloncima) posmatrano, svaka traka glavnog pravca je u

svom bonom deformisanju ograniena susednim glavnim trakama. Kako je bono deformi-

sanje odreeno Poasson-ovim koeficijentom, , to se i u ovom pravcu realizuju momenti

savijanja, koji su po vrednosti jednaki:

y xM M= , .............................................................................................................................. (4.2)

gde je sa Mx obeleen moment savijanja u glavnom pravcu, a sa My u upravnom pravcu na

glavni. Kako je Poasson-ovkoeficijent za beton u granicama izmeu 0.16 i 0.20 (proraunski

se obino usvaja jednakim 0.20), to se u ne-glavnom pravcu javljaju oko pet puta manji

momenti savijanja od onih u glavnom. Time je i potreba za armaturom ne-glavnog pravca

srazmerno manja. Ova armatura se naziva podeonom i propisima se ograniava na minimal-

no 20% glavne. Sa gornje strane, naelno, koliina podeone armature se ograniava na koli-

57 U daljem tekstu se esto koristi fraza ploe jednog pravca.


166

inu 65% glavne armature. Kod lako armiranih/optereenih ploa ovaj uslov esto nije

mogue ispuniti zbog odredbi kojima se definie minimum armature.

Minimalni koeficijenti armiranja glavnom armaturom, u najnapregnutijim presecima, su pro-

pisani u funkciji vrste koriene armature kao: 0.15% za glatku armaturu GA240/360, 0.10%

za rebrastu armaturu RA400/500 i 0.075% za mreastu MA500/560 armaturu58. Minimalna

koliina podeone armature, osim iz pomenutog uslova petine glavne armature, mora zado-

voljiti i apsolutne vrednosti propisanog minimuma, opet postavljene u funkciji vrste armatu-

re: 0.10% za glatku GA240/360, 0.085% za rebrastu RA400/500 i 0.075% za mreastu

MA500/560 armaturu.

Osim ovako definisanih minimuma armatura, propisuju se i maksimalno doputeni razmaci

izmeu susednih ipki pojedinih armatura. Za glavnu armaturu, maksimalni razmak ipki je

manja od vrednosti dvostruke debljine ploe, odnosno 20cm. Kod ploa debljih od 60cm,

prethodni uslovi se zamenjuju treinom debljine ploe, a za ploe optereene koncentrisa-

nim optereenjem razmak ipki mora ostati manji od 1.5d, gde je d debljina ploe. U

zonama oslonaca, gde je potreba za armaturom manja, doputeni razmaci ipki se dupliraju.

Najvea rastojanja podeone armature ploa optereenih povrinskim optereenjem su etvo-

rostruka debljina ploe, odnosno 30cm u najoptereenijim i 40cm u ostalim presecima. U

sluaju koncentrisanog optereenja, prethodni uslov se koriguje na trostruku debljinu ploe,

a apsolutni ostaju isti. Konano, uslovi pravilne ugradnje betona diktiraju i potrebu postav-

ljanja armaturnih ipki na dovoljno velikom meusobnom udaljenju preporuuje se da oso-

vinski razmak ipki ne bude manji od 5cm. Kod debljih ploa armatura se moe, ukoliko

postoji potreba, voditi u vie redova.

Glavna armatura ploe se projektuje kao spoljanja, dobijajui na taj nain veu statiku visi-

nu, a podeona kao unutranja (Sl. 274). Za povrinske elemente, gde su karakteristini uticaji

odreeni u linijski raspodeljenom obliku (kN/m ili kNm/m), je karakteristino i odreivanje i

usvajanje armature u linijski raspodeljenom obliku, umesto u apsolutnom cm2/m, odnosno

/e (profil na odreenom razmaku e).

Sl. 274. Armiranje ploe jednog pravca

Koncentrisano optereenje i na ploi jednog pravca angauje savijanje u drugom, podeo-

nom, pravcu. Na Sl. 275 prikazani su ugibi i oblici momenata savijanja u dva pravca za jednu

plou prosto oslonjenu samo na dve naspramne ivice. Iz prikazanih dijagrama se ve moe

zakljuiti da se poremeaj koncentrisane sile osea na jednom delu duine ploe u zoni

dejstva koncentrisane sile. Oigledno, u ovoj zoni je neophodno obezbediti veu koliinu

armature podeonog pravca od do sada pominjane.

U proraunu povrinskih elemenata, u cilju umanjenja vrednosti pojedinih statikih uticaja,

koncentrisana optereenja (nikad nisu zaista takasta) mogu biti zamenjena lokalnim povr-

inski raspodeljenim optereenjima. Povrina u srednjoj ravni ploe na koju se koncentrisano

58 Date vrednosti minimalnih procenata armiranja su validne za glavnu armaturu svih punih ploa.


167

optereenje rasprostire se odreuje proirenjem povrine na povrini delovanja u nagibu 2:1

kroz rastresite, odnosno 1:1 kroz kompaktne materijale (Sl. 276).

Sl. 275. Dejstvo koncentrisane sile na plou jednog pravca

Sl. 276. Rasprostiranje koncentrisanih optereenja

Pravougaoni oblik povrine koncentrisanog dejstva moe, pri tome, biti zamenjen krunim

ukoliko se stranice pravougaonika ne razlikuju u duini vie od 50%:

12 b bpi

= . ........................................................................................................................... (4.3)

Sl. 277. Koncentrisano i linijsko optereenje

Zona oseanja koncentrisanog optereenja, b3, se odreuje u funkciji prethodno odreene

irine dejstva koncentrisanog optereenja u srednjoj ravni ploe, b2, raspona ploe i pret-

postavljenog odnosa podeone i glavne armature, koji se za ovaj sluaj obino usvaja u mak-

simalnoj vrednosti 0.65, prema (Sl. 277):

3 2 /x ap ab b l f f= + . ................................................................................................................. (4.4)


168

Na isti nain se odreuje irina ove zone i kada je re o linijski koncentrisanom optereenju

prikazanom na Sl. 277.

Momenat koncentrisanog optereenja (u obliku kNm, sraunat kao za gredni nosa) se na

irini b3 moe (dovoljno je tano) raspodeliti ravnomerno:

3

Pp

MMb

= . ................................................................................................................................. (4.5)

Dejstvo koncentrisane sile na ivici konzolne ploe, na slobodnoj ivici, rezultuje i pozitivnim

podunim momentima savijanja, o emu treba voditi rauna prilikom armiranja ploe. Uobi-

ajeno je simetrino armiranje ivine zone podunom armaturom i povijanje glavne armature

u donju zonu ploe (Sl. 278).

Sl. 278. Dejstvo koncentrisane sile na ivici konzolne ploe

Rasprostiranje koncentrisanog optereenja u ovom sluaju moe biti usvojeno kao to je pri-

kazano na Sl. 278, pod uglom od 45. U zoni uticaja koncentrisanog optereenja, raspodela

glavnog oslonakog momenta ima oblik prikazan slikom. Prilikom odreivanja potrebne

koliine glavne armature u zoni duine 2a, ponovo se koncentrisani moment Pa moe

uproseiti (konzervativno je).

Ploe se uobiajeno armiraju ipkama manjih prenika u dva pravca, kako je reeno.

Veza izmeu ploe i ivine grede je, realno, elastino ukljetenje, a stepen ukljetenja je

odreen relativnom torzionom krutou grede, te nainom armiranja ploe.

Sl. 279. Prijem momenata elastinog ukljetenja na slobodno oslonjenoj ivici ploe

U praktinim proraunima se ovo zanemaruje i ploa se tretira kao slobodno oslonjena. Ovim

su odreeni momenti u polju neto vei (konzervativno). Prihvatanje momenata elastinog

ukljetenja, i obezbeenje od prskanja ploe u ovom preseku, postie se konstruktivnim

armiranjem, polovinom koliine armature potrebne u polju (Sl. 279).

Nainom armiranja se tei minimizirati broj razliitih pozicija armature. Naelno, mogu je

izbor izmeu naina armiranja koji podrazumeva povijanje armature iz donje zone u gornju i

naina kod kojeg je svaka od zona armirana nezavisnom armaturom (najee samo prave

ioke bez kuka). Svaka ipka glavnog pravca mora imati svoju podeonu armaturu.

Uobiajeni naini armiranja za ploe preko jednog raspona dati su na Sl. 280, a za kontinu-

alne ploe na Sl. 281. Kako su negativni momenti savijanja iznad oslonaca vei od maksi-

malnih pozitivnih u polju, to kod kontinualnih ploa bez vuta, armatura iz polja povijena


169

sama nije dovoljna nad osloncima. Otud se nad osloncima mora dodati i prava armatura, o

emu treba voditi rauna prilikom usvajanja razmaka armaturnih ipki i u polju.

Sl. 280. Mogunosti armiranje jdnorasponskih ploa

Sl. 281. Mogunosti armiranja kontinualnih ploa

Nastavljanje armature u donjoj zoni se ostvaruje preklapanjem nad srednjim osloncima, s

tima da zavreci ipki (ili kuke) budu izvan irine oslonca.

Kod ploa veih povrina uputno je koristiti se zavarenim armaturnim mreama. Zbog razlike

potrebne armature u dva pravca, podrazumeva se armiranje R-mreama.

Sl. 282. Armiranje ploa sa vutama

Vute se, u optem sluaju, armiraju zasebnom kosom armaturom kojom se prate ivice

betonskog preseka. Pri tome, donja armatura ploa se ne preklapa (Sl. 282b). Ipak, u situaci-

jama kada ne postoji, ni za najnepovoljniju kombinaciju optereenja, mogunost zategnute

donje ivice u zoni vute, dozvoljeno je vutu ostaviti nearmiranom (Sl. 282a).


170

Ploe koje su oslonjene na nain da omoguuju prenos optereenja u dva pravca (ploe oslo-

njene na sve etiri, tri ili dve susedne ivice), u pojedinim situacijama mogu biti tretirane, u

cilju jednostavnijeg prorauna, kao ploe koje optereenje prenose u jednom. Ovo je sluaj

kod izduenih ploa, kod kojih je raspon u jednom pravcu znaajno vei od drugog raspona,

a zbog injenica da ploa dominantno prenosi optereenje kraim pravcem.

Sl. 283. Deformacija izduene ploe oslonjene na sve etiri ivice

Kod izduenih ploa, iz slike njihove deformacije (Sl. 283), mogue je prepoznati njen sredi-

nji deo koji se priblino prizmatino deformie. U ovoj zoni ploa optereenje (konstantan

ugib podunog pravca na to ukazuje) prenosi poput ploe kojoj oslonaki uslovi diktiraju rad

u jednom pravcu. Ipak, ne treba smetnuti sa uma rad ovakvih ploa u dva pravca, na kraje-

vima (posebno kod kontinualnih ploa).

Sl. 284. Maksimalni momenti u dva ortogonalna pravca u funkciji izduenosti ploe

Na dijagramu (Sl. 284) je prikazana promena momenata savijanja u kraem, Mx, i u duem,

My, pravcu pravougaone ploe prosto oslonjene na sve etiri ivice kod koje se varira odnos

raspona ly/lx. Poev od kvadratne ploe, kod koje momenti dva pravca imaju istu vrednost,

momenti kraeg pravca, sa porastom izduenosti, rastu asimptotski teei momentu proste

grede, dok momenti dueg pravca opadaju asimptotski se pribliavajui petini (zato to je

usvojeno = 0.2) momenta proste grede kraeg pravca.

Sl. 285. Momenti u poprenom i podunom pravcu kontinualne ploe


171

Iako iz prikazanog dijagrama to ne proizilazi ubedljivo, smatra se da je ve odnos dueg i

kraeg raspona jednak 2.0 dovoljno velik da se ploa dva pravca moe proraunski tretirati

kao ploa jednog pravca.

Za krajeve polja ploa jednog pravca karakteristian je dvoosni rad. Ovo se manifestuje

poveanim vrednostima pozitivnih momenata savijanja i, posebno, vrednostima negativnih

momenata savijanja uporedivih sa maksimalnim vrednostima momenata savijanja glavnog

pravca (Sl. 285).

Sl. 286. Oslonaki momenti savijanja u podunom pravcu

Zato se iznad oslonaca u podunom pravcu mora obezbediti armatura koja je uporediva sa

armaturom glavnog pravca. Preporuka u tom smislu je usvajanje ove armature u koliini

izmeu 60 i 100% glavne armature u polju (Sl. 286). Nad krajnjim osloncima u podunom

pravcu je potrebno u gornjoj zoni obezbediti armaturu koliine izmeu 33 i 50% glavne

armature u polju, u cilju prijema momenata elastinog ukljetenja.


172

4.3.4.3.4.3.4.3. PPPPRAVOUGAONE PRAVOUGAONE PRAVOUGAONE PRAVOUGAONE PLOE KOJE OPTEREENJLOE KOJE OPTEREENJLOE KOJE OPTEREENJLOE KOJE OPTEREENJE PRENOSE U DVA PRAVE PRENOSE U DVA PRAVE PRENOSE U DVA PRAVE PRENOSE U DVA PRAVCACACACA

Linijski oslonjene (slobodno oslonjene ili kruto ili elastino ukljetene) po ivici pravougaone

ploe koje ne zadovoljavaju uslove prenosa optereenja u jednom pravcu optereenje pre-

nose u dva pravca (Sl. 287). Naelno, to su sve, pojedinane ili kontinualne, pravougaone

ploe oslonjene po sve etiri ivice, po tri ivice ili dve susedne.

Sl. 287. Primeri pojedinanih i kontinualnih pravougaonih ploa koje rade u dva pravca

Zbog injenice da prenose optereenje u dva pravca, te da zahtevaju glavnu podunu arma-

turu u dva pravca, ove ploe se esto nazivaju i krstasto armiranim ploama.

4.3.1.4.3.1.4.3.1.4.3.1. STATIKI UTICAJISTATIKI UTICAJISTATIKI UTICAJISTATIKI UTICAJI

Za plou optereenu po svojoj povri (povrinskim, linijskim ili koncentrisanim opteree-

njem) odreuju se sile u presecima za dva ortogonalna pravca, paralelna ivicama ploe.

Optereenje upravno na ravan ploe produkuje u presecima momente savijanja dva pravca

(Mx i My)59, momente torzije (Mxy) i transverzalne sile (Tx i Ty). Takoe, od interesa je i raspo-

dela dejstvujueg tereta na oslonake ivice oslonake reakcije. Naravno, ploa moe biti

optereena i u svojoj ravni, kada se prethodnima pridruuju i uticaji u ravni ploe: normalne

sile (Nx i Ny) i smiue sile (Nxy).

Statiki uticaji u ploama, pogotovu kad je re o potrebama projektovanja, se uobiajeno

odreuju primenom linearne teorije elastinosti, ree, kod kontinualnih ploa, uz uvoenje

ograniene preraspodele uticaja. Proraun uticaja prema teoriji elastinosti se, po pravilu,

zasniva na pretpostavkama tankih ploa (debljina ploe je mala u odnosu na ostale dimenzi-

je). U pojedinim situacijama, posebno kada je od interesa krajnji nosivi kapacitet, analizu

ploa je poeljno sprovesti primenom teorije plastinosti60.

Naelno, presen sil u pravougaonoj ploi se odreuju reavanjem diferencijalne jednaine

(etvrtog reda) za elastinu povr (ugib) ploe. Meutim, analitika reenja, u zatvorenom

obliku, postoje samo za specijalne sluajeve oslanjanja i optereenja ploe, zbog ega se u

praksi do predmetnih uticaja dolazi ili primenom softvera za strukturalnu analizu baziranog,

najee, na metodi konanih elemenata, ili korienjem tablica koje u parametarskom obli-

59 Indeks x se odnosi na pravac armature kojom rezultira dejstvo momenta.

60 Obraeno u posebnom poglavlju.


173

ku daju uticaje (po pravilu samo ekstremne) u ploama, ili nekom od priblinih metoda. Sva-

kako treba imati na umu da je razvoj raunarske tehnike danas jeste obezbedio mogunost

brzog odreivanja statikih uticaja u ploama proizvoljnih oblika, naina oslanjanja i optere-

enja, ali i da time pribline metode nisu u potpunosti izgubile na znaaju, posebno u smislu

grubog sagledavanja ponaanja ploe i razvoja inenjerske intuicije i logike.

4.3.1.1.4.3.1.1.4.3.1.1.4.3.1.1. Pojedinane ploePojedinane ploePojedinane ploePojedinane ploe

Za nekoliko karakteristinih sluajevakarakteristinih sluajevakarakteristinih sluajevakarakteristinih sluajeva oslanjanja pojedinanih ploa dati su, u nastavku,

oblici dijagrama uticaja u karakteristinim presecima.

Za plou slobodno oslonjenu po sve etiri ivice, oblici dijagrama presenih sila su dati na Sl.

288. Dominantni momenti savijanja (u polju) su karakteristika kraeg pravca, a preraspodela

prenosa optereenja izmeu dva pravca je odreena primarno geometrijom.

Sl. 288. Sile u presecima i reakcije kod ploe slobodno oslonjene po obodu

Torzioni momenti se na spoju dva ela (mesto susticanja dve slobodno oslonjene ivice),

budui ortogonalni jedan u odnosu na drugog, meusobno ne potiru, nego rezultuju kon-

centrisanom silom u uglu, koja tei da izdigne ugao ploe iznad linije oslanjanja.

Na sledeoj slici (Sl. 289), prikazane su presene sile i reakcije za plou koja je na tri ivice

ukljetena, a na etvrtoj slobodno oslonjena.

Sl. 289. Sile u presecima i reakcije kod ploe ukljetene na tri i slobodno oslonjene na jednoj ivici

Momenti torzije su karakteristika samo slobodno oslonjenih ivica, kako se vidi iz skice, kao

to se vidi raspodela momenata ukljetenja du ukljetenih ivica. Pravac sa ukljetenim kra-

jevima se ponaa kao krui od onog sa slobodno rotirajuim krajevima, to se vidi po

manjim vrednostima momenta My (skice uticaja su razmerom usklaene). Kod ukljetene ivi-

ce raspored reakcija u potpunosti odgovara rasporedu transverzalnih sila, dok su reakcije

du slobodne ivice i funkcija Poasson-ovog koeficijenta.

Na Sl. 290 je prikazana distribucija presenih sila za ploe s jednom slobodnom (neoslonje-

nom) ivicom. Ostale ivice su, u prvom sluaju slobodno oslonjene (a ploa je optereena jed-

nako podeljenim teretom), a u drugom su ukljetene (uz linearno promenljivo povrinsko

optereenje ploe).


174

Sl. 290. Sile u presecima kod ploa s jednom slobodnom ivicom

Zavisno od odnosa duina stranica, naina oslanjanja i poloaja slobodne ivice (kraa/dua),

maksimalni uticaji mogu biti karakteristika oboda ploe ili nekog preseka u unutranjosti.

Konano, primetimo i da ploa moe biti oslonjena (slobodno ili ukljetena) i na samo dve

susedne ivice, a da prenosi optereenje u dva pravca. Na Sl. 291 su prikazani uticaji za plou

koja je slobodno oslonjena po levoj ivici, ukljetena po donjoj i slobodna po preostale dve

ivice. Prva slika daje distribuciju momenata Mx i My (svaki u svom pravcu), a druga distribu-

ciju momenata torzije.

Sl. 291. Sile u presecima za plou oslonjenu na dve ivice

U realnosti ne postoje idealni uslovi oslanjanja ploe. Uvek je re o relativno (manje ili vie)

ukljetenom kraju. Uobiajena (dobra) praksa je aproksimacija veze kraja ploe s gredom ili

serklaom neoptereene zidom slobodnim osloncem. Sa druge strane, kad nad srednjim

osloncima postoji kontinuitet ploe, ili ako su krajnji oslonci optereeni tekim zidom, moe

se usvojiti da je ploa na tom kraju kruto ukljetena. Dodatne mere opreza i eventualne tet-

ne posledice ovakve idealizacije valja preduprediti konstruktivnim merama.

Sl. 292. Razliiti tipovi pravougaonih ploa oslonjenih na etriri ivice

Za itav niz razliitih sluajeva odnosa duina stranica, optereenja (povrinskih najee,

konstantnih ili linearno promenljivih) i oslanjanja (na etiri ili na tri) pravougaonih punih plo-

a, u literaturi postoje dijagrami i tabele koeficijenatadijagrami i tabele koeficijenatadijagrami i tabele koeficijenatadijagrami i tabele koeficijenata kojima je mogue odrediti, najee

ekstremne, vrednosti statikih uticaja. Mogue je pronai i tablice i dijagrame s uticajnim


175

povrinama, korisne u situacijama nepravilnog rasporeda optereenja, te prisustva koncen-

trisanih i/ili linijskih optereenja.

Tako se pojedinane ploe oslonjene na etiri ivice klasifikuju prema nainu oslanjajna, na

ukupno devet vrsta (Sl. 292), a vrednosti momenata u polju i oslonakih (tamo gde ih ima) se

odreuju kao proizvod rezultantnog optereenja ploe i koeficijenta koji zavisi od vrste uti-

caja i od odnosa duine stranica61. Pri tome, na ovaj nain se odreuju samo ekstremi poje-

dinih uticaja, dok promena pojedinog uticaja izmeu ekstremnih vrednosti ostaje nepoznata.

Kao alterantiva ovome, za ploe optereene jednakopodeljenim optereenjem i oslonjene na

sve etiri ivice, u praksi se esto primenjivao i priblini, MarcusMarcusMarcusMarcus----ov postupakov postupakov postupakov postupak. Postupak bazi-

ra na ideji dekompozicije ukupnog (p) optereenja na deo koji se (fiktivno) prenosi x-

pravcem (px) i deo koji se prenosi y-pravcem (py):

x yp p p= + . .............................................................................................................................. (4.6)

Parcijalna optereenja, delujui samo po trakama ploe svog pravca, izazivaju ugibe traka,

ijim se izjednaavanjem u preseku srednjih traka dva pravca formira uslov za dekompozici-

ju optereenja.

Sl. 293. Marcus-ov postupak i odgovarajui bezdimenzioni koeficijenti

Analiziraju se dve upravne trake jedinine irine, svaka sa sebi odgovarajuim konturnim

uslovima (Sl. 293), kao gredni elementi. Izjednaavanjem ugiba u preseku traka, uz (4.6),

formiran je sistem dve jednaine za odreivanje dva nepoznata parcijalna optereenja:

x yw w= 44

384 384wy y ywx x x

b b b b

k p lk p lE I E I

= . ................................................................................. (4.7)

4

4 4wx y

x pxwx x wy y

k lp k p p

k l k l

= =

+ , i

4

4 4wy x

y pywx x wy y

k lp k p p

k l k l

= =

+ . ............................ (4.8)

Sa poznatim parcijalnim optereenjima, uticaji se odreuju za izdvojene linijske nosae

trake, nezavisne od susednih. Za momente u polju, bie:

2

x Mx x xM k p l= , i 2y My y yM k p l= . ................................................................................... (4.9)

Meutim, trake nisu nezavisne od susednih, te su ovako odreeni momenti savijanja vei od

realnih zanemaren je uticaj momenata uvijanja. Naime, izvesno je da momenti savijanja,

61 Izmeu ostalih, ovakve tablice je mogue pronai i u prilozima Prirunika PBAB87.


176

poev od srednje trake, ka krajnjoj, opadaju u intenzitetu, ka nuli na ivici. Ovim se razvijaju

momenti uvijanja, koji (moglo bi se i tako posmatrati) umanjuju vrednosti momenata savija-

nja. Da bi se obuhvatio ovaj uticaj (momenata uvijanja), Marcus, i kasnije Leser, su uveli

korekcione koeficijente, kojima se redukuju momenti savijanja (izraz u uglastoj zagradi

rezultira brojem manjim od 1) i kojima prethodni izraz (4.9) prelazi u:

22

22

2013

2013

xx Mx px Mx x x

y

yy My py My y y

x

lM k k k p l

l

lM k k k p l

l

=

=

. ..................................................................... (4.10)

Za momente nad osloncima, bie (bez redukcije):

2o

x Mox x xM k p l= i 2oy Moy y yM k p l= . .......................................................................... (4.11)

Reakcije oslonaca ploeReakcije oslonaca ploeReakcije oslonaca ploeReakcije oslonaca ploe su od interesa za proraun (analizu optereenja) ostatka konstrukci-

je. Poput momenata savijanja, mogu se, u praktinim proraunima, odrediti primenom tabu-

lisanih koeficijenata za njihov proraun, primenom Marcus-ovog postupka ili postupkom

pripadajuih povrina.

Realna distribucija oslonakih reakcija du linijskog oslonca je krivolinijska (Sl. 294a; primer

kvadratne ploe ukljetene po sve etriri ivice) i, time, nepogodna za praktinu primenu,

zbog ega se, u praksi, distribuiraju aproksimativno.

Sl. 294. Distribucija oslonake reakcije du oslonake ivice i aproksimacija konstantnim optereenjem

Sl. 295. Oslonake reakcije primenom Marcus-ovog postupka

Na identian nain onom za momente savijanja, u literaturi se daju i tabele koeficijenta za

odreivanje oslonakih reakcija. Rezultat njihove primene je, po pravilu, rezultantna reakcija

za jednu ivicu, Q, dok se u izboru distribucije ove sile podu oslonake ivice najee, u pra-

ksi, usvaja jednakopodeljeno optereenje (Sl. 294b):

/q Q l= . ................................................................................................................................... (4.12)


177

Iako zbog jednostavnosti primene i nevelike razlike u rezultatima opravdan, ovaj nain dis-

tribuiranja je, u odnosu na realni (blizak parabolinom) na strani nesigurnosti, budui da

rezultira manjim momentima savijanja u gredi. O ovome se mora voditi rauna u situacijama

kada to moe biti od interesa.

Marcus-ov postupak moe biti korien i za odreivanje oslonakih reakcija. Reakcija svake

trake daje (konstantno raspodeljeno) optereenje za oslonaki element (Sl. 295):

x x Tx x xR T k p l= = i y y Ty y yR T k p l= = . ...................................................................... (4.13)

Reakcije oslonaca mogu efikasno, za praktine potrebe, biti odreene i postupkom pripada-

juih povrina. Povrina ploe se deli na onoliko delova koliko oslonjenih ivica ima (najee

etiri) linijama koje priblino odgovaraju dominantnim linijama prslina u ploi, neposredno

pred lom (prelazak u mehanizam), prilikom njenog optereivanja do loma. Svakom osloncu

sada odgovara trougaona ili trapezna povrina, a optereenje s ove povrine se prenosi na

oslonac, kao trapezno ili trougaono (Sl. 296). Ovakva distribucija oslonakog optereenja,

reeno je ve, vie odgovara realnoj, krivolinijskoj, od konstantne.

Sl. 296. Postupak pripadajuih povrina

Uglovi , koji definiu ovu preraspodelu zavise od naina oslanjanja susednih ivica, koje se u

posmatranom uglu sustiu. Za identine uslove oslanjanja susednih ivica (obe slobodno

oslonjene ili obe ukljetene) linija loma je pod uglom od 45 (simetrala pravog ugla), a linija

loma koja kree iz ugla gde se sustiu slobodno oslonjena i ukljetena ivica je pod uglom od

60 u odnosu na ukljetenu ivicu (Sl. 296, Sl. 297).

Sl. 297. Primeri odreivanja oslonakih reakcija postupkom pripadajuih povrina

Za ploe optereene koncentrisanim optereenjem, kakav je esto sluaj kod, na primer, plo-

a drumskih mostova, proraun presenih sila je veoma sloen, a za karakteristine sluaje-

ve oslanjanja u literaturi je mogue pronai sreena reenje. Budui da koncentrisano opte-

reenje najee menja svoj poloaj, to su, u ovakvim situacijama, pogodniji dijagrami i

tabele kojima se definiu uticajne povrine, od onih koji daju vrednosti uticaja za fiksno


178

optereenje. Uticajne povrine se, analogno uticajnim linijama kod linijskih nosaa, konstrui-

u za odreeni uticaj (statiku veliinu), kao posledica delovanja jedinine koncentrisane sile.

Sl. 298. Uticajna povrina za momenat savijanja Mx u sredini slobodno oslonjene kvadratne ploe

Ilustracije radi, na Sl. 298 je prikazana uticajna povrina (predstavljena izo-linijama) za

moment savijanja x-pravca za kvadratnu plou oslonjenu slobodno na sva etiri kraja. Kon-

centrisano optereenje se svodi na srednju ravan ploe postajui povrinsko na relativno

maloj povri. Zapremina uticajne povri ispod optereene povri umnoena intenzitetom

raspodeljenog optereenja daje traenu vrednost uticaja za koji je uticajna povrina konstru-

isana. Naravno, budui da je uticaj odreen s grafika, greka odreivanja moe biti znaajna.

* * *

I pored navedenog, injenica je da je danas oekivani nain prorauna statikih uticaja kod

ploa onaj koji upoljava softver za strukturalnu analizu, najee baziran na primeni meto-

de konanih elemenata. Ovim se prevazilazi, ne samo greka primene nekih od prethodnih

postupaka, nego i ogranienja koja oni donose, pre svega u smislu uniformnosti oslanjanja i

optereenja. Jednostavnost primene je samo dodatni benefit. No, jo jednom, prikazani pos-

tupci ostaju od neprocenjive vanosti u smislu razvoja inenjerske logike, ali i upotrebljivo

sredstvo praktinog prorauna u odsustvu odgovarajuih softverskih alata. Opet ne treba

zaboraviti: nainom armiranja je u velikoj meri, izmeu ostalog, odreeno ponaanje armi-

ranobetonskih elemenata i konstrukcija.

4.3.1.2.4.3.1.2.4.3.1.2.4.3.1.2. Kontinualne ploeKontinualne ploeKontinualne ploeKontinualne ploe

U realnim konstrukcijama ploe se najee javljaju kao niz monolitno izlivenih ploa zajed-

no sa noseim gredama u dva ortogonalna pravca (meuspratne konstrukcije, na primer). Pri

tome se i odnos duina stranica pojedinih polja ovakve, kontinualne, ploe redovno nalazi u

granicama izmeu 1.0 i 2.0, ime ploe moraju proraunski biti tretirane krstastoarmirani-

ma. Po pravilu je i debljina ploa u sistemu meusobno jednaka, a esto je i razmak oslona-

ca nepromenljiv u nekom od pravaca.

Sl. 299. Dekompozicija kontinualne ploe na pojedinane


179

Proraun uticaja u kontinualnim ploama se u praksi esto svodi na proraun pojedinanih

ploa oslonjenih linijski (slobodno ili ukljetenih) na sve etiri ivice. Konturni uslovi se biraju

u funkciji postojanja krute veze kraja ploa s susednim poljem (Sl. 299). Uslov za ovakvu

dekompoziciju je jednakopodeljeno optereenje svih polja istovremeno. Osnov za ovo ra-

lanjavanje lei u prilino horizontalnoj tangenti na liniju ugiba ploe na mestu iznad oslon-

ca. Linijom/povri ugiba odreeni su ostali uticaji, a horizontalna tangenta odgovara upravo

uslovima punog ukljetenja. Oigledno, dodatni uslov ralanjavanja su i (bar) priblino jed-

naki rasponi susednih ploa.

Uticaji se, sada, odreuju za pojedinane ploe, a eventualno razliite vrednosti oslonakih

momenata savijanja za dve ploe na mestu njihovog spoja (zbog razliitih uslova oslanjanja

i/ili razliitih raspona) se prevazilaze usvajanjem vrednosti jednake aritmetikoj sredini dva

momenta:

( )0.5o o oL DM M M= + . ......................................................................................................... (4.14) Primerom na Sl. 300 je pokazana opravdanost ovakvog pristupa.

Sl. 300. Izjednaavanje oslonakih momenata

Tipian primer kontinualne ploe optereene jednakopodeljenim optereenjem po celoj

povrini istovremeno je dno rezervoarske/bazenske konstrukcije, na primer. esto je ovakvo

ralanjavanje mogue i u konstrukcijama zgradarstva, kada je intenzitet korisnog opteree-

nja (u daljem tekstu - p) mali u odnosu na stalno optereenje (nadalje - g), koje je, mahom,

ravnomerno povrinski raspodeljeno. Meutim, ak i tada, a posebno u situacijama velikih

korisnih optereenja (skladita, biblioteke...), ovakav proraun nije na strani sigurnosti.

Sl. 301. Najnepovoljniji rasporedi korisnog optereenja

Povremeno (obino korisno) optereenje, naelno, treba analizirati u rasporedima koji vode

najnepovoljnijim uticajima u presecima ploe. Meutim, razliitim presecima odgovaraju

razliiti najnepovoljniji rasporedi korisnog tereta. Direktno se moe primeniti analogija s

najnepovoljnijim rasporedom optereenja kontinualnih linijskih nosaa, ekstrapolirana u jo

jednom pravcu. Na Sl. 301 dati su najnepovoljniji poloaji korisnog optereenja koji vode

ekstremnim vrednostima obeleenih momenata savijanja. Redom: maksimalne vrednosti

momenata oba pravca u optereenim poljima (ah raspored optereenja), maksimalni oslo-

naki moment x-pravca, te maksimalni oslonaki momenti y-pravca.


180

Za kontinualnu plou velikog broja polja broj ovakvih rasporeda moe biti velik, a analiza

uticaja time zametna. Jednostavniji nain predstavlja dekompozicija korisnog optereenja na

dva sluaja, tzv. simetrini i antimetrini:

2spp = ,

2app = . .................................................................................................................. (4.15)

Ovim se optereenje u ah rasporedu (prva slika na Sl. 301) moe prikazati kao zbir optere-

enja ps koje deluje preko cele ploe i optereenja koje naizmenino, u ah rasporedu, deluje

u intenzitetu +p/2 ili p/2 (Sl. 302).

Sl. 302. Dekompozicija korisnog tereta na simetrini i asimetrini deo

Razlog ba ovakvoj dekompoziciji lei u obliku deformacije antimetrino optereene ploe

(poput antimetrino optereenog kontinualnog linijskog nosaa), koji priblino odgovara

zglobnoj vezi izmeu susednih, raznosmerno optereenih ploa, kako je dato na Sl. 303.

Sl. 303. Zglobna veza izmeu susednih raznosmerno optereenih polja ploe

Za simetrini deo optereenja (a takvo je i stalno optereenje) uticaji u poljima kontinualne

ploe mogu biti odreeni pojedinano za svako polje (uz osrednjavanje vrednosti oslonakih

momenata), a slino je, samo sada pretpostavljajui zglobnu vezu izmeu raznostrano opte-

reenih polja, mogue uiniti i za antimetrino optereenje. Ukupni (sad ekstremni) uticaji se

odreuju superpozicijom uticaja nastalih usled simetrinog optereenja na statikom siste-

mu koji tom optereenju odgovara i uticaja usled antimetrinog optereenja na statikom

sistemu koji antimetrinom optereenju odgovara.

Sl. 304. Superpozicija uticaja s dva statika sistema

Primera radi, za gornje levo polje ploe na Sl. 302, bie analizirana dva sistema prikazana na

Sl. 304. Drugi sistem ostaje bez oslonakih momenata.


181

Slino prikazanom dekomponuje se i korisno optereenje koje je u rasporedu koji rezultuje

ekstremnom vrednou oslonakih momenata savijanja. Dekompozicija optereenja na

simetrini i antimetrini deo rezultira i istosmerno optereenim susednim poljima (Sl. 305).

Sl. 305. Dekompozicija korisnog tereta na simetrini i asimetrini deo

Za polje ijoj desnoj ivici odgovara oslonaki moment za iju je ekstremnu vrednost korisno

optereenje postavljeno u ovakav raspored, dva sistema e sada imati oblik sa Sl. 306.

Sl. 306. Superpozicija uticaja s dva statika sistema

Prilikom prorauna uticaja na ovaj nain pogodno je, zbog istog rasporeda, superponirati

(zajedniki tretirati) stalno optereenje i simetrini deo korisnog. Naravno, za potrebe

dimenzionisanja uticaji nee biti odreeni za prost zbir ovih optereenja, nego za linearnu

kombinaciju koja svakom optereenju pridruuje odgovarajui parcijalni koeficijent sigurno-

sti (1.6g+1.8ps).

Vrednosti oslonakih reakcija se, kod kontinualnih ploa, odreuju na isti nain kao i kod

pojedinanih, ali uz uvaavanje injenice da ekstremne vrednosti reakcija ne mogu istovre-

meno da deluju po svim oslonakim gredama, te o najnepovoljnijim rasporedima reaktivnog

optereenja kad su oslonaki elementi u pitanju. Naravno, greda ispod spoja dve susedne

ploe je optereena dvema reakcijama.

Sl. 307. Oslonake reakcije odreene postupkom pripadajuih povrina

Kao ilustracija, prikazan je nain odreivanja oslonakih reakcija postupkom pripadajuih

povrina (Sl. 307).

Opet treba primetiti ogranienu mogunost primene prikazanog na regularne ploe bez

veih otvora, priblino jednakih raspona u svakom od pravaca, optereenih teretom jedna-

kog intenziteta po svim poljima. Realne konstrukcije su retko takve i primena ovakvog prib-


182

linog postupka redovno podrazumeva i dodatna gruba uproenja. Samo po sebi, naravno,

ovo ne mora da vodi loe projektovanoj ploi, ali iskustvo i inenjerski rezon postaju faktori

od presudnog znaaja.

I ovde je danas oekivana primena odgovarajuih softverskih aplikacija (MKE) prilikom odre-

ivanja statikih uticaja uz mnogo vei komfor i domen primene od bilo kojeg priblinog

postupka. Dodatno, sloenijim modelima (cela konstrukcija) mogu biti obuhvaeni i do sada

nepominjani efekti, kakvi su realna (naspram beskonane) krutost oslonakih greda.

Sl. 308. Uporedni prikaz rezultata za nepokretno oslonjenu i za plou oslonjenu na grede nepokretno

oslonjene na stubove: ugibi, momenti savijanja, potrebna armatura u donjoj i u gornjoj zoni ploe

Uporednim dijagramima (Sl. 308) prikazana je, esto i kvalitativna, razlika u uticajima koje

donosi realna krutost oslonakih greda u odnosu na beskonano krute.


183

4.3.2.4.3.2.4.3.2.4.3.2. DIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARMIRANJEMIRANJEMIRANJEMIRANJE

Potrebna debljina ploe odreuje se prema, po apsolutnoj vrednosti, maksimalnom momen-

tu savijanja. Poeljno dilataciono stanje za granino stanje nosivosti kritinog preseka odgo-

vara duktilnom lomu uz blago neiskorienu graninu dilataciju betona.

4.3.2.1.4.3.2.1.4.3.2.1.4.3.2.1. Poduna armaturaPoduna armaturaPoduna armaturaPoduna armatura

Potrebna armatura se odreuje za dva pravca u karakteristinim presecima s lokalnim eks-

tremima momenata savijanja. Armatura dva pravca se postavlja u dve ravni, zbog ega jedan

pravac ima manju statiku visinu od drugog. Dominantnom, po pravilu kraem, pravcu (pra-

vac s maksimalnim apsolutnim vrednostima momenta savijanja) pridruuje se vea statika

visina, a kod priblino kvadratnih ploa se moe dogoditi (nije od posebnog znaaja) da,

zbog razlike u statikim visinama, pravac s manjim momentom savijanja ima veu potrebu

za armaturom. U svakom sluaju, zbog relativno malih debljina ploa, razlike u statikim

visinama mogu imati posledice u rezultatima potrebe za armaturom koji su od znaaja.

Sl. 309. Razliite statike visine armature dva pravca

Minimalni koeficijenti armiranja, za oba pravca, u najnapregnutijim presecima, su isti onima

za glavnu armaturu ploa jednog pravca i propisani su u funkciji vrste koriene armature

kao: 0.15% za glatku armaturu GA240/360, 0.10% za rebrastu armaturu RA400/500 i

0.075% za mreastu MA500/560 armaturu. I odredbe kojima se definie maksimalan razmak

izmeu ipki odgovara onima datim za glavnu armaturu ploa koje optereenje prenose u

jednom pravcu.

Naelno, konstruisanje armature krstastoarmiranih ploa treba da odgovara linijama zateu-

ih sila. Kako ove, zavisno ve od naina odreivanja statikih uticaja, ne moraju biti pozna-

te, valja se koristiti uobiajenim relativnim duinama i mestima povijanja ipki.

Sl. 310. Shematski prikaz armiranja krstastoarmirane pune ploe

Pad momenata savijanja od srednje ka krajnjim trakama se moe ogledati i u usvojenoj

armaturi. preporuen nain redukcije armature ka krajevima dat je na Sl. 310.


184

Armiranje traka u svemu odgovara onom prikazanom kod ploa koje optereenje prenose u

jednom pravcu (Sl. 280, Sl. 281). Armatura moe biti voena nezavisno u donjoj i gornjoj

zoni, ili moe biti povijana iz donje u gornju. Uprkos neto veem utroku armature, armira-

nje pravim ipkama je znatno jednostavnije za izvoenje i smatra se poeljnim.

I ovde postoji potreba prijema momenata elastinog ukljetenja na krajevima ploe koji su

proraunom tretirani kao slobodno oslonjeni. ovo se ini ili povijanjem polovine armature

polja nad krajnji oslonac ili dodavanjem armature u ovu zonu (Sl. 311).

Sl. 311. Prijem momenata elastinog ukljetenja na slobodno oslonjenim krajevima ploe

Prilikom izbora vrste armature, za plou valja koristiti istu vrstu kao i u ostatku konstrukcije.

U sluajevima velikih povrina ploa opravdana je i, zbog vee brzine izvoenja, poeljna

primena fabrikih armaturnih mrea.

Treba primetiti da i pored krstastog armiranja (gde su ipke jednog pravca podeone ipke

drugog pravca) kontinualne ploe i dalje imaju potrebu za podeonom armaturom, u zonama

uz oslonce, gde je podeona armatura u gornjoj zoni i paralelna liniji oslanjanja. Naime, u

ovoj zoni, u sredinjem delu duine oslonca, postoji glavna armatura upravna na oslonac, ali

ne i ona s njim paralelna62. Potrebna koliina podeone armature se odreuje na poznat

nain, uz uslov zadovoljenja minimalnog procenta njenim armiranjem.

4.3.2.2.4.3.2.2.4.3.2.2.4.3.2.2. Armatura u uglovima ploeArmatura u uglovima ploeArmatura u uglovima ploeArmatura u uglovima ploe

Konstatovana je ve tenja slobodno oslonjenih uglova ploe da se izdiu kao posledica

meusobne neuravnoteenosti torzionih momenata. Odizanje ploama se spreava ili obod-

nim optereenjem ploe (fasadni zidovi, na primer) ili, ukoliko ono izostaje, posebnim anke-

rima za tu namenu.

Sila kojom se spreava odizanje ploe, a na osnovu koje se izraunava potrebna povrina

ankera ili potrebna teina zida, izraunava se iz:

2

2

0.0926 / 1.00.1324 / 2.0

x y x

x y x

q l za l lR

q l za l l

==

=. ................................................................................. (4.16)

No, u ploi u kojoj je spreeno odizanje slobodno oslonjenih uglova se realizuju naponi

zatezanja u gornjoj i donjoj zoni ploe pod uglovima od 45 (po simetrali ugla, u gornjoj

zoni) i 135 (upravno na simetralu pravog ugla, u donjoj zoni), kako je prikazano na Sl. 312.

62 Pravilo je da gde god, u nekoj zoni ploe (donjoj/gornjoj) postoji armatura jednog pravca, mora pos-

tojati i njoj podeona armatura.


185

Ovi naponi zatezanja se redovno prihvataju ortogonalnim armaturnim mreama u obe zone

ploe, u kvadratnoj ugaonoj povrini prikazanoj skicom.

Sl. 312. Naponi zatezanja u uglu ploe i dodatna armatura za njihovo obezbeenje

Potreba za ovom armaturom proizilazi iz intenziteta momenata savijanja definisanih slede-

im izrazom (za vrednosti izmeu koristi se pravilo linearne interpolacije):

2

2

0.0463 / 1.00.0662 / 2.0

x y x

x y x

q l za l lM

q l za l l

==

=. ................................................................................ (4.17)

4.4.4.4.4.4.4.4. PEURKASTE PLOEPEURKASTE PLOEPEURKASTE PLOEPEURKASTE PLOE

4.4.1.4.4.1.4.4.1.4.4.1. UVOD, KARAKTERISTIKEUVOD, KARAKTERISTIKEUVOD, KARAKTERISTIKEUVOD, KARAKTERISTIKE, PRIMENA, PRIMENA, PRIMENA, PRIMENA, DISPOZICIJE... , DISPOZICIJE... , DISPOZICIJE... , DISPOZICIJE...

Peurkastim tavanicama nazivaju se one kod kojih je puna armiranobetonska ploa oslonjena

takasto (uvek je u pitanju neka povrina) na stubove, umesto linijski (Sl. 314a) na grede

(podvlake).

Peurkaste AB tavanice su meu prvima primenjivanim u visokogradnji i poetak njihove

primene se vezuje za poetak ozbiljne primene armiranog betona u visokogradnji (kraj XIX

i poetak XX veka, mahom u Americi). Zbog niza praktinih prednosti, primena ovih tavanica

ne slabi u intenzitetu, ta vie, zbog jednostavnosti izvoenja, u novije vreme (i kod nas) ovo

postaje i dominantan tavanini sistem u visokogradnji (posebno kad je o direktno oslonjenim

ploama re). Pored toga, vrlo je esta i njihova primena kod industrijskih objekata, skladi-

ta, garaa, rezervoara... Najee se izvode monolitno, ali u novije vreme nije retka ni prime-

na montanih i montano-monolitnih reenja.

Sl. 313. Klasina peurkasta tavanica

Najefikasnijim se javlja kvadratni raster stubova, kada ploa ravnopravno prenosi opteree-

nje u dva ortogonalna pravca, a svakako je za preporuku (iako je mogue konstruisati i ploe

jednog pravca prenoenja optereenja) odnos raspona stubova dva pravca drati manjim od

2. Za odnose rastera dva pravca vee od 2 se (poput linijski oslonjenih ploa) moe smatrati

da ploa prenosi optereenje praktino samo u jednom pravcu. Orijentaciono, rasponi


186

peurkastih ploa su uobiajeno u granicama od 4 do 10(12) metara, a uobiajeno se pro-

jektuju za korisna optereenja do ~10kN/m2.

Sl. 314. Pune ploe: a) linijski; b) takasto, na stubove, preko kapitela; c) direktno oslonjene na stubove

U uem smislu, peurkaste su one ploe kod kojih stubovi prihvataju optereenje s ploe

preko proirenja kapitela, koji tavanici daju izgled koji asocira na peurku (Sl. 313, Sl.

314b, Sl. 315a). Meutim, esto je mogue projektovati i ovakvu konstrukciju kod koje pot-

reba za proirenjem vrha stuba izostaje, kada je re o posebnoj, bezkapitelnoj, vrsti peur-

kastih tavanica ploa direktno oslonjena na stubove (Sl. 314c, Sl. 315b). Kapiteli, u osnovi,

kao i sami stubovi na koje se ploa oslanja, u preseku, mogu biti pravougaonog, krunog ili,

ree, nekog drugog oblika. Interesantno i dosta esto primenjivano reenje za savladavanje

velikih raspona u novije vreme predstavlja kombinacija kasetirane i peurkaste tavanice pri-

kazana skicom na Sl. 317.

Sl. 315. Peurkasta tavanica oslonjena na stubove preko kapitela i direktno

Karakteristini, u primeni, oblici kapitela su prikazani na narednoj skici (Sl. 316). Koji e

oblik reenja kapitela biti primenjen u konkretnoj situaciji (i da li je kapitel uopte potreban)

primarno je odreeo dispozicijom ploe (rasponi), nivoom optereenja i dimenzijama stubo-

va. Tako su, primera radi, trei i etvrti kapitel na donjoj slici karakteristini za vee intenzi-

tete optereenja i/ili vee raspone, a primarno vezano za probleme probijanja ploe.

Sl. 316. Nekoliko, u primeni, karakteristinih tipova kapitelnih konstrukcija

Iako je ovde teko precizno razgraniiti pojmove, kapitelnu konstrukciju63 mogu da formira-

ju prorenja stuba (kapiteli u uem smislu, column heads) i/ili stepenasta zadebljanja ploe

63 Ad hoc uveden termin u pokuaju terminolokog razgraniavanja.


187

(drop panels), Sl. 314b i Sl. 315b. Iako su sline funkcije (poveavaju smiuu nosivost ploe)

i mogu zajedniki da formiraju kapitelnu konstrukciju, proirenja stubova, smanjenjem svet-

log raspona, vie utiu na redukciju momenata u ploi, dok stepenasta zadebljanja ploe vie

utiu na poveanje momentne nosivosti ploe u zoni maksimalnih negativnih momenata. U

svakom sluaju, primarni zadatak kapitelne konstrukcije je da tavaninu konstrukciju obez-

bedi od proboja (Sl. 318), koji e se javiti i osnovnim problemom primene ovih tavanica.

Sl. 317. Kombinacija kasetirane i peurkaste ploe

Sl. 318. Slikovit prikaz probijanja ploe

Na krajevima (po obodu) peurkasta ploa moe biti oslonjena takoe takasto, na stubove,

ili linijski, na gede ili zidove. Takasto oslanjanje na stubove moe biti ostvareno preko

polukapitela (etvrtkapitela u uglovima) ili preko punih kapitela, kada se ploi daje konzolni

prepust (Sl. 319a,b). Ovim drugim nainom se obezbeuje vei stepen ukljetenja ploe u

stubove, ali i izbegavaju problemi probijanja karakteristini za nepotpune kapitele. Jo

bolje reenje, kojim se izbegava pojava vitoperenja ivice ploe, ukoliko za to postoje

mogunosti, obezbeuje linijsko oslanjanje ploe na gredu koja se prua preko poslednjeg

reda stubova (Sl. 319c). Konano, ploa moe biti elastino ukljetena u AB zid (Sl. 319d), ili

delimino ukljetena u ili samo oslonjena na zid od opeke.

Sl. 319. Zavreci peurkaste ploe

Sl. 320. Manja spratna visina peurkaste tavanice (u odnosu na linijski oslonjenu)

Masovnost primene peurkastih tavanica je primarno posledica njenih praktinih prednosti u

odnosu na linijski oslonjene ploe64. Ravna donja povrina ploe (odsustvo prepreka koje bi

grede predstavljale) obezbeuje mogunost boljeg korienja zapremine prostora ispod plo-

64 Peurkaste tavanice je smisleno direktno uporeivati s punim AB ploama koje optereenje prenose

u dva pravca (ukoliko je podrazumevano da i peurkaste ploe rade u dva pravca).


188

e, obezbeuje mogunost boljeg osvetljavanja i ventiliranja prostora, kao i lake voenje

instalacija. Takoe, trokovi izrade oplate za plou su znaajno manji, a brzina izvoenja

vea. Konano, peurkaste ploe mogu biti manje spratne visine, ime se kod viespratnih

zgrada moe ostvariti znaajna uteda u visini objekta, a time i u utroku materijala za pre-

grade i fasade, za stepenita, pri malterisanju... Na Sl. 320 je prikazana priroda manje pot-

rebne visine peurkaste tavanice.

Mane ovih tavanica bi bile malo vea potrebna debljina ploe, limitirana nosivost na smicanje

u zoni oslanjanja i, esto, potreba osiguranja, komplikovano izvoenje kapitela, ali i izosta-

janje krutog spoja stuba i grede i svih povoljnosti koje pravilno projektovan ovakav spoj

nosi, posebno u kontekstu velikih horizontalnih optereenja. Generalno, dobra je ideja raz-

miljati na nain da primena ove vrste tavanica zahteva i obezbeenje horizontalne stabilno-

sti konstrukcije sistemom jakih zidova za ukruenje, ime e spoj stub-ploa maksimalno

biti rastereen u smislu prenosa momenta savijanja. Naime, ne samo to ovaj spoj nema

mogunost prijema/prenosa veih intenziteta momenata savijanja, nego izostaje i mogu-

nost formiranja momentnih plastinih zglobova na krajevima greda, to je osnova seizmike

otpornosti viespratnih konstrukcija.

4.4.2.4.4.2.4.4.2.4.4.2. STATIKI RAD I TRESTATIKI RAD I TRESTATIKI RAD I TRESTATIKI RAD I TRETMTMTMTMAN PEURKASTIH PLOAAN PEURKASTIH PLOAAN PEURKASTIH PLOAAN PEURKASTIH PLOA

Statiki, peurkasta ploa predstavlja kontinualnu punu armiranobetonsku plou kruto ili

zglobno oslonjenu na stubove, odnosno, zajedno sa stubovima ploa formira sistem konti-

nualnih kvazi-okvira.

Na Sl. 321 je prikazano izdvojeno jedno polje kontinualne ploe oivieno rasterom stubova

(stubovi su u uglovima izdvojenog dela ploe), te ,kvalitativno, promene momenata savijanja

dva pravca u karakteristinim presecima, a pod ravnomerno raspodeljenim optereenjem

(dati, linijski, dijagrami predstavljaju presek kroz odgovarajue povrinske; veliine mx i

my su u kNm/m). Skicom se naglaavaju znaajno vee vrednosti momenata savijanja u tra-

kama koje prelaze preko oslonaca u odnosu na one koje prolaze izmeu stubova, sredina-

ma polja. Delovi ploe trake koje se prostiru preko stubova se ponaaju kao da su vee

krutosti na neki nain preuzimaju funkciju greda u linijski oslonjenim ploama.

Sl. 321. Raspodela momenata savijanja dva pravca za jedno polje peurkaste ploe

Pokuajmo u nastavku dalje produbiti zapoetu analogiju na relaciji linijski oslonjene konti-

nualne ploe peurkaste ploe. Na prvoj skici (Sl. 322a) prikazan je deo kontinualne krstas-

to-armirane ploe, oslonjene na krute grede, koje se, dalje, oslanjaju na stubove. Oslonake

grede B se pruaju u x-pravcu, na kraem rasponu lx, a grede G su y-pravca i raspona ly. Ve

je pokazano (Marcus-ov metod) da je optereenje ploe, q, mogue fiktivno dekomponovati

na dva dela, qx i qy, svaki zaduen za jedan pravac prenoenja optereenja.


189

Tako se qx optereenje prenosi trakama S, kraeg (S short), x, pravca do greda G dueg

raspona, a, dalje, gredama G na oslonce/stubove. Isto tako se deo optereenja qy trakama L

(L long) prenosi do greda B i dalje, njima, do stubova. Ako se sada sumira deo optereenja

koji do stubova dolazi x-pravcem (bilo ploom ili gredama) bie: qx deo optereenja trakama

ploe S i qy deo optereenja gredama B. Ili, ukupno 100% optereenja. Do istog zakljuka se

dolazi i sumiranjem optereenja koje se prenosi u y-pravcu: qy deo trakama L i qx deo gre-

dama G. Ovim je formulisan statiki (moda, u prvi mah, paradoksalan) uslov da se 100%

optereenja na ploi prenosi svakim pravcem.

Sl. 322. Analogija na relaciji linijski i takasto oslonjene ploe

Posmatrajmo sada peurkastu plou na Sl. 322b. Ovde nema oslonakih greda, ali se moe

zamisliti da grede postoje kao skrivene u debljini ploe (grede su smanjile visinu na raun

poveanja irine), te da, takve, preuzimaju funkciju greda iz prethodnog sluaja. Zakluak o

potrebi da se svakim pravcem prenese kompletno optereenje stoji nepromenjen i ovde, s

tom razlikom to su, u ovom sluaju, i grede deo ploe. Tako e, kod peurkastih ploa, plo-

a prenositi kompletno optereenje u svakom pravcu, ali u tome nee svi njeni delovi ravno-

pravno uestvovati (videti Sl. 321). Iako ne tako jasno izraeno kao kod kontinualnih krstas-

to-armiranih ploa, delovi ploa trake koje prelaze preko stubova su nalik gredama (pod

uslovom, naravno, da armiranje ploe prati ovakvu analizu i raspodelu naprezanja).

Neka je izdvojeni deo ploe oslonjen u takama A, B, C i D (Sl. 323). Pravcem y se prenosi

kompletno optereenje q (u kN/m2), kojeg na irini lx ima qlx (u kN/m). Raspon u y-pravcu

je ly, a strela zbirnogzbirnogzbirnogzbirnog momenta za polje (u kNm) mora biti:

( ) 2

8 2x y AB CD

s EFq l l M M

M M +

= = + . ............................................................................. (4.18)

Pri tome, negativni zbirni momenti na krajevima su MAB i MCD, dok je zbirni moment u sredini

raspona u y-pravcu MEF65. Zbirni momenti po irini lx imaju raspodelu koja prati prethodno

iznete konstatacije: veih su intenziteta na krajevima polja u odnosu na sredinu, a ova razli-

ka je posebno izraena kod oslonakih momenata (videti raspodelu zbirnog momenta MAB).

Isprekidanim linijama na dijagramima raspodele momenata po irini prikazana je mogunost

jednostavne proraunske idealizacije ovih raspodela konstantnim vrednostima u pojedinim

65 Nita se ne implicira o meusobnom odnosu momenata na krajevima i u polju. Do ovih veliina valja

doi odgovarajuim metodama prorauna uticaja.


190

intervalima - trakama. Kako je obeleeno, uobiajeno je usvajanje irine traka od etvrtine,

odnosno polovine odgovarajueg (upravnog) raspona. Sredinje trake irine polovine uprav-

nog raspona e biti trake u polju, a krajnje (takoe irine jednake polovini raspona, budui

da susedno polje donosi drugu etvrtinu) trake iznad oslonaca.

Sl. 323. Raspodele zbirnih momenata jednog polja peurkaste ploe

4.4.3.4.4.3.4.4.3.4.4.3. ODREIVANJE STATIKIODREIVANJE STATIKIODREIVANJE STATIKIODREIVANJE STATIKIH UTICAJAH UTICAJAH UTICAJAH UTICAJA

Podrazumevani nain odreivanja statikih uticaja u armiranobetonskim konstrukcijama

generalno, danas, jeste strukturalna analiza prostornih konstruktivnih modela podrana

odgovarajuim softverskim aplikacijama, mahom baziranih na primeni metode konanih

elemenata. Sluaj je ovo i s peurkastim konstrukcijama, posebno u situacijama promenljivih

raspona, nepravilnih osnova ili neregularnosti drugih vrsta, kada primena66, manje ili vie

opteg, softvera za strukturalnu analizu praktino i nema alternativu.

Ipak, u pojedinim situacijama se pogodnom za primenu mogu pokazati i neke pribline

metode, pre svega metode zamenjujuih traka i okvira. Iako prilino grube u tanosti rezul-

tata koje obezbeuju, te limitirane na regularne dispozicije peurkastih tavanica, njihovom

primenom se obezbeuju rezultati koji mogu biti osnova za pouzdano dimenzionisanje i

armiranje ploa67. Razloge produenom ivotu priblinih metoda prorauna uticaja kod

peurkastih ploa treba traiti, osim u jednostavnosti primene i jasnom fizikom rezonu, i u

odreenom stepenu nepouzdanosti rezultata koje primena metode konanih elemenata kod

ovih ploa nosi. Naime, problemi prodora linijskih elemenata kroz povrinske su, kao mes-

ta singulariteta, problematini (da se zadrimo na ovome) za reavanje primenom MKE. Zbog

toga, prilikom projektovanja tavanica valja imati na umu i ovo, te se u proceni realnih uticaja

bar pomoi priblinim metodama. Dodatno, nain dimenzionisanja (odreivanja potrebe za

armaturom) ploa definisan pravilnicima za projektovanje armiranobetonskih konstrukcija je,

po pravilu, prilagoen ba proraunu uticaja priblinim metodama, kako e i ovde, u nastav-

ku, biti pokazano.

66 Misli se na svakodnevnu inenjersku praksu.

67 Stalno valja imati na umu injenicu da raspored i oblik armature utiu na raspodelu uticaja u armira-

nobetonskim elementima.


191

Sl. 324. Povrinski dijagram momenata mx i preseci generisani iz dijagrama

Kao argumentaciju gornjih tvrdnji vezanih za primenu MKE, razmotrimo rezultate prikazane

na narednim dijagramima. Razmatra se pravilna kontinualna tavanica (5 x 4 polja) jednakih

svih raspona i ravnomerno podeljeno optereenje po njenoj povrini, te momenti mx (odre-

uju armaturu x-pravca). Apsolutne vrednosti raspona, optereenja ili momenata savijanja

nisu od znaaja u ovoj analizi. Na Sl. 324a je izo-povrinama prikazan dijagram momenata

savijanja u x-pravcu. Oigledna je izraena koncentracija (argonski pic) momenata

savijanja u takama oslanjanja ploe. Presekom a) kroz dijagram datom na Sl. 324b, ovi pi-

cevi postaju uoljiviji. Dijagramom b) je dat prosek ovih momenata savijanja na irini trake

iznad stubova ly/2 ilustrujui veliku razliku u ekstremnoj vrednosti negativnog momenta. Za

razliku od oslonake trake, trake u polju ne pokazuju veliku promenu vrednosti po irini, to

je ilustrovano dijagramima c) (daje presek kroz povrinski dijagram) i d) prosenu vrednost

na irini ly/2 trake u polju. Dalje, na Sl. 325a je prikazana, dijagramom a) promena istog

momenta u upravnom pravcu (po irini), data kao presek kroz povrinski dijagram, a na

dijagramu b) je data prosena vrednost za traku (male) irine jednake irini stuba. Primetna

je velika razlika u maksimalnim vrednostima negativnih momenata ak i na ovom nivou.

Sl. 325. Raspodela oslonakih momenata u upravnom pravcu i dijagrami ugiba

Ne treba smetnuti s uma da ovakav proraunski model podrazumeva takasto oslanjanje

ploe, a realna situacija uvek podrazumeva prenos optereenja preko povrine.

Pogodnim armiranjem je mogue ublaiti velike razlike u negativnim momentima u ploi,

raunajui na lokalne preraspodele uticaja, a u tome od velike pomoi mogu biti i principi i

zakljuci priblinih metoda prorauna.


192

Dijagramom (Sl. 325b) ugiba u dva preseka kroz plou (iznad stubova i u polju) konstatujmo

i na ovaj nain prikazanu veu krutost oslonake trake (vea promena ugiba - vee krivine

vei momenti savijanja).

Veina propisa i danas zadravaju i poluempirijske direktne metode (bazirane na rezultatima

eksperimentalnih istraivanja, numerikim i analitikim reenjima, te na iskustvima izvede-

nih objekata) izraunavanja uticaja u ploama. Iako jednostavne za praktinu primenu, ove

metode su u domenu primene vrlo limitirane (zahtevaju visok stepen regularnosti konstruk-

cije, kontinualno prostiranje preko bar tri raspona i/ili odreen nain oslanjanja ploe po

obodu) a, danas ih numerike i pribline metode potiskuju iz upotrebe. Ovo je razlog to

njihov opis u ovom tekstu izostaje.

4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4. METOD ZAMENJUJUIH OMETOD ZAMENJUJUIH OMETOD ZAMENJUJUIH OMETOD ZAMENJUJUIH OKVIRAKVIRAKVIRAKVIRA

Metod zamenjujuih okvira za odreivanje momenata savijanja u peurkastim tavanicama se

zasniva na ve iznetoj ideji da ploa sa stubovima formira kontinualni okvir, a da se ploa

tretira kao greda ovog okvira. Primenljiv je na peurkaste konstrukcije, optereene ravno-

merno raspodeljenim optereenjem, nejednakih raspona, iako je poeljno da rasponi jednog

pravca (posebno susedni rasponi) ne variraju mnogo, kao i da je odnos raspona dva pravca

maksimalno 4:3. Tretmanom okvira se odreuju zbirni momenti (momenti linijskog elemen-

ta), nakon ega se raspodeljuju u drugom, upravnom, pravcu (po irini).

Metod podrazumeva da se, u svakom pravcu ponaosob, konstrukcija ralani na sistem

paralelnih okvira, gde svakom pripada polovina susednih polja (Sl. 326a). Izdvojeni deo

ploe je rigla okvira kruto vezana za stubove68, irine jednake poluzbiru susednih raspona:

( )1 20.5 y yb l l= + . .................................................................................................................. (4.19) Na ovaj nain su formirani viespratni okviri (kod viespratnih konstrukcija), ali se moe

razmatrati i sprat-po-sprat na nain da se uz jedan nivo greda razmatraju i stubovi sprata

ispod i iznad, ukljeteni na svojim krajevima (Sl. 326b).

Sl. 326. Formiranje zamenjujueg okvira

Popreni presek grede odgovara izdvojenom pravougaonom preseku ploe (velike irine i

male debljine), irine b i visine jednake debljini ploe, d, a stubovi u model ulaze sa svojim

pravim poprenim presecima uz zanemarenje postojanja kapitela69. Zadebljanje ploe na

68 U sluaju da se ploa oslanja na relativno tanke stubove bez kapitelne konstrukcije, veza stub-ploa

moe biti razmatrana i kao zglobna, kada je re o metodi zamenjujuih traka kontinualnih nosaa.

69 Amerikim, propisima se, istina, zahteva korekcija krutosti uslovljena kapitelnom konstrukcijom.


193

mestu kapitela se modelom okvira ne obuhvata direktno, nego kroz redukciju raspona grede

i visine stubova. Za srednje raspone greda se usvaja:

( )( )1 2 / 3ml l c l= , ......................................................................................................... (4.20) gde je c karakteristina dimenzija kapitela definisana pravouglim konusom upisanim u kapi-

tel, kako je narednom slikom prikazano (Sl. 327). Za krajnje raspone vai:

( )( )1 2 / 3kl l c l= , za plou oslonjenu na polukapitele na krajevima, .............................. (4.21) ( )( )1 / 3kl l c l= , za plou oslonjenu na ivinu gredu, i ..................................................... (4.22) ( ) ( )( )1 / 3 / 2kl l c l d l = + , za plou oslonjenu na zid od opeke, ................................ (4.23) gde je l rastojanje od unutranje ivice zida do prvog stuba.

Visina stubova se redukuje za polovinu karakteristine dimenzije kapitela:

/ 2mh h c= . .......................................................................................................................... (4.24)

Kako ploa svaki pravcem prenosi kompletno optereenje, to se linijsko optereenje grede

okvira odreuje za kompletno optereenje koje se nalazi na izdvojenom delu ploe70 (izbe-

gavanja zabune radi, date su i jedinice uz pojedina optereenja):

[ ]* 2/ /q kN m q kN m b = . ................................................................................................ (4.25) Pri tome, oznaka q je generika i moe da se odnosi na svaku od vrsta optereenja (uobi-

ajeno, stalno i korisno). Takoe, posebno za vee intenzitete korisnog dejstva, poeljno je

razmatrati i njegove najnepovoljnije rasporede, to za rezultat daje dijagram ekstremnih

vrednosti momenata (anvelopa) umesto dijagrama momenata. Ipak, kako je raspodela ovako

odreenih momenata po irini definisana samo za ekstreme (oslonci i polje), to su od prakti-

nog interesa samo oslonake vrednosti momenata savijanja, Mo, i maksimalni momenti u

poljima, Mp.

Sl. 327. Karakteristina dimenzija kapitela, c 71

Metod zamenjujuih okvira moe biti primenjen i za konstrukcije gde se kombinuje linijsko i

takasto oslanjanje (Sl. 328a) ili za konstrukcije sa ne-ortogonalnim, ak nepravilnim, raste-

rima stubova (Sl. 328b), kada je traka promenljive irine, a okvir se formira ispravljanjem

poligonalne ose. Metoda je pogodna i za odreivanje uticaja od horizontalnih dejstava.

Prema domaim uputstvima (sam PBAB ne definie nain raspodele), ovi momenti se raspo-

deljuju dvema trakama: traci iznad stubova irine b/2, i traci u polju irine dva puta po b/4.

70 Ovim e optereenje s iste povrine izazivati uticaje u riglama dva upravna okvira (videti Sl. 328a).

71 Kapitelne konstrukcije prikazane slikom su tri mogua tipa definisana Uputstvima za raunanje

peurkastih ploa iz 1950. godine. Ova uputstva se i danas odlikuju primenljivou, a bazirana su na

sovjetskim instrukcijama iz 1933. godine.


194

Tri etrtine oslonakog momenta se pridruuje traci iznad oslonaca, a svega jedna etvrtina

traci u polju. Moment u polju, pak, se raspodeljuje u odnosu 55:45, opet vie traci iznad

stubova (Sl. 329).

Sl. 328. Mogunosti primene metode zamenjujuih okvira

Sl. 329. Raspodela zbirnih momenata trakama

Ako uvedemo prosene momente:

o oM M b= , i p pM M b= , ............................................................................................... (4.26)

prethodna raspodela moe biti prikazana i sledeim koeficijentima, kojima se mnoe prose-

ne odgovarajue vrednosti momenata (Sl. 330a):

oslonaki moment: 1.50 za traku iznad stubova i 0.50 za traku u polju,

moment u polju: 1.10 za traku iznad stubova i 0.90 za traku u polju.

Prikazan je i nain raspodele definisan DIN1045 normama (Sl. 330b), kod nas, kao moderniji

i precizniji, esto korien i preporuivan za primenu. Traka iznad oslonaca je neto ua, a

za oslonaki moment se dodatno deli u dve zone.

Sl. 330. Raspodelni koeficijenti

Ako se ploa po ivici oslanja linijski, na zid ili gredu, krajnja traka (paralelna linijskom oslon-

cu) se dimenzionie na momenta u polju trake u polju (Sl. 331).


195

Metod zamenjujuih okvira moe biti iskorien i za priblino odreivanje ugiba ploe,

odreivanjem ugiba posebno za svaki pravac i njihovom superpozicijom, kako je prikazano

na Sl. 332.

Sl. 331. Momenti u ivinoj traci

Sl. 332. Priblino odreivanje ugiba ploe

U svakom pravcu ploa se tretira kao iroka plitka greda nepokretno oslonjena celom iri-

nom. oVako odreeni ugibi su konstantni po irini (odgovaraju cilindrinom obliku deforma-

cione povri) i analogni su prosenim momentima iz analize distribucije momenata po irini.

Obeleimo ove ugibe sa x i y. Do varijacije ugiba po irini je mogue doi preko odnosa

krivina trake iznad oslonaca (indeks col) i trake u polju (indeks - mid), za svaki pravac:

c fcol

colf c col

E IMM E I

=

, i c fmid

midf c mid

E IMM E I

=

, ....................................................... (4.27)

gde je sa If oznaen moment inercije zamenjujue grede, dok momenti inercije pojedinih

traka odgovaraju njihovoj geometriji. Momenti u prethodnim izrazima su odreeni prethod-

no definisanom raspodelom po irini.

4.4.5.4.4.5.4.4.5.4.4.5. DIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARMIRANJEMIRANJEMIRANJEMIRANJE (PODUNA ARMAT(PODUNA ARMAT(PODUNA ARMAT(PODUNA ARMATURA)URA)URA)URA)

Minimalna debljina ploe peurkaste tavanice je odreena generalnim zahtevom za pune

ploe ((4.1)). Pri tome, za svetli rapon ploe valja koristiti raspon stubova, za bezkapitelne

konstrukcije, ili redukovan raspon stubova kojim se obuhvata uticaj kapitelne konstrukcije.

Takoe, valja imati na umu da, naelno, peurkaste ploe, zbog nepovoljnijih uslova osla-

njanja, zahtevaju neto vee debljine od linijski oslonjenih. Pominjanim Uputstvima za pro-

raun peurkastih ploa je definisana minimalna debljina ploe u funkciji vrste kapitela (Sl.

327) i ploe, na sledei nain:

m in / 32 15d L cm= , za prvi tip kapitela, ............................................................................ (4.28) m in / 35 15d L cm= , za drugi i trei tip kapitela, i .............................................................. (4.29) m in / 40d L= , za krovne ploe. .............................................................................................. (4.30)

Debljine ploe, potrebe za kapitelnom konstrukcijom i odreivanje njenog oblika i dimenzija,

kao i potrebe za armaturom su, kod peurkastih ploa, odreene uslovima savijanja (sa ili

bez aksijalne sile) i probijanja (razmatra se u posebnom poglavlju).


196

Rezultat prorauna statikih uticaja su konstantne vrednosti momenata savijanja raspodelje-

nih po irini (u obliku kNm/m) dve vrste traka (oslonakih72 i srednjih). Time se, svaka traka,

dimenzionie poput ostalih punih ploa razmatra se presek jedinine irine, a odreena

armatura je raspodeljena po jedininoj irini (u obliku cm2/m). Podrazumeva se da se arma-

tura odreuje analizom graninog stanja nosivosti, te da se uticaji odreuju u graninom

obliku, uveani parcijalnim koeficijentima sigurnosti73.

Prilikom odreivanja potrebe za gornjom armaturom u zoni iznad stuba, ako je kapitelna

konstrukcija dovoljnih dimenzija, moe se raunati sa uveanom debljinom ploe jednakoj

njenoj debljini na rastojanju c/2 od ose stuba (videti, na primer, Sl. 327), ali ne vie od 1.5d

(d debljina ploe u polju).

Trake ploe iznad stubova se, zbog relativno velike razlike u potrebi za podunom armatu-

rom nad osloncem i u polju, najee armiraju nezavisnom armaturom u dve zone (posebno

gornja, posebno donja, bez povijanja). Na Sl. 333 je prikazan karakteristian nain armiranja

ovih traka. Prisustvo kapitela i njegove armature izostavljaju potrebu za preklopom donje

armature. Izuzetak predstavljaju situacije kada je mogua pojava pozitivnih momenata u

oslonakim zonama (temperaturni uticaji, sleganje oslonaca, velika koncentrisana dejstva...).

Sl. 333. Armiranje trake iznad stubova podunom armaturom

Sl. 334. Armiranje trake u polju podunom armaturom

Kako je analiza uticaja rezultirala raspodeljenim momentima u samo karakteristinim prese-

cima (oslonakim i u polju), to promena momenta izmeu ovih preseka nije poznata74, pa se

u odreivanju duina pojedinih ipki valja drati preporuka poput ovih datim na slici.

72 Jo jednom se napominje da proraunom prema DIN1045, oslonaka traka se, dalje, deli u dve.

73 Oekivano dilataciono stanje preseka ploe implicira, svakako, upotrebu minimalnih vrednosti parci-

jalnih koeficijenata sigurnosti (a>3 promila).

74 Nije mogue odrediti potrebe za duinama pojedinih ipki postupkom zateuih sila, na primer.


197

Za trake izmeu stubova je karakteristino da imaju uporedive vrednosti momenata savijanja

u polju i iznad oslonaca, zbog ega efikasno mogu biti armirane povijanjem polovine arma-

ture polja u gornju, oslonaku, zonu (jedan mogui nain armiranja prikazan na Sl. 334).

Nain armiranja je u potpunosti analogan onom koji se primenjuje kod linijski oslonjenih

kontinualnih ploa. Ovde u oslonakom delu nema kapitela (traka je izmeu stubova), zbog

ega je neophodno preklopiti donju armaturu u zoni oslonaca. I ovde se u odreivanju dui-

na pojedinih ipki koriste preporuke poput ovih na slici75.

Zbog malih razlika u vrednostima momenta u polju i oslonakog momenta, kod ovih traka

esto izostaje potreba za dopunskom oslonakom armaturom (jahai).

Minimalne koliine podune armature, kao i razmaci ipki, su definisani generalno, na nivou

punih armiranobetonskih ploa ranije (videti #4.2).

Kapitel, budui, po pravilu, pritisnut, se armira konstruktivnom armaturom u obliku prostor-

nog koa od povijenih ipki i uzengija, kako je prikazano na Sl. 335a. Ukoliko kapitelna kon-

strukcija ima zadebljanje (engleski drop panel), armira se lakom armaturnom mreom orto-

gonalnih ipki na razmaku ne veem od 15cm, poput one prikazane na Sl. 335b.

Sl. 335. Armiranje kapitela i zadebljanja ploe

75 Imati na umu da su date duine minimalne, a ne preporuene, te, u konkretnoj situaciji, valja razmo-

triti potrebu usvajanja veih.


198

4.5.4.5.4.5.4.5. PROBIJANJE PUNIH PROBIJANJE PUNIH PROBIJANJE PUNIH PROBIJANJE PUNIH AB PLOAAB PLOAAB PLOAAB PLOA

Probijanje ploe nastaje kada je optereenja treretom velikog intenziteta na maloj povrini76

(ploasti mostovi, razliite vrste industrijskih objekata...) ili, analogno, kada je oslonjena na

stub male povrine (peurkaste ploe ili ploe direktno oslonjene na stubove). Lom probojem

predstavlja posebnu vrstu, prostornog, smiueg loma karakteristinu za lokalizovana dejs-

tva, a koja se deava po koninoj ili piramidalnoj povri, zapravo po kosoj pukotini koja prati

povrinu zarubljene kupe ili piramide (Sl. 336).

Moglo bi se rei da je fenomen probijanja ploa analogan smicanju kod grednih elemenata

konvertovanom (sa dve) u tri dimenzije (Sl. 337). Slika prslina prikazana na Sl. 337b, iz jed-

nog eksperimentalnog istraivanja, ukazuje da se sa vrlo visokim stepenom disperzije (od

idealizovanih) rezultata mora raunati.

Sl. 336. Konusna ili piramidalna povr sloma usled probijanja

Sl. 337. Ilustracija i fotografija proboja ploe

Poput problema obezbeenja glavnih napona zatezanja kod greda, i ovde se izraunava smi-

ui napon i uporeuje sa referentnim, doputenim, naponima. Mogui ishodi su:

- Betonski presek, sam, moe da primi popreno optereenje i nije potrebno dodatno

obezbeenje smiuom armaturom ploe bez poprene armature; sluaj


199

Problem probijanja ploa je predmet intenzivnog naunog istraivanja u novije vreme. Raz-

lozi za ovo su brojni primeri kolapsa i nepovoljnog ponaanja u eksploataciji izvedenih

peurkastih konstrukcija, jo uvek nedovoljan stepen poznavanja realne prirode i procesa

koji prate fenomen probijanja ploa, odsustvo jasnih i preciznih inenjerskih numerikih

modela, sve masovnija primena peurkastih ploa u praksi (pospeena jednostavnou i

brzinom izvoenja), posebno onih direktno oslonjenih na stubove, ali i potreba dodatnog

pojednostavljenja i ubrzanja izvoenja pouzdanih peurkastih konstrukcija.

Odredbe vodeih svetskih propisa koje se na ovaj problem odnose su u poslednjih nekoliko

decenija pretrpele velike izmene i unapreenja, a novi sistemi obezbeenja se svakodnevno

uvode u upotrebu. Kako domai propisi (blago modifikovani nemaki propisi tog vremena) u

ovoj oblasti nisu inovirani ve nekoliko decenija, to e paralelno biti razmatrana i novija

svetska iskustva, te noviji propisi za proraun armiranobetonskih konstrukcija.

4.5.1.4.5.1.4.5.1.4.5.1. KONTROLA PLOA NA PRKONTROLA PLOA NA PRKONTROLA PLOA NA PRKONTROLA PLOA NA PROBIJANJE PREMA OBIJANJE PREMA OBIJANJE PREMA OBIJANJE PREMA DOMAIM PROPISIMADOMAIM PROPISIMADOMAIM PROPISIMADOMAIM PROPISIMA

Prema domaim propisima, bez obzira na oblik poprenog preseka stuba, smiua povr se

numeriki usvaja kruna u osnovi, odnosno smatra se da se probijanje realizuje po koninoj

(zarubljena kupa) povrini. Pri tome se, za potrebe odreivanja smiueg napona, konina

povrina dodatno aproksimira cilindrinom. Na primeru ploe direktno oslonjene na kruni

stub (prenika ds), ovo je prikazano na Sl. 338a.

Sl. 338. Zamena konusne povri ekvivalentnom cilindrinom

U svim daljim analizama tretira se samo deo debljine ploe obuhvaen statikom visinom hs,

za koju je opravdano usvojiti srednju vrednost statikih visina dva pravca (budui da su

podune armature dva pravca u dva nivoa, jedna iznad druge). Konus prikazan isprekidanom

linijom je nagiba izvodnice od 45, prenika ire osnove od (ds+2hs) se aproksimira cilin-

drom sline povrine omotaa, prenika osnove (ds+hs), ime se razmatra presek udaljen

(ds+hs)/2 od centra stuba.

Sl. 339. Mogu poloaj kritinih preseka kod ploa s kapitelnom konstrukcijom

Poloaj kritinog preseka (uz usvojen nain usvajanja ekvivalentnog cilindra) kod ploa

direktno oslonjenih na stub, bez proirenja ili zadebljanja je nesporan. Meutim, kod ploa s

kapitelnim konstrukcijama, gde veim debljinama ploe (veim visinama) odgovaraju manji

obimi osnove cilindra, a manjim debljinama vei, poloaj kritinog preseka nije a priori poz-


200

nat, kako je to pokazano na Sl. 339, za dva tipa kapitelne konstrukcije. Primetiti i kako je

(Presek 1, desno) odreena visina ekvivalentnog cilindra.

U jednom preseku (krunom u osnovi, poluprenika r) smiui napon se odreuje kao koli-

nik ukupne maksimalne eksploatacione77 sile koja takav presek napada (Qp sila probijanja)

i povrine omotaa ekvivalentnog cilindra:

2

p p

s s

Q QO h r h

pi

= =

. ......................................................................................................... (4.31)

Obim koji odreuje povrinu smicanja, u sluaju postojanja otvora u ploi u blizini oslanja-

nja, mora biti redukovan. U odsustvu domaih odredbi te vrste, za preporuku je korienje

onih iz DIN1045, prikazanih na Sl. 340a i b.

Sl. 340. Uticaj otvora unutar i van kritinog preseka, prema DIN1045

Do sile probijanja je najlake doi preko aksijalne sile u stubu, odnosno razlike aksijalnih sila

stuba ispod i iznad ploe (Sl. 341); probijanje, naelno, izaziva optereenje koje se ploom

prenosi na stub.

Meutim, deo optereenja (neka bude q) koje se nalazi na ploi (i pravi deo sile u stubu) se

nalazi s unutranje strane krunog preseka (videti Sl. 336a) i ne utie na smiui napon u

kontrolisanom preseku, zbog ega sila u stubu moe biti (konzervativno je ne uiniti to, kod

direktno oslonjenih ploa ak poeljno) umanjena za rezultantu ovog dela optereenja:

2p sQ N q r pi= . ................................................................................................................. (4.32)

Sl. 341. Sila probijanja kao razlika aksijalnih sila u stubovima

Referentni (doputeni) smiui naponi, s kojim se izraunati uporeuje, definisani su na sle-

dei nain:

1 123 a

= , gde je 1 1.3 a = , ................................................................................ (4.33)

2 2 b = , gde je 2 0.45 a = . .................................................................................. (4.34)

77 Proraunska kontrola probijanja je bazirana na teoriji doputenih napona i Pravilnikom BAB nije pre-

vedena na teoriju graninih stanja. Otud se razmatraju eksploatacioni uticaji, a ne granini.


201

Naponi a i b su u funkciji marke betona (Tabela 11).

Tabela 11. Karakteristini smiui naponi u funkciji marke betona

Marka betona: 15 20 30 40 50 60

a [MPa]: 0.5 0.6 0.8 1.0 1.1 1.2

b [MPa]: 1.5 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4

Sa je obeleena srednja vrednost procenta armiranja glavnom zategnutom (podunom)

armaturom u oba pravca:

( ) / 2x y = + , ................................................................................................................... (4.35) pri emu se procenti armiranja raunaju za irinu preseka jednaku 40% odgovarajueg ras-

pona: x za irinu 0.4ly, a y za 0.4lx. Srednja vrednost, , mora da zadovolji uslov:

0.25 /

0.5%1.5%

k v

, ................................................................................................... (4.36)

gde je k vrstoa betonske prizme (70% jednoaksijalne vrstoe betona na pritisak /MB/).

Koeficijent a zavisi od vrste elika podune armature i ima vrednost 1.0 za GA240/360, 1.3

za RA400/500 i 1.4 za MA500/560.

Ako se, sada, postavi uslov da je smiui napon najvie jednak naponu 1, to bi izostavilo

potrebu za smiuom armaturom, lako se dolazi do:

12p

s

Qr h

pi

=

1

12

ps

Qh

rpi

, ................................................................................ (4.37)

to je funkcija hiperbole hiperbola probijanjahiperbola probijanjahiperbola probijanjahiperbola probijanja (Sl. 342). Ovom funkcijom je definisana

minimalna statika visina preseka ploe za koju je zadovoljen uslov jednakosti smiueg

napona naponu 1. Ili, ukoliko kompletna ovakva hiperbola probijanja ostaje unutar beton-

skog preseka, nema potrebe za dodatnim obezbeenjem probijanja poprenom armaturom.

Time se konstrukcija hiperbole probijanja javlja pogodnim nainom odreivanja potrebne

geometrije kapitela (ukoliko potreba za kapitelom uopte postoji).

Sl. 342. Hiperbola probijanja

Na isti nain, uslov 2 bi rezultovao hiperbolom koja se, bez obzira na postojanje ili izos-

tajanje poprene armature, mora nai kompletna unutar betonskog preseka.

Prikazana procedura se odnosi samo aksijalno optereen stub, na kruni oblik njegovog

poprenog preseka, te na unutranji stub. Ako je u pitanju ivini stub, obim cilindra unutra-

njeg stuba se redukuje za 40%, a kod ugaonog stuba za 70%. Taoe, momenti nastali zbog

ekscentrinog oslanjanja ploe na ivine i ugaone stubove uzimaju se u obzir grubo, pove-

anjem poprene sile po jedinici duine obima za 40%. Interesantno je da se zanemaruje uti-


202

caj momenata savijanja u srednjim stubovima, koji potie od nesimetrinog optereenja koje

deluje upravno na plou. Za pravougaoni oblik poprenog preseka stuba (b/d) uvodi se ekvi-

valentni kruni presek pravilom:

1.13sd b d= , ................................................................................................................... (4.38) a kontrola se nastavlja kao da je u pitanju kruni stub. Ipak, ovakva ekvivalencija se doputa

samo za pravougaone preseke sa odnosom strana manjim od 1.5. U suprotnom se valja

koristiti iskustvima savremenijih normi i preporuka.

Primetimo da je, preko koeficijenta

poglavlje 4 - pune ab ploce - draft

Documents