rapporto incrementale e derivata primaartemate.altervista.org/dfile/funzioni-derivabili.pdfderivata...
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RAPPORTOINCREMENTALE EDERIVATA PRIMA
Agg 2011 - Tutorial di Paola Barberis
RAPPORTO INCREMENTALE
f(xo) A
B
xo+hxo
∆y
�
!y
!x=f (x
0+ h) " f (x
0)
h
Rapporto fraincremento di ordinata∆y= f(xo+h) - f(xo)
e incremento di ascissa∆x = h
f(xo+h)
SIGNIFICATO GEOMETRICO- coefficiente angolare m della retta secante AB;- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x
y=mx+q
∆xα
α
IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
DERIVATA PRIMA : y’(xo)
�
lim!x"0
!y
!x= lim
h"0
f (x0 + h) # f (x0)
h
E’ il LIMITE ( se esiste )per h che tende a zero
del Rapporto Incrementale
SIGNIFICATO GEOMETRICO:- coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x
xoxo xo+h
AB
y=mx+
q
αy’(xo) calcolata in x0 è un numeroy’(x) è la “funzione derivata”
IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
Derivata della FUNZIONE COSTANTE y = k
R.I . =f (x + h) ! f (x)
h=k ! k
h=0
h= 0
f(x+h) vuol dire sostituire x+h al posto di x e in questo caso, poiché non c’è la x, rimane uguale a k: f(x+h) = kf(x) è uguale alla funzione stessa: f(x) = k
Calcolo prima il Rapporto incrementale R.I.
Ora calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
00lim0
=!h
Derivata primaD[k]=0
y’(x)=
REGOLA : la derivata della funzionecostante y=k è sempre ZERO
APPLICANDO LA DEFINIZIONE
DERIVATA DELLA FUNZIONE IDENTITA’
�
y = x
f (x + h) ! f (x)
h=(x + h) ! (x)
h=
calcolo f(x+h) sostituendo x+h alla x: f(x+h)= x+h f(x) è uguale alla funzione stessa : f(x) = x
1==!+
=h
h
h
xhxRapporto incrementale
Calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
11lim0
=!h
D[x]=1y’(x)=
La Derivata di y=x è y’=1
DERIVATAPRIMA
R.I.=
DERIVATA DELLA FUNZIONE QUADRATICA
�
f (x) = x2
�
f (x + h) ! f (x)
h=(x
2+ 2xh + h
2) ! (x
2)
h=
f(x+h)= (x+h)2 = x2+2xh+h2
hxh
hxh
h
hhx+=
+=
+2
)2(2 2
Rapporto Incrementale
xxhxh
2022lim0
=+=+!
Derivata primaD[x2]=2x
y’(x)=
analogamente ricavo: D[x3]=3x2 e D[x4]=4x3
REGOLA generale: DERIVATA DI UNA POTENZA
�
y = x2
y=xn y’=nxn-1 D[xn]=nxn-1
R.I.=
DERIVATA DELLA radice quadrata
f (x + h) ! f (x)
h=
x + h ! x
hRapporto incrementale
y’(x)=
DERIVATA dellaRadice quadrata
�
f (x) = x
R.I.=
�
limh!0
x + h " x
h=0
0
La forma indeterminata si toglierazionalizzando il numeratore
limh!0
( x + h " x )
h#( x + h + x )
( x + h + x )=
x + h " x
h( x + h + x )
�
limh!0
h
h( x + h + x )= lim
h!0
1
( x + h + x )=
1
( x + x )=
1
2 x
�
D[ x ] =1
2 ! x=
x
2x
DERIVATE di funzioni ELEMENTARI
y=k y’=0 Derivata della costante isolata
y=x y’=1 Derivata della funzione identità
y=xn y’=nxn-1 Derivata della potenza
xy =x
y2
1'= Derivata della radice quadrata
xy ln=x
y1
'=Derivata[logaritmo a base e]: inverso dell’argomento
xey = x
ey =' Derivata[f.esponenziale]:se stessa
senxy = xy cos'=
xy cos= senxy !='
Derivata [seno]= è il coseno
Derivata [coseno]= meno il seno
745324
!+!= xxxy 041012'3
!+!= xxy
xxy 53 !=
�
y'=3
2 x! 5 =
3 x
2x! 5 =
3 x !10x
2x
xexy 4ln3 != x
ex
y 43
' !=
senxxy 8cos2 != xsenxy cos82' !!=
Esercizi SVOLTI : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI
�
y = 4 x23
�
y = 4x
2
3
�
y'= 4 !2
3x
2
3"1
=8
3x"1
3 =8
3x
1
3
=8
3 x3
NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza
y = f(x)+g(x) y' = f'(x)+ g'(x)
y = k·f(x) y' = k·f'(x)
y = f(x)·g(x) y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
f(x)y = -------- g(x)
f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)y' = ----------------------------- [g(x)]2
Derivata del prodotto di una costante K per una funzione
Derivata della somma di due o più funzioni
Derivata del prodotto di due funzioni
Derivata del quoziente di due funzioni
REGOLE DI DERIVAZIONE
y = (3x
4! 5x
2)i(x ! 3) )01()53()3()1012(' 24
!"!+!"!= xxxxy
y = x iln x
xxx
xy
1ln
2
1' !+!=
5
42
+
!=x
xxy
2
2
)5(
)01()4()5()42('
+
+!""+!"=
x
xxxxy
senx
xy
cos=
2)(
coscos'
senx
xxsenxsenxy
!"!"=
…proseguire svolgendo i calcoli
Esercizi SVOLTI : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI
y = f(g(x)) y' = f'(g(x))·g’(x)
3)24( != xyEsempio:
1- Derivare la funzione f ESTERNA (ricopiando il contenuto g)2- moltiplicare per la derivata del “CONTENUTO” g
y ' = 3(4x ! 2)2• (4 ! 0) = 12 " (4x ! 2)
2
Derivo la funzioneesterna POTENZA
Derivo il “CONTENUTO”cioè la base
Derivata della Funzione COMPOSTA
424 )5( xxy != y ' = 4(x4! 5x
2)3• (4x
3!10x)
xxy 52+= xx
xx
xxy
52
52)52(
52
1'
22+
+=+•
+
=
)64ln( 3+!= xxy )043(
64
1' 2
3+!•
+!= x
xxy
)9cos( 3xxy != )93()9(' 23
!•!!= xxxseny
proseguire svolgendo eventuali calcoli
Esercizi svolti : DERIVATA della FUNZIONE COMPOSTA
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