prof. dr. bernd schmidt lehrstuhl für unternehmensforschung 1 grundlagen es wird eine wertebelegung...

Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung

1

Grundlagen

Es wird eine Wertebelegung für die Optimierungsparameter so gesucht, dass die Zielfunktion ein Minimum oder Maximum annimmt.

Randbedingungen beschreiben den erlaubten Bereich für die Optimierungsparameter.

Man unterscheidet grundsätzlich zwei Vorgehensweisen: Lineare Optimierung Heuristische Suchverfahren

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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2

Lineare Optimierung

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Vorraussetzung: Zielfunktion und Nebenbedingungen müssen linear sein.

Ergebnis: Man erhält das Optimum analytisch.

Einsatzfeld: Die Einsatzmöglichkeiten sind sehr beschränkt.

Lineare Optimierung

Gesucht ist das Produktionsprogramm für die Erzeugnisse E1

und E2, die aus den Materialarten M1 und M2 hergestelltwerden können. Gegeben sind die Materialaufwandfaktorenund die Materialkontingente. Die Abgabepreise einer Einheit von E1 bzw. von E2 betragen 10,- bzw. 20,- Euro. Gesucht ist ein Produktionsprogramm, welches maximale Geldeinnahmen sichert und bei dem mindestens 50 bzw. 100 Einheiten von E1

bzw. E2 erzeugt werden.

Beispiel

3

Zielfunktion

10 * x1 + 20 * x2 = max

Nebenbedingungen

Einheit M1 pro Erzeugungseinheit

Einheit M2 pro Erzeugungseinheit

E1

E2

0,15

0,2

0,2

0,1

60

Materialmenge M1

40

Materialmenge M2

4

.

Das lineare Gleichungssystem

ZF: Z = 10 x1 + 20 x2 = max.

NB: 0,15 x1 + 0,2 x2 ≤ 60,

0,2 x1 + 0,1 x2 ≤ 40,

x1 ≥ 50,

x2 ≥ 100.

5

Die Nebenbedingungen

g1: 0,15 x1 + 0,2 x2 = 60

6

Die Zielfunktion für verschiedene Werte von C

7

Das Optimum

x1 = 50, x2 = 262,5, Z = 5750

8

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9

Heuristische Suchverfahren

Heuristische Suchverfahren ermitteln die optimale Werte-belegung für die Optimierungsparameter durch Trial and Error.

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

x1

x2

f(x1, x2)

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10

Heuristische Suchverfahren

Grundlagen:Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Optimierungs-parameter

Modell-zustands-variablen

Zielfunktions-wert

Optimierungs-algorithmus

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11

Heuristische Suchverfahren

Übersicht:Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

10 5

4

2 9

2

6 7

R ekom bination

M utation

8 7

9

Gradientenaufstiegs-verfahren

DeterministischeSuchverfahren

GenetischerAlgorithmus

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12

Gradientenaufstiegsverfahren

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Vorgehen: Die Suchrichtung liegt in Richtung des steilsten Aufstiegs

Algorithmus: Startpunkt bestimmen Für alle Nachbarpunkte Zielfunktionswert bestimmen Punkt mit dem höchsten Zielfunktionswert als neuen

Startpunkt wählen

Bewertung: Die Wahrscheinlichkeit, auf einem lokalen Optimum

anzukommen, ist hoch Der Aufwand zur Bestimmung der Suchrichtung ist hoch Wenig geeignet

12

Gradientenaufstiegsverfahren1. Schritt

15

y

10

5

0x

151050

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

13

15

y

10

5

0x

151050

Gradientenaufstiegsverfahren2. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

14

15

y

10

5

0x

151050

Gradientenaufstiegsverfahren3. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

15

15

y

10

5

0x

151050

GradientenaufstiegsverfahrenAbbruch

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

16

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Deterministische Suchverfahren(i) Variablenweise Enummeration

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Vorgehen:

Es werden für alle Optimierungsvariablen in fester Schrittweite die Punkte mit dem besten Zielfunktionswert gesucht

Algorithmus:

Startpunkt festlegen Reihenfolge festlegen, in der die Optimierungsvariablen bearbeitet werden Neue Punkte bestimmen, in denen die erste Optimierungsvariable variiert wird,

während die anderen fest bleiben Punkt mit dem höchsten Zielfunktionswert bestimmen und zum neuen

Startpunkt machen Von diesem neuen Startpunkt ausgehend, die anderen Optimierungsvariablen

in gleicher Weise behandeln

Bewertung:

Erhöhte Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Hoher Aufwand Wenig geeignet

17

15

y

10

5

0x

151050

Variablenweise Enummeration 1. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

18

15

y

10

5

0x

151050

Variablenweise Enummeration 2. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

19

x15

15

y

10

105

5

0

0

Variablenweise Enummeration 3. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

20

15

y

10

5

0x

151050

Variablenweise Enummeration Abbruch

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

21

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Deterministische Suchverfahren(ii) Complex - Verfahren

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Vorgehen:

Sei n die Anzahl der Optimierungsvariablen Es werden n+1 Startpunkte gewählt Der Punkt mit dem niedrigsten Zielfunktionswert wird in Richtung einer

Suchachse verschoben

Algorithmus: Festlegen der Suchachse (diese verbindet den Punkt mit dem schlechtesten

Zielfunktionswert und dem Schwerpunkt aller anderen Punkte) Durch Reflexion wird der schlechteste Punkt über den Schwerpunkt hinaus

verlängert

Bewertung: Erhöhte Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Vertretbarer Aufwand Geeignetes Verfahren zur Optimierung von Simulationsvariablen

22

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

Complex - Verfahren1. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

23

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

Complex - Verfahren2. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

24

15

y

10

5

0x

151050

Complex - Verfahren3. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

25

15

y

10

5

0x

151050

Complex - VerfahrenAbbruch

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

26

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27

Genetischer Algorithmus

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Vorgehen:

Die Strategie orientiert sich am Vorgehen der Natur Aus sog. Elternpunkten werden zufällig Kinderpunkte erzeugt Die besten Kinderpunkte werden in der nächsten Generation zu

Elternpunkten

Algorithmus: Bestimmen von n Elternpunkten Erzeugen von m Kinderpunkten durch Rekombination Mutation der Kinderpunkte Auswahl der n besten Kinderpunkte durch Selektion Ausgewählte Kinderpunkte werden zu neuen Elternpunkten

Bewertung: Hohe Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Sehr hoher Aufwand zur Bestimmung der Kinderpunkte Nicht geeignet

27

Genetischer Algorithmus

10 5

4

2 9

2

6 7

Rekom bination

M utation

8 7

9

28

Genetischer Algorithmus

2. Generation

1. Generation

Eltern

Kinder

Neue Generation

Eltern

Kinder

Neue Generation

10 2

1

5 10

1,5

8 14

1,5

13 7

1,75

7,5 5 11,5 4,5 10,5 10,5

Rekom bination

5

4 5 5

M utation

Selektion

11,5 13 10,58,57,5

11,5 13

5

8,5 10,5

5

13 7

1,75

7,5 5

4

10,5 8, 5 9,5 9 10 11,5

11,5

9,25 2,75 7,5

7 9 11,510 10,5

11,5 13

5

8,5 10,5

5

10,5 11,5

9,25

10 11,5

7,5

11,5 13

5

8,5 10,5

5

13 7

1,75

7,5 5

4

Rekom bination

M utation

Selektion

29

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

Genetischer Algorithmus 1. Schritt: Erzeugung von Kinderpunkten

Elternpunkte

K inderpunkte

Beste Punkte

30

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

Genetischer Algorithmus

2. Schritt: Auswahl der besten Punkte aus Eltern und Kindern

Elternpunkte

K inderpunkte

Beste Punkte

31

15

y

10

5

0

151050

15

y

10

5

0

151050

Genetischer Algorithmus 3. Schritt: Erzeugung von Kinderpunkten

Elternpunkte

K inderpunkte

Beste Punkte

32

15

y

10

5

0

151050

15

y

10

5

0

151050

Genetischer Algorithmus 4. Schritt: Auswahl der besten Punkte aus Eltern und Kindern

Elternpunkte

K inderpunkte

Beste Punkte

33

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34

Stückkostenoptimierung

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Einlaufende WerkstückeEinlaufende Werkstücke

FertigstellungFertigstellung

Bearbeitung durch WerkerBearbeitung durch Werker

Optimierung: Mittlere Produktionskosten

Werkstück

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35

Produktionskosten

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Fixkosten für Anlage

Fixkosten für Werker

Bearbeitungskosten für Werker

Bearbeitungskosten / Werkstück

Strafkosten bei Terminüberschreitungen

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36

Werkeranzahl:

Geringe Werkeranzahl:

lange Wartezeiten Terminüberschreitung hohe Strafkosten hohe Stückkosten

Hohe Werkeranzahl:

geringe Werkerauslastung hohe Bearbeitungskosten / Werkstück hohe Stückkosten

Anschauliche Vorüberlegung

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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37

Produktionsumfang:

Niedrige Werkstückanzahl :

geringe Auslastung der Anlage Fixkostenanteil dominiert hohe Bearbeitungskosten / Werkstück hohe Stückkosten

Hohe Werkstückanzahl:

lange Wartezeiten Terminüberschreitung hohe Strafkosten hohe Stückkosten

Anschauliche Vorüberlegung

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung

38

Anschauliche Vorüberlegung

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Wo liegt nun das Optimum ?

Werkeranzahl ?

Werkstückanzahl ? x2

x1

z

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39

Modellergebnisse

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

0

10

20

30

40

50

60

70

29 Werkeranzahl

Stück-kosten

Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung

40

0

10

20

30

40

50

60

70

Modellergebnisse

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

35 Werkstückanzahl

Stück-kosten

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41

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

ISSOP: Intelligentes System zur Simulation und Optimierung

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42

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Die wichtigsten Leistungsmerkmale von ISSOP

Entwicklung beliebiger dynamischer Modelle Erstellung beliebiger statischer Modelle Optimierung mit über 100 Freiheitsgraden und mehreren

Zielkriterien Optimierung von Einsteuerfolgen mit mehreren Zielkriterien Online-Kopplung zu verschiedenen Simulationstools (z.B. Arena,

Excel, Simple++), über offenes Interface erweiterbar Systematische Lösungssuche durch leistungsfähige

Optimierungsstrategien Lern- und Adaptationssystem mit Online-Monitor Steuerung und gezielter Einsatz der Optimierungsstrategien Berechnung von Kompromißmengen bei mehreren Zielkriterien Grafische Auswertung der Ergebnisse und Optimierungshistorie Verwendung offener Schnittstellen, komfortable WINDOWSTM –

Oberfläche Übersichtliches Benutzerhandbuch

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43

Beispiel: Optimierung

1. Modellaufbau

2. Optimierung

3. Auswertung

x2

x1

z

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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44

Menüstruktur

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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45

Modellaufbau

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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46

Statisches Modell

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung

47

Modelleigenschaften

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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48

Optimierung

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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49

Auswertung

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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50

Projekt

M1M1 M2M2

M4M4

M3M3

10 Bearbeitungsstationen kein Puffer feste Bearbeitungszeiten

4 Bearbeitungsstationen kein Puffer einstellbarer Nutzungsgrad

X1, X2, X3 und X40.2 Nutzungsgrad 2.0

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

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51

Zielgrößen

Anschauliche Vorüberlegung:

X1 gering:

hoher Rückstau hohe Leerlaufzeiten geringe Produktionsmenge hohe Kosten / Stück

X1 hoch:

geringer Rückstau geringe Leerlaufzeiten hohe Produktionsmenge geringe Kosten / Stück

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung

52

Optimierung

Wo liegt das Optimum X1 für die drei Zielgrößen

- Produktionskosten- Stillstandszeiten- Durchlaufzeiten

in Abhängigkeit von X1?

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen

Optimierung

53

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54

Optimierung

Z = g1 F1 + g2 F2 + g3 F3

Optimum bei X1 = 0,5

Modelle

Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen