prednáška 28.január turbulencia z pohĽadu · 2008. 1. 28. · 11/54 prednáška 28.január 2008...
Post on 08-Dec-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
TURBULENCIA Z POHĽADUKVANTOVEJ TEÓRIE POĽA
Celoústavný seminár ÚEF SAV
Michal Hnatič
2/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
CloseFig. 1: 1976–1977
3/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
4/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
5/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
transport (presun, šírenie, difúzia):
ds
dt∝ sγ, s ∝ tα, α ≡ 1
1− γ
mechanika:
γ = 0, α = 1 – rovnomerný pohyb, γ = 12, α = 2 – zrýchlený pohyb
štatistika:
s →√〈R2〉, γ = 0, α = 1,
√〈R2〉 ∝
√t – Brownov pohyb,
γ = 23, α = 3,
√〈R2〉 ∝ t3/2 – turbulentná difúzia, Richardsonov zá-
kon 4/3superdifúzia (α > 1): turbulencia, finančné trhy,subdifúzia (α < 1): polyméry, kontaminácia podzemných vôd
6/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 2: 1977–1987
7/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
8/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
9/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
10/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 3: Homogeneous turbulence behind a grid.
11/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
poznať prostredie: experiment, Zem, vesmír
• turbulentné pohyby v nestlačitelnej kvapaline (DivV = 0)• vysoký počet makroskopických stupňov voľnosti;rýchlosť: fluktuujúce pole – analógia QFT
• otvorený systém: prílev a odtok (disipácia) kinetickej energie
dynamika: časovo-priestorové správanie sa rýchlostného poľa V
Navier-Stokesova rovnica:
∇tV = ν0∆V − ∇p
ρ+ F , ∇t ≡ ∂t + (V ·∇)
• Reynoldsovo číslo: Re = V L
ν0
• rozvinutá turbulencia: Re� Recr � 1, 〈v2〉/c2 =Ma2 � 1hydrodynamická, MHD turbulencia, turbulencia v plazme, . . .
12/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 4: Uniform flow with velocity V , incident on a cylinder of diameter L.
13/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 5: Homogeneous turbulence behind a grid.
14/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
15/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
CloseFig. 6: Turbulence on Jupiter, in the vicinity of the great red spot
16/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
črty: univerzalita, škálovanie, nestabilitalietadlá, transport, kozmické lety – všetky tri vlastnosti sa využívajú
17/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 7: One second of a signal recorded by hot-wire in the S1 wind tunnel of ONERA (a); samesignal, about four seconds later (b).
18/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 8: Construction of the histogram of a signal by binning.
19/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 9: Histogram for same signal as in Fig. 24(a) sampled 5000 times over time span of 150seconds (a); same histogram a few minutes later (b)
20/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Hydrodynamická turbulenciaŠtatistický popis: V = 〈V 〉 + v, 〈v〉 = 0Stochastická Navierova-Stokesova rovnica pre fluktuačnú zložku v:
∂vi
∂t= ν0∆vi − (vs∇s)vi −∇ip + fi, ∇v = 0, ρ = 1
Vonkajšia náhodná sila s gaussovským rozdelením
〈fi(x)fj(x′)〉 ≡ Dij(x, x′) =
δ(t− t′)(2π)d
∫dk D(k)Pij(k) exp[ik · x],
D(k) = D0k4−d−2εF (kL), D0 = g0ν
30
F (kL) – škálovacia bezrozmerná funkcia
ε = − d− 12(2π)d
∫dk D(k) .
21/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Iné úlohy (transportné javy, magnetické pole):
∂tθ + (v∇)θ −R0∆θ +H(θ, v) = f θ ,
Skúmané objekty: rôzne korelačné a odozvové funkcie uvažovanýchnáhodných polí.
Príklad: štruktúrne funkcie (ŠF) Sn poľa rýchlosti v:
Sn(r) ≡ 〈[vr(x)− vr(x′)]n〉 , r ≡ |x− x′| , vr ≡ vr/r .
Najčastejšie skúmanou oblasťou mierok je tzv. inerciálny interval in-termediálnych škál l � r � L (l � L).Experimentálne pozorované univerzálne správanie sa štatistických cha-rakteristík poľa rýchlosti.Univerzalita: nezávislosť ŠF od konkrétnych počiatočných a hranič-ných podmienok a koeficientu viskozity.
22/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Stochastická dynamika:
∂tϕ(x) = U(x, ϕ) + f (x), 〈f (x)f (x′)〉 = D(x, x′) .
Langevinova rovnica:
∂tϕ(x) = α
{δSst(ϕ)δϕ(x)
|ϕ(x)→ϕ(x)
}+ f (x), 〈f (x)f (x′)〉 = 2αδ(x−x′) ,
(1)α Onsagerov koeficient δ(x− x′) ≡ δ(t− t′)δ(x− x′).fluktuačná teoria Landau pre fázové prechody
S(ϕ) = −∫dx (∇ϕ(x))2/2−m2ϕ2(x/2 + ϕ4(x)/4!
Brownov pohyb:
∂tri(t) = fi(t), 〈fi(t)fj(t′)〉 = 2αδijδ(t− t′) , (2)
kde ϕ(x) ≡ ri(t) sú súradnice častice v čase t a α je difúzny koeficient.
23/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Kvantovo-poľový model so zdvojeným počtom polí φ ≡ ϕ, ϕ′ s funk-cionálom účinku
S(φ) =∫ ∫
dx dx′ ϕ′(x)D(x, x′)ϕ′(x′)/2+
+∫dx ϕ′(x) [−∂tϕ(x) + U (ϕ(x))] .
Martinov-Siggiaov-Rosseho mechanizmus 1973
C. de Dominicis, H. K. Jansen, R. Bauch a H. Wagner 1975, 1976
Kruciálny význam KTP pre turbulenciu: METODOLOGICKÝ!!!
24/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Greenove (odozvové a korelačné) funkcie, funkcionálne stredné hodnotypolí φ ostredované s váhou exp
(S(φ)
)s účinkom S. Generujúci funk-
cionálG(A) =
∫Dφ exp [S(φ) + Aφ] ,
< ϕ′(x′)ϕ(x) >=∫Dφ ϕ′(x′)ϕ(x) expS(φ) ,
25/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Renormalizácia a renormalizačná grupa
začiatok 50-ych rokov: E.Stuekelberg, A.Petermann, N.N.Bogoljubov,D.V.Shirkov – vytvorenie RG
renesancia RG: 1973K.G.Wilson, fazové prechody, Nobelova cena 1982D.J.Gross, F.Wilczek, H.D.Politzer, asymptotická voľnosť v QCD,Nobelova cena 2004
26/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
1. štúdium rozvinutej turubulencie ako takej
2. šírenie pasívnej prímesi v turbulentnom prostredi
3. stochastická magnetohydrodynamika, magneto-hydrodynamická tur-bulencia, turbulentné dynamo
27/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Skalárna pasívna prímes: 1982–83, 1988–1990, 1996–1998
S(v, v′, θ, θ′) = v′Dv′/2 + v′ · [−∂tv + ν∆v − (v ·∇)v]
+θ′ · [−∂tθ + uν∆θ − (v ·∇)θ]
• výpočty Feynmanovych grafov v jednoslučkovom priblížení,• odvodenie RG rovníc pre efektívnu viskozitu a Prandtlovo číslo,• nájdenie stabilného pevného bodu RG rovníc (u = 1.393),• dôkaz existencie asymptotického režimu s kolmogorovskými inde-xami,
• potvrdenie platnosti fenomenologického zákona Richardsona 4/3:
R2 =∫dx x2〈θ′(x, t)θ(0, 0)〉
dR2/dt ∼ R4/3
korekcie k Richardsonovmu zákonu pre chemicky aktívne a rádioaktívneprímesi
28/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Stochastická magnetická hydrodynamika: 1984–85, 1987, . . .
S(v, v′, b, b′) = v′Dv′/2 + v′ · [−∂tv + ν∆v − (v ·∇)v + (b ·∇)b]
b′ · [−∂tb + uν∆b− (v ·∇)b + (b ·∇)v]
narušenie zrkadlovej symetrie (helicity) 〈v rotv〉 ⇒ vznik nestabilít⇔ rot b členy v MHD rovniciach, exponenciálny nárast magnetickýchfluktuácií: b ∝ eαkt
Mechanizmus spontánneho narušenia symetrie – turbulentné dynamo:KTP: Higgsov mechanizmus, fázové prechody:
m2ϕ2 + gϕ4, m2 = T − Tc
29/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
b → b + c
|c| = 8νl−1u1/2/3π
30/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
modifikácia linearizovaných MHD rovníc:
∂tv = i(ck)b
∂tb = i(ck)v − iµ [k × e] (be)
ba(t,x) = [a + bt] exp(−i(ck)t + ikx) ,
va(t,x) = [a′ + b′t] exp(−i(ck)t + ikx)
The origin of astrophysical magnetic fields remains controversial. It ismore or less generally accepted that they are most often produced andthen supported by some form of a self-sustained dynamo action, that is,by conversion of kinetic energy of a plasma flow into magnetic energy.It has been proved that the motions involved must be three-dimensional(Cowling’s and Zeldovich’s theorems), so simple low-dimensional modelsare of limited value. Furthermore, both non-chaotic and non-random
31/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
flows can only produce the so-called slow dynamos, where the growthrate of the magnetic field tends to zero for large magnetic Reynoldsnumbers typical of astrophysical environments. Since virtually any cha-otic or random astrophysical flow becomes turbulent because of the largeReynolds number, astrophysical dynamos usually are turbulent dynamos.
32/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Spektrum kinetickej energie v oblasti veľkých škálbilančná rovnica:
∂tE(k) = −2νk2E(k) + T (k) +D(k)
spektrum kinetickej energie:
E(k, t) = Ck ε2/3k−5/3F (kL)
testovacia funkcia ≡ funkcia v korelátore náhodnej sily:
F (kL) =(kL)11/3
[(kL)4 + 2m2(kL)2 + b4]11/121
[1 + h(c2 + (kL)2)−1/3]
b = 1.570, m = 0.657, c = 2.838, Ck = 1.577, h = 0.643
pozdĺžne spektrum na obrázku:
E||(k)u2l
= C−5/3k
∫ ∞
1
dq q−8/3(1− q−2)F (q)
33/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 10: Longitudinal spectrum. Comparison between theoretical curve and experimental data.
34/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Rozvinutá turbulenciaČo treba nájsť?Vo všeobecnosti hustotu pravdepodobnosti P(v).
Prakticky skúmané objekty:
• korelačné a odozvové funkcie poľa v,
• experimentálne merané štruktúrne funkcie:
Sp(r) = 〈[vr(x, t)− vr(x′, t)]p〉,
vr =v · r|r|
, r = x− x′.
Sp(r) = N
∫df [vr(x, t)− vr(x
′, t)]p e−12fD−1f
35/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Tri typické oblasti:
• energetická oblasť: charakteristická vonkajšia škála L
• disipačná oblasť: charakteristická vnútorná škála l
• inerciálny interval: l � r � L, r = |x− x′|
Poznámka:colorred quad Re = [L/l]4/3 � 1 ⇒ l � L
36/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 11: Náčrt Leonarda Da Vinci
37/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fenomenologická teória Kolmogorova-Obuchova (K41)
Prvá Kolmogorovova hypotéza
Sp(r) = (εr)p/3fp(r/L), r � l.
Druhá Kolmogorovova hypotéza
Sp(r) = Cp(εr)ςp, ςp = p/3, r � L (L →∞).
Skrytý predpoklad o nesingulárnom správaní sa škálovacej funkcie fp
v asymptotickej oblasti:lim
r/L→0fp = 0,
p = 2, C2 ' Ck — Kolmogorovova konštanta Ck ≈ 1.5
38/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 12: Normalized longitudinal velocity spectrum in the time domain according to differentauthors (Gibson and Schwarz 1963).
39/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 13: The cascade according to the Kolmogorov theory 1941. Notice that each step the eddiesare space-filling.
40/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Úloha teórie:
1. Zdôvodniť takéto univerzálne správanie fluktuácií rýchlosti.
2. Odvodiť škálovanie s kolmogorovskými exponentami, resp. nájsť ko-rekcie (anomálie) k týmto exponentom.
3. Nájsť súvislosť s geometriou (topológiou) turbulentných pohybov.
4. Nájsť vhodný jazyk na opis týchto makroskopických javov; prechodod molekulárnych konštánt (molekulárna viskozita) k efektívnymkonštantám (turbulentná viskozita).
41/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 14: The cascade according to the β model. Notice that with each step the eddies becomeless and less space-filling.
42/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Modely a porovnanie s experimentom:
β-model:
ςp =p
3+ (3−D)
(1− p
3
)bifractal model:
Sp(r) ' A(r/L)ph1+3−D1 +B(r/L)ph2+3−D2 ∼ (r/L)ςp,
ςp = min(ph1 + 3−D1, ph2 + 3−D2)
“battle of catastrophes”Kvantovo-poľný prístup
43/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Sp(r) = N ′∫dv dv′[vr(x, t)− vr(x
′, t)]p eS(v,v′)
Účinok
S(v, v′) =12
∫dx dx′v′i(x)Dij(x, x′) vj(x
′) +
+∫
dxv′i(x)[−∂tvi(x)] + ν0∆vi(x)− vs(x)∇svi(x)]
44/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Renormalizačná grupa.
[µ∂
∂µ+ β(g)
∂
∂g+ γ(g)ν
∂
∂ν]Sp(r) = 0
sdg
ds= β(g), g|s=1 = g,
sdνds= γ(g), ν|s=1 = ν,
s ≡ k/µ alebo ≡ rµ,
ν = νe∫ gg
γν (x)β(x) dx = (
g0ν30
gk2ε)1/3
majú pevný bod pri k → 0 alebo r →∞g → g∗ – vypočítavá sa poruchovoν → ν∗γν(g∗) = 2ε
3 presný výsledok!!!
45/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
v okolí pevného bodu r/l � 1 škálovanie:
[r∂
∂r+ L
∂
∂L+∆p]Sp(r) = 0.
Riešenie:
Sp(r) = (εr)∆pfp(r/L)
∆p = p[γν − 1] ⇒ ε = 2 — kolmogorovský index!
Výsledok:
kolmogorovské škálovanie — prvá hypotéza — ÁNO,
druhá hypotéza — niet odpovede,
RG dáva recept ako prejsť od molekulárnych konštánt k efektívnympremenným na úrovni makroskopického opisu
46/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Wilsonovské operátorové rozloženie:
fp(r/L) =∞∑i=1
Cpi (r/L)
∆pi , r/L � 1,
fázové prechody v tuhých látkach, korekcie na tzv. vyššie twisty v teóriielementárnych častíc
∆pi > 0 ⇒ fp je regulárna funkcia pri L → ∞ ⇒ korekcie
k hlavným anomáliám vypočítaným v rámci RG
V teórii turbulencie je situácia úplne odlišná:
Dôsledok:anomálne multiškálovanie ⇔ intermittency ⇔ multifraktál-nosť!!!
Tento problém je v turbulencii nevyriešený.
Toy (hračkové) modely teoretické laboratórium.
47/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Prenosové difúzne stochastické rovnice
∂tθi + V(1)
i −AV(2)
i + ∂iP = ν0∂2θi + fi,
V(1)
i ≡ ∂j (vjθi) , V(2)
i ≡ ∂j (viθj) = θj∂jvi.
〈fi(x)fj(x′)〉 = δ(t− t′)Cij(r/L), r = x− x′.
A = 0, θ - skalar, tlak nulový: prenos pasívnej skalárnej prímesi (Kraich-nan model)
A = 1, θi ≡ bi - magnetické pole, tlak nulový: rovnica pre magnetecképole Kraichnan-Kazantsev model
A = −1, θi ≡ Vi - pole rýchlosti, tlak nenulový: linearizovaná Navier-Stokesova rovnica
48/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Prenos pasívnej prímesi
Stochastická rovnica
∂tθ + vi∂iθ = ν0∆θ + f
49/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
teoreticko-poľový model
S(θ, θ′, v) = θ′Dθθ′/2 + θ′[−∂t + ν04− (vi∂i)]θ − vD−1
v v/2
korelačné (štruktúrne) funkcie: funkcionálne stredné hodnoty príslušnýchpolí s váhou expS
Sn(r) ≡ 〈[θ(t,x)− θ(t,x′)]n〉, r = |x− x′|
ich správanie sa v inerciálnom intervale: ⇒ l � r � L
50/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
RG analýza
asymptotické riešenie v stabilnom pevnom bode v limite veľkých mierok(škál):
Sn(r) ∝ (r/L)∆n
∆n = ∆(1)n ε +∆(2)n ε2 ∆(1)n =
−n(n− 2)2(d + 2)
51/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
Fig. 15: Cartoon drawn in 1977 by the astronomer Philippe Delache, a penetrating observer ofthe turbulence comunity. The figure shows the ’Navier-Stokes peak’ and four explored faces:experimentation, closure, mathematics and renormalization. It also shows a reduced model,the rock-climbing school of numerical simulation.
52/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
53/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
54/54
Prednáška28.január2008
ÚEF SAVKošice
JJIIJIBack
Close
top related