proving and disproving in logic

4.2 Penarikan Kesimpulan yang Melibatkan

dan , tetapi Tidak

))()()(( xqxpx

Yaitu pernyataan yang bernilai benar jhj himpunan nilai kebenaran

dari sama dengan U. .

QP'

))()(( xqxp

(jika p(x) maka q(x)) dengan himpunan nilai kebenaran)()( xqxp

Definisi 4 Sec. 3.1

Misalkan p(x) dan q(x) adalah fungsi-fungsi proposisi atas himpunan

semesta U dengan himpunan nilai kebenaran masing-masing adalah P

dan Q. Didefinisikan predikat majemuk :

Kalimat untuk suatu x, p(x), dinotasikan dengan adalah

pernyataan yang bernilai benar jhj himpunan nilai kebenaran p(x), P=U.

QP'

Definisi 6 Sec. 3.1

Jika p(x) adalah fungsi proposisi dengan variabel x dan domain atas

himpunan semesta U, maka:

))()(( xpx

Do you still remember about

this?

Untuk pendekatan pembuktian dari suatupernyataan, ada tiga hal yang perlu diperhatikan:

• 1) Kesimpulan yang diinginkan

• 2) Definisi yang relevan

• 3) Hipotesis yang diberikan

Contoh 6

Gunakan definisi pada Contoh 2 untuk membuktikan bahwajika dan adalah interval, maka adalah interval.1I 2I 21 II

Apa yang dapat kamu ketahui dari soal?

3) Hipotesis yang diberikan

2) Definisi yang relevan

1) Kesimpulan yang diinginkan

21 II adalah interval

Definisi I adalah interval pada Contoh 2

“Suatu himpunan bagian I dari semua bilangan real R dikatakan suatu

interval jhj untuk semua , jika dan a < b < c , maka .”Rcba ,, Ica, Ib

dan adalah interval1I 2I

Berdasarkan definisi pada Contoh 2, kita harus menunjukkan :adalah interval jhj untuk semua jika dan

a < b < c , maka .Bukti:Ambil dengan a < b < c dan .Akan dibuktikan , dengan kata lain dan .Perhatikan bahwa adalah interval,jika a < b < c dan , maka .Demikian juga dengan , adalah interval,jika a < b < c dan , maka .Karena dan , akibatnya .Jadi adalah interval.□

21 II

Rcba ,,

21 IIbRcba ,, 21, IIca

21, IIca

21 IIb 1Ib 2Ib

1I

1, Ica 1Ib

2I 2I

2, Ica2Ib

1Ib 2Ib 21 IIb

21 II

Solusi

Contoh 7

Buktikan bahwa jika M > 0 , maka fungsi linear y = f(x)= Mx + Badalah naik pada R.

Berdasarkan definisi pada contoh 3:

“Suatu nilai fungsi real dikatakan naik pada interval I jhj, untuk

semua dan , jika maka . ”

Kita harus menunjukkan :

f(x)= Mx + B adalah naik pada R jhj untuk semua jika

maka .

Bukti :

Ambil dengan

Akan dibuktikan dengan kata lain .

Perhatikan bahwa dan M > 0,

Karena dan M > 0, menurut sifat dasar pertidaksamaan, akibatnya

.

Karena maka

Jadi f(x)= Mx + B adalah naik pada R. □

Solusi

)(xfy

1x 2x 21 xx )()( 21 xfxf

21 xxRxx 21,

)()( 21 xfxf

Rxx 21, 21 xx

)()( 21 xfxf BMxBMx 21

21 xx

21 MxMx

21 MxMx BMxBMx 21

21 xx

Contoh 8

Buktikan bahwa jika A, X dan Y adalah sebarang himpunandengan maka .

Asumsikan bahwa . (Hipotesis)

Akan dibuktikan .

Ambil sebarang akan ditunjukkan . (Definisi 1, Sec 3.4)

Karena , hal ini berarti dan .

Perhatikan bahwa

Oleh karena dan maka

dan , dengan kata lain

Jadi . □

Solusi

YX YAXA

XAx

YX

YAXA

YAx

XAx Ax Xx

Ax

YX

YX Yx

Ax Yx YAx

YAXA

Contoh 9

Buktikan bahwa jika A, B, dan C adalah himpunan dengandan maka .

Asumsikan A, B, dan C adalah himpunan dengan dan .

(Hipotesis)

Akan dibuktikan .

Ambil sebarang akan ditunjukkan .

Karena maka terdapat .

dan ini berarti

Perhatikan bahwa

Karena dan , akibatnya .

Dengan kata lain dan

.□

Solusi

AxCAxB

A CB

Bx

AxCAxB

CB

A

Cx

AaA

AxBxa ),(Aa Bx

AxCxa ),(

AxCAxBAxBxa ),( AxCAxB

CxAaCx

CB

Contoh 10

Tuliskan definisi dari kurva C adalah tidak simetri terhadap sumbu x.

Solusi

Contoh 11

Solusi

Membuktikan

(i) Kurva C simetri terhadap sumbu y

(ii) Kurva C tidak simetri terhadap sumbu x

Contoh 12

Solusi

Presented By

1. Kadek Adi Wibawa (120311521724)

2. Deka Anjariyah (120311521661)