professor ranildo lopes · polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por...
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Polígono é uma figura geométrica plana e fechada
formada apenas por segmentos de reta que não se
cruzam no mesmo plano.
Polígonos
11.1
Exemplos
Polígonos convexos e não convexos
Polígono convexo: uma
reta r que passa por
qualquer par de vértices
consecutivos mantém os
demais vértices no
mesmo semiplano.
11.3
Polígono não convexo: a
reta não mantém os
demais vértices no mesmo
semiplano.
Diagonais de um polígono
11.4
número de vértices: 7número de diagonais relativas a um dos vértices: 4
número de vértices: 8 número de diagonaisrelativas a um dosvértices: 5
número de vértices: 9 número de diagonais relativas a um dos vértices: 6
de um único vértice partem (n – 3) diagonais;
há n vértices, logo temos n(n – 3) diagonais;
cada diagonal tem extremidade em dois
vértices, por isso foi contada duas vezes.
11.4
Considerando um polígono com n lados, observamos que:
Diagonais de um polígono
Exemplo
O número de diagonais de um decágono é:
Logo, o decágono tem 35 diagonais.
11.5
Diagonais de um polígono
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer
Exemplos
11.6
4 – 2
(Número de lados menos 2)
número de triângulos
formados: 2
Quadrilátero (4 lados)
7 – 2 (Número de lados menos 2)
número de triângulos formados: 5
Heptágono (7 lados)
10 – 2 (Número de lados menos 2)
número de triângulos formados: 8
Decágono (10 lados)
Considerando um polígono de n lados:
podemos decompor esse polígono em
(n – 2) triângulos pelas diagonais que
partem de um vértice;
sabemos que a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é
igual a 180º.
11.6
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer
i1 + e1 = 180º
i2 + e2 = 180º
i3 + e3 = 180º
i4 + e4 = 180º
+ =
in + en = 180º
Si + Se = n ∙ 180º
11.7
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer
Se = 360º
11.7
Considerando
Si = (n – 2) ∙ 180º, temos:
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer
Si + Se = n ∙ 180º
(n – 2) ∙ 180º + Se = n ∙ 180º
n ∙ 180º – 360º + Se = n ∙ 180º
Se – 360º = 0
Todo polígono com quatro lados é chamado de quadrilátero.
Quadriláteros
11.8
Considere o quadrilátero ABCD abaixo, os elementos desse
quadrilátero são:
vértices: A, B, C e D
lados:
diagonais:
ângulos internos:
ângulos externos: â, b, c e d
perímetro: AB + BC + CD + DA
S = (n – 2) ∙ 180º
S = (4 – 2) ∙ 180º
S = 2 ∙ 180º = 360º
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo
11.9
Todo quadrilátero convexo que tem os lados opostos
paralelos é um paralelogramo.
Paralelogramos
11.10
é uma das bases.
é a altura relativa ao lado .
Algumas características:
Classificação dos paralelogramos
Losangos Retângulos Quadrados
11.11
Paralelogramos
Losangos são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes.
Retângulos são paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes.
Quadrados são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes.
As diagonais de um paralelogramo cruzam-se nos respectivos
pontos médios.
11.12
Propriedades dos paralelogramos
Existem propriedades específicas
para alguns paralelogramos:
As diagonais de um retângulo
são congruentes.
As diagonais de um losango estão
contidas nas respectivas bissetrizes
dos ângulos internos e são
perpendiculares entre si.
11.12
Propriedades dos paralelogramos
AC ⊥ BD
ABb ≌ CD
Todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados
paralelos é um trapézio.
Trapézios
11.13
Os lados paralelos e são as bases, é a base maior
e é a base menor.
é a altura do trapézio (segmento perpendicular às
duas bases).
Algumas características:
Classificação dos trapézios
Trapézio isósceles Trapézio escaleno Trapézio retângulo
11.14
Trapézios
Trapézios isósceles são trapézios cujos lados não paralelos são congruentes.
Trapézios escalenos são trapézios cujos lados não paralelos não são congruentes.
Trapézios retângulos são trapézios que têm um lado perpendicular às bases. Estes trapézios também são escalenos.
Os ângulos adjacentes a uma das bases de um trapézio
isósceles são congruentes.
As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Propriedades dos trapézios isósceles
11.15
Área do retângulo
Área do quadrado
Áreas de quadriláteros e triângulos
11.16
A = a ∙ a = a2
A = b ∙ h
Um polígono que tem todos os lados congruentes entre si e
todos os ângulos internos congruentes entre si é chamado de
polígono regular.
Exemplos
Polígonos regulares
11.17
Circunferência e círculo
Circunferência é a figura geométrica
formada por todos os pontos de um plano
que distam igualmente de um ponto fixo
desse plano, denominado centro da
circunferência. A distância constante é a
medida do raio da circunferência.
Círculo é a região do plano formada
por uma circunferência e sua
região interna.
11.19
Circunferência
Círculo
Elementos de uma circunferência
Corda é um segmento cujas extremidades são dois pontos
quaisquer da circunferência.
Raio é um segmento cujas extremidades são o centro e um
ponto qualquer da circunferência.
Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da
circunferência. A medida do diâmetro (d) é o dobro da
medida do raio (r), ou seja, d = 2r.
11.20
Reta externa à circunferência
A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é maior que a medida r do raio (d > r).
11.21
Posições relativas de uma reta a uma circunferência
Reta tangente à circunferência
A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é igual à medida r do raio (d = r).
11.21
Posições relativas de uma reta a uma circunferência
Reta secante a uma circunferência
A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é menor que a medida r do raio (d < r).
11.21
Posições relativas de uma reta a uma circunferência
e : raios da circunferência
: corda da circunferência
s é perpendicular a t
11.22
Se uma reta s passa pelo centro O de uma circunferência
e é perpendicular a uma reta secante dessa circunferência,
então a reta s intercepta a corda determinada pela reta
secante em seu ponto médio M.
Propriedades das retas secantes e tangentes
P e Q pertencem à reta t
P pertence à circunferência e Q é
externo à circunferência
é raio da circunferência
11.22
Propriedades das retas secantes e tangentes
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular
ao raio da circunferência no ponto de tangência.
11.23
Propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência
Dois segmentos, e , tangentes a uma
circunferência nos pontos A e B são congruentes.
Exercício resolvido
R1. Determinar o valor de x.
Resolução
A corda é secante à circunferência de centro
O e o segmento é perpendicular à secante,
então, pela propriedade da reta secante a uma
circunferência, divide a corda pela
metade; logo, mede 9.
11.24
Temos ainda que e são
raios da circunferência, assim:
OB = OC = 15
Como o triângulo MOB é
retângulo, temos:
x2 + 92 = 152
x = 12
11.24
Exercício resolvido
R1.
Resolução
R2. Determinar o valor de x, sabendo
que A e B são centros de suas
respectivas circunferências e C e D
são pontos de tangência da reta t
com as circunferências.
Resolução
Como C e D são pontos de tangência, então os segmentos
e são perpendiculares à reta t; logo, e são raios
das circunferências e medem 4 e 2, respectivamente.
Portanto, o quadrilátero ABCD é um trapézio de altura x.
11.25
Exercício resolvido
Temos:
BD = EC = 2
AC = EC + AE ⇒ 4 = 2 + AE ⇒ AE = 2
AB = 4 + 4 + 2 = 10
O triângulo AEB é retângulo, então:
(AB)2 = (AE)2 + (EB)2
102 = 22 + x2 ⇒ x = 4
11.25
Exercício resolvido
R2.
Resolução
Resolução
11.26
Exercício resolvido
R3. Dada uma circunferência inscrita num triângulo ABC,
e considerando D, E e F como pontos de tangência dessa
circunferência com os lados , e , respectivamente,
determinar a medida do segmento , sabendo que mede
20 cm, mede 25 cm e mede 16 cm.
Temos:
AB = AD + DB ⇒ 20 = AD + x ⇒ AD = 20 – x
Pela propriedade dos segmentos tangentes a uma
circunferência, temos:
AD = AE ⇒ AE = 20 – x
BD = BF = x
Então: CF = 25 – x
R3.
Resolução
11.26
Exercício resolvido
Mas: CF = CE ⇒ CE = 25 – x
Então, como AC = CE + AE, temos:
16 = (25 – x) + (20 – x) ⇒ 2x = 29 ⇒ x = 14,5
Logo, o segmento mede 14,5 cm.
11.26
R3.
Resolução
Exercício resolvido
Dois pontos distintos, C e D, de uma circunferência dividem-na
em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada
arco de circunferência.
Arco de circunferência
11.27
Os pontos C e D são chamados extremidades do arco.
Indicamos o arco
menor por e o
arco maior por
Quando as extremidades de um arco dividem a circunferência
em dois arcos de mesma medida, chamamos cada arco de
semicircunferência.
11.27
Arco de circunferência
Chamamos de ângulo central de uma circunferência qualquer
ângulo cujo vértice seja o centro da circunferência.
Ângulo central
11.28
A medida, em grau, de um arco de circunferência é a medida
do ângulo central correspondente a esse arco.
Indicamos a medida do arco por: med( )
Então: med(AÔB) = med( ).
Ângulo inscrito é todo ângulo cujo vértice é um ponto da
circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência.
Ângulo inscrito
11.29
é um ângulo inscrito que
determina o arco .
O ângulo inscrito determina o arco .
O ângulo central AÔB também determina o arco .
Ângulo excêntrico é todo ângulo cujo vértice não é um ponto
pertencente à circunferência.
Ângulo excêntrico
11.30
é um ângulo excêntrico exterior. Os ângulossão ângulos excêntricos interiores.
Medida de um ângulo excêntrico interior:
Medida de um ângulo excêntrico exterior:
11.30
Ângulo excêntrico
a) Como x é a medida do ângulo inscrito , temos:
b) Como os arcos e medem 160º e 40º,
respectivamente, e x é a medida do ângulo excêntrico
interior, então:
R4.
Resolução
11.31
Exercício resolvido
c) Como x é a medida do ângulo excêntrico exterior e os
arcos e medem 40º e 80º, respectivamente,
temos:
d) Como x é a medida do ângulo inscrito, temos:
11.31
R4.
Resolução
Exercício resolvido
Resolução
Temos: med ( ) = 180º e med ( ) = 115º
Então: med ( ) = 180º – 115º = 65º
Como x é a medida do ângulo excêntrico exterior, temos:
R5. Determinar x.
11.32
Exercício resolvido
Resolução
Como O é o centro da circunferência, o triângulo AOB é
isósceles, pois e são raios da circunferência, então:
med ( ) = med ( ) = 23º
Portanto:
R6. Determinar o valor de x
sabendo que O é o centro
da circunferência.
11.33
Exercício resolvido
Como é ângulo central, então:
med ( ) = med ( ) = 134º
E como x é a medida do ângulo inscrito na circunferência,
temos:
R6.
Resolução
11.33
Exercício resolvido
A área de um círculo, cuja medida do raio é r, é dada por:
Exemplo
Vamos determinar a área de um círculo cujo raio mede 4 cm.
Então, a área do círculo é 16 cm2.
Área do círculo
11.34
A = r2
Setor circular é a região do círculo delimitada por um
de seus ângulos centrais.
Exemplo
Vamos calcular a área do setor circular destacado.
Área de um setor circular
11.35
A coroa circular é a região compreendida entre duas
circunferências concêntricas (que possuem o mesmo
centro), que estão em um mesmo plano e que têm raios
de medidas diferentes.
Área da coroa circular
11.36
A = R2 – r2
Vamos calcular a área da coroa circular destacada.
11.36
A = ∙ 52 – ∙ 32 = 25 – 9 = 16
Exemplo
Área da coroa circular
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