relasi - budiharti.files.wordpress.com filerelasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan...
Post on 30-Mar-2019
247 Views
Preview:
TRANSCRIPT
RELASI
Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus
Produk Cartesius
Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan dan , ditulisAx∈ By∈
}dan ),{( ByAxyxBA ∈∈=×
{1,2}Bdan },,{ == cbaA
)},3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1{(
)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(
bababaAB
ccbbaaBA
=×
=×
Misalkan maka:
Pengertian Relasi Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan
seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu.Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 }
Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :
2 adalah faktor dari 42 adalah faktor dari 102 adalah faktor dari 145 adalah faktor dari 10
Sedangkan 3 ∈ A tidak berrelasi dengan suatuelemenpun dari himpunan B.
•2
•3
•5
•1
•4
•7
•10
•14
Diagram panahA B
Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka :R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }
Jelaslah bahwa R ⊆ A x B
Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ).
Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R ⊆ A x B
A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),
RELASI KHUSUS
Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri.
R refleksif pada A bhb. (∀ x∈A). (x,x)∈R R non-refleksif pada A bhb. ( ∃x∈A).( x,x)∉R R irrefleksif pada A bhb. (∀ x∈A).( x,x)∉R
RELASI KHUSUS
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x.
R simetris pada A bhb(∀x,y∈A).(x,y)∈R⇒(y,x)∈R
R non- simetris pada A bhb(∃x,y∈A).(x,y)∈R∧(y,x)∉ R
R asimetris pada A bhb(∀x,y∈A).(x,y)∈R ⇒(y,x) ∉ R
R antisimetris pada A bhb(∀x,y∈A).(x,y)∈R ∧ (y,x)∈R ⇒x=y
RELASI KHUSUS
relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan z∈A, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z.
R transitif pada A bhb.(∀x,y,z∈A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∈ R
R non-transitif pada A bhb :( ∃x,y,z A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∉R
R intransitif pada A bhb :( ∀x,y,z A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∉R
RELASI KHUSUS
Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A.
Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidakkosong dari suatu himpunan A disebut
P a r t i s i dari A bhb.1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu
adalah himpunan A sendiri.2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama
merupakan dua himpunan yang saling lepas.Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak
kosong dari himpunan A, misalnya{A1 , A2 , A3 , …..An }, adalah partisi dari A apabila1. A1∪ A2 ∪ A3 ∪ ….. ∪ An = A2. (∀Ai , Aj ). Ai ≠ Aj ⇒ Ai ∩ Aj = ∅
FUNGSI
Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan Adengan anggota-anggota himpunan B disebutFungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkansetiap anggota A dengan tepat satu anggotaB.
f : A → B bhb. (∀ x ∈ A).( ∃!y ∈ B) . y = f (x)
FUNGSI
Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke Badalah suatu relasi yang mempunyai duasifat khusus, yaitu:
1. Setiap anggota himpunan A (daerah asal)dikawankan dengan anggota himpunan B.(Seringkali dikatakan bahwa “ daerah asaldihabiskan “)
2. Kawan dari anggota-anggota himpunan A(daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapatdinyatakan secara simbolis:
( ∀xi, xj ∈ A). x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2)
FUNGSI
•2
•3
•5
•1
•4
•7
•10
•14
Diagram panahA B
FUNGSI
Contoh:Misalkan A : {1, 2, 3, 4}B : {a, b, c}Terdapat relasi f : A→Ba. f : {(1,a), (2,b), (3,c)}b. f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}c. f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)}
FUNGSI
Contoh:Misalkan A : {1, 2, 3, 4}B : {a, b, c}Terdapat relasi f : A→Ba. f : {(1,a), (2,b), (3,c)} → bukan fungsi
hanya relasi biasab. f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)} →
bukan fungsi hanya relasi biasac. f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)} → fungsi
FUNGSI
Ada dua macam cara untuk menyajikansuatu fungsi, yaitu:
1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengancara menyatakan aturan yang menentukanrelasi antara angggota – anggota daerahasal dengan anggota – anggota daerahkawannya.Contoh :f: R→ R dimana f(x) = xR = himpunan semua bilangan nyata.
FUNGSI
2. Cara himpunan :Seperti halnya relasi, maka fungsi f dariA ke B dapat dipandang sebagaihimpunan bagian (khusus) dari A x B.Maka fungsi f : R →R dimana f ( x ) = xdapat juga disajikan sebagai suatuhimpunan, yaitu himpunan bagian dariR x R :
F = { (x,y)|x ∈ R, y∈ R, y = x }
FUNGSI
Kesamaan dua buah fungsi. Dua buah fungsi f : A → B dan g : A → B
dikatakan sama bila kedua fungsi itumengkaitkan anggota-anggota dari daerahasalnya dengan anggota-anggota yang samadidaerah kawannya.f = g bhb ( ∀ x ∈A).f(x) = g(x)
Contoh :f : R→ R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2)g : R→ R dimana g(x) = 2x2-2x-4Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2)
= 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x)Maka f = g
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
1. FUNGSI SURJEKTIF/ONTO2. FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU3. FUNGSI BIJEKTIF/KORESPONDENSI
SATU-SATU4. FUNGSI KONSTAN5. FUNGSI IDENTITAS
FUNGSI SURJEKTIF/ONTO
Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A.
Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ).
f : A → B adalah fungsi surjektif bhb ( ∀y∈B) ( ∃x∈A). y = f (x)bhb Rf = Bbhb ( ∀y∈B) f-1 (y) = ∅
FUNGSI SURJEKTIF
Contoh
•2
•3
•5
•7
•10
Diagram panahA B
FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU
Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A.
f : A → B adalah fungsi injektif bhb ( ∀ x1,x2 ∈ A ). x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) bhb ( ∀ x1,x2 ∈ A ). f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
FUNGSI INJEKTIF
contoh
•2
•3
•5
•1
•4
•7
•10
•14
Diagram panahA B
FUNGSI BIJEKTIF
Suatu fungsi f : A→B merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif.
Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu.
FUNGSI BIJEKTIF
Contoh
•2
•3
•5
•7
•10
•14
Diagram panahA B
FUNGSI KONSTAN
Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B.
f : A → B adalah fungsi konstan bhb.( ∃!c ∈ B)(∀x∈A).f(x) = c
Contoh:1. f(x) = 2
•2
•3
•5
•7•10•14
2. Diagram panahA B
FUNGSI IDENTITAS
Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri.
Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama.
f : A → A adalah fungsi indentitas bhb.( ∀x∈A). f(x) = x
FUNGSI IDENTITAS
CONTOH
•2
•3
•5
•2
•3
•5
Diagram panahA A
LATIHAN
MisalkanA : {a,b,c}B : {1,2,3}C: {x, y, z, w}D: {4,5,6}f: A→B g: B→C h: C→Di: B→DTentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif
atau bijektif?a. f: {(a,2), (b,1), (c,2)}b. g: {(1,y), (2,x), (3,w)}c. h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)}d. i: {(1,4), (2,6), (3,5)}
FUNGSI TERSUSUN
Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapatdisusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baruyang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi).
Misalnya kita mempunyai dua buah fungsif : A → B dan g : C → D di mana Rg ⊆ A,
C → A → B
maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadifungsi baru, yang disajikan dengan lambangf o g : C → B
Dengan aturan ( f o g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] ( lambang “ f o g “ dibaca “ f bundaran g “ )
f gf o g
FUNGSI TERSUSUN
CONTOH: Modul halaman 81Latihan:1. Misalkan
A : {a,b,c}B : {1,2}C: {1,2,3}D: {x, y, z, w}f: A→B, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: C→D, g: {(1,y), (2,x), (3,w)}Tentukan g o f!
2. Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dang(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)!
FUNGSI TERSUSUN
Sifat-sifat Komposisi Fungsi.1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap
tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h)
2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap x anggota domainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f.
3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka f o f = f o f = i dimana i adalah fungsi identitas.
Fungsi Nyata dan GrafikFungsi
Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan – bilangan nyata.
top related